المجال المغناطيسي داخل ملف لولبي: شرح فيزياء HSC

تحمل حلقة واحدة من السلك يمر فيها تيار مجالًا مغناطيسيًا، لكن هذا المجال ينتشر في الفضاء. والآن لفّ السلك ليكوّن مئات الحلقات المتقاربة. ماذا يحدث للمجال في المنتصف؟

قبل متابعة القراءة، توقّع ما سيحدث: هل تلغي المجالات الناتجة عن الحلقات المتجاورة بعضها بعضًا في الغالب داخل الملف، أم تعزّز بعضها بعضًا؟

إنها تعزّز بعضها بعضًا. وهذه هي الفكرة المفيدة وراء الملف اللولبي. فمن خلال ترتيب عدد كبير من الحلقات التي يمر فيها تيار في صف واحد، يمكننا إنتاج مجال مغناطيسي قوي يكون منتظمًا تقريبًا في معظم الجزء الداخلي من الملف.

المهارتان المطلوبتان في HSC مترابطتان ارتباطًا وثيقًا:

• تحديد اتجاه المجال المغناطيسي باستخدام قاعدة اليد اليمنى
• حساب مقدار المجال باستخدام \(B = \mu_0 NI/L\)

المعادلة قصيرة. أما الجزء الأصعب فهو فهم سبب صحتها، وما الذي تمثله كل كمية، ومتى يُسمح لك باستخدامها.

01من حلقة واحدة إلى ملف لولبي

ابدأ بسلك واحد يمر فيه تيار. يُنتج التيار مجالًا مغناطيسيًا يلتف حول السلك. وإذا احتجت إلى مراجعة هذه الفكرة أولًا، فراجع المجال المغناطيسي حول سلك يمر فيه تيار: فيزياء HSC.

والآن اثنِ السلك ليكوّن حلقة دائرية. يظل المجال المغناطيسي ملتفًا حول كل جزء صغير من السلك، لكن شيئًا مفيدًا يحدث بالقرب من مركز الحلقة: تتجه مساهمات المجال الفردية هذه في الغالب في الاتجاه نفسه.

أضف حلقة أخرى بجانبها. ثم أخرى. ثم بضع مئات.

الملف اللولبي هو، في جوهره، عدد كبير من الحلقات التي تعمل معًا.

يمكنك تصوّر كل لفة على أنها تقدم مساهمتها الخاصة في المجال المغناطيسي الكلي. داخل ملف لولبي طويل ومحكم اللف، تعزّز هذه المساهمات بعضها بعضًا إلى حد كبير. أما خارجه، فتتجه المساهمات الناتجة عن الأجزاء المختلفة في اتجاهات متعارضة وتلغي بعضها بعضًا إلى حد كبير.

ولهذا يبدو نمط المجال تقريبًا كما يلي:

يكون المجال في الداخل أقوى ومنتظمًا تقريبًا بعيدًا عن الأطراف. ويُعامل المجال خارج الملف اللولبي المثالي على أنه يساوي صفرًا.

والعبارة الأخيرة تمثل تقريبًا مثاليًا. فالملف اللولبي الحقيقي له مجال خارجي ضعيف، خصوصًا بالقرب من طرفيه.

02لماذا يكون المجال الداخلي منتظمًا تقريبًا

انظر إلى منتصف ملف لولبي طويل.

توجد لفات إلى يسارك ولفات إلى يمينك. ولأن اللفات متقاربة وتكرر الشكل الهندسي نفسه، فإن المجال المغناطيسي المحصل تكون له تقريبًا القوة والاتجاه نفسيهما عند النقاط المتجاورة على امتداد الجزء الداخلي.

ولذلك تُرسم خطوط المجال هناك على أنها:

• مستقيمة
• متوازية
• متساوية التباعد

تمثل هذه الخصائص مجالًا مغناطيسيًا منتظمًا تقريبًا.

