拋體的水平射程：HSC 物理指南

兩個拋體從同一點以相同速率射出。一個以 \(30^\circ\) 發射，另一個以 \(60^\circ\) 發射。哪一個在回到發射高度之前，水平移動得更遠？

你可以支持 \(30^\circ\)：它的水平速度較大。你也可以支持 \(60^\circ\)：它在空中停留得更久。在通常的 HSC 拋體模型下，這兩種效應恰好完全抵消。它們的水平射程相同。

這種抵消正是理解射程的關鍵。拋體若要移動得更遠，可以是因為向水平方向移動得快、在空中停留得久，或兩者兼具。

01射程等於水平速度乘以時間

想像把拋體的運動分成兩項工作。

水平方向的運動讓它越過地面。鉛直方向的運動則決定它會在空中停留多久。在標準拋體運動的假設下，重力會改變鉛直速度，但不會改變水平速度。

對於一個以速率 \(u\)、相對水平方向以角度 \(\theta\) 向上發射的拋體，

\[
u_x=u\cos\theta
\]

以及

\[
u_y=u\sin\theta
\]

其中 \(u_x\) 是初始水平速度，而 \(u_y\) 是初始鉛直速度。如果你對向量分解仍不太熟悉，請先複習拋體的初速度分量。

如果拋體在空中停留的時間為 \(T\)，它的水平射程 \(R\) 為

\[
R=u_xT=u\cos\theta\,T
\]

這是處理射程問題時最有用的起始方程式。

它說明了一件重要的事：其實並不存在另一種神祕而獨立的「射程運動」。射程是把水平運動與由鉛直運動所決定的時間結合起來得到的結果。

也要注意射程不是甚麼。它不是沿著彎曲軌跡實際移動的距離，而是發射點與落點之間的水平位移。

02為甚麼落點高度很重要

假設拋體恰好落回它發射時的同一高度。

取向上為正方向。鉛直加速度就是 \(a_y=-g\)，其中地球表面附近 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)。

經過時間 \(T\) 後，鉛直位移為

\[
\Delta y=u_yT-\frac12gT^2
\]

若落點與發射點同高，則 \(\Delta y=0\)，所以

\[
0=u\sin\theta\,T-\frac12gT^2
\]

把 \(T\) 提出作公因數：

\[
T\left(u\sin\theta-\frac12gT\right)=0
\]

有兩個解。\(T=0\) 描述的是發射的瞬間。之後落地的時間則滿足

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}
\]

現在把這個飛行時間代入 \(R=u\cos\theta\,T\)：

\[
R=u\cos\theta\left(\frac{2u\sin\theta}{g}\right)
=\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g}
\]

利用 \(2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta)\)，

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

這就是熟悉的拋體射程公式。

但這是一條附帶條件的捷徑：拋體必須落回與發射點相同的鉛直高度。

射程公式告訴你甚麼

在發射點與落點同高，且空氣阻力可忽略的情況下：

為甚麼互餘角會有相同的射程？

當 \(\theta=30^\circ\) 時，

\[
\sin(2\theta)=\sin 60^\circ
\]

而當 \(\theta=60^\circ\) 時，

\[
\sin(2\theta)=\sin 120^\circ
\]

並且 \(\sin60^\circ=\sin120^\circ\)。

從物理角度來看，較低的軌跡具有較大的水平速度，但在空中的時間較短。較高的軌跡具有較小的水平速度，但飛行時間較長。對互餘角而言，這兩種變化恰好完全平衡。

03\(45^\circ\) 規則有適用條件

這裡有一個值得先作預測的問題。一個拋體現在從懸崖頂端射出，最後落在下方地面。\(45^\circ\) 是否仍然能給出最大的可能射程？

不會。

通常的 \(45^\circ\) 結果來自

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

而這條方程式是在令最終鉛直位移為零的條件下推導出來的。從懸崖發射時，拋體在重新經過發射高度之後，還有額外的下落距離。

這段額外時間會改變兩者之間的取捨。較淺一些的軌跡可以保留更多水平速度，同時仍有充足時間前進，因為拋體還可以從懸崖向下墜落。因此，當落點低於發射點時，在無空氣阻力的理想情況下，使射程最大的最佳角度會小於 \(45^\circ\)。

