نماذج المجال المغناطيسي: من خطوط المجال إلى قوة المجال

يَرسم طالبان المجال المغناطيسي حول المغناطيس القضيب نفسه. يرسم أحدهما ثمانية خطوط مجال، بينما يرسم الآخر عشرين خطًا. فهل أنشأ الطالب الثاني عن طريق الخطأ مغناطيسًا أقوى؟

لا. عدد الخطوط على الصفحة يعتمد جزئيًا على طريقة الرسم. لكن الطريقة التي تُرتَّب بها هذه الخطوط لا تزال تخبرنا بشيء مهم عن المجال الحقيقي.

وهذه هي المشكلة التي يجب أن تحلها نماذج المجال المغناطيسي. فمخطط خطوط المجال ممتاز لإظهار الاتجاه والشكل والقوة النسبية. لكنه لا يخبرك تلقائيًا بأن المجال يساوي \(3.2 \times 10^{-3}\ \text{T}\). وللحصول على ذلك، تحتاج إلى قياس أو حساب.

والمهارة المفيدة هنا هي الانتقال بين هذين الوصفين من دون التعامل مع أيٍّ منهما على أنه أكثر تمثيلًا للواقع الفيزيائي مما هو عليه بالفعل.

01ما الذي يخبرك به مخطط خطوط المجال فعليًا؟

تخيّل وضع بوصلة صغيرة عند نقاط مختلفة حول مغناطيس. في كل موضع، تستقر البوصلة في اتجاه معيّن.

والآن تخيّل رسم سهم قصير في كل موضع تضع فيه البوصلة. إذا وصلت بين الأسهم التي تتجه بسلاسة من أحدها إلى الآخر، فستحصل على خطوط المجال المغناطيسي.

إذن، الخطوط هي نموذج لمجال متجه. وعند كل نقطة يكون فيها المجال المغناطيسي غير صفري، يكون للمجال:

• اتجاه، و
• مقدار، أو قوة.

يُكتب متجه المجال المغناطيسي على الصورة \(\vec B\). ويُكتب مقداره على الصورة \(B\).

الاتجاه يُحدَّد من المماس

افترض أنك اخترت نقطة على أحد خطوط المجال المنحنية. في أي اتجاه يشير المجال المغناطيسي عند تلك النقطة؟

لا تُشِر نحو أقرب قطب للمغناطيس. بدلًا من ذلك، تخيّل سهمًا صغيرًا يلامس المنحنى عند تلك النقطة بالضبط. يشير المجال المغناطيسي في اتجاه ذلك المماس.

بالنسبة إلى المغناطيس الدائم، تشير أسهم خطوط المجال من القطب الشمالي نحو القطب الجنوبي خارج المغناطيس.

وحول سلك مستقيم يمر فيه تيار كهربائي، تكون الخطوط على شكل دوائر. ويُحدَّد اتجاهها باستخدام قاعدة قبضة اليد اليمنى. يمكنك مراجعة هذه الهندسة في المجال المغناطيسي حول سلك يمر فيه تيار: فيزياء HSC.

تباعد الخطوط يمثل القوة النسبية للمجال

قارن الآن بين النقطة P القريبة من قطب المغناطيس والنقطة Q الأبعد عنه.

قبل أن تواصل القراءة، توقّع ما الذي سيعرضه عادةً مستشعر للمجال المغناطيسي. هل ستكون قيمة \(B\) أكبر عند P أم عند Q؟

عند P. ففي مخطط متسق لخطوط المجال، تمثل الخطوط المتقاربة مجالًا أقوى، بينما تمثل الخطوط المتباعدة مجالًا أضعف.

وهذا يعطينا نموذجًا نوعيًا:

كلمة نسبي مهمة.

إذا كانت الخطوط عند P أكثف بوضوح منها عند Q، فيمكنك أن تستنتج بصورة معقولة أن \(B_P>B_Q\). لكنك لا تستطيع عمومًا أن تستنتج أن \(B_P=3B_Q\) لمجرد أن الرسم يبدو وكأنه يحتوي على عدد من الخطوط لكل سنتيمتر يزيد ثلاثة أضعاف.

