HSC 물리학을 위한 벡터의 성분 분해
삼각법, 부호 규약, 명확한 물리적 추론을 사용해 벡터를 서로 수직인 성분으로 나누는 방법을 배웁니다. 풀이 예제와 독창적인 HSC 스타일 연습문제를 포함합니다.
구조 드론이 수평선 위 \(30^\circ\) 방향으로 \(500\text{ N}\)의 힘을 가해 끌고 있다. 이 드론이 “수평으로 \(500\text{ N}\), 수직으로 \(500\text{ N}\)”의 힘을 각각 가하는 것은 아니다. 그렇게 생각하면 실제로 존재하지 않는 추가 힘을 만들어 내는 셈이다. 대신 하나의 \(500\text{ N}\) 힘이 이 두 방향으로 나뉘어 표현되어야 한다.
계산하기 전에 다음을 예상해 보자. 수평 성분은 \(500\text{ N}\)보다 커야 할까, 작아야 할까, 아니면 같아야 할까?
반드시 \(500\text{ N}\)보다 작아야 한다. 원래 벡터는 기울어져 있으므로 그중 일부만 수평 방향을 가리킨다. 나머지는 수직 방향을 가리킨다. 벡터를 성분으로 분해한다는 것은 서로 수직인 각 방향으로 정확히 얼마나 향하고 있는지를 구하는 과정이다.
01벡터를 성분으로 분해한다는 것은 무엇일까?
벡터는 크기와 방향을 모두 가진다. 힘, 속도, 변위, 가속도, 운동량은 모두 벡터이다.
어떤 힘이 오른쪽 위 대각선 방향을 향한다고 하자. 다루기 불편한 대각선 방향을 그대로 사용하는 대신, 수학적으로 서로 수직인 두 성분으로 나타낼 수 있다.
- 수평 성분
- 수직 성분
이 두 성분을 함께 고려하면 원래 벡터와 정확히 같은 효과를 낸다.
누군가 직사각형 공원을 대각선으로 가로질러 걷는 모습을 생각해 보자. 그 사람의 변위를 하나의 대각선 이동으로 나타낼 수도 있고, 동쪽으로 간 거리와 북쪽으로 간 거리의 조합으로 나타낼 수도 있다. 실제로 그 두 경로를 따로 걸어야 했던 것은 아니다. 성분은 같은 변위를 표현하는 또 다른 방법일 뿐이다.
다만 이 비유에는 한계가 있다. 벡터의 성분은 반드시 하나씩 차례대로 일어나는 별개의 사건을 뜻하지 않는다. 성분은 하나의 벡터를 동시에 구성하는 수학적 부분이다.
02수직인 성분이 유용한 이유
문제에 알맞은 축을 선택하면 물리 문제를 훨씬 쉽게 다룰 수 있다.
많은 HSC 문제에서는 다음과 같이 축을 정한다.
- 수평 운동에는 \(x\)축
- 수직 운동에는 \(y\)축
그러면 대각선 방향의 힘을 각 방향에서 따로 다룰 수 있다. 뉴턴의 법칙을 수평 방향과 수직 방향에 각각 적용할 수 있고, 포물선 운동을 축별로 분석할 수 있으며, 경사면에서의 힘도 더 명확하게 비교할 수 있다.
중요한 개념은 다음과 같다.
벡터를 성분으로 분해한다고 해서 벡터 자체가 바뀌는 것은 아니다. 바뀌는 것은 벡터를 표현하는 방식이다.
03성분 분해에 사용되는 삼각법
벡터를 성분으로 분해하면 직각삼각형이 만들어진다.
크기가 \(V\)이고 양의 수평축 위로 \(\theta\)만큼 기울어진 벡터가 있다고 하자.
그 성분은 다음과 같다.
\[ V_x = V\cos\theta \]
\[ V_y = V\sin\theta \]
여기서:
- \(V\)는 원래 벡터의 크기
- \(V_x\)는 수평 성분
- \(V_y\)는 수직 성분
- \(\theta\)는 양의 수평 방향에서부터 측정한 각도
왜 수평 성분에는 코사인을, 수직 성분에는 사인을 사용할까?
기본 삼각비를 떠올려 보자.
\[ \cos\theta = \frac{\text{인접변}}{\text{빗변}}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{대변}}{\text{빗변}} \]
벡터로 만든 삼각형에서 원래 벡터 \(V\)는 빗변이다. \(\theta\)를 수평선에서부터 측정했다면 \(V_x\)는 그 각에 대한 인접변이고 \(V_y\)는 대변이다.
