拋射體的最終速度：HSC 物理指南
學習如何重新合成水平與垂直速度分量，以求出拋射體的最終速率和方向，並透過 HSC 題型例題掌握解題方法。
一個拋射體即將撞到地面。在那一瞬間，它以 \(17.3\text{ m s}^{-1}\) 向右運動，同時以 \(9.6\text{ m s}^{-1}\) 向下運動。它的最終速度是多少？
一個很誘人的答案是 \(17.3-9.6=7.7\text{ m s}^{-1}\)。但這兩個數值描述的是互相垂直方向上的運動，因此不能直接用普通加減法處理。實際的速度方向是斜向的。
繼續閱讀之前，先預測一下：最終速率應該小於 \(17.3\text{ m s}^{-1}\)、等於它，還是大於它？
一定會更大。拋射體同時具有水平運動和垂直運動。把這些分量重新合成，是許多 HSC 拋射體題目的最後一步。
01從兩個分量合成一個速度
假設我們把向右定為正 \(x\) 方向，把向上定為正 \(y\) 方向。
拋射體的速度便可以用兩個分量表示：
- \(v_x\)：水平速度分量，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)
- \(v_y\)：垂直速度分量，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)
如果拋射體向右及向下運動，\(v_x\) 為正，而 \(v_y\) 為負。
例如，
\[ v_x=17.3\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y=-9.6\text{ m s}^{-1} \]
並不表示一個速度正在抵消另一個速度。這兩個分量描述的是同一個運動。
想像一個長方形。\(v_x\) 是它的水平邊，\(v_y\) 是它的垂直邊，而實際的速度向量則是對角線。
由於兩個分量互相垂直，因此速度向量的大小，也就是速率 \(v\)，可利用畢氏定理求得：
\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \]
向下的 \(v_y\) 所帶的負號在平方後會消失。這是合理的：速率是一個大小，因此不可能是負數。
方向則可利用三角函數求得。如果拋射體向右運動，
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right) \]
其中 \(\theta\) 是相對於水平線向上或向下的角度。
絕對值 \(|v_y|\) 給出垂直分量的大小。之後再根據 \(v_y\) 的正負號，判斷方向是在水平線上方還是下方。
因此，如果 \(v_y<0\)，可以寫成：
水平線下方 \(29^\circ\)。
在判斷方向之前，不要把正負號丟掉。
02最終分量從哪裡來
重新合成分量通常是最後一步，而不是整個拋射運動計算的全部。
在標準 HSC 拋射體模型中，假設空氣阻力可忽略：
\[ a_x=0 \]
因此水平速度保持不變：
\[ v_x=u_x \]
其中 \(u_x\) 是初始水平速度分量。
在垂直方向上，
\[ a_y=-g \]
如果把向上定為正方向，則 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)。
因此，
\[ v_y=u_y-gt \]
其中：
- \(u_y\) 是初始垂直速度分量
- \(t\) 是經過的時間，單位為秒
- \(v_y\) 是經過該段時間後的垂直速度
如果你想複習如何把初始發射速率和角度分解為 \(u_x\) 和 \(u_y\)，可參閱 HSC 物理中的拋射體初速度分量。
以下是一個實用的判斷表：
| 你已知的資料 | 實用步驟 |
|---|---|
| \(v_x\) 和 \(v_y\) | 直接利用畢氏定理和三角函數重新合成 |
| 初速度和時間 | 求出 \(v_x=u_x\) 和 \(v_y=u_y-gt\) |
| 初始垂直速度和垂直位移 | 使用 \(v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y\) |
| 飛行終點與發射點高度相同 | 在理想模型下，著地時 \(v_y=-u_y\) |
| 飛行時間未知 | 先求時間，再計算最終分量 |
有一個重要細節：「最終速度」並不一定是指「撞到地面時的速度」。它指的是你所分析時間區間終點的速度。
例題：2.0 秒後重新合成速度分量
一個拋射體以 \(20.0\text{ m s}^{-1}\)、水平線上方 \(30^\circ\) 的方向發射。求發射後 \(2.0\text{ s}\) 時的速度。忽略空氣阻力，並取 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)。
步驟 1
\[ \begin{aligned} u_x&=u\cos\theta\\ &=(20.0)\cos30^\circ\\ &=17.3\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]
以及
\[ \begin{aligned} u_y&=u\sin\theta\\ &=(20.0)\sin30^\circ\\ &=10.0\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]
因此，一開始拋射體以 \(17.3\text{ m s}^{-1}\) 向右運動，並以 \(10.0\text{ m s}^{-1}\) 向上運動。
步驟 2
在這個模型中沒有水平加速度，因此
\[ v_x=u_x=17.3\text{ m s}^{-1} \]
步驟 3
取向上為正方向，
\[ \begin{aligned} v_y&=u_y+a_yt\\ &=10.0+(-9.8)(2.0)\\ &=-9.6\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]
負值表示拋射體在 \(2.0\text{ s}\) 後正向下運動。
步驟 4