بالقرب من أحد الطرفين، يتغير الوضع. فلا توجد لفات أخرى بعد الطرف لتوفر المساهمة المتناظرة نفسها، ولذلك يبدأ المجال في الانتشار إلى الخارج.

وهذا يعطينا قاعدة مهمة لاتخاذ القرار:

استخدم نموذج الملف اللولبي المثالي للنقاط الواقعة جيدًا داخل ملف لولبي طويل ومحكم اللف. وتوخَّ الحذر بالقرب من الأطراف.

وتفسر الفكرة نفسها لماذا يتصرف الملف الأقصر والأعرض بدرجة أقل كملف لولبي مثالي. إذ تصبح تأثيرات الأطراف أكثر أهمية.

03تحديد اتجاه المجال المغناطيسي

يتحدد اتجاه المجال في الملف اللولبي من اتجاه التيار الاصطلاحي.

يُعرَّف التيار الاصطلاحي بأنه الاتجاه الذي ستتحرك فيه الشحنة الموجبة. وفي السلك المعدني، تنجرف الإلكترونات فعليًا في الاتجاه المعاكس. وتستخدم قواعد الاتجاه في HSC التيار الاصطلاحي ما لم ينص السؤال صراحةً على خلاف ذلك.

هناك طريقتان مفيدتان لاستخدام قاعدة اليد اليمنى.

الطريقة 1: لف أصابعك في اتجاه التيار

ضع يدك اليمنى حول الملف اللولبي بحيث تلتف أصابعك في اتجاه التيار الاصطلاحي حول اللفات.

يشير إبهامك:

• في اتجاه المجال المغناطيسي داخل الملف اللولبي
• نحو القطب الشمالي للملف اللولبي

لنفترض أن إبهامك يشير إلى اليمين. عندئذ يشير المجال المغناطيسي داخل الملف اللولبي أيضًا إلى اليمين، ويكون الطرف الأيمن هو القطب الشمالي.

ويتوافق هذا مع نمط المجال المغناطيسي لمغناطيس قضيب. فداخل المغناطيس أو الملف اللولبي، يتجه المجال من الجنوب إلى الشمال. أما خارجه، فينحني من الشمال عائدًا نحو الجنوب.

ولمراجعة اصطلاح خطوط المجال هذا، راجع خطوط المجال المغناطيسي حول المغناطيسات الدائمة: فيزياء HSC.

الطريقة 2: انظر مباشرة إلى أحد الطرفين

أحيانًا يوضح الرسم اتجاه التيار كما يبدو عند النظر من طرف الملف اللولبي.

استخدم هذه القاعدة المختصرة:

لماذا؟

إذا بدا لك التيار عكس اتجاه عقارب الساعة، فلف أصابع يدك اليمنى عكس اتجاه عقارب الساعة. سيشير إبهامك نحوك. ولذلك يشير المجال في الداخل نحو ذلك الطرف، مما يجعله الطرف الشمالي.

أما إذا بدا التيار مع اتجاه عقارب الساعة، فسيشير إبهامك بعيدًا عنك. ويشير المجال في الداخل بعيدًا عن ذلك الطرف، ولذلك يكون ذلك الطرف جنوبيًا.

أكثر أخطاء الاتجاه شيوعًا

يرى الطالب اتجاه حركة الإلكترونات محددًا على السلك، فيطبق فورًا قاعدة اليد اليمنى في ذلك الاتجاه.

يبدو هذا منطقيًا. ففي النهاية، الإلكترونات هي الشحنات التي تتحرك فعليًا.

لكن قاعدة اليد اليمنى القياسية مُعرَّفة باستخدام التيار الاصطلاحي، الذي يسير في الاتجاه المعاكس لحركة الإلكترونات في المعدن.

لذلك، إذا كان اتجاه تدفق الإلكترونات هو الموضح، فاعكسه أولًا.