따라서:
\[ \cos\theta = \frac{V_x}{V} \]
이를 정리하면 \(V_x = V\cos\theta\)이다.
마찬가지로:
\[ \sin\theta = \frac{V_y}{V} \]
이므로 \(V_y = V\sin\theta\)이다.
성분 공식은 이렇게 삼각법에서 나온다. 삼각법과 별개로 따로 외워야 하는 공식이 아니다.
04“수평 성분에는 항상 코사인”이라고 외우지 말 것
이는 성분 분해에서 가장 쉽게 하는 실수 중 하나이다.
같은 벡터의 각도가 수평선이 아니라 수직선에서부터 측정되었다고 하자. 이제 어느 성분이 그 각에 대한 인접변일까?
수직 성분이다.
따라서 이 경우에는:
\[ V_y = V\cos\theta \]
이고
\[ V_x = V\sin\theta \]
이다.
유용한 규칙은 “수평이면 코사인”이 아니다.
유용한 규칙은 다음과 같다.
- 인접한 성분: 코사인 사용
- 마주 보는 성분: 사인 사용
항상 각도가 어디에 표시되어 있는지 확인해야 한다.
풀이 예제: 수평선 위로 기울어진 힘
밧줄이 상자를 수평선 위 \(35^\circ\) 방향으로 \(240\text{ N}\)의 힘으로 당긴다. 힘의 수평 성분과 수직 성분을 구하여라.
1단계: 주어진 각에 인접한 성분이 무엇인지 확인한다.
\(35^\circ\) 각도는 수평선에서부터 측정되므로 수평 성분이 인접해 있다. 따라서 코사인을 사용한다.
\[ F_x = F\cos\theta \]
여기서 \(F = 240\text{ N}\), \(\theta = 35^\circ\)이다.
2단계: 수평 성분을 계산한다.
\[ F_x = 240\cos35^\circ = 196.6\text{ N} \]
따라서:
\[ F_x \approx 197\text{ N} \]
3단계: 수직 성분을 계산한다.
수직 성분은 각의 맞은편에 있으므로 사인을 사용한다.
\[ F_y = F\sin\theta \]
\[ F_y = 240\sin35^\circ = 137.7\text{ N} \]
따라서:
\[ F_y \approx 138\text{ N} \]
그러므로 원래의 \(240\text{ N}\) 힘은 수평으로 약 \(197\text{ N}\), 수직으로 약 \(138\text{ N}\)인 두 성분으로 나타낼 수 있다.
어느 성분도 원래의 \(240\text{ N}\) 힘보다 크지 않다는 점에 주목하자. 이는 기하학적으로 예상한 결과와 일치한다.
05성분에는 크기뿐 아니라 부호도 필요하다
지금까지 살펴본 벡터는 오른쪽 위를 향했다. 따라서 두 성분 모두 양수였다.
하지만 벡터는 어느 방향으로든 향할 수 있다. 벡터를 분해하기 전에 먼저 부호 규약을 정해야 한다.
흔히 다음과 같이 정한다.
- 오른쪽은 양의 \(x\)
- 왼쪽은 음의 \(x\)
- 위쪽은 양의 \(y\)
- 아래쪽은 음의 \(y\)
부호는 성분의 방향을 나타낸다. 부호 자체가 삼각법의 일부인 것은 아니다.
예를 들어 오른쪽 아래를 향하는 속도는:
- 양의 \(x\)성분
- 음의 \(y\)성분
을 가진다.
왼쪽 위를 향하는 힘은:
- 음의 \(x\)성분
- 양의 \(y\)성분
을 가진다.
06계산기를 사용하기 전에 방향부터 판단하자
어떤 속도가 왼쪽 아래를 향한다고 하자.
계산을 시작하기 전부터 다음을 알 수 있다.
\[ v_x < 0 \]
그리고
\[ v_y < 0 \]
이렇게 미리 예측하는 것은 유용하다. 나중에 계산기에서 두 값이 모두 양수로 나왔다면, 아직 방향을 반영하지 않았다는 것을 알 수 있다.
안전한 방법 중 하나는 다음과 같다.
- 직각삼각형을 이용해 성분의 크기를 구한다
- 그림과 자신이 정한 축을 바탕으로 각 성분에 부호를 붙인다
특이한 각도를 계산기에 직접 입력했을 때 나오는 부호에 의존하는 것보다 이 방법이 더 명확한 경우가 많다.
풀이 예제: 수직선에서 측정한 속도
공이 \(18.0\text{ m s}^{-1}\)의 속도로 움직이고 있으며, 수직 아래 방향에서 왼쪽으로 \(25^\circ\) 기울어져 있다. 오른쪽을 양의 \(x\), 위쪽을 양의 \(y\)로 정한다. 수평 속도 성분과 수직 속도 성분을 구하여라.
