等高與不等高落點下的拋體飛行時間

將兩個拋體從同一點踢出，給它們相同的向上速度，但讓其中一個具有大得多的水平速度。哪一個會在空中停留得更久？

如果落地點與發射點等高，答案是兩者都不會較久。它們會同時落地。水平速度會改變拋體落在哪裡，卻不會改變它何時回到原來的高度。

這個結果很有用，因為它能把二維拋體問題化成一個簡單得多的問題：垂直方向上發生了甚麼？不過，這個捷徑只有在拋體落回與發射點相同高度時才成立。如果落點在懸崖下方、山谷中或較高的平台上，我們就必須更仔細處理。

01飛行時間主要是垂直運動的問題

拋體的水平運動和垂直運動會同時發生。

可以把這兩種運動想像成同赴一次約會、卻幾乎不交談的兩個人。它們共用同一個時鐘，但重力只會影響垂直方向的那一個。水平運動決定拋體在哪裡，而垂直運動決定它有多高。

這個圖像很有用，但也有其限制。如果落地高度本身取決於水平位置，例如落在斜坡上，兩種運動便會透過落地條件連繫起來。我們稍後會再討論這一點。

對一般的 HSC 拋體題目，除非題目另有說明，我們假設：

• 空氣阻力可忽略
• 重力加速度為常數
• \(g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)，方向向下
• 水平加速度為零。

如果拋體以速率 \(u\)、相對水平線向上成 \(\theta\) 角發射，其初始垂直速度為

\[
u_y=u\sin\theta
\]

而其初始水平速度為

\[
u_x=u\cos\theta.
\]

如果你對把發射速度分解成分量仍不太熟悉，可以先複習 HSC 物理中的拋體初速度分量，再繼續往下學習。

02控制飛行時間的方程

取向上為正方向。令

• \(u_y\) 為初始垂直速度，單位為 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)
• \(t\) 為發射後經過的時間，單位為秒
• \(g\) 為重力加速度的大小，單位為 \(\mathrm{m\,s^{-2}}\)
• \(\Delta y=y_f-y_i\) 為最終高度減去初始高度，單位為米。

垂直位移方程為

\[
\Delta y=u_yt-\frac{1}{2}gt^2.
\]

這是求飛行時間的主要方程。

留意其中缺少了甚麼：水平速度。對於位於固定高度的落地面，飛行時間由垂直運動決定。

03發射高度與落地高度相同

假設拋體落在與發射點完全相同的高度。

那麼

\[
\Delta y=0.
\]

把它代入垂直位移方程：

\[
0=u_yt-\frac{1}{2}gt^2.
\]

提出 \(t\)：

\[
0=t\left(u_y-\frac{1}{2}gt\right).
\]

有兩個解：

\[
t=0
\]

或

\[
t=\frac{2u_y}{g}.
\]

第一個解並不是甚麼神秘的額外飛行時間。它只是發射的瞬間。第二個解才是拋體回到原來高度的時刻。

因此，對於向上發射並落回相同高度的拋體，

\[
\boxed{T=\frac{2u_y}{g}}
\]

其中 \(T\) 是總飛行時間。

由於 \(u_y=u\sin\theta\)，

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

為甚麼飛行時間是到達最大高度所需時間的兩倍？

在最大高度，垂直速度為零。

利用

\[
v_y=u_y-gt,
\]

可得

\[
0=u_y-gt_{\text{up}},
\]

因此

\[
t_{\text{up}}=\frac{u_y}{g}.
\]

對於同高度落地的情況，下降部分在垂直方向上與上升部分對稱。因此，

\[
T=2t_{\text{up}}=\frac{2u_y}{g}.
\]

這種對稱性來自恆定的重力加速度，以及相同的起始與終止高度。這並不代表每一個拋體的上升時間和下降時間都一定相等。

04落地高度不同時會有甚麼改變？

現在讓同一個拋體從懸崖上發射。

你還會使用

\[
T=\frac{2u_y}{g}?
\]