這是最容易被過度概括記憶的拋體規則之一。「最大射程出現在 \(45^\circ\)」並不是一條無條件成立的自然定律。

04拋體落在不同高度時的射程

如果落點高於或低於發射點，請回到較穩妥的方法：

1. 分解初速度；
2. 利用鉛直運動求飛行時間；
3. 使用 \(R=u_xT\)。

假設落點比發射點低一段鉛直距離 \(h\)。那麼鉛直位移為 \(\Delta y=-h\)，所以

\[
-h=u\sin\theta\,T-\frac12gT^2
\]

解這條方程式求 \(T\)。保留代表實際飛行過程的正值解。

然後計算

\[
R=u\cos\theta\,T
\]

鉛直運動決定了拋體可以利用其水平速度移動多久。

若想多練習這部分的方法，可參閱水平及不同高度落點下的拋體飛行時間。

05一個有用的特殊情況：水平發射

水平發射的拋體有 \(\theta=0^\circ\)，所以

\[
u_y=0
\]

一開始這可能讓人覺得奇怪。如果沒有初始鉛直速度，它怎麼會落到地面？

重力會立即產生向下的鉛直速度。若從高度 \(h\) 發射，

\[
-h=-\frac12gT^2
\]

所以

\[
T=\sqrt{\frac{2h}{g}}
\]

若水平發射速率為 \(u\)，

\[
R=u\sqrt{\frac{2h}{g}}
\]

再次留意這個結構：水平速度乘以在空中的時間。

06常見的射程錯誤

只要看到「射程」就使用水平地面的公式

公式

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

要求發射高度與落點高度相同。

如果兩者高度不同，先從鉛直運動求 \(T\)，再使用 \(R=u_xT\)。

把 \(u\) 當成水平速度

除非是完全水平發射，否則

\[
u_x\ne u
\]

正確的水平分量是

\[
u_x=u\cos\theta
\]

一個以很陡角度發射的拋體，總速率可能很大，但水平速度可能小得多。

認為飛行時間越長，射程就一定越大

單靠飛行時間並不能得出這個結論。

非常陡的發射可以讓拋體在空中停留很久，但它向水平方向移動得很慢。射程取決於乘積 \(u_xT\)，而不是其中任何一個因素單獨決定。

在極限情況 \(\theta=90^\circ\) 下，拋體有相當長的飛行時間，但

\[
u_x=u\cos90^\circ=0
\]

所以它的水平射程為零。

假設 \(45^\circ\) 永遠使射程最大

在發射速率固定，而且發射高度與落點高度相同時，\(45^\circ\) 會使理想射程最大。

如果落點較低，最佳角度就會改變。空氣阻力也會改變結果，因為此時水平速度不再保持不變。

把二次方程的兩個根都當成可能的落地時間

鉛直運動方程式可能會得到一個正時間和一個負時間。負根通常屬於在選定 \(t=0\) 的瞬間之前，數學拋物線延伸出的部分。

使用任何一個根之前，都要先檢查它在物理上代表甚麼。

07一套可靠的 HSC 射程方法

當一道射程題看起來很複雜時，不要急著尋找某條特殊公式。使用相同的步驟即可。

首先，畫出發射點和落點的草圖，並標示它們之間的鉛直高度差。

接著分解發射速度：

\[
u_x=u\cos\theta,\qquad u_y=u\sin\theta
\]

利用鉛直運動求出相關的飛行時間 \(T\)：

\[
\Delta y=u_yT-\frac12gT^2
\]

最後，使用水平運動：

\[
R=u_xT
\]

只有在你確認發射高度與落點高度相同後，才把以上全部步驟替換成

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

08問題與解答

問題 1

一個拋體從水平地面以 \(24.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率、相對水平方向向上 \(35.0^\circ\) 發射。它落回相同高度。忽略空氣阻力。

計算它的水平射程。

解答 1

水平射程約為 \(55.2\text{ m}\)。

因為拋體落回發射高度，所以可以使用水平地面的射程公式：

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

代入 \(u=24.0\text{ m s}^{-1}\)、\(\theta=35.0^\circ\) 和 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)：

\[
R=\frac{(24.0)^2\sin70.0^\circ}{9.8}
=\frac{576(0.940)}{9.8}
=55.2\text{ m}
\]