1단계: 부호를 예상한다.
공은 왼쪽으로 움직이므로 \(v_x\)는 음수이다.
또한 아래쪽으로 움직이므로 \(v_y\)도 음수이다.
2단계: 인접한 성분을 찾는다.
\(25^\circ\) 각도는 수직선에서부터 측정되었다. 따라서 수직 성분이 그 각에 인접해 있다.
그 크기는:
\[ |v_y| = v\cos\theta \]
\[ |v_y| = 18.0\cos25^\circ = 16.31\text{ m s}^{-1} \]
방향이 아래쪽이므로:
\[ v_y = -16.3\text{ m s}^{-1} \]
3단계: 수평 성분을 구한다.
수평 성분은 \(25^\circ\) 각의 맞은편에 있다.
\[ |v_x| = v\sin\theta \]
\[ |v_x| = 18.0\sin25^\circ = 7.61\text{ m s}^{-1} \]
방향이 왼쪽이므로:
\[ v_x = -7.61\text{ m s}^{-1} \]
따라서 속도 성분은:
\[ v_x = -7.61\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y = -16.3\text{ m s}^{-1} \]
이다.
음의 부호는 반드시 필요하다. 부호가 없다면 성분의 크기는 맞지만 속도의 방향은 틀리게 된다.
07피타고라스 정리를 이용한 빠른 확인
성분들을 다시 결합하면 원래 벡터의 크기가 나와야 한다.
두 성분은 서로 수직이므로:
\[ V^2 = V_x^2 + V_y^2 \]
따라서:
\[ V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2} \]
앞의 예제에서는:
\[ \sqrt{(-7.61)^2 + (-16.3)^2} \approx 18.0\text{ m s}^{-1} \]
제곱하면 음의 부호가 사라지는데, 이는 타당하다. 피타고라스 정리는 방향이 아니라 크기를 확인하기 때문이다.
이는 유용한 오류 확인 방법이다. 계산한 성분으로 얻은 크기가 원래 벡터의 크기와 전혀 비슷하지 않다면 어딘가에서 잘못 계산한 것이다.
08성분은 일반적인 숫자 조각처럼 더해지는 것이 아니다
\(100\text{ N}\)의 힘에 \(F_x\)와 \(F_y\)라는 성분이 있다면 다음이 성립한다고 생각하기 쉽다.
\[ F_x + F_y = 100\text{ N} \]
그러나 일반적으로 이는 틀리다.
왜 그럴듯하게 느껴질까? 일반적인 양은 여러 부분으로 나누면 그 부분들을 직접 더할 수 있는 경우가 많기 때문이다. 예를 들어 100달러를 두 사람에게 나눠 준다면 두 사람이 받은 금액의 합은 100달러가 된다.
서로 수직인 벡터 성분은 이런 식으로 작동하지 않는다. 두 성분은 서로 다른 방향을 가리킨다. 이들의 벡터합이 원래 벡터를 만든다.
예를 들어 \(45^\circ\) 방향의 \(100\text{ N}\) 힘은 다음과 같은 성분을 가진다.
\[ F_x = 100\cos45^\circ = 70.7\text{ N} \]
\[ F_y = 100\sin45^\circ = 70.7\text{ N} \]
두 수를 일반적인 방식으로 더하면 \(141.4\text{ N}\)이지만, 그렇다고 원래 벡터의 크기가 커진 것은 아니다.
피타고라스 정리를 사용하면:
\[ F = \sqrt{70.7^2 + 70.7^2} \approx 100\text{ N} \]
서로 수직인 성분은 그 크기를 단순히 더하는 것이 아니라 기하학적으로 결합된다.
09축을 잘 선택하면 문제를 더 쉽게 풀 수 있다
수평축과 수직축을 자주 사용하지만, 반드시 그렇게 해야 하는 것은 아니다.
경사면 위에 놓인 물체를 생각해 보자. 일반적인 수평축과 수직축을 선택하면 여러 힘이 다루기 어려운 각도로 놓일 수 있다. 대신 다음과 같이 축을 정하는 것이 더 나은 경우가 많다.
- 경사면과 평행한 축 하나
- 경사면과 수직인 축 하나
그런 다음 중력에 의한 힘을 이 두 축 방향의 성분으로 분해할 수 있다.
이 역시 같은 벡터 분해 방법이다. 달라진 것은 좌표계뿐이다.
