الجهد الكهربائي وخطوط تساوي الجهد لفيزياء HSC

تخيّل لوحين كبيرين متوازيين يُنشئان مجالًا كهربائيًا. تضع شحنة موجبة صغيرة بينهما، ثم تحرّكها جانبيًا عبر الفجوة، ولكن من دون أن تقترب من أيٍّ من اللوحين.

هل تتغير طاقة وضعها الكهربائية؟

قد يبدو أن أي حركة في مجال كهربائي يجب أن تغيّر الطاقة. لكن الحركة الجانبية قد لا تتطلب أي شغل من المجال الكهربائي على الإطلاق. يمكن للشحنة أن تتحرك عدة سنتيمترات مع بقائها عند الجهد الكهربائي نفسه تمامًا.

هذه هي فكرة خطوط تساوي الجهد. فهي تُبيّن المواضع التي يمكن أن تتحرك فيها الشحنة من دون أن تتغير طاقة وضعها الكهربائية لكل كولوم.

01ابدأ بالطاقة لكل كولوم

افترض أن نقل شحنة من موضع إلى آخر يغيّر طاقة وضعها الكهربائية بمقدار \(\Delta U\).

قد تتعرض شحنة مقدارها 1 C لتغير كبير في الطاقة. أما الشحنة الأصغر بكثير فتتعرض لتغير أصغر في الطاقة بالنسبة نفسها. لذلك فإن تغير الطاقة وحده لا يخبرنا بكل شيء عن المجال الكهربائي.

نريد كمية تصف الموضعين، بدلًا من أن تعتمد على شحنة الاختبار التي صادف أن استخدمناها.

لذلك نقسم التغير في طاقة الوضع الكهربائية على الشحنة:

\[ \Delta V = \frac{\Delta U}{q} \]

حيث:

• \(\Delta V\) هو فرق الجهد الكهربائي، ويُقاس بالفولت (V)
• \(\Delta U\) هو التغير في طاقة الوضع الكهربائية، ويُقاس بالجول (J)
• \(q\) هي الشحنة، وتُقاس بالكولوم (C)

وغالبًا ما سترى ذلك مكتوبًا أيضًا على الصورة:

\[ V = \frac{\Delta U}{q} \]

عندما يُستخدم \(V\) للدلالة على فرق الجهد بين نقطتين.

فولت واحد يعني تغيرًا في الطاقة مقداره جول واحد لكل كولوم:

\[ 1\text{ V} = 1\text{ J C}^{-1} \]

إذًا فرق جهد مقداره 12 V يعني أن طاقة الوضع الكهربائية تتغير بمقدار 12 J لكل كولوم من الشحنة الموجبة يُنقل بين هذين الموضعين.

ولهذا يُوصف الجهد غالبًا بأنه طاقة الوضع الكهربائية لكل وحدة شحنة.

هناك نقطة دقيقة يجدر تمييزها بوضوح. يُكتب الجهد الكهربائي عند نقطة واحدة عادةً بالرمز \(V\)، بالنسبة إلى مرجع مختار. أما الفرق بين نقطتين فيُكتب \(\Delta V\). وفي كثير من مسائل HSC، تشير كلمة “voltage” إلى فرق الجهد هذا.

إذا كنت بحاجة إلى مراجعة لكيفية تغير طاقة الوضع الكهربائية عندما تتحرك الشحنات، فراجع طاقة الوضع الكهربائية والشغل في المجالات الكهربائية.

02الجهد يخص الموضع، لا شحنة الاختبار

هناك فرق مهم هنا.

طاقة الوضع الكهربائية \(U\) تعتمد على الشحنة الموضوعة في المجال.

الجهد الكهربائي \(V\) يصف الموضع في المجال.

فكّر في تل. ارتفاع نقطة معينة على التل لا يعتمد على ما إذا كنت تقف هناك حاملًا حقيبة ظهر أو طوبة أو لا تحمل شيئًا على الإطلاق. لكن طاقة الوضع الجاذبية للجسم تعتمد على كتلته.

يعمل الجهد الكهربائي بطريقة مشابهة.

هذا التشبيه مفيد، لكنه ليس مطابقًا تمامًا. فالكتلة الجاذبية موجبة دائمًا، في حين يمكن أن تكون الشحنة الكهربائية موجبة أو سالبة. وهذا الاختلاف في الإشارة يؤدي إلى بعض السلوكيات التي قد تبدو في البداية معكوسة.

