المجال المغناطيسي حول سلك يمر فيه تيار: فيزياء HSC
تعلّم كيفية استخدام قاعدة اليد اليمنى وحساب شدة المجال المغناطيسي حول سلك مستقيم طويل يمر فيه تيار. يتضمن أمثلة محلولة وتدريبات بأسلوب HSC.
بوصلة موضوعة بجانب سلك مستقيم. عندما لا يمر تيار، تشير تقريبًا نحو الشمال. شغّل التيار، فتدور إبرة البوصلة إلى الجانب.
في أي اتجاه ينبغي أن تدور؟ وإذا أبعدت البوصلة عن السلك إلى ضعف المسافة، فهل يصبح المجال المغناطيسي نصف قوته، أم ربع قوته، أم يبقى كما هو؟
يلخّص هذان السؤالان الفكرة الأساسية للمجال المغناطيسي حول سلك يمر فيه تيار. يحدد التيار اتجاه المجال، بينما يحدد كلٌّ من شدة التيار والمسافة قوته.
01كيف يبدو المجال حول السلك؟
ابدأ بسلك مستقيم طويل يمر فيه تيار ثابت إلى أعلى.
قد تتصور في البداية أن المجال المغناطيسي يشير أيضًا إلى أعلى، متبعًا الشحنات المتحركة. لكنه لا يفعل ذلك. بل يلتف المجال المغناطيسي حول السلك.
تخيّل أنك تنظر مباشرة على امتداد السلك. سيظهر السلك كنقطة أمامك، بينما يشكل المجال المغناطيسي دوائر مركزها تلك النقطة.
تمثل كل دائرة خطًا من خطوط المجال المغناطيسي. يكون المجال أقوى بالقرب من السلك، ويصبح أضعف كلما ابتعدنا عنه.
يختلف هذا عن المجال حول مغناطيس قضيب، حيث تنحني خطوط المجال من أحد القطبين نحو الآخر. إذا كنت بحاجة إلى مراجعة لما تمثله خطوط المجال فعليًا، فراجع خطوط المجال المغناطيسي حول المغناطيسات الدائمة.
هذا التصور الدائري هو أول نموذج مفيد لنا. وهو يفترض أن السلك مستقيم وطويل جدًا فعليًا مقارنة بالمسافات التي نهتم بها. بالقرب من نهاية سلك قصير، يكون المجال أكثر تعقيدًا.
02إيجاد الاتجاه: قاعدة قبضة اليد اليمنى
يدور المجال حول السلك، لكنه قد يدور في أي من الاتجاهين. لاختيار الاتجاه الصحيح، استخدم قاعدة قبضة اليد اليمنى.
وجّه إبهام يدك اليمنى في اتجاه التيار الاصطلاحي. يوضح اتجاه انحناء أصابعك اتجاه المجال المغناطيسي.
على سبيل المثال:
- إذا كان التيار إلى أعلى، يلتف المجال حول السلك في أحد الاتجاهين،
- عكس اتجاه التيار يعكس اتجاه المجال المغناطيسي،
- زيادة شدة التيار تجعل المجال أقوى، لكنها لا تغير قاعدة الاتجاه هذه.
كلمة الاصطلاحي مهمة. يُعرَّف التيار الاصطلاحي بأنه الاتجاه الذي ستتحرك فيه الشحنة الموجبة. أما في سلك معدني، فإن الإلكترونات تنجرف فعليًا في الاتجاه المعاكس.
إلى داخل الصفحة وإلى خارجها
غالبًا ما تُظهر رسومات الفيزياء سلكًا عموديًا على الصفحة.
تعني النقطة، \(\odot\)، أن التيار يتجه إلى خارج الصفحة نحوك. تخيّل رأس سهم يطير باتجاه وجهك.
وتعني علامة التقاطع، \(\otimes\)، أن التيار يتجه إلى داخل الصفحة مبتعدًا عنك. تخيّل ريش مؤخرة سهم يختفي داخل الصفحة.