02خطوط المجال ليست معكرونة مغناطيسية

قد يكون من المغري أن تتصور أن المغناطيس يطلق بطريقة ما خيوطًا غير مرئية عبر الفضاء، وأن المغناطيس الأقوى يحتوي على عدد أكبر من هذه الخيوط.

لكن هذا غير صحيح.

خطوط المجال هي خطوط افتراضية نبتكرها لمساعدتنا على تمثيل مجال موجود بصورة مستمرة في جميع أنحاء الفضاء. يمكنك إضافة خمسة خطوط أخرى إلى رسمك من دون أن يتغير المغناطيس على الإطلاق.

ومن التشبيهات المفيدة خريطة خطوط الكنتور لجبل. تخبرك خطوط الكنتور المتقاربة بأن التضاريس تتغير بسرعة، تمامًا كما تشير خطوط المجال المتقاربة إلى مجال مغناطيسي قوي وفق اصطلاح الرسم المعتاد.

لكن التشبيه لا ينطبق في نقطة مهمة. فعادةً ما تكون خطوط الكنتور الحقيقية على الخرائط الطبوغرافية مرفقة بقيم ارتفاع، مثل 200 m أو 250 m. أما الرسم العادي لخطوط المجال المغناطيسي في HSC فلا تكون لكل خط فيه قيمة عددية محددة.

ما لم يكن المخطط قد عُيِّر تحديدًا، فإن كثافة الخطوط تكون نوعية لا عددية.

ويمنع هذا التمييز أحد أكثر الأخطاء شيوعًا في هذا الموضوع:

رسم عدد أكبر من الخطوط لا يعني بالضرورة وجود مجال مغناطيسي أكبر. أما تقارب الخطوط داخل خريطة مجال مرسومة بطريقة متسقة فيشير إلى مجال مغناطيسي أكبر.

03تحويل الصورة إلى قيمة عددية

في النموذج الكمي للمجال المغناطيسي، نريد قيمة فعلية لـ \(B\).

في فيزياء HSC، تُقاس \(B\) عادةً بوحدة التسلا، ورمزها \(\text{T}\). وبدقة أكبر، تمثل \(B\) كثافة الفيض المغناطيسي، مع أن أسئلة HSC كثيرًا ما تشير إليها ببساطة باعتبارها قوة المجال المغناطيسي.

ومن الوحدات الأصغر المفيدة:

\[
1\ \text{mT}=10^{-3}\ \text{T}
\]

و

\[
1\ \mu\text{T}=10^{-6}\ \text{T}.
\]

هناك طريقتان رئيسيتان للحصول على قيمة عددية للمجال:

1. قياسها، أو
2. حسابها باستخدام نموذج.

قياس \(B\)

يمكن لمسبار هول قياس المجال المغناطيسي عند موضع معين.

افترض أنك تحرّك مسبار هول مبتعدًا عن أحد قطبي مغناطيس. يتنبأ رسم خطوط المجال بأن المجال يجب أن يضعف مع تباعد الخطوط. ويحوّل مسبار هول هذا التنبؤ النوعي إلى أرقام.

قد تحصل على بيانات مثل:

يصف المخطط والقياس المجال نفسه، ولكن بمستويين مختلفين من التفصيل.

هناك تفصيل تجريبي يستحق التذكر. فقد يكون مستشعر هول حساسًا لمركبة المجال المغناطيسي على طول محور معيّن. لذلك يكون اتجاه المستشعر مهمًا. والقراءة الصغيرة على نحو غير متوقع لا تعني بالضرورة أن المجال نفسه ضعيف؛ فقد يكون المسبار ببساطة غير محاذٍ بصورة جيدة.

04حساب المجال حول سلك مستقيم طويل

لبعض أشكال المجالات نماذج رياضية بسيطة.