因此拋體落在距離發射點約 \(55.2\text{ m}\) 處。

一個很容易犯的錯誤，是在射程公式中使用 \(\sin35^\circ\)。正弦函數內的角度應是 \(2\theta\)，因為這條公式是由水平分量中的 \(\cos\theta\) 與飛行時間中的 \(\sin\theta\) 相乘得到的。

問題 2

一個拋體從高於水平地面 \(1.80\text{ m}\) 的平台，以 \(16.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率、相對水平方向向上 \(30.0^\circ\) 發射。在距離發射點水平 \(18.0\text{ m}\) 處有一道高 \(3.80\text{ m}\) 的圍欄。

忽略空氣阻力。

求：

• 拋體是否能越過圍欄，以及垂直淨空距離是多少；
• 拋體經過圍欄時是在上升還是下降；以及
• 拋體落到地面時，距離發射點的水平距離。

解答 2

拋體會以約 \(0.124\text{ m}\) 的淨空距離越過圍欄；它經過圍欄時正在下降；並且會落在距離發射點水平約 \(25.4\text{ m}\) 處。

首先分解發射速度：

\[
u_x=(16.0)\cos30.0^\circ=13.9\text{ m s}^{-1}
\]

\[
u_y=(16.0)\sin30.0^\circ=8.00\text{ m s}^{-1}
\]

在圍欄位置，水平位移為 \(18.0\text{ m}\)。因為水平速度保持不變，

\[
t=\frac{x}{u_x}
=\frac{18.0}{13.9}
=1.299\text{ s}
\]

以地面高度為 \(y=0\)。拋體從 \(y_0=1.80\text{ m}\) 開始，所以此時的高度為

\[
y=y_0+u_yt-\frac12gt^2
\]

\[
y=1.80+(8.00)(1.299)-4.90(1.299)^2
=3.924\text{ m}
\]

圍欄高度為 \(3.80\text{ m}\)，所以淨空距離為

\[
3.924-3.80=0.124\text{ m}
\]

現在檢查拋體經過圍欄時的鉛直速度：

\[
v_y=u_y-gt
\]

\[
v_y=8.00-(9.8)(1.299)
=-4.73\text{ m s}^{-1}
\]

負號表示拋體正向下運動。它是在軌跡的下降階段越過圍欄。

若要求落地時間，令 \(y=0\)：

\[
0=1.80+8.00T-4.90T^2
\]

即

\[
4.90T^2-8.00T-1.80=0
\]

正值解為

\[
T=\frac{8.00+\sqrt{(8.00)^2+4(4.90)(1.80)}}{9.80}
=1.83\text{ s}
\]

因此，

\[
R=u_xT=(13.9)(1.83)=25.4\text{ m}
\]

一條看似方便但容易出錯的做法，是立刻使用水平地面的公式。這會得到約 \(22.6\text{ m}\)，但它回答的是另一個問題：它求的是理想軌跡何時回到 \(1.80\text{ m}\) 的發射高度，而不是何時到達地面。

問題 3

一個發射器以 \(25.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率，向一個距離 \(40.0\text{ m}\)、且與發射器完全同高的目標發射拋體。

在發射高度上方 \(15.0\text{ m}\) 處有一個水平天花板，覆蓋發射器與目標之間的整個區域。

忽略空氣阻力。

找出在沒有天花板時，所有介於 \(0^\circ\) 和 \(90^\circ\) 之間、能擊中目標的發射角。然後判斷在有天花板的情況下，哪些角度在物理上仍可行。

解答 3

如果沒有天花板，兩個發射角約為 \(19.4^\circ\) 和 \(70.6^\circ\)。有天花板時，只有 \(19.4^\circ\) 的軌跡可行。

因為發射高度與落點高度相同，

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

所以

\[
40.0=\frac{(25.0)^2\sin(2\theta)}{9.8}
\]

因此

\[
\sin(2\theta)=\frac{(40.0)(9.8)}{625}=0.6272
\]

其中一個解為

\[
2\theta=\sin^{-1}(0.6272)=38.84^\circ
\]

所以

\[
\theta=19.42^\circ
\]

但正弦函數在 \(0^\circ\) 到 \(180^\circ\) 之間還有另一個解：

\[
2\theta=180^\circ-38.84^\circ=141.16^\circ
\]

所以

\[
\theta=70.58^\circ
\]

因此，在沒有障礙物的空間中，兩個角度都有正確的射程。

現在天花板加入了另一項限制。相對於發射點的最大高度為

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}
\]