من:

\[ \Delta V = \frac{\Delta U}{q} \]

يمكننا إعادة الترتيب:

\[ \Delta U = q\Delta V \]

هذه الصورة مفيدة للغاية لأنها تخبرنا بكيفية استجابة شحنة معينة لفرق الجهد.

بالنسبة إلى الشحنة الموجبة، تكون إشارة \(\Delta U\) هي نفسها إشارة \(\Delta V\).

أما بالنسبة إلى الشحنة السالبة، فتكون إشارة \(\Delta U\) عكس إشارة \(\Delta V\).

وسيصبح ذلك مهمًا عندما نربط الجهد باتجاه المجال الكهربائي.

03ما خط تساوي الجهد؟

تخيّل الآن أنك ترسم خريطة لمجال كهربائي وتحدد كل النقاط التي لها الجهد الكهربائي نفسه.

صِل بين النقاط ذات الجهد المتساوي. والنتيجة هي خط تساوي الجهد.

في ثلاثة أبعاد، تكون هذه في الحقيقة أسطح تساوي جهد. لكن رسومات HSC تُظهر عادةً مقطعًا ثنائي الأبعاد، لذلك نرسمها على شكل خطوط.

افترض أن كل نقطة على خط معين عند 80 V. إن نقل شحنة من موضع على هذا الخط إلى موضع آخر عليه يعطي:

\[ \Delta V=0 \]

لذلك:

\[ \Delta U=q\Delta V=q(0)=0 \]

إذًا فإن الحركة على طول خط تساوي الجهد تؤدي إلى عدم حدوث أي تغير في طاقة الوضع الكهربائية، بغض النظر عن مقدار الشحنة أو إشارتها.

وهذا يعطينا المعنى الأساسي:

خط تساوي الجهد يصل بين نقاط لها الجهد الكهربائي نفسه.

بالنسبة إلى شحنة نقطية موجبة، يتجه المجال الكهربائي شعاعيًا إلى الخارج. وتكون خطوط تساوي الجهد دوائر متحدة المركز في الرسم ثنائي الأبعاد.

كل نقطة على دائرة واحدة تبعد المسافة نفسها عن الشحنة، ولذلك يكون لها الجهد نفسه.

04لماذا يجب أن تتقاطع خطوط المجال الكهربائي مع خطوط تساوي الجهد بزاوية 90 درجة؟

إليك التنبؤ المهم.

افترض أن خط مجال كهربائي تقاطع مع خط تساوي جهد بزاوية غير \(90^\circ\). ماذا يعني ذلك؟

سيكون للمجال الكهربائي مركبة تتجه على طول خط تساوي الجهد.

وعندها ستتعرض شحنة اختبار موجبة لقوة على امتداد خط تساوي الجهد. وسيبذل المجال شغلًا أثناء تحرك الشحنة على امتداده.

لكننا أثبتنا بالفعل أن الحركة على طول خط تساوي الجهد لها:

\[ \Delta V=0 \]

وبالتالي:

\[ \Delta U=0 \]

لا يمكن للمجال الكهربائي أن يبذل شغلًا محصلًا على طول هذا المسار.

لذلك لا يمكن أن تكون للمجال الكهربائي مركبة موازية لخط تساوي الجهد.

إذًا:

تلتقي خطوط المجال الكهربائي بخطوط تساوي الجهد بزوايا قائمة.

وهذا ليس مجرد اصطلاح في الرسم. بل ينتج من العلاقة بين القوة الكهربائية والشغل وطاقة الوضع.

05في أي اتجاه يشير المجال الكهربائي؟

معرفة أن المجال عمودي على خطوط تساوي الجهد تعطينا الزاوية، لكننا ما زلنا بحاجة إلى الاتجاه.

يشير المجال الكهربائي من الجهد الكهربائي الأعلى نحو الجهد الكهربائي الأدنى.

على سبيل المثال، افترض أن خطوط تساوي الجهد المتجاورة تحمل القيم:

• 120 V
• 100 V
• 80 V
• 60 V

يتجه المجال الكهربائي من خط 120 V نحو خط 60 V.