\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{(17.3)^2+(-9.6)^2}\\ &=19.8\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]
步驟 5
\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{9.6}{17.3}\right)\\ &=29.0^\circ \end{aligned} \]
因此，發射後 \(2.0\text{ s}\) 的速度約為
\[ 19.8\text{ m s}^{-1}\text{，方向為水平線下方 }29.0^\circ\text{。} \]
請注意，這個速率很接近原本的 \(20.0\text{ m s}^{-1}\)，但這並不是一般規律。這裡只是因為拋射體恰好已經幾乎回到原來的高度。
03\(v_y\) 的正負號非常重要
假設你的計算機得出
\[ v_y=-14\text{ m s}^{-1}. \]
其中的 \(14\) 告訴你速度在垂直方向上的分量大小，而負號則告訴你它指向下方。
學生有時會把 \(-14\) 直接代入
\[ \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right) \]
並得到一個負角度。計算機並沒有錯。例如，\(-35^\circ\) 表示相對於正水平軸向下 \(35^\circ\)。
在 HSC 作答中，通常更清楚的做法是寫出角度的大小，再用文字說明方向：
\[ \text{水平線下方 }35^\circ\text{。} \]
畫一個簡單草圖，通常比讓計算機替你判斷物理方向更穩妥。
04你不一定需要飛行時間
假設一個拋射體落在比發射點低的位置。你可能會認為，在求最終速度之前，一定要先計算飛行時間。
有時確實如此。但如果已知垂直位移，下面這條公式可以直接由初始垂直分量求出最終垂直分量：
\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]
不過有一個要注意的地方。平方會令 \(v_y\) 的正負號消失。開平方後，你必須根據實際物理情況判斷 \(v_y\) 應為正還是負。
如果撞擊時拋射體正在下降，就選擇負根。
例題：著地點低於發射點
一個球從平台邊緣以 \(24.0\text{ m s}^{-1}\)、水平線上方 \(40^\circ\) 的方向發射。它在比發射點低 \(15.0\text{ m}\) 的位置著地。求它撞擊前一瞬間的速度。忽略空氣阻力。
步驟 1
\[ \begin{aligned} u_x&=(24.0)\cos40^\circ\\ &=18.4\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} u_y&=(24.0)\sin40^\circ\\ &=15.4\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]
步驟 2
水平速度保持不變：
\[ v_x=18.4\text{ m s}^{-1} \]
步驟 3
取向上為正方向。著地點低 \(15.0\text{ m}\)，因此
\[ \Delta y=-15.0\text{ m} \]
而
\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}. \]
因此，
\[ \begin{aligned} v_y^2&=u_y^2+2a_y\Delta y\\ &=(15.4)^2+2(-9.8)(-15.0)\\ &\approx532 \end{aligned} \]
所以
\[ v_y=\pm23.1\text{ m s}^{-1}. \]
我們應該選哪一個符號？
球正在撞向一個比發射位置低的地方，因此在撞擊前一瞬間必定正在下降。所以，
\[ v_y=-23.1\text{ m s}^{-1}. \]
步驟 4
\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(18.4)^2+(-23.1)^2}\\ &=29.5\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]
步驟 5
\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{23.1}{18.4}\right)\\ &=51.4^\circ \end{aligned} \]
因此，撞擊速度約為
\[ 29.5\text{ m s}^{-1}\text{，方向為水平線下方 }51.4^\circ\text{。} \]
撞擊速率大於發射速率，是因為球最後位於起點下方 \(15.0\text{ m}\)。重力已把重力勢能轉化為額外的動能。
如果題目要求你計算拋射體何時到達著地高度，那麼在重新合成速度分量之前，可使用 水平與不同高度著地情況下的拋射體飛行時間 中的方法。
05對稱性的捷徑–以及它的限制
這裡有一個實用的預測方法。
一個拋射體以速率 \(u\)、水平線上方角度 \(\alpha\) 發射。之後它回到完全相同的高度。若沒有空氣阻力，它的速度會是多少？
水平分量沒有改變：
\[ v_x=u\cos\alpha \]
當它在下降途中回到相同高度時，垂直分量的大小與起初相同，但符號相反：
\[ v_y=-u\sin\alpha \]
因此，最終速率為
\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(u\cos\alpha)^2+(-u\sin\alpha)^2}\\ &=\sqrt{u^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}\\ &=u \end{aligned} \]
而方向為水平線下方 \(\alpha\)。