對 \(19.42^\circ\) 的軌跡，

\[
H=\frac{(25.0)^2\sin^2(19.42^\circ)}{2(9.8)}
=3.53\text{ m}
\]

這遠低於 \(15.0\text{ m}\) 的天花板。

對 \(70.58^\circ\) 的軌跡，

\[
H=\frac{(25.0)^2\sin^2(70.58^\circ)}{2(9.8)}
=28.4\text{ m}
\]

這條軌跡在到達其自然最高點之前就會與天花板相交，因此在物理上不可行。

一個很容易令人停下來的答案，是找到兩個角度後就結束，因為互餘的發射角具有相同射程。這句話對沒有障礙物的水平地面運動，在數學上是正確的。然而，天花板加入了第二項物理限制，而只有較低的軌跡符合這項限制。

問題 4

一個拋體從水平地面發射，之後在距離 \(50.0\text{ m}\) 處落回相同高度。

飛行期間，它經過兩個都比發射高度高 \(8.00\text{ m}\) 的點。這兩點在水平方向相距 \(30.0\text{ m}\)。

忽略空氣阻力。

求：

• 兩個高度為 \(8.00\text{ m}\) 的點，各自相對於發射點的水平位置；
• 發射角；
• 初始發射速率；以及
• 在兩個高度為 \(8.00\text{ m}\) 的點之間移動所需的時間。

解答 4

拋體在 \(x=10.0\text{ m}\) 和 \(x=40.0\text{ m}\) 時都位於 \(8.00\text{ m}\) 高度；發射角為 \(45.0^\circ\)；初始發射速率約為 \(22.1\text{ m s}^{-1}\)；而兩點之間所需的時間約為 \(1.92\text{ s}\)。

第一項限制來自對稱性。

當發射高度與落點高度相同，且沒有空氣阻力時，軌跡是一條以最高點為對稱中心的拋物線。因為總射程是 \(50.0\text{ m}\)，所以最高點位於水平距離的一半：

\[
x_{\text{最高點}}=25.0\text{ m}
\]

這兩點高度相同，而且相距 \(30.0\text{ m}\)，因此它們必定位於最高點兩側相同的水平距離處。

若它們的位置為 \(x_1\) 和 \(x_2\)，

\[
x_2-x_1=30.0
\]

以及

\[
\frac{x_1+x_2}{2}=25.0
\]

因此，

\[
x_1=10.0\text{ m},\qquad x_2=40.0\text{ m}
\]

現在使用軌跡方程式

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}
\]

對於同高發射與落地、射程為 \(R\) 的拋體，

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

因此可把軌跡方程式寫成

\[
y=x\tan\theta\left(1-\frac{x}{R}\right)
\]

當 \(x=10.0\text{ m}\)、\(y=8.00\text{ m}\)，且 \(R=50.0\text{ m}\)：

\[
8.00=(10.0)\tan\theta\left(1-\frac{10.0}{50.0}\right)
\]

\[
8.00=(10.0)\tan\theta(0.800)
\]

\[
8.00=8.00\tan\theta
\]

所以

\[
\tan\theta=1
\]

因此

\[
\theta=45.0^\circ
\]

現在使用射程方程式：

\[
50.0=\frac{u^2\sin90.0^\circ}{9.8}
\]

由於 \(\sin90^\circ=1\)，

\[
u^2=(50.0)(9.8)=490
\]

\[
u=\sqrt{490}=22.1\text{ m s}^{-1}
\]

水平速度為

\[
u_x=u\cos45.0^\circ
=(22.1)(0.707)
=15.7\text{ m s}^{-1}
\]

兩個等高點的水平間距為 \(30.0\text{ m}\)，所以

\[
\Delta t=\frac{\Delta x}{u_x}
=\frac{30.0}{15.7}
=1.92\text{ s}
\]

一個很容易採取的方法，是一開始就用數條聯立運動方程式去尋找 \(u\) 和 \(\theta\)。這樣最終也能解出答案，但會錯過題目中最強的一項資訊：在發射點與落點同高的拋體軌跡上，兩個相同高度的位置必定對稱分布在最高點兩側。先利用這項限制，問題就會大幅簡化。