لماذا؟

تخيّل إطلاق شحنة اختبار موجبة صغيرة. القوة الكهربائية المؤثرة في الشحنة الموجبة تكون في اتجاه المجال الكهربائي.

ومع تسارع الشحنة الموجبة، تزداد طاقتها الحركية. ولا بد أن تأتي هذه الطاقة من مكان ما، ولذلك تنخفض طاقة وضعها الكهربائية.

بالنسبة إلى شحنة موجبة:

\[ \Delta U=q\Delta V \]

وبما أن \(q>0\)، فإن انخفاض \(U\) يعني انخفاض \(V\).

إذًا اتجاه المجال هو:

\[ \boxed{\text{جهد مرتفع} \rightarrow \text{جهد منخفض}} \]

إذا أردت ربط ذلك مباشرةً بالرسومات المعتادة لخطوط المجال الكهربائي، فراجع خطوط المجال الكهربائي حول شحنة نقطية: دليل فيزياء HSC.

06فخ الشحنة السالبة

هناك استنتاج مغرٍ جدًا:

“تتحرك الشحنات دائمًا من الجهد المرتفع إلى الجهد المنخفض.”

هذا غير صحيح.

اتجاه المجال الكهربائي يكون دائمًا من الجهد الأعلى نحو الجهد الأدنى.

لكن القوة المؤثرة في شحنة تعتمد على إشارة الشحنة:

\[ \vec F=q\vec E \]

تتعرض الشحنة الموجبة لقوة في اتجاه المجال.

وتتعرض الشحنة السالبة لقوة عكس اتجاه المجال.

لذلك يمكن لإلكترون يُطلق بحرية أن يتسارع نحو جهد كهربائي أعلى.

هل يعني ذلك أن طاقة وضعه الكهربائية تزداد؟

تنبأ قبل أن تتابع.

بالنسبة إلى الإلكترون، \(q<0\). فإذا تحرك إلى جهد أعلى، فإن \(\Delta V>0\)، ولكن:

\[ \Delta U=q\Delta V \]

عدد سالب مضروب في عدد موجب يعطي عددًا سالبًا. ولذلك:

\[ \Delta U<0 \]

إذًا تستمر طاقة وضعه الكهربائية في الانخفاض.

هذا هو الجزء الذي يستحق التذكر:

• يتجه المجال الكهربائي نحو \(V\) الأقل
• تتعرض الشحنات الموجبة لقوة في اتجاه المجال
• تتعرض الشحنات السالبة لقوة عكس اتجاه المجال
• يمكن لشحنة تتسارع بحرية أن تفقد طاقة وضع في كلتا الحالتين

إشارة \(q\) هي التي تربط الجهد بطاقة الوضع.

07تباعد خطوط تساوي الجهد يخبرك عن شدة المجال

يمكن لمخططات تساوي الجهد أن تخبرك بأكثر من اتجاه المجال.

افترض أن خطين متجاورين لتساوي الجهد يختلفان بمقدار 10 V.

في منطقة ما تفصل بينهما مسافة 1 mm. وفي مكان آخر تفصل بينهما 5 cm.

أي المنطقتين لها مجال كهربائي أقوى؟

منطقة 1 mm.

فالتغير نفسه في الجهد يحدث عبر مسافة أقصر بكثير. وهذا يعني أن الجهد يتغير بسرعة أكبر مع الموضع.

بالنسبة إلى مجال كهربائي منتظم، يكون المقدار:

\[ E=\frac{|\Delta V|}{d} \]

حيث:

• \(E\) هي شدة المجال الكهربائي بوحدة \(\text{V m}^{-1}\)، وهي مكافئة لـ \(\text{N C}^{-1}\)
• \(|\Delta V|\) هو مقدار فرق الجهد بوحدة الفولت
• \(d\) هي المسافة المقاسة في اتجاه المجال، بوحدة المتر

بالنسبة إلى مجال غير منتظم، يمكن لهذه المعادلة مع ذلك أن تصف المجال تقريبًا عبر مسافة صغيرة جدًا. وبصورة أعم، يكون المجال أقوى حيث تكون خطوط تساوي الجهد أقرب إلى بعضها.