因此，一個以 \(25\text{ m s}^{-1}\)、水平線上方 \(37^\circ\) 發射的拋射體，回到相同高度時的速率仍為 \(25\text{ m s}^{-1}\)，方向則為水平線下方 \(37^\circ\)。
一個常見錯誤是認為最終速度就是初速度的負值。
並不是。
如果
\[ \vec u=(u_x,u_y), \]
那麼在下降途中回到相同高度時，
\[ \vec v=(u_x,-u_y). \]
只有垂直分量反向。水平分量仍然指向相同方向。
如果最終高度與初始高度不同、空氣阻力不可忽略，或有其他力令拋射體產生水平加速度，這個捷徑也不適用。
06一套可靠的最終速度解題流程
當 HSC 題目要求你求最終速度時，可以依照以下順序：
- 選定正方向。
- 求 \(v_x\)，並保留它的正負號。
- 求 \(v_y\)，並保留它的正負號。
- 畫出兩個分量的草圖。
- 使用 \(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\) 計算速率。
- 使用三角函數計算參考角。
- 清楚寫出方向，例如「水平線下方」。
在你了解正負號在物理上代表甚麼之前，不要先計算角度。
07題目與解答
題目 1
一個拋射體的最終速度分量為
\[ v_x=12.0\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y=-5.0\text{ m s}^{-1}. \]
求它的最終速率和方向。
解答 1
最終速度為 \(13.0\text{ m s}^{-1}\)，方向為水平線下方 \(22.6^\circ\)。
速率是兩個互相垂直分量合成後的大小：
\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{(12.0)^2+(-5.0)^2}\\ &=\sqrt{169}\\ &=13.0\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]
至於方向，
\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right)\\ &=\tan^{-1}\left(\frac{5.0}{12.0}\right)\\ &=22.6^\circ. \end{aligned} \]
由於 \(v_y\) 為負，拋射體正向下運動。因此，它的方向為水平線下方 \(22.6^\circ\)。
一個很容易犯的錯誤是計算 \(12.0-5.0=7.0\text{ m s}^{-1}\)。這樣做等於把互相垂直的分量當作沿同一直線作用。
題目 2
一個拋射體在 \(2.50\text{ s}\) 內水平移動 \(40.0\text{ m}\)。在同一段時間內，它的最終位置比發射點低 \(5.00\text{ m}\)。
忽略空氣阻力，並取 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)。
求：
- 它的初始垂直速度分量，
- 它的最終速度分量，以及
- 它的最終速率和方向。
解答 2
初始垂直分量為向上的 \(10.25\text{ m s}^{-1}\)，而最終速度約為 \(21.4\text{ m s}^{-1}\)，方向為水平線下方 \(41.7^\circ\)。
先求水平速度。在水平加速度為零的情況下，
\[ \begin{aligned} v_x&=\frac{\Delta x}{t}\\ &=\frac{40.0}{2.50}\\ &=16.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
現在使用垂直位移公式：
\[ \Delta y=u_yt+\frac12a_yt^2. \]
這裡，
\[ \Delta y=-5.00\text{ m},\qquad a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}. \]
代入後，
\[ \begin{aligned} -5.00&=u_y(2.50)+\frac12(-9.8)(2.50)^2\\ -5.00&=2.50u_y-30.625\\ 25.625&=2.50u_y\\ u_y&=10.25\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
最終垂直分量為
\[ \begin{aligned} v_y&=u_y+a_yt\\ &=10.25+(-9.8)(2.50)\\ &=-14.25\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
因此，最終分量為
\[ v_x=16.0\text{ m s}^{-1},\qquad v_y=-14.25\text{ m s}^{-1}. \]
現在把它們重新合成：
\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(16.0)^2+(-14.25)^2}\\ &=21.4\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
方向為
\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{14.25}{16.0}\right)\\ &=41.7^\circ. \end{aligned} \]
由於 \(v_y<0\)，方向為水平線下方 \(41.7^\circ\)。
一個很誘人的做法是使用平均垂直速度，
\[ \frac{-5.00}{2.50}=-2.00\text{ m s}^{-1}, \]
並把它當作最終垂直速度。這是不正確的，因為重力會持續改變 \(v_y\)。該時間區間內的平均垂直速度並不等於最終垂直速度。
題目 3
在 \(A\) 點，一個拋射體以 \(18.0\text{ m s}^{-1}\)、水平線上方 \(25^\circ\) 的方向運動。