05ما الذي تقوله المعادلة بالفعل

لا تتعامل مع \(B = \mu_0 NI/L\) على أنها مجرد أربعة رموز تُعوَّض فيها القيم.

فهي تخبرك كيف يتغير المجال.

زيادة التيار تعطي مجالًا أقوى

إذا ظل \(N\) و\(L\) ثابتين،

\[ B \propto I \]

إذا ضاعفت التيار، تضاعف المجال.

وهذا منطقي من الناحية الفيزيائية. فكل لفة تنتج مجالًا مغناطيسيًا أقوى، ولذلك يكون المجال المحصل منها أقوى.

زيادة عدد اللفات تعطي مجالًا أقوى

إذا ظل \(I\) و\(L\) ثابتين،

\[ B \propto N \]

إذا ضاعفت عدد اللفات الموجودة ضمن الطول نفسه، تضاعف المجال.

فقد ضاعفت عدد الحلقات المنتجة للمجال لكل وحدة طول.

زيادة الطول قد تُضعف المجال

إذا ظل \(N\) و\(I\) ثابتين،

\[ B \propto \frac{1}{L} \]

إن مدّ اللفات نفسها وعددها \(N\) على طول أكبر يقلل عدد اللفات لكل متر.

وهنا كثيرًا ما يتوصل الطلاب إلى توقع خاطئ.

لنفترض أن ملفًا لولبيًا مكوّنًا من 1000 لفة مُدّ حتى أصبح طوله ضعف ما كان عليه، من دون إضافة أي لفات. فهل يبقى مجاله كما هو لأنه لا يزال يحتوي على 1000 لفة؟

لا. فاللفات أصبحت الآن أكثر تباعدًا. وبما أن \(N/L\) قد انخفض إلى النصف، فإن المجال المغناطيسي المثالي ينخفض أيضًا إلى النصف.

والكمية الأكثر أساسية هنا هي كثافة اللفات، \(N/L\)، وليست ببساطة العدد الكلي للفات.

09تصور خاطئ مغرٍ: زيادة عدد اللفات تعني دائمًا مجالًا أقوى

تخيل ملفين لولبيين مثاليين يمر فيهما التيار نفسه.

• يحتوي الملف اللولبي A على 500 لفة على امتداد \(0.25\ \text{m}\).
• يحتوي الملف اللولبي B على 1000 لفة على امتداد \(0.50\ \text{m}\).

أيهما له المجال الأقوى؟

من المغري اختيار B لأنه يحتوي على ضعف عدد اللفات.

لكن احسب كثافة اللفات:

\[ \frac{N_A}{L_A} = \frac{500}{0.25} = 2000\ \text{m}^{-1} \]

و

\[ \frac{N_B}{L_B} = \frac{1000}{0.50} = 2000\ \text{m}^{-1} \]

لهما القيمة نفسها لـ \(N/L\).

وإذا كان التياران متساويين أيضًا، فإن المجالين المغناطيسيين المثاليين متساويان.

وهذه عادة عامة مفيدة في الفيزياء: عندما تحتوي معادلة على نسبة، فإن تغيير البسط وحده لا يوفر معلومات كافية. يجب أن تتحقق مما إذا كان المقام قد تغير أيضًا.

10الاتجاه والمقدار مهمتان منفصلتان

تعطيك القيمة العددية لـ \(B\) مقدار المجال، لا اتجاهه.

فعلى سبيل المثال،

\[ B = 4.0 \times 10^{-3}\ \text{T} \]

لا تخبرك ما إذا كان المجال يشير إلى اليسار أو اليمين عبر الملف اللولبي.

تحتاج عادةً إلى خطوتين:

1. استخدم اتجاه التيار وقاعدة اليد اليمنى لتحديد اتجاه المجال.
2. استخدم \(B = \mu_0 NI/L\) لحساب مقدار المجال.