إذًا يقدم مخطط تساوي الجهد معلومتين:

08لماذا يجب قياس المسافة عموديًا على خطوط تساوي الجهد؟

افترض أن خطي تساوي الجهد نفسيهما، 90 V و30 V، تفصل بينهما مسافة 4.0 cm، لكنك تنتقل بينهما قطريًا على طول مسار طوله 7.0 cm.

هل ينبغي أن تحسب:

\[ E=\frac{60}{0.070}? \]

لا.

المجال الكهربائي عمودي على خطوط تساوي الجهد. وفقط الإزاحة في هذا الاتجاه هي التي تغيّر الجهد.

أما الحركة الجانبية الإضافية فلا تسهم في فرق الجهد.

وهذا هو السبب نفسه الذي يجعل المشي جانبيًا على امتداد خط كنتور في خريطة طبوغرافية لا يغير ارتفاعك. وتشبيه خطوط الكنتور مفيد لأن لكل خط كنتور ارتفاعًا واحدًا، تمامًا كما أن لكل خط تساوي جهد قيمة جهد واحدة.

لكن التشبيه لا يعود صالحًا عندما تصبح إشارة الشحنة مهمة. فالارتفاع لا يعكس تأثيره لأنك استبدلت جسمًا موجبًا بآخر سالب. أما طاقة الوضع الكهربائية فيمكن أن تفعل ذلك.

بالنسبة إلى مجال منتظم، استخدم المسافة العمودية بين خطوط تساوي الجهد:

\[ E=\frac{|\Delta V|}{d_\perp} \]

وهذه التفاصيل الهندسية موضع سهل لفقدان الدرجات.

10طريقة موثوقة لقراءة مخطط تساوي الجهد

عندما تُعطى مخططًا غير مألوف، استخدم هذا الترتيب.

1. اقرأ قيم الجهد أولًا. حدّد المناطق ذات الجهد الأعلى والأدنى.
2. ارسم المجال الكهربائي عموديًا على خطوط تساوي الجهد.
3. وجّه المجال من \(V\) المرتفع إلى \(V\) المنخفض.
4. قارن التباعد. خطوط تساوي الجهد الأقرب تعني مقدارًا أكبر للمجال.
5. بعد ذلك فقط فكّر في جسيم مشحون. تتعرض الشحنات الموجبة لقوة في اتجاه \(\vec E\)، بينما تتعرض الشحنات السالبة لقوة عكس \(\vec E\).
6. استخدم \(\Delta U=q\Delta V\) إذا كان السؤال عن الطاقة.

يمنع هذا الترتيب أحد أكثر الأخطاء شيوعًا: استخدام حركة إلكترون لتحديد اتجاه المجال الكهربائي. يُعرَّف اتجاه المجال باستخدام شحنة اختبار موجبة، وليس إلكترونًا.

11الأسئلة والحلول

السؤال 1

تتحرك شحنة موجبة مقدارها \(2.5\times10^{-6}\text{ C}\) من نقطة عند 70 V إلى نقطة عند 20 V.

احسب التغير في طاقة وضعها الكهربائية، واذكر ما إذا كانت طاقة وضعها تزداد أم تنخفض.

الحل 1

تنخفض طاقة الوضع الكهربائية بمقدار \(1.25\times10^{-4}\text{ J}\).

احسب أولًا تغير الجهد:

\[ \Delta V=V_f-V_i=20-70=-50\text{ V} \]

استخدم:

\[ \Delta U=q\Delta V \]

بالتعويض:

\[ \Delta U=(2.5\times10^{-6})(-50) =-1.25\times10^{-4}\text{ J} \]

إذًا:

\[ \boxed{\Delta U=-1.25\times10^{-4}\text{ J}} \]

تعني الإشارة السالبة أن الشحنة الموجبة فقدت طاقة وضع كهربائية. وهذا منطقي لأن الشحنة الموجبة تكون لها طاقة وضع أقل عند جهد كهربائي أقل.

السؤال 2

ثلاثة خطوط متوازية لتساوي الجهد تحمل القيم 180 V و120 V و60 V. المسافة العمودية من خط 180 V إلى خط 120 V هي 2.0 cm. والمسافة من خط 120 V إلى خط 60 V هي 5.0 cm.

قارن متوسطي مقدار المجال الكهربائي في المنطقتين، واذكر اتجاه المجال.