بالنسبة إلى سلك مستقيم طويل يمر فيه تيار \(I\)، فإن المجال المغناطيسي على مسافة عمودية \(r\) من السلك يساوي

\[
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
\]

حيث:

• \(B\) هي قوة المجال المغناطيسي بوحدة التسلا، \(\text{T}\)،
• \(I\) هو التيار بوحدة الأمبير، \(\text{A}\)،
• \(r\) هي المسافة العمودية من السلك بوحدة المتر، \(\text{m}\)، و
• \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}\) هي نفاذية الفراغ.

انظر إلى ما تقوله المعادلة قبل إجراء أي حسابات.

عند ثبات التيار،

\[
B\propto\frac{1}{r}.
\]

إذن، إذا ضاعفت المسافة بينك وبين السلك، فتوقّع ما الذي سيحدث لـ \(B\).

تنخفض إلى النصف.

وينبغي أن ينعكس ذلك أيضًا على رسمك النوعي. فخطوط المجال الدائرية المرسومة قرب السلك يجب أن تمثل مجالًا أقوى من المناطق الأبعد عنه.

05حساب المجال داخل ملف لولبي

ينتج الملف اللولبي الطويل نمطًا آخر مفيدًا بصورة خاصة للمجال.

بالقرب من المركز، تكون خطوط المجال مستقيمة ومتوازية ومتساوية التباعد تقريبًا. وهذه هي العلامة البصرية الدالة على مجال مغناطيسي منتظم تقريبًا.

بالنسبة إلى ملف لولبي طويل مثالي في الهواء،

\[
B=\mu_0 nI,
\]

حيث \(n\) هو عدد اللفات لكل متر.

وبما أن

\[
n=\frac{N}{L},
\]

فيمكننا أيضًا أن نكتب

\[
B=\mu_0\frac{N}{L}I,
\]

حيث:

• \(N\) هو العدد الكلي للفات،
• \(L\) هو طول الملف اللولبي بالأمتار، و
• \(I\) هو التيار بالأمبير.

يتنبأ النموذج بشيء لا يلمّح إليه رسم خطوط المجال إلا جزئيًا. فزيادة التيار تزيد \(B\). كما أن زيادة عدد اللفات لكل متر تزيد \(B\) أيضًا.

تُشرح تفاصيل نمط المجال في المجال المغناطيسي داخل ملف لولبي: شرح فيزياء HSC.

وهناك قيد مهم. تفترض المعادلة ملفًا لولبيًا طويلًا ومثاليًا، وتكون أكثر دقة بالقرب من مركزه. أما الملف اللولبي الحقيقي فله نهايتان، ولذلك يصبح مجاله أقل انتظامًا بالقرب منهما.

06عندما ينشأ المجال من أكثر من مصدر

غالبًا ما تتداخل المجالات المغناطيسية الحقيقية.

افترض أن مصدرين ينتجان مجالين مغناطيسيين \(\vec B_1\) و\(\vec B_2\) عند النقطة نفسها. المجال الفعلي ليس ببساطة المجال الذي يبدو أقوى في الرسم.

بل هو المجموع المتجهي:

\[
\vec B_{\text{net}}=\vec B_1+\vec B_2.
\]

وهنا يصبح الاتجاه مهمًا بقدر أهمية المقدار.

إذا كان مجالان مقدارهما \(3\ \text{mT}\) يشيران في الاتجاه نفسه، فإن المجال المحصل يساوي \(6\ \text{mT}\).

وإذا كانا يشيران في اتجاهين متعاكسين، فإن المجال المحصل يساوي صفرًا.

وهذا الصفر حقيقي، رغم أن كلا المصدرين لا يزال ينتج مجالًا مغناطيسيًا على حدة. فالمجالان لم يختفيا؛ بل تلغي متجهاتهما بعضها بعضًا عند ذلك الموضع.

وهنا يمكن للحسابات الكمية أن تكشف أمرًا قد يكون من السهل إغفاله في الرسم.

07كيف تقرر أي نموذج تستخدم؟

من القواعد المفيدة لاتخاذ القرار في HSC:

المهم ليس الاختيار بين نموذج نوعي وآخر كمي. ففي العادة تحتاج إلى كليهما.