어떤 축을 선택하든 물리 법칙 자체는 달라지지 않는다. 적절한 축을 선택하면 방정식을 더 쉽게 만들 수 있을 뿐이다.
10HSC 문제를 위한 신뢰할 수 있는 방법
벡터를 성분으로 분해할 때는 다음 순서를 사용하자.
- 벡터와 축을 그리거나 확인한다.
- 양의 방향을 정한다.
- 각 성분의 부호를 예상한다.
- 주어진 각도의 위치를 확인한다.
- 인접한 성분과 맞은편 성분을 찾는다.
- 인접한 성분에는 코사인, 맞은편 성분에는 사인을 사용한다.
- 올바른 부호를 적용한다.
- 구한 성분이 물리적으로 타당한지 확인한다.
크기가 \(V\)이고 양의 수평축에서 \(\theta\)만큼 기울어진 벡터라면, 이는 흔히 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.
\[ V_x = V\cos\theta, \qquad V_y = V\sin\theta \]
하지만 이 간단한 공식은 각도가 어디에서부터 측정되는지, 그리고 자신이 선택한 축에서 어느 방향을 양의 방향으로 정했는지를 이해하고 있을 때만 안전하게 사용할 수 있다.
11문제와 풀이
문제 1
한 자전거 이용자가 동쪽에서 북쪽으로 \(20^\circ\) 기울어진 방향으로 \(12.0\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로 이동한다. 동쪽을 양의 \(x\), 북쪽을 양의 \(y\)로 정한다.
자전거 이용자 속도의 동쪽 방향 성분과 북쪽 방향 성분을 구하여라.
풀이 1
성분은 각각 동쪽으로 약 \(11.3\text{ m s}^{-1}\), 북쪽으로 \(4.10\text{ m s}^{-1}\)이다.
각도는 동쪽을 향하는 수평 방향에서부터 측정되므로, 동쪽 성분은 인접한 성분이고 북쪽 성분은 맞은편 성분이다.
\[ v_x = v\cos\theta \]
\[ v_y = v\sin\theta \]
\(v = 12.0\text{ m s}^{-1}\), \(\theta = 20^\circ\)를 대입하면:
\[ v_x = 12.0\cos20^\circ = 11.28\text{ m s}^{-1} \]
\[ v_y = 12.0\sin20^\circ = 4.10\text{ m s}^{-1} \]
따라서:
\[ v_x \approx 11.3\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y \approx 4.10\text{ m s}^{-1} \]
속도가 동쪽과 북쪽을 향하므로 두 성분 모두 양수이다.
문제 2
\(75.0\text{ N}\)의 힘이 수직 위쪽 방향에서 오른쪽으로 \(40^\circ\) 기울어진 방향으로 작용한다. 오른쪽을 양의 \(x\), 위쪽을 양의 \(y\)로 정한다.
힘의 \(x\)성분과 \(y\)성분을 구하여라.
풀이 2
성분은 양의 \(x\)방향으로 \(48.2\text{ N}\), 양의 \(y\)방향으로 \(57.5\text{ N}\)이다.
주의할 점은 각도가 수평선이 아니라 수직선에서부터 측정되었다는 것이다. 따라서 수직 성분이 \(40^\circ\) 각에 인접해 있다.
수평 성분은:
\[ F_x = F\sin\theta \]
\[ F_x = 75.0\sin40^\circ = 48.2\text{ N} \]
수직 성분은:
\[ F_y = F\cos\theta \]
\[ F_y = 75.0\cos40^\circ = 57.5\text{ N} \]
따라서:
\[ F_x = +48.2\text{ N}, \qquad F_y = +57.5\text{ N} \]
단순히 “수평 성분은 코사인”이라고 생각해 수평 성분에 코사인을 사용하면 두 답이 서로 바뀌게 된다.
문제 3
소형 항공기가 공기에 대해 \(65.0\text{ m s}^{-1}\)의 속도를 가지며, 서쪽에서 남쪽으로 \(32^\circ\) 기울어진 방향으로 움직인다.
동쪽을 양의 \(x\), 북쪽을 양의 \(y\)로 정한다.
속도의 성분을 구하고, 그 성분들이 원래의 속력을 재현하는지 확인하여라.
풀이 3
속도 성분은 \(x\)방향으로 약 \(-55.1\text{ m s}^{-1}\), \(y\)방향으로 약 \(-34.4\text{ m s}^{-1}\)이며, 이를 다시 결합하면 \(65.0\text{ m s}^{-1}\)가 된다.
서쪽은 음의 \(x\)방향이고, 남쪽은 음의 \(y\)방향이다. \(32^\circ\) 각은 수평 방향인 서쪽에서부터 측정된다.