之後它到達 \(B\) 點，而 \(B\) 點比 \(A\) 點低 \(3.00\text{ m}\)。在 \(B\) 點，拋射體正在下降。
忽略空氣阻力。
求：
- 拋射體在 \(B\) 點的速度，以及
- 從 \(A\) 點運動至 \(B\) 點所需的時間。
解答 3
在 \(B\) 點，拋射體的運動速率約為 \(19.6\text{ m s}^{-1}\)，方向為水平線下方 \(33.5^\circ\)，而從 \(A\) 點到 \(B\) 點的運動時間為 \(1.88\text{ s}\)。
先把 \(A\) 點的速度分解：
\[ \begin{aligned} v_{Ax}&=(18.0)\cos25^\circ\\ &=16.3\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]
以及
\[ \begin{aligned} v_{Ay}&=(18.0)\sin25^\circ\\ &=7.61\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
水平分量保持不變，因此
\[ v_{Bx}=16.3\text{ m s}^{-1}. \]
對於垂直分量，使用
\[ v_{By}^2=v_{Ay}^2+2a_y\Delta y. \]
這裡，
\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2},\qquad \Delta y=-3.00\text{ m}. \]
因此，
\[ \begin{aligned} v_{By}^2 &=(7.61)^2+2(-9.8)(-3.00)\\ &\approx116.7. \end{aligned} \]
所以，
\[ v_{By}=\pm10.8\text{ m s}^{-1}. \]
題目指出拋射體在 \(B\) 點正在下降，因此符合物理情況的根為
\[ v_{By}=-10.8\text{ m s}^{-1}. \]
現在求速率：
\[ \begin{aligned} v_B&=\sqrt{(16.3)^2+(-10.8)^2}\\ &=19.6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
它的方向為
\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{10.8}{16.3}\right)\\ &=33.5^\circ. \end{aligned} \]
因此，速度為 \(19.6\text{ m s}^{-1}\)，方向為水平線下方 \(33.5^\circ\)。
要找出時間，使用
\[ v_{By}=v_{Ay}+a_yt. \]
所以，
\[ \begin{aligned} -10.8&=7.61-9.8t\\ t&=\frac{-10.8-7.61}{-9.8}\\ &=1.88\text{ s}. \end{aligned} \]
這題的陷阱在於開平方。\(v_{By}^2\) 的方程會產生兩個數學上可能的答案。正是「到達 \(B\) 點時正在下降」這項資訊，讓我們能選出負值。
題目 4
一個拋射體從 \(O\) 點發射。之後在比 \(O\) 點高 \(8.00\text{ m}\) 的 \(P\) 點，它正以 \(20.0\text{ m s}^{-1}\)、水平線下方 \(30^\circ\) 的方向運動。
假設它遵循沒有空氣阻力的標準拋射運動。
求：
- 拋射體的發射速率，
- 它相對於水平線的發射仰角，以及
- 從發射至到達 \(P\) 點所需的時間。
解答 4
拋射體以約 \(23.6\text{ m s}^{-1}\)、水平線上方 \(42.8^\circ\) 的方向發射，並在 \(2.66\text{ s}\) 後到達 \(P\) 點。
這題不尋常之處在於，我們要利用後來的速度反推較早的速度。
在 \(P\) 點，
\[ \begin{aligned} v_x&=(20.0)\cos30^\circ\\ &=17.3\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]
而由於拋射體正在下降，
\[ \begin{aligned} v_y&=-(20.0)\sin30^\circ\\ &=-10.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
整個飛行過程中的水平速度不變，所以初始水平分量也是
\[ u_x=17.3\text{ m s}^{-1}. \]
現在利用
\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]
在垂直方向上反推。
從 \(O\) 點到 \(P\) 點，
\[ \Delta y=+8.00\text{ m} \]
而
\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}. \]
因此，
\[ \begin{aligned} (-10.0)^2 &=u_y^2+2(-9.8)(8.00)\\ 100&=u_y^2-156.8\\ u_y^2&=256.8. \end{aligned} \]
由此得到
\[ u_y=\pm16.0\text{ m s}^{-1}. \]
必須選擇正根：
\[ u_y=+16.0\text{ m s}^{-1}. \]
為甚麼可以排除 \(-16.0\text{ m s}^{-1}\)？
如果拋射體一開始便向下運動，而且垂直加速度也向下，它之後就不可能到達比發射位置高 \(8.00\text{ m}\) 的地方。負根符合平方後的方程，但不符合實際的物理軌跡。
現在重新合成初始分量：
\[ \begin{aligned} u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\ &=\sqrt{(17.3)^2+(16.0)^2}\\ &=23.6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