لا تحاول إدخال قيمة سالبة للتيار في المعادلة لمجرد أن المجال يشير إلى اليسار في رسم ما. على مستوى HSC، يكون من الأوضح عادةً حساب المقدار الموجب لـ \(B\)، ثم ذكر الاتجاه بصورة منفصلة.

11الأسئلة والحلول

السؤال 1

يحتوي ملف لولبي طويل ذو قلب هوائي على 600 لفة موزعة على طول \(0.30\ \text{m}\)، ويمر فيه تيار مقداره \(1.20\ \text{A}\).

احسب كثافة الفيض المغناطيسي داخل الملف اللولبي. وعند النظر إليه من طرفه الأيمن، يسري التيار الاصطلاحي عكس اتجاه عقارب الساعة حول اللفات. حدد اتجاه المجال داخل الملف اللولبي.

الحل 1

المجال المغناطيسي هو \(\boxed{3.02 \times 10^{-3}\ \text{T}}\)، ويتجه نحو الطرف الأيمن للملف اللولبي.

بالنسبة إلى ملف لولبي مثالي،

\[ B = \frac{\mu_0 NI}{L} \]

بالتعويض،

\[ \begin{aligned} B &= \frac{(4\pi \times 10^{-7})(600)(1.20)}{0.30} \\ &= 3.02 \times 10^{-3}\ \text{T} \end{aligned} \]

إذن

\[ \boxed{B = 3.02\ \text{mT}} \]

عند النظر من الطرف الأيمن، يكون التيار عكس اتجاه عقارب الساعة. وعند لف أصابع اليد اليمنى عكس اتجاه عقارب الساعة، يشير الإبهام نحو الراصد. ولذلك يكون الطرف الأيمن هو الطرف الشمالي.

داخل الملف اللولبي، يشير المجال المغناطيسي نحو ذلك الطرف الشمالي، أي إنه يشير إلى اليمين.

السؤال 2

لملف لولبي مثالي في البداية شدة مجال مغناطيسي \(B_0\). يظل عدد لفاته دون تغيير، لكن طوله يتضاعف ويصبح تياره ثلاثة أمثال قيمته الأصلية.

حدد شدة المجال المغناطيسي الجديدة بدلالة \(B_0\).

الحل 2

المجال المغناطيسي الجديد هو \(\boxed{1.5B_0}\).

مجال الملف اللولبي المثالي هو

\[ B = \frac{\mu_0 NI}{L} \]

في البداية،

\[ B_0 = \frac{\mu_0 NI}{L} \]

بعد التغيير،

\[ I' = 3I \]

و

\[ L' = 2L \]

بينما يظل \(N\) دون تغيير. لذلك،

\[ \begin{aligned} B' &= \frac{\mu_0 N(3I)}{2L} \\ &= \frac{3}{2}\frac{\mu_0 NI}{L} \\ &= 1.5B_0 \end{aligned} \]

لو حدثت زيادة التيار إلى ثلاثة أمثاله وحدها، لأصبح المجال ثلاثة أمثال قيمته، لكن مضاعفة الطول تقلل كثافة اللفات إلى النصف. ولذلك يكون الأثر الكلي معاملًا مقداره \(3/2\).

السؤال 3

يحتوي الملف اللولبي A على 450 لفة موزعة بالتساوي على امتداد \(0.18\ \text{m}\). ويحتوي الملف اللولبي B على 750 لفة موزعة بالتساوي على امتداد \(0.30\ \text{m}\). وكلاهما ملف لولبي طويل ذو قلب هوائي ويمر فيه تيار مقداره \(0.80\ \text{A}\).

يجادل أحد الطلاب بأن الملف اللولبي B لا بد أن ينتج مجالًا مغناطيسيًا أقوى لأنه يحتوي على 300 لفة إضافية.

حدد ما إذا كان الطالب على صواب، واحسب المجال المغناطيسي في كل ملف لولبي.