جرّب الإجابة قبل متابعة القراءة: إذا كان التيار خارجًا من الصفحة، فهل يدور المجال المغناطيسي مع اتجاه عقارب الساعة أم عكس اتجاهها؟
وجّه إبهام يدك اليمنى نحو نفسك. ستنحني أصابعك عكس اتجاه عقارب الساعة. إذن:
| اتجاه التيار | اتجاه المجال المغناطيسي |
|---|---|
| إلى خارج الصفحة \(\odot\) | عكس اتجاه عقارب الساعة |
| إلى داخل الصفحة \(\otimes\) | مع اتجاه عقارب الساعة |
من الأفضل أن تعرف ذلك عن طريق الاستدلال بدلًا من حفظه كحقيقتين منفصلتين. إذا نسيت الجدول، يمكنك إعادة استنتاجه باستخدام يدك اليمنى.
ومن الطرق الطريفة قليلًا لتصور القاعدة أن السلك ومجاله المغناطيسي في علاقة شديدة التعلّق: التيار يمضي مباشرة إلى الأمام، بينما يصر المجال على الالتفاف حوله. وبالطبع، ينتهي التشبيه عند هذا الحد. فالمجال المغناطيسي ليس جسمًا ماديًا ملفوفًا حول السلك.
03ما قوة المجال المغناطيسي؟
بالنسبة إلى سلك مستقيم طويل يمر فيه تيار \(I\)، فإن شدة المجال المغناطيسي عند مسافة عمودية \(r\) من السلك تساوي
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
حيث:
- \(B\) هي كثافة الفيض المغناطيسي بوحدة تسلا، \(\text{T}\)،
- \(\mu_0\) هي نفاذية الفراغ، وتؤخذ عادة في حسابات HSC على أنها \(4\pi \times 10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}\)،
- \(I\) هي شدة التيار بوحدة الأمبير، \(\text{A}\)،
- \(r\) هي المسافة العمودية من السلك بوحدة المتر، \(\text{m}\).
بالنسبة إلى الهواء، يُعد استخدام \(\mu_0\) تقريبًا ممتازًا في مسائل HSC.
قبل إجراء أي حساب، انظر إلى بنية العلاقة:
\[ B \propto I \]
لذلك فإن مضاعفة شدة التيار تؤدي إلى مضاعفة المجال المغناطيسي.
لكن
\[ B \propto \frac{1}{r} \]
لذلك فإن مضاعفة المسافة تخفض المجال المغناطيسي إلى النصف.
وهي لا تجعل المجال ربع قوته.
غالبًا ما يأتي هذا الخطأ من تذكّر قوانين التربيع العكسي، مثل الجاذبية أو المجال الكهربائي لشحنة نقطية. للسلك المستقيم الطويل هندسة مختلفة، ولذلك يتبع مجاله المغناطيسي علاقة عكسية مع المسافة بدلًا من علاقة التربيع العكسي.
04لماذا تعطي المسافة علاقة \(1/r\)، وليس \(1/r^2\)؟
تخيّل خطًا دائريًا واحدًا للمجال المغناطيسي مركزه السلك.
عند نصف قطر أكبر، يكون محيط الدائرة أكبر. ويُعطى المحيط بالعلاقة
\[ 2\pi r \]
لذلك يزداد مباشرة مع \(r\). يتوزع التأثير المغناطيسي على مسار دائري أطول كلما ابتعدت عن السلك.
وهذا يعطي سلوك \(1/r\) في
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}. \]
يساعد هذا التصور على تفسير النمط الرياضي، لكن لا تدفع التشبيه إلى أبعد من اللازم. فالمجال ليس مادة تُوزَّع فعليًا على أنبوب دائري. العلاقة الدقيقة تأتي من الكهرومغناطيسية، ولأغراض HSC تصف هذه المعادلة المجال حول سلك مستقيم طويل يمر فيه تيار.