يخبرك الرسم بنوع الإجابة المنطقي فيزيائيًا. أما المعادلة أو القياس فيخبرك بمقدار المجال الفعلي.

08أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً

افترض أن أحد رسومات ملف لولبي يحتوي على ستة خطوط مجال داخلية، بينما يحتوي رسم آخر على اثني عشر خطًا.

هل يمكنك استنتاج أن الملف اللولبي الثاني له قوة مجال مغناطيسي تساوي ضعفي الأول؟

لا.

فقد يكون الرسام قد رسم ببساطة عددًا أكبر من الخطوط.

والآن غيّر الحالة. افترض أن الملفين اللولبيين يظهران في المخطط نفسه الذي أُنشئ بعناية، باستخدام المقياس نفسه واصطلاح كثافة الخطوط نفسه، وأن الخطوط داخل أحد الملفين أكثر تقاربًا بوضوح.

عندئذ يكون من المعقول استنتاج أن مجاله أقوى.

وهناك مستوى أعمق من هذه الفكرة. يمكن بالفعل جعل كثافة خطوط المجال كمية إذا أُنشئ المخطط صراحةً بحيث يمثل كل خط المقدار نفسه من الفيض المغناطيسي، وكان المقياس المكاني معلومًا. لكن رسومات المجال العادية في HSC لا توفر عادةً هذا النوع من المعايرة.

لذلك لا تقس عدد المليمترات بين خطين مرسومين يدويًا ثم تحوله إلى تسلا. فهذا يمنح الرسم دقة لم يَدَّعِ امتلاكها أصلًا.

09الأسئلة والحلول

السؤال 1

يُظهر مخطط لخطوط المجال المغناطيسي حول مغناطيس دائم النقطة P بالقرب من أحد القطبين، حيث تكون الخطوط متقاربة، والنقطة Q أبعد منه، حيث تكون الخطوط أكثر تباعدًا. عند P، يشير مماس خط المجال نحو اليمين.

حدّد اتجاه المجال المغناطيسي عند P وقارن قوة المجال عند P بقوة المجال عند Q. هل يمكن استخدام المخطط وحده لحساب النسبة العددية \(B_P/B_Q\)؟

الحل 1

يشير المجال المغناطيسي عند P نحو اليمين، و\(B_P>B_Q\)، لكن لا يمكن عادةً تحديد النسبة العددية \(B_P/B_Q\) من رسم غير مُعاير لخطوط المجال.

يكون اتجاه المجال مماسًا لخط المجال عند P، ولذلك يحدد المماس المتجه نحو اليمين اتجاه \(\vec B\).

الخطوط أكثر تقاربًا عند P منها عند Q. ووفق اصطلاح الرسم المتسق المعتاد، يمثل ذلك مجالًا أقوى عند P.

الخطأ المغري هو عدّ الخطوط أو قياس تباعدها على الصفحة وتحويل ذلك مباشرةً إلى نسبة بين قوى المجال. يعطي الرسم العادي لخطوط المجال قوة نسبية، لا مقياسًا عدديًا. ومن دون معايرة إضافية، لا يمكننا القول إن المجال عند P يساوي ضعفي أو ثلاثة أضعاف أو أي مضاعف دقيق آخر للمجال عند Q.

السؤال 2

يمر سلك رأسي مستقيم طويل إلى أعلى عبر سطح طاولة أفقي. ويكون مسبار هول محاذيًا لاتجاه الشمال-الجنوب، ويوضع على مسافة \(4.0\ \text{cm}\) شرق السلك ثم على مسافة \(4.0\ \text{cm}\) غربه. وتعني القراءات الموجبة أن المجال يشير نحو الشمال.

القياسات هي:

• شرق السلك: \(+55\ \mu\text{T}\)،
• غرب السلك: \(-5\ \mu\text{T}\).

افترض وجود مجال مغناطيسي خلفي منتظم أيضًا، يتجه شمالًا أو جنوبًا. واعتبر السلك طويلًا بصورة لا نهائية.