الحل 2

المجال الكهربائي أقوى بين 180 V و120 V. وفي كلتا المنطقتين، يتجه نحو الجهد المتناقص، من 180 V باتجاه 60 V.

بالنسبة إلى المنطقة الأولى:

\[ |\Delta V|=60\text{ V} \]

و:

\[ d=2.0\text{ cm}=0.020\text{ m} \]

لذلك:

\[ E_1=\frac{60}{0.020} =3.0\times10^3\text{ V m}^{-1} \]

بالنسبة إلى المنطقة الثانية:

\[ |\Delta V|=60\text{ V} \]

و:

\[ d=5.0\text{ cm}=0.050\text{ m} \]

لذلك:

\[ E_2=\frac{60}{0.050} =1.2\times10^3\text{ V m}^{-1} \]

إذًا:

\[ \boxed{E_1=3.0\times10^3\text{ V m}^{-1}} \]

و:

\[ \boxed{E_2=1.2\times10^3\text{ V m}^{-1}} \]

المنطقة الأولى لها مقدار مجال أكبر لأن تغير الجهد نفسه، وهو 60 V، يحدث عبر مسافة أقصر.

اتجاه المجال عمودي على خطوط تساوي الجهد ومن الجهد الأعلى إلى الجهد الأدنى.

السؤال 3

يُطلق جسيم سالب الشحنة من السكون في مجال كهربائي. ويبدأ في التحرك من خط تساوي جهد عند 25 V نحو خط تساوي جهد عند 55 V.

يقول طالب: “لا يمكن أن يحدث ذلك بصورة طبيعية لأن المجالات الكهربائية تدفع الشحنات دائمًا نحو جهد أقل.”

اشرح الخطأ في استدلال الطالب. واذكر ما يحدث لطاقة الوضع الكهربائية للجسيم أثناء حركته.

الحل 3

يمكن للجسيم أن يتسارع بصورة طبيعية نحو خط تساوي الجهد 55 V، وتنخفض طاقة وضعه الكهربائية.

خطأ الطالب هو الخلط بين اتجاه المجال الكهربائي واتجاه القوة لكل شحنة.

يتجه المجال الكهربائي من الجهد الأعلى إلى الجهد الأدنى. وفي هذه الحالة، يعني ذلك أن المجال يتجه من 55 V نحو 25 V.

لكن:

\[ \vec F=q\vec E \]

بالنسبة إلى شحنة سالبة، \(q<0\)، ولذلك تكون القوة عكس اتجاه المجال الكهربائي. ومن ثم يمكن للجسيم السالب أن يتسارع من 25 V نحو 55 V.

تغير جهده موجب:

\[ \Delta V=55-25=+30\text{ V} \]

لكن:

\[ \Delta U=q\Delta V \]

وبما أن \(q\) سالبة و\(\Delta V\) موجبة:

\[ \Delta U<0 \]

لذلك تنخفض طاقة وضعه الكهربائية.

الفكرة الخاطئة المغرية هي أن “الجهد الأقل” و”طاقة الوضع الأقل” يعنيان دائمًا الشيء نفسه. وهذا صحيح بالنسبة إلى الشحنة الموجبة، لكنه ليس صحيحًا بالنسبة إلى الشحنة السالبة.

السؤال 4

تحتوي خريطة لتساوي الجهد على خطين يحملان القيمتين 100 V و60 V. وفي أحد المواضع تكون أقصر مسافة فاصلة بينهما 1.5 cm.

يتحرك جسيم من خط 100 V إلى خط 60 V على مسار منحني طوله الإجمالي 6.0 cm.

يحسب طالب المجال الكهربائي كما يلي:

\[ E=\frac{40}{0.060}=6.7\times10^2\text{ V m}^{-1} \]

اشرح لماذا لا يوجد ما يبرر هذا الحساب. وإذا أمكن اعتبار المجال منتظمًا تقريبًا في المنطقة الصغيرة التي تفصل فيها بين الخطين مسافة 1.5 cm، فقدّر مقداره هناك.

الحل 4

استخدام الطالب لطول المسار 6.0 cm غير صحيح. مقدار المجال المحلي يساوي تقريبًا \(2.7\times10^3\text{ V m}^{-1}\).

