عبور القوارب في التيار: السرعة والمسار وزمن العبور
تعلّم كيفية جمع سرعة القارب مع سرعة الماء، وتحديد المسار بالنسبة إلى الأرض، وحساب زمن العبور، وتجنّب أخطاء السرعة النسبية الشائعة.
يشير قارب مباشرةً نحو الضفة المقابلة لنهر. تبلغ سرعته بالنسبة إلى الماء 3.0 m s\(^{-1}\)، بينما يجري التيار نحو المصب بسرعة 2.0 m s\(^{-1}\). من الواضح أن القارب يتحرك بالنسبة إلى ضفة النهر بسرعة أكبر من 3.0 m s\(^{-1}\)، لذا إليك التنبؤ المفيد: هل يجعله التيار يصل إلى الضفة الأخرى في وقت أقصر؟
لا. يصل إلى الضفة الأخرى في الزمن نفسه تمامًا كما لو كان الماء ساكنًا، بشرط أن يكون التيار موازيًا للضفتين. يغيّر التيار موضع وصول القارب واتجاه مساره بالنسبة إلى الأرض، لكنه لا يضيف أي سرعة في اتجاه عبور النهر.
هذا التمييز وحده يحل معظم مسائل القوارب والتيارات في HSC.
01للقارب أكثر من سرعة واحدة
تخيّل سيرًا ناقلًا ضخمًا يتحرك شرقًا بينما تمشي أنت شمالًا عبره.
بالنسبة إلى السير، أنت تتحرك شمالًا. أما بالنسبة إلى الأرض تحته، فأنت تتحرك شمالًا وشرقًا. والشخص الواقف على الأرض يرى محصلة هاتين الحركتين.
يعمل القارب في النهر بالطريقة نفسها:
- يمنح المحرك القارب سرعة بالنسبة إلى الماء
- يمنح التيار الماء سرعة بالنسبة إلى الأرض
- يرى الشخص الواقف على ضفة النهر سرعة القارب بالنسبة إلى الأرض
نموذج السير الناقل مفيد لأنه يجعل جمع المتجهات واضحًا بصريًا. لكنه ليس تمثيلًا دقيقًا لكل نهر، لأن التيارات الحقيقية قد تتغير في السرعة والاتجاه عبر النهر.
يمكننا كتابة علاقة السرعة النسبية الدقيقة كما يلي
\[ \vec v_{BG} = \vec v_{BW} + \vec v_{WG} \]
حيث:
- \(\vec v_{BG}\) هي سرعة القارب بالنسبة إلى الأرض
- \(\vec v_{BW}\) هي سرعة القارب بالنسبة إلى الماء
- \(\vec v_{WG}\) هي سرعة الماء بالنسبة إلى الأرض
يرى المراقب على ضفة النهر \(\vec v_{BG}\). وهذه هي السرعة التي تحدد مسار القارب بالنسبة إلى الأرض.
02حلّل الحركة إلى مركبتي العبور واتجاه المصب
أسهل طريقة هي اختيار اتجاهين متعامدين:
- عبر النهر، عموديًا على الضفتين
- نحو المصب، موازيًا للضفتين
لنفترض أن القارب يشير مباشرةً عبر النهر بسرعة \(v_b\) بالنسبة إلى الماء، بينما تبلغ سرعة التيار \(v_c\) نحو المصب.
عندئذ تكون مركبتا السرعة بالنسبة إلى الأرض
\[ v_{\text{عبر النهر}} = v_b \]
و
\[ v_{\text{نحو المصب}} = v_c \]
ومن ثم يكون مقدار سرعة القارب بالنسبة إلى الأرض
\[ v_g = \sqrt{v_b^2 + v_c^2} \]
حيث \(v_g\) هي سرعة القارب بالنسبة إلى الأرض.
أما زاوية مساره بالنسبة إلى الأرض \(\theta\)، المقاسة نحو المصب انطلاقًا من اتجاه العبور المباشر، فتحقق
\[ \tan \theta = \frac{v_c}{v_b} \]
لاحظ ما تصفه هذه المعادلة. قد يكون القارب موجّهًا مباشرةً نحو الضفة المقابلة، لكنه لا يتحرك بالضرورة مباشرةً نحوها بالنسبة إلى الأرض.