الحل 3

الطالب غير محق. ينتج الملفان اللولبيان المثاليان المجال المغناطيسي نفسه، ومقداره \(\boxed{2.51 \times 10^{-3}\ \text{T}}\).

الكمية المهمة ليست \(N\) وحدها. بل هي كثافة اللفات \(N/L\).

بالنسبة إلى الملف اللولبي A،

\[ \frac{N_A}{L_A} = \frac{450}{0.18} = 2500\ \text{m}^{-1} \]

وبالنسبة إلى الملف اللولبي B،

\[ \frac{N_B}{L_B} = \frac{750}{0.30} = 2500\ \text{m}^{-1} \]

كثافتا اللفات متطابقتان.

بالنسبة إلى A،

\[ \begin{aligned} B_A &= \frac{\mu_0 N_A I}{L_A} \\ &= (4\pi \times 10^{-7})(2500)(0.80) \\ &= 2.51 \times 10^{-3}\ \text{T} \end{aligned} \]

وبالنسبة إلى B،

\[ \begin{aligned} B_B &= \frac{\mu_0 N_B I}{L_B} \\ &= (4\pi \times 10^{-7})(2500)(0.80) \\ &= 2.51 \times 10^{-3}\ \text{T} \end{aligned} \]

إذن،

\[ \boxed{B_A = B_B = 2.51\ \text{mT}} \]

يكمن الفخ في التركيز على العدد الكلي للفات مع تجاهل الطول الأكبر الذي تتوزع عليه لفات الملف اللولبي B.

السؤال 4

يحتوي ملف لولبي طويل على 1200 لفة متساوية التباعد على امتداد \(0.60\ \text{m}\). ويُقسَّم عند منتصفه إلى ملفين لولبيين منفصلين. ولذلك يحتوي كل نصف على 600 لفة على امتداد \(0.30\ \text{m}\).

يُوصل كل ملف لولبي جديد على نحو منفصل بحيث يمر فيه التيار نفسه الذي كان يمر في الملف اللولبي الأصلي.

باستخدام نموذج الملف اللولبي المثالي، قارن المجال المغناطيسي داخل أحد النصفين الجديدين بالمجال داخل الملف اللولبي الأصلي. ثم اشرح سببًا واحدًا قد يجعل المجالين الحقيقيين غير متساويين تمامًا.

الحل 4

يتنبأ النموذج المثالي بأن المجال المغناطيسي لا يتغير، لأن كثافة اللفات تظل كما هي. أما في الواقع، فقد تظهر تأثيرات الأطراف بدرجة أكبر في الملفات اللولبية الأقصر.

في الأصل،

\[ \frac{N}{L} = \frac{1200}{0.60} = 2000\ \text{m}^{-1} \]

وبالنسبة إلى أي من النصفين،

\[ \frac{N_{\text{النصف}}}{L_{\text{النصف}}} = \frac{600}{0.30} = 2000\ \text{m}^{-1} \]

وبما أن التيار لم يتغير أيضًا،

\[ B_{\text{الأصلي}} = \mu_0\left(2000\right)I \]

و

\[ B_{\text{النصف}} = \mu_0\left(2000\right)I \]

لذلك،

\[ \boxed{B_{\text{النصف}} = B_{\text{الأصلي}}} \]

وفقًا للنموذج المثالي.

والخطأ المغري هو القول إن تقليل عدد اللفات إلى النصف لا بد أن يخفض المجال إلى النصف. وهذا يتجاهل أن الطول قد انخفض إلى النصف أيضًا.

أما بالنسبة إلى ملف لولبي حقيقي، فإن جعل كل ملف أقصر قد يزيد من أهمية تأثيرات الأطراف. وإذا لم يعد الطول الجديد كبيرًا مقارنة بقطر الملف، يصبح افتراض انتظام المجال الداخلي أقل دقة.