مثال محلول: إيجاد المجال بجانب سلك
يمر في سلك مستقيم طويل تيار شدته \(3.0\ \text{A}\). أوجد كثافة الفيض المغناطيسي عند نقطة تبعد \(5.0\ \text{cm}\) عن السلك.
الخطوة 1
\[ r = 5.0\ \text{cm} = 0.050\ \text{m} \]
الخطوة 2
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
الخطوة 3
\[ \begin{aligned} B &= \frac{(4\pi \times 10^{-7})(3.0)} {2\pi(0.050)} \\ &= 1.2\times10^{-5}\ \text{T} \end{aligned} \]
الخطوة 4
كثافة الفيض المغناطيسي هي
\[ \boxed{B = 1.2\times10^{-5}\ \text{T}} \]
عند مسافة \(5.0\ \text{cm}\) من السلك.
لاحظ أن الحساب يعطينا مقدار المجال. ولكي نحدد اتجاه المجال عند نقطة معينة، نحتاج إلى معرفة اتجاه التيار واستخدام قاعدة قبضة اليد اليمنى.
05الاتجاه عند نقطة معينة
إن قولنا إن «المجال يدور عكس اتجاه عقارب الساعة» يصف الدوران العام، لكن قد يطلب منك سؤال في HSC تحديد اتجاه المجال عند نقطة.
افترض أن التيار يخرج من الصفحة، ولذلك يدور المجال عكس اتجاه عقارب الساعة.
عند نقطة تقع مباشرة إلى يمين السلك، يشير المجال إلى أعلى. وعند نقطة تقع مباشرة فوق السلك، يشير إلى اليسار.
لماذا؟ لأن متجه المجال المغناطيسي يكون مماسًا لخط المجال الدائري عند ذلك الموضع.
من السهل إغفال هذا الفرق. فالمجال لا يشير نحو السلك أو بعيدًا عنه. بل يشير على امتداد الدائرة.
مثال محلول: إيجاد المقدار والاتجاه معًا
يمر في سلك مستقيم طويل تيار شدته \(8.0\ \text{A}\) إلى داخل الصفحة. تقع النقطة \(P\) على مسافة \(12\ \text{cm}\) مباشرة إلى يمين السلك. حدد كثافة الفيض المغناطيسي عند \(P\)، بما في ذلك اتجاهها.
الخطوة 1
التيار داخل الصفحة. وجّه إبهام يدك اليمنى إلى داخل الصفحة. ستنحني أصابعك مع اتجاه عقارب الساعة.
عند نقطة إلى يمين السلك، يشير المجال الدائري المتجه مع عقارب الساعة إلى أسفل.
إذن المجال المغناطيسي عند \(P\) يتجه إلى أسفل.
الخطوة 2
\[ r = 12\ \text{cm} = 0.12\ \text{m} \]
الخطوة 3
\[ \begin{aligned} B &= \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \\ &= \frac{(4\pi \times 10^{-7})(8.0)} {2\pi(0.12)} \\ &= 1.33\times10^{-5}\ \text{T} \end{aligned} \]
الخطوة 4
\[ \boxed{B = 1.3\times10^{-5}\ \text{T إلى أسفل}} \]
أعطتنا المعادلة مقدار المجال، بينما أعطتنا قاعدة اليد اليمنى اتجاهه. وعادة ما تحتاج إلى الفكرتين معًا.
06طريقة مختصرة مفيدة لمقارنة المجالات
إذا كنت تحتاج فقط إلى مقارنة حالتين تتعلقان بالنوع نفسه من الأسلاك، فغالبًا لا تحتاج إلى التعويض عن \(\mu_0\).
لأن
\[ B \propto \frac{I}{r}, \]
يمكنك مقارنة مجالين باستخدام
\[ \frac{B_2}{B_1} = \frac{I_2}{I_1} \frac{r_1}{r_2}. \]
افترض أن شدة التيار أصبحت ثلاثة أضعاف، بينما تضاعفت المسافة. عندئذٍ
\[ \frac{B_2}{B_1} = 3\times\frac{1}{2} = 1.5. \]
يصبح المجال المغناطيسي الجديد \(1.5\) مرة من المجال الأصلي.