حدّد:

1. مقدار المجال الخلفي واتجاهه،
2. المجال المغناطيسي الذي ينتجه السلك عند \(4.0\ \text{cm}\)،
3. شدة التيار في السلك، و
4. ما إذا كان التيار يتحرك إلى أعلى أم إلى أسفل عبر سطح الطاولة.

الحل 2

المجال الخلفي مقداره \(25\ \mu\text{T}\) نحو الشمال، وينتج السلك مجالًا مقداره \(30\ \mu\text{T}\) عند \(4.0\ \text{cm}\)، وشدة التيار \(6.0\ \text{A}\)، ويتجه التيار إلى أعلى عبر سطح الطاولة.

عند مسافتين متساويتين على جانبي سلك مستقيم، يكون المجال المغناطيسي الناتج عن السلك متساوي المقدار ومتعاكس الاتجاه.

لتكن \(B_0\) المجال الخلفي بإشارته، و\(B_w\) مجال السلك على الجانب الشرقي. وباعتبار الشمال موجبًا،

\[
B_0+B_w=55\ \mu\text{T}
\]

و

\[
B_0-B_w=-5\ \mu\text{T}.
\]

بجمع المعادلتين نحصل على

\[
2B_0=50\ \mu\text{T},
\]

ومن ثم

\[
B_0=25\ \mu\text{T}.
\]

والإشارة الموجبة تعني أن الاتجاه نحو الشمال.

بالتعويض في القياس الشرقي،

\[
25+B_w=55,
\]

إذن

\[
B_w=30\ \mu\text{T}
=3.0\times10^{-5}\ \text{T}.
\]

استخدم الآن

\[
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
\]

بإعادة ترتيب المعادلة،

\[
I=\frac{2\pi rB}{\mu_0}.
\]

عندما \(r=0.040\ \text{m}\)،

\[
\begin{aligned}
I&=\frac{2\pi(0.040)(3.0\times10^{-5})}
{4\pi\times10^{-7}}\\
&=6.0\ \text{A}.
\end{aligned}
\]

على الجانب الشرقي، يشير مجال السلك نحو الشمال. ولذلك تعطي قاعدة قبضة اليد اليمنى تيارًا متجهًا إلى أعلى عبر سطح الطاولة.

الطريقة المغرية هي التعويض مباشرةً بأي من قراءتي مسبار هول في معادلة السلك المستقيم. وهذا سيعامل المجال الكلي المقاس بصورة خاطئة كما لو كان ناتجًا عن السلك وحده. ويجب أولًا فصل المجال الخلفي عن مساهمة السلك.

السؤال 3

يتداخل ملفان لولبيان طويلان على المحور نفسه. أهمل تأثيرات النهايات.

يحتوي الملف اللولبي A على \(1000\) لفة لكل متر ويمر فيه تيار مقداره \(2.0\ \text{A}\). ويتجه مجاله خلال منطقة التداخل نحو الشرق.

أما الملف اللولبي B فيحتوي على \(1500\) لفة لكل متر ويمر فيه تيار في الاتجاه المعاكس، ولذلك يتجه مجاله نحو الغرب.

يقيس مسبار هول في منطقة التداخل مجالًا محصلًا مقداره \(0.25\ \text{mT}\) نحو الشرق.

احسب شدة التيار في الملف اللولبي B. ثم قارن كثافة خطوط المجال المتوقعة في منطقة التداخل بكثافتها في منطقة تقع داخل الملف اللولبي A ولكن خارج الملف اللولبي B.

الحل 3

يمر في الملف اللولبي B تيار مقداره تقريبًا \(1.20\ \text{A}\)، وينبغي أن تكون خطوط المجال في منطقة التداخل أقل كثافة بكثير منها في منطقة تحتوي فقط على المجال الناتج عن الملف اللولبي A.