不會。這個方程給出的是拋體回到發射高度所需的時間。之後，拋體還會繼續向下落到較低的地面。

這是拋體運動中最常見的錯誤之一：看到物體先上升再下降，便自動把到達最大高度所需的時間乘以二。

正確的方法是使用實際的垂直位移。

例如：

• 落點比發射點低 \(12\ \mathrm{m}\)，表示 \(\Delta y=-12\ \mathrm{m}\)
• 落點比發射點高 \(5\ \mathrm{m}\)，表示 \(\Delta y=+5\ \mathrm{m}\)。

必須保留正負號。不要把所有位移都變成正的距離。

從

\[
\Delta y=u_yt-\frac{1}{2}gt^2,
\]

重新整理：

\[
\frac{1}{2}gt^2-u_yt+\Delta y=0.
\]

這是一個關於 \(t\) 的二次方程。使用二次公式可得

\[
t=\frac{u_y\pm\sqrt{u_y^2-2g\Delta y}}{g}.
\]

不要把 \(+\) 號死記成「飛行時間要選的符號」。應檢視各個根，選出符合實際物理情況的時間。

05落點高於發射點時情況更微妙

現在假設你想知道拋體何時位於發射點上方 \(8\ \mathrm{m}\)。

你可能會得到兩個正的時間。

為甚麼？

拋體可以在向上運動時通過同一個較高的位置一次，然後在向下運動時再次通過。

對於

\[
t=\frac{u_y\pm\sqrt{u_y^2-2g\Delta y}}{g},
\]

根號內的式子

\[
u_y^2-2g\Delta y
\]

能告訴我們一些有用的資訊。

如果它是：

• 正數，拋體可能會兩次通過該高度
• 零，目標高度正好是最大高度
• 負數，拋體永遠無法到達該高度。

這與計算拋體的最大高度時所用的物理原理相同。

還有另一個需要注意的地方。兩個垂直方向的通過時間，並不會自動代表有兩個可能的落地時間。

假設一個狹窄的陽台只存在於 \(x=40\ \mathrm{m}\) 至 \(x=50\ \mathrm{m}\) 之間。拋體可能先在 \(x=5\ \mathrm{m}\) 處通過陽台的高度，再在 \(x=45\ \mathrm{m}\) 處通過相同高度。只有第二次通過才可能與該陽台碰撞。

因此，對於有限長的平台：

• 用垂直運動找出拋體何時位於平台的高度
• 用 \(x=u_xt\) 求出各個時刻的水平位置
• 找出第一次真正與平台相交的位置。

這比單純選擇二次方程中較大的根更精確。

06簡明判斷規則

對於從高度 \(h\) 水平發射的情況，垂直方程變成

\[
-h=-\frac{1}{2}gt^2,
\]

所以

\[
T=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
\]

同樣地，水平速度不會影響物體落下固定垂直距離所需的時間。

07看似方便但會失效的捷徑

捷徑只有在你知道其適用條件時才真正有用。

「下降時間等於上升時間」在拋體最後回到發射高度時是正確的。如果它落在發射點下方，下降過程就會持續更久。

「水平速度永遠不會影響飛行時間」也不完整。對固定高度的水平落地面而言，水平速度確實不影響飛行時間。但如果落地高度取決於水平位置，例如斜坡地面，水平運動就可能改變拋體何時碰到表面。

「使用二次公式時永遠選正號」同樣不是可靠規則。落點低於發射點時，通常會得到一個正根和一個負根，但較高的目標可能會產生兩個正根。實際落地面的幾何位置會決定哪一次通過才重要。

最後，不要在計算進行到一半時，把帶正負號的垂直速度改成速率。如果取向上為正，而拋體正在向下移動，那麼它的垂直速度就是負數。這個正負號會告訴方程拋體正在朝哪個方向運動。

08題目與解答

題目 1

一個拋體從水平地面以 \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率、相對水平線向上 \(30.0^\circ\) 發射。它落回相同高度。

計算其飛行時間。取 \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

解答 1

拋體的飛行時間為 \(2.04\ \mathrm{s}\)。

首先求初始垂直速度：

\[
u_y=u\sin\theta
=(20.0)\sin30.0^\circ
=10.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

由於拋體落回發射高度，

\[
T=\frac{2u_y}{g}.
\]

因此，

\[
T=\frac{2(10.0)}{9.8}
=2.04\ \mathrm{s}.
\]