وغالبًا ما تكون هذه الطريقة أكثر أمانًا من حساب شدتي المجال بصورة منفصلة ثم قسمتهما بعد ذلك.
07أكثر الأخطاء الشائعة
| الفكرة المغرية | ما يحدث فعليًا |
|---|---|
| يشير المجال المغناطيسي في اتجاه التيار. | يدور المجال حول السلك. |
| يحدد تدفق الإلكترونات اتجاه الإبهام. | استخدم التيار الاصطلاحي في قاعدة اليد اليمنى. |
| مضاعفة \(r\) تجعل \(B\) ربع قيمتها. | \(B\propto 1/r\)، لذلك فإن مضاعفة \(r\) تخفض \(B\) إلى النصف. |
| التيار الأكبر يغير اتجاه الدوران. | مقدار التيار يغير شدة المجال. أما عكس التيار فيغير اتجاه المجال. |
| المجال عند نقطة يشير على امتداد نصف القطر. | يشير مماسًا لخط المجال الدائري. |
| تُقاس \(r\) على امتداد السلك. | \(r\) هي أقصر مسافة عمودية من السلك. |
| تعمل \(B=\mu_0I/(2\pi r)\) مع أي جزء من سلك. | تنطبق على سلك مثالي مستقيم وطويل. |
هناك نقطة دقيقة أخيرة: عندما تقترب \(r\) من الصفر، توحي المعادلة المثالية بأن \(B\) تصبح كبيرة للغاية. لكن السلك الحقيقي له نصف قطر محدود، ولذلك لا يمكنك الاستمرار في معاملة التيار كله كما لو كان متركزًا على خط عديم السمك حتى الوصول إلى \(r=0\). للنموذج حدود.
08الأسئلة والحلول
السؤال 1
يمر في سلك مستقيم طويل تيار شدته \(5.0\ \text{A}\). احسب كثافة الفيض المغناطيسي على مسافة \(8.0\ \text{cm}\) من السلك.
الحل 1
كثافة الفيض المغناطيسي هي \(\boxed{1.25\times10^{-5}\ \text{T}}\).
بالنسبة إلى سلك مستقيم طويل،
\[ B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}. \]
يجب أولًا تحويل المسافة إلى أمتار:
\[ r=8.0\ \text{cm}=0.080\ \text{m}. \]
بالتعويض،
\[ \begin{aligned} B &=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5.0)} {2\pi(0.080)}\\ &=1.25\times10^{-5}\ \text{T}. \end{aligned} \]
إذن فإن نقطة تبعد \(8.0\ \text{cm}\) عن السلك تتعرض لكثافة فيض مغناطيسي مقدارها تقريبًا \(12.5\ \mu\text{T}\).
السؤال 2
يمر تيار في سلك إلى خارج الصفحة. تقع النقطة \(Q\) مباشرة أسفل السلك.
ما اتجاه المجال المغناطيسي عند \(Q\)؟ اشرح استدلالك باستخدام قاعدة اليد اليمنى.
الحل 2
يشير المجال المغناطيسي عند \(Q\) إلى اليمين.
مع خروج التيار الاصطلاحي من الصفحة، وجّه إبهام يدك اليمنى نحو نفسك. ستنحني أصابعك عكس اتجاه عقارب الساعة.
لذلك يتبع المجال المغناطيسي دائرة تسير عكس اتجاه عقارب الساعة حول السلك. وعند النقطة الواقعة مباشرة أسفل السلك، يشير المماس لتلك الدائرة إلى اليمين.
الخطأ الشائع هو القول إن المجال يشير إلى أسفل لأن \(Q\) تقع أسفل السلك. وهذا سيجعل المجال شعاعيًا. أما المجال الفعلي فهو مماس لخط المجال الدائري.