بالنسبة إلى ملف لولبي مثالي،

\[
B=\mu_0 nI.
\]

ينتج الملف اللولبي A

\[
\begin{aligned}
B_A
&=(4\pi\times10^{-7})(1000)(2.0)\\
&=2.51\times10^{-3}\ \text{T}\\
&=2.51\ \text{mT}.
\end{aligned}
\]

اعتبر الشرق موجبًا. ولأن الملف اللولبي B ينتج مجالًا متجهًا غربًا،

\[
B_{\text{net}}=B_A-B_B.
\]

إذن،

\[
0.25\times10^{-3}
=\mu_0(1000)(2.0)-\mu_0(1500)I_B.
\]

اقسم على \(\mu_0\):

\[
\frac{0.25\times10^{-3}}{4\pi\times10^{-7}}
=2000-1500I_B.
\]

يساوي الطرف الأيسر تقريبًا \(199\ \text{A m}^{-1}\)، ولذلك

\[
1500I_B\approx2000-199=1801.
\]

ومن ثم

\[
I_B\approx1.20\ \text{A}.
\]

داخل الملف اللولبي A وحده، يبلغ المجال نحو \(2.51\ \text{mT}\). أما في منطقة التداخل، فلا يتجاوز المجال المحصل \(0.25\ \text{mT}\)، ولذلك يجب أن تُظهر خريطة نوعية متسقة للمجال كثافة أقل بكثير لخطوط المجال هناك.

الخطأ المغري هو جمع \(B_A\) و\(B_B\) لمجرد وجود مصدرين مغناطيسيين. المجالات المغناطيسية متجهات. وفي هذه الحالة، اتجاههما متعاكس، ولذلك يقلل الملف اللولبي الثاني المجال المحصل بدلًا من زيادته.

السؤال 4

يمر سلكان طويلان متوازيان عموديًا إلى خارج الصفحة. وتبلغ المسافة بينهما \(12\ \text{cm}\).

يمر في السلك الأيسر تيار مقداره \(6.0\ \text{A}\) إلى خارج الصفحة. ويمر في السلك الأيمن تيار مقداره \(3.0\ \text{A}\) إلى خارج الصفحة.

يجادل طالب بأن المجال المغناطيسي المحصل لا بد أن يساوي صفرًا عند نقطة المنتصف لأن هذه النقطة تبعد المسافة نفسها عن كلا السلكين.

أوجد:

1. الموضع بين السلكين الذي يكون عنده المجال المحصل صفرًا بالفعل،
2. مقدار المجال المحصل واتجاهه عند نقطة المنتصف، و
3. كيف ينبغي أن يعكس تمثيل نوعي جيد لخطوط المجال موضع المجال الصفري.

الحل 4

يساوي المجال المحصل صفرًا على مسافة \(8.0\ \text{cm}\) من السلك ذي التيار \(6.0\ \text{A}\)، وعلى مسافة \(4.0\ \text{cm}\) من السلك ذي التيار \(3.0\ \text{A}\). وعند نقطة المنتصف، يبلغ المجال المحصل \(10\ \mu\text{T}\) إلى أعلى الصفحة.

بين تيارين متجهين إلى خارج الصفحة، يتعاكس المجالان المغناطيسيان.

لتكن \(x\) المسافة من السلك ذي التيار \(6.0\ \text{A}\) إلى نقطة المجال الصفري. عندئذ تكون المسافة من السلك ذي التيار \(3.0\ \text{A}\) هي \(0.12-x\).

حتى يحدث الإلغاء، يجب أن يكون مقدارا المجالين متساويين:

\[
\frac{\mu_0(6.0)}{2\pi x}
=
\frac{\mu_0(3.0)}{2\pi(0.12-x)}.
\]

ألغِ العوامل المشتركة:

\[
\frac{6.0}{x}
=
\frac{3.0}{0.12-x}.
\]

إذن،

\[
6.0(0.12-x)=3.0x,
\]

ومن ثم

\[
0.72=9.0x
\]

و

\[
x=0.080\ \text{m}=8.0\ \text{cm}.
\]

تقع نقطة الصفر أقرب إلى السلك الأضعف ذي التيار \(3.0\ \text{A}\). وهذا منطقي فيزيائيًا: يجب أن تكون أقرب إلى المصدر الأضعف حتى يصبح مجاله مساويًا لمجال المصدر الأقوى.

عند نقطة المنتصف، \(r=0.060\ \text{m}\) من كل سلك.