一個很容易犯的錯誤，是把完整的發射速率 \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 代入飛行時間公式。只有垂直分量會控制拋體回到相同高度所需的時間。

題目 2

一個拋體從地面以 \(24.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率、相對水平線向上 \(55.0^\circ\) 發射。

一個水平平台位於發射點上方 \(8.0\ \mathrm{m}\)，並從 \(x=45.0\ \mathrm{m}\) 延伸至 \(x=55.0\ \mathrm{m}\)。

忽略空氣阻力和平台的厚度。

拋體會撞上平台嗎？如果會，求它首次接觸平台前的飛行時間。如果不會，求它回到地面高度所需的時間。

解答 2

拋體會在下降過程中撞上平台，時間為發射後 \(3.55\ \mathrm{s}\)。

分解初速度：

\[
u_x=(24.0)\cos55.0^\circ
=13.8\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\]

\[
u_y=(24.0)\sin55.0^\circ
=19.7\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

在平台高度，

\[
\Delta y=8.0\ \mathrm{m}.
\]

使用垂直方向的方程：

\[
8.0=(19.7)t-4.90t^2.
\]

重新整理，

\[
4.90t^2-19.7t+8.0=0.
\]

兩個根約為

\[
t=0.460\ \mathrm{s}
\]

和

\[
t=3.55\ \mathrm{s}.
\]

兩者在垂直運動上都有實際物理意義。第一次是在上升途中，第二次是在下降途中。

但平台並不是在 \(y=8.0\ \mathrm{m}\) 的所有位置都存在，因此我們必須檢查水平位置。

當 \(t=0.460\ \mathrm{s}\) 時，

\[
x=u_xt=(13.8)(0.460)=6.33\ \mathrm{m}.
\]

那裡沒有平台。

當 \(t=3.55\ \mathrm{s}\) 時，

\[
x=(13.8)(3.55)=48.9\ \mathrm{m}.
\]

這位於平台從 \(45.0\ \mathrm{m}\) 至 \(55.0\ \mathrm{m}\) 的範圍內。因此，拋體在

\[
T=3.55\ \mathrm{s}
\]

時接觸平台。

一個看似合理的做法，是單純選擇較大的正根，因為它「看起來像落地時間」。在這題中，這剛好會得到正確的接觸時間，但它並不是普遍有效的方法。真正具決定性的條件是平台的水平位置。

題目 3

一個拋體從地面發射。

它在上升時通過 \(15.0\ \mathrm{m}\) 的高度，然後恰好在 \(1.00\ \mathrm{s}\) 後於下降時再次通過同一高度。

題目沒有提供發射速率或角度。

求：

• 拋體的最大高度
• 其初始垂直速度
• 它回到地面高度的總飛行時間
• 如果實際落地面改為發射點下方 \(5.0\ \mathrm{m}\)，其總飛行時間。

取 \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

解答 3

最大高度為 \(16.2\ \mathrm{m}\)，初始垂直速度為 \(17.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，回到同高度的飛行時間為 \(3.64\ \mathrm{s}\)，而落到發射點下方 \(5.0\ \mathrm{m}\) 的表面所需時間為 \(3.90\ \mathrm{s}\)。

關鍵在於，拋體會兩次通過同一高度，而最高點在時間上恰好位於兩次通過之間的中點。

兩次通過相隔 \(1.00\ \mathrm{s}\)，因此每一次通過與到達最大高度的時刻相差

\[
0.500\ \mathrm{s}.
\]

在最大高度，\(v_y=0\)。因此，在任一次通過 \(15.0\ \mathrm{m}\) 高度時，垂直速度的大小為

\[
|v_y|=g(0.500)
=(9.8)(0.500)
=4.90\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

現在考慮向上通過的那一次。從 \(15.0\ \mathrm{m}\) 到最大高度，使用

\[
v_y^2=u_y^2+2a\Delta y,
\]

其中，在這一小段運動中，初始垂直速度為 \(4.90\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，最終垂直速度為零，而 \(a=-9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

因此，

\[
0=(4.90)^2+2(-9.8)\Delta y,
\]

所以

\[
\Delta y=1.225\ \mathrm{m}.
\]

因此，最大高度為

\[
H=15.0+1.225=16.225\ \mathrm{m}
\approx16.2\ \mathrm{m}.
\]