السؤال 3
عند النقطة \(P\)، ينتج سلك يمر فيه تيار شدته \(2.0\ \text{A}\) مجالًا مغناطيسيًا مقداره \(B\).
تزداد شدة التيار إلى \(6.0\ \text{A}\)، وتُنقل النقطة \(P\) من مسافة \(4.0\ \text{cm}\) إلى \(12\ \text{cm}\) من السلك.
حدد المجال المغناطيسي الجديد بدلالة \(B\).
الحل 3
للمجال المغناطيسي الجديد المقدار نفسه، \(B\).
بالنسبة إلى سلك مستقيم طويل،
\[ B\propto\frac{I}{r}. \]
بمقارنة المجال الجديد بالمجال الأصلي،
\[ \begin{aligned} \frac{B_2}{B_1} &= \frac{I_2}{I_1} \frac{r_1}{r_2}\\ &= \frac{6.0}{2.0} \times \frac{4.0}{12}\\ &=3\times\frac13\\ &=1. \end{aligned} \]
إذن،
\[ B_2=B_1=B. \]
أصبحت شدة التيار ثلاثة أضعاف، وهذا وحده كان سيجعل المجال ثلاثة أضعاف. لكن المسافة أصبحت أيضًا ثلاثة أضعاف، مما يخفض المجال بمعامل ثلاثة. لذلك يلغي التأثيران بعضهما تمامًا.
السؤال 4
يختلف طالبان حول سلك مستقيم طويل يمر فيه تيار ثابت.
يقول الطالب A: «إذا ابتعدت إلى ضعف المسافة، فينبغي أن يصبح المجال المغناطيسي ربع قوته لأن المجالات تضعف مع مربع المسافة.»
ويقول الطالب B: «يصبح نصف قوته.»
أي الطالبين على صواب؟ اشرح لماذا تبدو حجة الآخر معقولة، لكنها لا تنطبق هنا.
الحل 4
الطالب B على صواب: مضاعفة المسافة تخفض المجال المغناطيسي إلى النصف.
بالنسبة إلى سلك مستقيم طويل يمر فيه تيار،
\[ B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}, \]
لذلك
\[ B\propto\frac1r. \]
إذا تغيرت المسافة من \(r\) إلى \(2r\)،
\[ B_{\text{الجديد}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi(2r)} = \frac12 B_{\text{الأصلي}}. \]
تبدو حجة الطالب A معقولة لأن عدة مجالات مألوفة، ومنها مجال الجاذبية لكتلة نقطية والمجال الكهربائي لشحنة نقطية، تتبع علاقة التربيع العكسي.
لكن الهندسة هنا مختلفة. فالمجال المغناطيسي لسلك مستقيم طويل مثالي يشكل دوائر متحدة المركز، والعلاقة ذات الصلة هي \(1/r\)، وليس \(1/r^2\). لا ينبغي أن تفترض أن كل مجال يتبع قانون المسافة نفسه.
السؤال 5
يمر في سلك مستقيم طويل تيار شدته \(10\ \text{A}\) إلى خارج الصفحة. تقع النقطة \(R\) في البداية على مسافة \(20\ \text{cm}\) مباشرة إلى يمين السلك.
بعد ذلك يُعكس اتجاه التيار وتُخفض شدته إلى \(4.0\ \text{A}\)، بينما تُنقل \(R\) إلى مسافة \(8.0\ \text{cm}\) من السلك، مع بقائها مباشرة إلى اليمين.
قارن المجال المغناطيسي النهائي عند \(R\) بالمجال المغناطيسي الابتدائي. اذكر كلاً من مقداره النسبي واتجاهه.
الحل 5
للمجال النهائي المقدار نفسه الذي للمجال الابتدائي، لكن في الاتجاه المعاكس.
قارن أولًا المقادير باستخدام
\[ B\propto\frac{I}{r}. \]
لذلك،
\[ \begin{aligned} \frac{B_{\text{النهائي}}}{B_{\text{الابتدائي}}} &= \frac{4.0}{10} \times \frac{0.20}{0.080}\\ &=0.40\times2.5\\ &=1. \end{aligned} \]
إذن يبقى المقدار دون تغيير.