السؤال 5

يتكون ملف من مجموعتين متداخلتين من اللفات على امتداد الطول نفسه البالغ \(0.40\ \text{m}\). تحتوي إحدى المجموعتين على 500 لفة يمر فيها تيار مقداره \(1.00\ \text{A}\) في اتجاه ينتج مجالًا مغناطيسيًا نحو اليمين. وتحتوي المجموعة الثانية أيضًا على 500 لفة يمر فيها تيار مقداره \(1.00\ \text{A}\)، لكن تيارها يدور في الاتجاه المعاكس.

يجمع أحد الطلاب عدد اللفات معًا ويحسب

\[ B = \frac{\mu_0(1000)(1.00)}{0.40} \]

للمجال المغناطيسي.

اشرح الخلل في هذه الطريقة، وحدد المجال المغناطيسي المحصل باستخدام تقريب الملف اللولبي المثالي.

الحل 5

طريقة الطالب غير صحيحة. تنتج المجموعتان مجالين مغناطيسيين متساويين في المقدار ومتعاكسين في الاتجاه، ولذلك يكون المجال المحصل \(\boxed{0\ \text{T}}\) وفق التقريب المثالي.

تفترض المعادلة \(B = \mu_0 NI/L\) أن اللفات تسهم في مجال مغناطيسي في الاتجاه نفسه. إن عد جميع اللفات البالغ عددها 1000 ببساطة يتجاهل اتجاه مساهمة كل منها.

بالنسبة إلى المجموعة الأولى،

\[ \begin{aligned} B_1 &= \frac{\mu_0 N_1I_1}{L} \\ &= \frac{(4\pi \times 10^{-7})(500)(1.00)}{0.40} \\ &= 1.57 \times 10^{-3}\ \text{T} \end{aligned} \]

يشير هذا المجال إلى اليمين.

للمجموعة الثانية القيم نفسها لـ \(N\) و\(I\) و\(L\)، ولذلك يكون مجالها مساويًا له في المقدار:

\[ B_2 = 1.57 \times 10^{-3}\ \text{T} \]

لكنه يشير إلى اليسار.

المجالات المغناطيسية كميات متجهة، ولذلك تُطرح المساهمات المتعاكسة:

\[ \begin{aligned} B_{\text{المحصل}} &= B_1-B_2 \\ &= 1.57\times10^{-3}-1.57\times10^{-3} \\ &= 0\ \text{T} \end{aligned} \]

إذن،

\[ \boxed{B_{\text{المحصل}} = 0\ \text{T}} \]

والفكرة الأعمق هي أن \(N\) ليست مجرد عدد يُحصى بصورة آلية. تعمل معادلة الملف اللولبي المعتادة لأن اللفات تعزّز بعضها بعضًا. فإذا أنتجت بعض اللفات مجالات في الاتجاه المعاكس، فلا بد من مراعاة مبدأ التراكب قبل استخدام قيمة كلية واحدة لـ \(N\).

12ما الذي يتيح لك هذا فعله بعد ذلك

يجمع الملف اللولبي عدة أفكار متعلقة بالمجال المغناطيسي في نموذج واحد واضح.

تخبرك قاعدة اليد اليمنى بالاتجاه الذي يشير إليه المجال. وتخبرك النسبة \(N/L\) بمدى كثافة توزيع اللفات. أما التيار \(I\) فيتحكم في مقدار مساهمة كل لفة. ومعًا،

\[ B = \frac{\mu_0 NI}{L} \]

تعطي مقدار المجال لملف لولبي مثالي ذي قلب هوائي.

وبمجرد أن تتمكن من تحديد كل من مقدار \(B\) واتجاهه، تصبح لديك المعلومات اللازمة للخطوة التالية: التنبؤ بما يحدث عند وضع شحنات أو موصلات يمر فيها تيار داخل ذلك المجال المغناطيسي. وهنا لا يعود الملف اللولبي مجرد ملف من السلك، بل يصبح بيئة مغناطيسية يمكن التحكم فيها لتحليل القوى المغناطيسية.