問題 5

一個發射器位於高 \(20.0\text{ m}\) 的懸崖邊緣。它以固定速率 \(20.0\text{ m s}^{-1}\) 發射拋體，但可以改變發射角。

拋體落在比發射器低 \(20.0\text{ m}\) 的水平地面上。忽略空氣阻力。

求能產生最大水平射程的發射角，並計算該最大射程。然後與 \(45.0^\circ\) 的發射作比較。

解答 5

最大射程出現在約 \(35.4^\circ\)，而不是 \(45^\circ\)，最大水平射程約為 \(57.4\text{ m}\)。以 \(45.0^\circ\) 發射時，拋體約可移動 \(55.5\text{ m}\)。

關鍵限制在於拋體落在低於發射點的位置，因此不能使用水平地面的公式來求最佳角度。

從軌跡方程式開始

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}
\]

在落點處，

\[
y=-h,\qquad x=R
\]

其中 \(h=20.0\text{ m}\)。另外，

\[
\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta
\]

令

\[
q=\tan\theta
\]

並定義

\[
A=\frac{g}{2u^2}
\]

那麼落地條件變為

\[
-h=Rq-AR^2(1+q^2)
\]

整理後可得到關於 \(q\) 的二次方程：

\[
AR^2q^2-Rq+(AR^2-h)=0
\]

如果某個射程 \(R\) 在物理上可能實現，這個二次方程就必須至少有一個 \(q\) 的實數值，因此也至少有一個實數發射角。

最大的可能 \(R\) 恰好出現在「可能」與「不可能」射程的分界上。在這個邊界上，二次方程只有一個重根，所以其判別式為零：

\[
R^2-4(AR^2)(AR^2-h)=0
\]

除以 \(R^2\) 並化簡可得

\[
R_{\max}=\frac{u}{g}\sqrt{u^2+2gh}
\]

代入 \(u=20.0\text{ m s}^{-1}\)、\(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) 和 \(h=20.0\text{ m}\)：

\[
R_{\max}
=\frac{20.0}{9.8}
\sqrt{(20.0)^2+2(9.8)(20.0)}
\]

\[
R_{\max}
=\frac{20.0}{9.8}\sqrt{792}
=57.4\text{ m}
\]

在重根的位置，

\[
q=\frac{1}{2AR_{\max}}
\]

可化簡為

\[
\tan\theta_{\text{最佳}}
=\frac{u}{\sqrt{u^2+2gh}}
\]

因此，

\[
\tan\theta_{\text{最佳}}
=\frac{20.0}{\sqrt{792}}
=0.7107
\]

所以

\[
\theta_{\text{最佳}}=35.4^\circ
\]

現在把它與 \(45.0^\circ\) 發射比較。

在 \(45.0^\circ\) 時，

\[
u_x=u_y=(20.0)\frac{1}{\sqrt2}=14.1\text{ m s}^{-1}
\]

鉛直方向的落地條件為

\[
-20.0=(14.1)T-4.90T^2
\]

正值根為

\[
T=3.93\text{ s}
\]

所以

\[
R=(14.1)(3.93)=55.5\text{ m}
\]

因此，\(35.4^\circ\) 的發射比 \(45.0^\circ\) 的發射多移動約

\[
57.4-55.5=1.9\text{ m}
\]

一個很容易想到的論點是：\(\sin(2\theta)\) 在 \(45^\circ\) 時最大，所以 \(45^\circ\) 必定永遠能使射程最大。問題就藏在所使用的方程式中。\(R=u^2\sin(2\theta)/g\) 本身已經假設落點與發射點同高。這裡的拋體還有額外 \(20.0\text{ m}\) 的下落距離，因此飛行時間與發射角之間遵循的是不同的關係。

這段額外的下落時間意味著拋體可以犧牲一部分向上的初速度，把更多速度保留在水平方向，同時仍能在空中停留足夠久，因而移動得更遠。

09理解射程之後可以進一步求甚麼

真正值得帶到下一步的，不只是一條公式，而是這個結構：

\[
\text{水平射程}=\text{水平速度}\times\text{飛行時間}
\]

發射角會同時改變這兩個部分：增加角度通常會減少水平速度，但可以增加在空中的時間。落點高度還可能再次改變這兩者之間的平衡。

這就是為甚麼不應把射程、最大高度和飛行時間視為彼此獨立的拋體運動主題。它們都是相同水平與鉛直分量所產生的不同結果。下一個有用的步驟，是在拋體發射角改變時，直接比較這些相互競爭的效應。