يتغير الجهد تبعًا للإزاحة في اتجاه المجال الكهربائي. والمجال الكهربائي عمودي على خطوط تساوي الجهد، لذلك تكون المسافة ذات الصلة هي المسافة العمودية بينهما، لا المسافة الكلية التي يقطعها الجسيم.

فرق الجهد هو:

\[ |\Delta V|=|60-100|=40\text{ V} \]

المسافة العمودية الفاصلة هي:

\[ d=1.5\text{ cm}=0.015\text{ m} \]

إذا كان المجال منتظمًا تقريبًا عبر تلك المنطقة الصغيرة:

\[ E=\frac{|\Delta V|}{d} =\frac{40}{0.015} =2.67\times10^3\text{ V m}^{-1} \]

لذلك:

\[ \boxed{E\approx2.7\times10^3\text{ V m}^{-1}} \]

الفكرة الأعمق هي أن فرق الجهد يعتمد فقط على موضعي البداية والنهاية، وليس على المسار المتخذ بينهما. فالمسار المنحني الطويل لا يعني تلقائيًا أن المجال الكهربائي أصغر.

السؤال 5

يُظهر رسم عدة خطوط منحنية لتساوي الجهد. خطان متجاوران يحملان القيمتين 20 V و40 V. وهما متقاربان جدًا عند النقطة P، لكن المسافة بينهما أكبر بكثير عند النقطة Q.

تُطلق شحنة موجبة وإلكترون، كلٌّ على حدة، من السكون بالقرب من P.

من دون معرفة الشكل الدقيق للخطوط، اذكر:

1. كيف يقارن مقدار المجال الكهربائي بالقرب من P بمقداره بالقرب من Q
2. اتجاه المجال الكهربائي بالقرب من P
3. الاتجاه الذي تتسارع فيه الشحنة الموجبة في البداية
4. الاتجاه الذي يتسارع فيه الإلكترون في البداية
5. ما إذا كان كل جسيم يميل في البداية نحو طاقة وضع كهربائية أعلى أم أقل

الحل 5

المجال أقوى بالقرب من P، ويتجه من خط تساوي الجهد 40 V نحو خط تساوي الجهد 20 V، وتتسارع الشحنة الموجبة نحو جهد أقل، بينما يتسارع الإلكترون نحو جهد أعلى، ويمكن لكلا الجسيمين أن يفقد طاقة وضع كهربائية.

أولًا، يعني تقارب خطوط تساوي الجهد تغيرًا أكبر في الجهد لكل وحدة مسافة. لذلك:

\[ \boxed{E_P>E_Q} \]

المجال الكهربائي عمودي على خطوط تساوي الجهد ويتجه من الجهد الأعلى إلى الجهد الأدنى. لذلك، بالقرب من P، يتجه من خط 40 V نحو خط 20 V.

بالنسبة إلى الشحنة الموجبة:

\[ \vec F=q\vec E \]

مع \(q>0\)، ولذلك تكون القوة والتسارع في اتجاه المجال الكهربائي. فتتسارع في البداية نحو خط 20 V.

ينخفض جهدها، ولذلك \(\Delta V<0\). وبما أن \(q>0\):

\[ \Delta U=q\Delta V<0 \]

تنخفض طاقة وضعها الكهربائية.

بالنسبة إلى الإلكترون، \(q<0\)، ولذلك تكون قوته عكس اتجاه المجال الكهربائي. فيتسارع في البداية نحو خط 40 V، وهو عند جهد كهربائي أعلى.

بالنسبة إلى الإلكترون، \(\Delta V>0\)، لكن \(q<0\)، ولذلك:

\[ \Delta U=q\Delta V<0 \]

تنخفض طاقة وضعه الكهربائية أيضًا.

ولهذا يجب إبقاء اتجاه المجال وحركة الجسيم والجهد الكهربائي وطاقة الوضع الكهربائية مفاهيم منفصلة. وما إن تفصل بين هذه الأفكار الأربعة، تصبح مخططات تساوي الجهد أسهل بكثير في القراءة.

الصلة المفيدة التالية هي العلاقة الكمية بين فرق الجهد وشدة المجال الكهربائي. في المجال المنتظم، تكون خطوط تساوي الجهد متساوية التباعد، وتصبح العلاقة \(E=|\Delta V|/d\)، وهي موضحة بمزيد من التفصيل في المجال الكهربائي وفرق الجهد باستخدام E = V/d.