現在從發射高度反推至最大高度：

\[
0=u_y^2+2(-9.8)(16.225).
\]

因此，

\[
u_y=\sqrt{2(9.8)(16.225)}
=17.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

若回到發射高度，

\[
T=\frac{2u_y}{g}
=\frac{2(17.8)}{9.8}
=3.64\ \mathrm{s}.
\]

然而，如果落地面位於發射點下方 \(5.0\ \mathrm{m}\)，

\[
\Delta y=-5.0\ \mathrm{m}.
\]

因此，

\[
-5.0=(17.8)t-4.90t^2,
\]

或

\[
4.90t^2-17.8t-5.0=0.
\]

解方程可得正根

\[
t=3.90\ \mathrm{s}.
\]

一個很容易犯的錯誤，是把兩次通過 \(15.0\ \mathrm{m}\) 高度之間的 \(1.00\ \mathrm{s}\)，當成到達最大高度所需的時間，或整段飛行時間的一半。兩者都不是。真正重要的是最高點兩側的對稱性：在兩次通過相同高度的時刻之間，最高點在時間上位於正中間。

題目 4

一個拋體從懸崖邊緣射出。恰好在 \(2.00\ \mathrm{s}\) 後，它向下運動並再次通過發射高度。

海面位於發射點下方 \(9.80\ \mathrm{m}\)。拋體的水平速度恆定為 \(12.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

一名學生提出：

它需要 \(2.00\ \mathrm{s}\) 回到懸崖的高度。然後它只需要再下落 \(9.80\ \mathrm{m}\)，所以我可以加上從靜止開始自由落體所需的時間。

求：

• 實際的總飛行時間
• 從懸崖到撞擊點的水平距離
• 撞擊前一刻的垂直速度
• 準確說明學生的方法為甚麼失效。

解答 4

實際飛行時間為 \(2.73\ \mathrm{s}\)，拋體落在距懸崖水平距離 \(32.8\ \mathrm{m}\) 的位置，而撞擊時的垂直速度約為向下 \(17.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

在 \(2.00\ \mathrm{s}\) 後回到發射高度這項資訊，可以讓我們求出初始垂直速度。

對於回到相同高度的情況，

\[
2.00=\frac{2u_y}{9.8}.
\]

因此，

\[
u_y=9.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

在之後任何時刻，

\[
\Delta y=u_yt-\frac12gt^2.
\]

在海面處，

\[
\Delta y=-9.80\ \mathrm{m},
\]

所以

\[
-9.80=(9.80)t-4.90t^2.
\]

除以 \(4.90\)：

\[
-2=2t-t^2.
\]

因此，

\[
t^2-2t-2=0.
\]

正根為

\[
t=1+\sqrt3
=2.73\ \mathrm{s}.
\]

水平距離為

\[
x=u_xt
=(12.0)(2.73)
=32.8\ \mathrm{m}.
\]

撞擊時的垂直速度為

\[
v_y=u_y-gt.
\]

因此，

\[
v_y
=9.80-(9.8)(2.73)
=-17.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

負號表示方向向下。

學生把運動分成兩段的想法本身並不一定錯。問題出在第二段所使用的初始條件。

當拋體在 \(2.00\ \mathrm{s}\) 後回到懸崖高度時，它並不是瞬間靜止。它的垂直速度為

\[
v_y=9.80-(9.8)(2.00)
=-9.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

此時它已經以 \(9.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速度向下運動。把最後的 \(9.80\ \mathrm{m}\) 視為從靜止開始的自由落體，就等於忽略了這個速度，因此會預測出過長的額外時間。

這對把運動分成不同階段來分析是一個很有用的提醒：當一個階段結束時，它的最終速度就是下一個階段的初始速度。

題目 5

兩個拋體從一個筆直山坡上的同一點發射，而山坡相對水平線向上傾斜 \(20.0^\circ\)。

兩個拋體具有相同的初始垂直速度：

\[
u_y=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

拋體 A 的

\[
u_{x,A}=5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\]