والآن انظر إلى الاتجاه.
في البداية، يكون التيار خارج الصفحة. وتعطي قاعدة قبضة اليد اليمنى مجالًا مغناطيسيًا يدور عكس اتجاه عقارب الساعة. وعند نقطة تقع مباشرة إلى يمين السلك، يشير ذلك المجال إلى أعلى.
بعد ذلك يُعكس التيار، فيصبح متجهًا إلى داخل الصفحة. فينعكس المجال المغناطيسي ويصبح دورانه مع اتجاه عقارب الساعة. وعند الجانب نفسه من السلك، يشير لذلك إلى أسفل.
ومن ثم،
\[ \boxed{\text{المقدار نفسه، والاتجاه معاكس}} \]
ويكون المجال النهائي متجهًا إلى أسفل.
يكمن الخطأ المحتمل في النظر إلى \(I/r\) فقط. تحدد هذه النسبة المقدار، لكنها لا تستطيع تحديد الاتجاه. يجب التعامل مع عكس اتجاه التيار بصورة منفصلة باستخدام قاعدة اليد اليمنى.
السؤال 6
يستخدم طالب العلاقة
\[ B=\frac{\mu_0I}{2\pi r} \]
ليقول إن المجال المغناطيسي لسلك حقيقي لا بد أن يصبح لا نهائيًا عند مركز السلك بالضبط لأن \(r=0\).
هل هذا الاستنتاج صحيح؟ اشرح ما الخطأ الذي حدث من دون الحاجة إلى حساب المجال داخل السلك.
الحل 6
لا. الاستنتاج غير صحيح لأن المعادلة تُستخدم خارج الحالة التي ينطبق عليها هذا الشكل البسيط.
إن التعبير
\[ B=\frac{\mu_0I}{2\pi r} \]
يعامل السلك على أنه موصل مثالي طويل ورفيع يحمل تيارًا عند إيجاد المجال المغناطيسي الخارجي.
للسلك الحقيقي نصف قطر محدود. وعند نقاط داخل السلك، يكون جزء من التيار خارج المسار الدائري المار بتلك النقطة، ولذلك لا يمكن ببساطة تمديد تعبير المجال الخارجي حتى \(r=0\).
إذن فإن ظهور قيمة لا نهائية ظاهريًا هو تحذير من أن النموذج استُخدم خارج افتراضاته، وليس دليلًا على أن السلك الحقيقي يحتوي على مجال مغناطيسي لا نهائي عند مركزه.
وهذه عادة مفيدة في الفيزياء: عندما تعطيك معادلة نتيجة متطرفة أو مستحيلة، تحقّق من الافتراضات قبل أن تثق في الحسابات.
09إلى أين تقودنا هذه الفكرة بعد ذلك؟
بمجرد أن تتمكن من إيجاد مقدار المجال واتجاهه حول سلك واحد، يمكنك تحليل ما يحدث عندما يتداخل مجالان مغناطيسيان.
يقود ذلك بصورة طبيعية إلى المجالات التي تنتجها عدة أسلاك وملفات وملفات لولبية، ثم إلى القوة المغناطيسية المؤثرة في الشحنات المتحركة والموصلات التي يمر فيها تيار. كما يرتبط أيضًا بالفكرة الأوسع القائلة إن المجالات المغناطيسية يمكن أن تُحدث تأثيرات تجاذب أو تنافر، وهو ما يُستكشف في القوى بين المغناطيسات: التجاذب والتنافر والمجالات.
والعادة الأساسية التي ينبغي أن تحملها معك إلى الموضوعات التالية بسيطة: تعامل مع المقدار والاتجاه على أنهما مهمتان منفصلتان. استخدم \(B=\mu_0I/(2\pi r)\) لإيجاد مقدار المجال، واستخدم قاعدة قبضة اليد اليمنى لتحديد الاتجاه الذي يشير إليه.