수평 성분의 크기는:
\[ |v_x| = v\cos\theta \]
\[ |v_x| = 65.0\cos32^\circ = 55.1\text{ m s}^{-1} \]
따라서:
\[ v_x = -55.1\text{ m s}^{-1} \]
수직 성분의 크기는:
\[ |v_y| = v\sin\theta \]
\[ |v_y| = 65.0\sin32^\circ = 34.4\text{ m s}^{-1} \]
따라서:
\[ v_y = -34.4\text{ m s}^{-1} \]
크기를 확인하면:
\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-55.1)^2 + (-34.4)^2} \approx 65.0\text{ m s}^{-1} \]
이 확인을 통해 성분의 크기가 원래 속도와 일치한다는 것을 알 수 있다. 그리고 부호를 통해 항공기가 서쪽과 남쪽으로 움직이고 있음을 알 수 있다.
문제 4
한 학생이 \(90.0\text{ N}\)의 힘을 분해하여 오른쪽으로 \(72.0\text{ N}\), 위쪽으로 \(54.0\text{ N}\)인 성분을 얻었다.
다른 학생은 \(72.0 + 54.0 = 126.0\text{ N}\)이고 이것이 원래의 \(90.0\text{ N}\)보다 크므로 답이 틀렸다고 말한다.
이 성분들이 가능한지 판단하고, 어느 학생의 추론이 옳은지 설명하여라.
풀이 4
이 성분들은 가능하며, 두 번째 학생의 추론이 잘못되었다.
서로 수직인 벡터 성분은 그 수치를 단순히 더해서 원래 크기가 될 필요가 없다. 두 성분은 서로 \(90^\circ\)를 이루므로 피타고라스 정리를 사용해 결합한다.
제시된 성분으로 만들어지는 힘의 크기는:
\[ F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \]
\[ F = \sqrt{(72.0)^2 + (54.0)^2} = \sqrt{5184 + 2916} = \sqrt{8100} = 90.0\text{ N} \]
따라서 이 성분들을 결합하면 원래의 \(90.0\text{ N}\) 힘이 정확히 재현된다.
쉽게 빠지는 실수는 서로 수직인 벡터 성분을 일반적인 스칼라의 부분처럼 다루는 것이다. 두 성분의 산술적 합인 \(126.0\text{ N}\)은 원래 힘의 크기를 나타내는 값으로는 의미가 없다.
문제 5
어떤 힘의 크기가 \(120\text{ N}\)이다. 그 수평 성분은 \(+120\text{ N}\)이다.
한 학생은 문제에서 수평 성분만 주어졌으므로 이 힘이 0이 아닌 수직 성분을 가질 수도 있다고 주장한다.
그것이 가능한가? 그림에만 의존하지 말고 답을 정당화하여라.
풀이 5
불가능하다. 전체 힘의 크기가 \(120\text{ N}\)이고 수평 성분의 크기 자체가 이미 \(120\text{ N}\)이라면 수직 성분은 반드시 0이어야 한다.
벡터의 크기와 서로 수직인 성분 사이에는 다음 관계가 있다.
\[ F^2 = F_x^2 + F_y^2 \]
\(F = 120\text{ N}\), \(F_x = 120\text{ N}\)를 대입하면:
\[ (120)^2 = (120)^2 + F_y^2 \]
양변에서 \((120)^2\)을 빼면:
\[ F_y^2 = 0 \]
따라서:
\[ F_y = 0\text{ N} \]
0이 아닌 수직 성분이 존재한다면
\[ \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \]
의 값은 \(120\text{ N}\)보다 커진다.
이는 유용한 극한 사례이다. 어떤 성분이 벡터의 전체 크기와 같을 수 있는 경우는 벡터가 그 성분의 축을 따라 완전히 놓여 있을 때뿐이다.
12성분 분해를 익힌 뒤 이어지는 내용
벡터를 정확하게 성분으로 분해할 수 있게 되면 여러 HSC Physics 개념을 훨씬 쉽게 다룰 수 있다. 포물선 운동의 속도를 수평 운동과 수직 운동으로 나눌 수 있고, 경사면에서 힘을 분해할 수 있으며, 선택한 각 축을 따라 뉴턴의 법칙을 독립적으로 적용할 수 있다.
다음 단계는 또 다른 한 쌍의 삼각함수 공식을 배우는 것이 아니다. 물리 상황을 단순하게 만들어 주는 축을 선택하는 법을 익히고, 두 방향이 같은 물리적 상황을 함께 설명한다는 점을 기억하면서 각 방향을 별도의 방정식으로 다루는 법을 배우는 것이다.