發射角為
\[ \begin{aligned} \alpha&=\tan^{-1}\left(\frac{16.0}{17.3}\right)\\ &=42.8^\circ. \end{aligned} \]
最後，
\[ v_y=u_y+a_yt, \]
所以
\[ \begin{aligned} -10.0&=16.0-9.8t\\ t&=\frac{-10.0-16.0}{-9.8}\\ &=2.66\text{ s}. \end{aligned} \]
一個很誘人的錯誤是看到後來的速度向下，就認為拋射體一定也是向下發射。拋射運動的垂直分量可以反向：向上的運動先減慢至零，之後再變成向下運動。
題目 5
一個經校準的發射感測器記錄到，一個拋射體以 \(26.0\text{ m s}^{-1}\)、水平線上方 \(35^\circ\) 的方向離開平台。
在飛行結束時，高速攝影可靠地顯示它的速度方向為水平線下方 \(50^\circ\)。另一個獨立的速率顯示器則顯示 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)。
假設拋射體遵循理想的 HSC 模型：空氣阻力可忽略，重力加速度為向下的 \(9.8\text{ m s}^{-2}\)。
這三項測量結果可以全部正確嗎？
如果不可以：
- 指出其中的不一致之處，
- 求出理想拋射體模型所要求的最終速率，
- 求出最終垂直速度分量，以及
- 求出最終位置相對於發射點的垂直位移。
解答 5
不可以。在理想拋射體模型下，這三項測量結果不可能全部正確。發射資料和最終方向要求最終速率約為 \(33.1\text{ m s}^{-1}\)，而不是 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)，而且最終位置約在發射點下方 \(21.5\text{ m}\)。
最關鍵的限制條件，也是最容易被忽略的一項，就是水平速度必須保持不變。
根據發射資料，
\[ \begin{aligned} u_x&=(26.0)\cos35^\circ\\ &=21.3\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
因此，在整個飛行過程中，
\[ v_x=21.3\text{ m s}^{-1}. \]
現在檢驗所報告的最終速率 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)、方向為水平線下方 \(50^\circ\)。
它的水平分量會是
\[ \begin{aligned} v_x&=(30.0)\cos50^\circ\\ &=19.3\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
但理想拋射體模型要求 \(v_x=21.3\text{ m s}^{-1}\)。
因此，這些測量結果彼此不一致。
由於題目明確指出發射讀數經過校準，而最終方向的測量可靠，所以有錯的必須是最終速率的測量。
設符合物理模型的最終速率為 \(v_f\)。則
\[ v_f\cos50^\circ=21.3. \]
因此，
\[ \begin{aligned} v_f&=\frac{21.3}{\cos50^\circ}\\ &=33.1\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
它的垂直分量向下：
\[ \begin{aligned} v_y&=-v_f\sin50^\circ\\ &=-(33.1)\sin50^\circ\\ &=-25.4\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
現在求初始垂直分量：
\[ \begin{aligned} u_y&=(26.0)\sin35^\circ\\ &=14.9\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
使用
\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y. \]
代入後，
\[ \begin{aligned} (-25.4)^2 &=(14.9)^2+2(-9.8)\Delta y\\ 644.2&=222.4-19.6\Delta y. \end{aligned} \]
因此，
\[ \begin{aligned} 421.8&=-19.6\Delta y\\ \Delta y&=-21.5\text{ m}. \end{aligned} \]
所以最終位置約在發射點下方 \(21.5\text{ m}\)。
一個很誘人的做法是接受所報告的 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)，然後立即把它的垂直分量代入運動學方程。這樣確實會得到一個數值答案，但這個答案是建立在一組已經違反拋射體模型的資料之上。
更深入的檢查應該先進行：在重新合成分量或套用其他方程之前，先問水平分量是否一致。看似合理的速率和角度，並不一定與其餘運動資料相容。
08接下來你可以做到甚麼
一旦你能熟練地在 \(v_x\)、\(v_y\)、速率和方向之間轉換，拋射體題目就會變得容易整理得多。
這些分量告訴你重力改變了甚麼，以及沒有改變甚麼。把它們重新合成，則告訴你拋射體在某一瞬間實際上如何運動。
同一個概念也能讓我們精確比較發射速度、最高點的速度和撞擊速度。在最高點，\(v_y=0\)，但 \(v_x\) 仍然存在。在與發射點同高度著地時，\(v_y\) 的符號已經反轉。在較低的位置著地時，它向下的大小則會更大。
因此，真正有用的習慣不只是記住
\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}. \]
而是在把兩個分量重新合成為一個最終速度向量之前，先學會把它們解讀成一段有物理意義的運動過程。