而拋體 B 的

\[
u_{x,B}=10.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

山坡無限延伸。

一名學生認為，由於兩個拋體的初始垂直速度相同，因此它們的飛行時間必定相同。

求每個拋體再次與山坡相交之前的飛行時間。

接著，假設山坡改為以 \(20.0^\circ\) 向下傾斜。求新的飛行時間，並解釋為甚麼兩者的先後次序會反轉。

最後，說明在平地極限下會發生甚麼。

解答 5

在向上傾斜的山坡上，拋體 A 在空中停留 \(2.69\ \mathrm{s}\)，拋體 B 則為 \(2.32\ \mathrm{s}\)；在向下傾斜的山坡上，A 在空中停留 \(3.43\ \mathrm{s}\)，B 則為 \(3.80\ \mathrm{s}\)。學生以相同 \(u_y\) 推斷相同飛行時間的論證之所以失效，是因為落地高度不再固定。

把發射點設為原點。

對於以 \(20.0^\circ\) 向上傾斜的山坡，

\[
y=x\tan20.0^\circ.
\]

任一拋體的垂直位置為

\[
y=15.0t-4.90t^2.
\]

其水平位置為

\[
x=u_xt.
\]

在撞擊時，拋體與山坡必須具有相同的 \(x\) 和 \(y\)，因此

\[
15.0t-4.90t^2=u_xt\tan20.0^\circ.
\]

提出 \(t\)：

\[
t\left(15.0-u_x\tan20.0^\circ-4.90t\right)=0.
\]

根 \(t=0\) 是發射瞬間。下一次相交發生在

\[
t=\frac{15.0-u_x\tan20.0^\circ}{4.90}.
\]

對拋體 A，

\[
t_A
=\frac{15.0-(5.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=2.69\ \mathrm{s}.
\]

對拋體 B，

\[
t_B
=\frac{15.0-(10.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=2.32\ \mathrm{s}.
\]

因此，水平速度較快的拋體較早落地。

為甚麼？由於 B 水平移動得更快，它下方那段向上傾斜的山坡高度也會更快增加。B 在碰到地面之前，不需要在垂直方向下降那麼遠。

現在把斜坡方向反轉。對於以 \(20.0^\circ\) 向下傾斜的山坡，

\[
y=-x\tan20.0^\circ.
\]

撞擊條件變成

\[
15.0t-4.90t^2=-u_xt\tan20.0^\circ.
\]

對非零的根，

\[
t=\frac{15.0+u_x\tan20.0^\circ}{4.90}.
\]

因此拋體 A 有

\[
t_A
=\frac{15.0+(5.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=3.43\ \mathrm{s},
\]

而拋體 B 有

\[
t_B
=\frac{15.0+(10.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=3.80\ \mathrm{s}.
\]

現在，水平速度較快的拋體會在空中停留更久。由於它在水平方向移動得更遠，它到達的下坡表面位置也更低，因此在撞擊前必須下落更遠。

平地極限能清楚顯示背後隱藏的假設。把斜坡角設為 \(0^\circ\)：

\[
\tan0^\circ=0.
\]

兩個式子都化為

\[
t=\frac{15.0}{4.90}
=3.06\ \mathrm{s}.
\]

這正好就是

\[
T=\frac{2u_y}{g}
=\frac{2(15.0)}{9.8}
=3.06\ \mathrm{s}.
\]

因此，「相同垂直速度代表相同飛行時間」這句話的本質並不只是關於拋體。它其實是關於具有相同垂直運動，並且落在同一個固定高度上的拋體。

一旦表面傾斜，水平位置便會決定地面的高度，因此在判斷碰撞時間時，水平運動和垂直運動便不能再彼此分開處理。

09知道飛行時間後還可以計算甚麼

一旦知道正確的飛行時間，其他幾個拋體運動量便很容易求得。

在水平速度恆定的情況下，

\[
x=u_xt,
\]

因此，利用飛行時間可以求出拋體落地時的水平位置。它的垂直撞擊速度可由

\[
v_y=u_y-gt.
\]

求得。

之後便可以把這兩個速度分量合成，求出撞擊速率和方向。

下一個重要步驟，是理解發射角改變時會發生甚麼。增大角度通常會增加 \(u_y\)，因而傾向增加飛行時間，但同時也會減少 \(u_x\)。正是這兩種互相競爭的效應，形成了熟悉的拋體發射角、高度、飛行時間與射程之間的關係。