بالنسبة إلى السلك ذي التيار \(6.0\ \text{A}\)،

\[
\begin{aligned}
B_1
&=\frac{(4\pi\times10^{-7})(6.0)}
{2\pi(0.060)}\\
&=2.0\times10^{-5}\ \text{T}\\
&=20\ \mu\text{T}.
\end{aligned}
\]

وبالنسبة إلى السلك ذي التيار \(3.0\ \text{A}\)،

\[
B_2=10\ \mu\text{T}.
\]

وباستخدام قاعدة اليد اليمنى، يشير مجال السلك الأيسر عند نقطة المنتصف إلى أعلى الصفحة، بينما يشير مجال السلك الأيمن إلى أسفلها.

إذن،

\[
B_{\text{net}}=20-10=10\ \mu\text{T}
\]

إلى أعلى.

يجب أن تُظهر خريطة نوعية للمجال منطقة ذات مجال ضعيف جدًا حول نقطة الإلغاء الحقيقية، على مسافة \(8.0\ \text{cm}\) من السلك الأيسر، لا عند نقطة المنتصف الهندسية تلقائيًا.

يعتمد الاستدلال المغري على تناظر المسافات وحده. لكن الترتيب غير متناظر فيزيائيًا لأن التيارين مختلفان. فالمسافات المتساوية لا تنتج مجالات متساوية عندما تكون \(I\) غير متساوية.

السؤال 5

يمر سلك رأسي طويل إلى أعلى عبر سطح أفقي ويحمل تيارًا مقداره \(10\ \text{A}\). ويوجد مجال مغناطيسي منتظم منفصل مقداره \(40\ \mu\text{T}\) يشير نحو الشمال.

عند النظر من أعلى، يدور المجال المغناطيسي للسلك عكس اتجاه عقارب الساعة.

يتحرك مسبار هول على طول خط الشرق-الغرب المار عبر السلك، وتُعرَّف القراءات الموجبة بأنها في اتجاه الشمال.

حدّد:

1. ما إذا كانت توجد نقطة شرق السلك أو غربه يكون عندها المجال المغناطيسي المحصل صفرًا،
2. قراءات مسبار هول بإشارتها عند \(4.0\ \text{cm}\) غرب السلك و\(6.0\ \text{cm}\) غربه، و
3. ما الذي يحدث لاتجاه المجال عندما يمر المسبار عبر نقطة المجال الصفري.

ثم يقول طالب: «لا بد أن يستمر خط المجال المغناطيسي بسلاسة في خط مستقيم عبر تلك النقطة، لأن خطوط المجال المغناطيسي لا تتقاطع ولا تتوقف.» قيّم هذه العبارة.

الحل 5

توجد نقطة واحدة يكون عندها المجال صفريًا على مسافة \(5.0\ \text{cm}\) غرب السلك، ولا توجد نقطة صفر مماثلة شرق السلك، وينعكس اتجاه المجال المحصل عندما يمر المسبار عبر نقطة الصفر الغربية. وعند نقطة الصفر نفسها، يكون \(\vec B=0\)، ولذلك يكون اتجاه المجال المغناطيسي غير معرّف.

على الجانب الغربي من سلك يمر فيه تيار إلى أعلى، يشير المجال المغناطيسي للسلك، الذي يدور عكس اتجاه عقارب الساعة، نحو الجنوب. ولذلك فهو يعاكس المجال الخلفي البالغ \(40\ \mu\text{T}\) والمتجه نحو الشمال.

حتى يحدث الإلغاء،

\[
B_{\text{wire}}=B_{\text{background}}.
\]

وباستخدام

\[
B_{\text{wire}}
=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
\]

نحصل على

\[
40\times10^{-6}
=
\frac{(4\pi\times10^{-7})(10)}
{2\pi r}.
\]

وبما أن

\[
\frac{\mu_0 I}{2\pi}
=2.0\times10^{-6}\ \text{T m},
\]

فإن

\[
r=\frac{2.0\times10^{-6}}
{40\times10^{-6}}
=0.050\ \text{m}.
\]

إذن،

\[
r=5.0\ \text{cm}
\]

غرب السلك.

على الجانب الشرقي، يشير مجال السلك نحو الشمال. ولذلك فإنه يضاف إلى المجال الخلفي المتجه شمالًا بدلًا من معارضته، ومن ثم لا توجد نقطة صفر هناك.

عند \(4.0\ \text{cm}\) غرب السلك،

\[
\begin{aligned}
B_{\text{wire}}
&=\frac{2.0\times10^{-6}}{0.040}\\
&=50\ \mu\text{T}.
\end{aligned}
\]

يشير هذا المجال نحو الجنوب، بينما يبلغ المجال الخلفي \(40\ \mu\text{T}\) نحو الشمال. وباعتبار الشمال موجبًا،

\[
B_{\text{net}}=40-50=-10\ \mu\text{T}.
\]

إذن يقرأ المسبار

\[
-10\ \mu\text{T},
\]

أي \(10\ \mu\text{T}\) نحو الجنوب.

عند \(6.0\ \text{cm}\) غرب السلك،

\[
\begin{aligned}
B_{\text{wire}}
&=\frac{2.0\times10^{-6}}{0.060}\\
&=33.3\ \mu\text{T}.
\end{aligned}
\]

إذن،

\[
B_{\text{net}}=40-33.3
=+6.7\ \mu\text{T}.
\]

يشير المجال الآن نحو الشمال.

وهكذا، عند التحرك من \(4.0\ \text{cm}\) غرب السلك إلى \(6.0\ \text{cm}\) غربه، يتغير المجال المحصل من اتجاه جنوبي، مرورًا بالصفر عند \(5.0\ \text{cm}\)، إلى اتجاه شمالي.

تغفل حجة الطالب شرطًا مهمًا وراء القواعد المعتادة لخطوط المجال. فعند نقطة عادية يكون فيها \(B\neq0\)، يكون لخط المجال مماس فريد لأن للمجال المغناطيسي اتجاهًا فريدًا. أما عند نقطة الإلغاء،

\[
\vec B=0.
\]

والمتجه الصفري ليس له اتجاه. ولذلك لا يمكن للتعليمات المعتادة «ارسم خط المجال مماسًا لـ \(\vec B\)» أن تحدد اتجاهًا فريدًا عند تلك النقطة بالضبط.

يجب أن تُظهر خريطة دقيقة للمجال منطقة ضعيفة المجال أو منطقة انعدام حول نقطة الإلغاء، مع تغير نمط المجال المحيط كلما أصبحت إحدى مساهمتي المجال هي المسيطرة. ولا يمكنك الإصرار على أن خط مجال عاديًا واحدًا يستمر ببساطة في خط مستقيم عبر نقطة الصفر باستخدام قاعدة تفترض أصلًا وجود اتجاه غير صفري للمجال.

الإجابة الأولى المغرية هي أنه ما دام كلا المصدرين ينتجان مجالين مغناطيسيين، فلا بد أن يبقى بعض المجال المغناطيسي في كل مكان. لكن القيد الحاسم هو مبدأ التراكب المتجهي: يمكن لمجالين غير صفريين أن ينتجا مجالًا محصلًا يساوي صفرًا عندما يكون مقدارهما متساويًا واتجاهاهما متعاكسين.

10ما الذي يتيح لك هذا فعله بعد ذلك؟

بمجرد أن تتمكن من الانتقال بثقة بين مخططات خطوط المجال والقيم العددية لـ \(B\)، تصبح مسائل القوة المغناطيسية أقل غموضًا بكثير.

يخبرك نموذج خطوط المجال بالاتجاه الذي يشير إليه المجال وكيف تتغير قوته عبر الفضاء. أما النموذج الكمي فيعطيك قيمة \(B\) اللازمة في معادلات مثل \(F=BIL\sin\theta\) أو \(F=qvB\sin\theta\).

وهذا هو التقسيم المفيد للأدوار: تخبرك الصورة بما يفعله المجال، بينما يخبرك الرقم بمدى قوة تأثيره في شيء موضوع داخل ذلك المجال.