اتجاه مقدمة القارب ومساره بالنسبة إلى الأرض شيئان مختلفان.
03يعتمد زمن العبور على مركبة السرعة عبر النهر
لنفترض أن عرض النهر هو \(d\).
للوصول إلى الضفة الأخرى، يجب على القارب قطع هذه المسافة العمودية. لذلك يكون زمن العبور
\[ t = \frac{d}{v_{\text{عبر النهر}}} \]
حيث:
- \(t\) هو زمن العبور بالثواني
- \(d\) هو عرض النهر بالأمتار
- \(v_{\text{عبر النهر}}\) هي مركبة سرعة القارب بالنسبة إلى الأرض العمودية على الضفتين، بوحدة m s\(^{-1}\)
وهنا يظهر خطأ مغرٍ.
قد يحسب الطالب السرعة الكلية بالنسبة إلى الأرض ثم يستخدم
\[ t = \frac{d}{v_g} \]
يبدو ذلك منطقيًا لأن العلاقة \(t=d/v\) مألوفة. لكن المشكلة هي أن \(d\) تمثل المسافة عبر النهر، بينما يتجه \(v_g\) قطريًا. أي إنهما ليسا في الاتجاه نفسه.
عندما تستخدم \(t=d/v\)، يجب أن تشير المسافة والسرعة إلى الاتجاه نفسه.
مثال محلول: قارب موجّه مباشرةً عبر النهر
يبلغ عرض نهر 150 m. يتحرك قارب بسرعة 3.0 m s\(^{-1}\) بالنسبة إلى الماء ويشير مباشرةً عبر النهر. يجري التيار نحو المصب بسرعة 1.2 m s\(^{-1}\). أوجد زمن العبور، والإزاحة نحو المصب، والسرعة بالنسبة إلى الأرض، واتجاه المسار بالنسبة إلى الأرض.
الخطوة 1
بما أن التيار يتجه بالكامل نحو المصب، فليست له أي مركبة عبر النهر. لذلك تبلغ سرعة القارب بالنسبة إلى الأرض عبر النهر 3.0 m s\(^{-1}\).
\[ t = \frac{d}{v_{\text{عبر النهر}}} = \frac{150}{3.0} = 50\text{ s} \]
يستغرق القارب 50 s للعبور.
الخطوة 2
\[ s_{\text{نحو المصب}} = v_c t = 1.2(50) = 60\text{ m} \]
يصل القارب إلى الضفة على بعد 60 m نحو المصب من النقطة المقابلة مباشرةً لموضع انطلاقه.
الخطوة 3
\[ v_g = \sqrt{3.0^2 + 1.2^2} = \sqrt{10.44} = 3.23\text{ m s}^{-1} \]
إذن يرى شخص على الضفة أن القارب يتحرك بسرعة 3.23 m s\(^{-1}\).
الخطوة 4
\[ \tan\theta = \frac{1.2}{3.0} \]
\[ \theta = \tan^{-1}(0.400) = 21.8^\circ \]
يكون مسار القارب بالنسبة إلى الأرض بزاوية 21.8° نحو المصب من اتجاه العبور المباشر.
والنتيجة المهمة هي أن سرعته بالنسبة إلى الأرض تبلغ 3.23 m s\(^{-1}\)، لكن سرعة عبوره تظل 3.0 m s\(^{-1}\) فقط.
04التوجيه مباشرةً عبر النهر لا يعني الوصول مباشرةً إلى النقطة المقابلة
لنفترض أنك تريد بالفعل أن يصل القارب إلى النقطة المقابلة مباشرةً لموضع انطلاقه.
هل ينبغي أن توجّه القارب مباشرةً عبر النهر؟
لا. يجب أن توجهه نحو المنبع بحيث تلغي إحدى مركبات سرعة القارب بالنسبة إلى الماء تأثير التيار.
هذه مسألة مختلفة عن المثال السابق.
لنفرض أن سرعة القارب بالنسبة إلى الماء هي \(v_b\)، وأن سرعة التيار هي \(v_c\). إذا وُجّه القارب بزاوية \(\theta\) نحو المنبع انطلاقًا من اتجاه العبور المباشر، فإن سرعته بالنسبة إلى الماء لها مركبتان:
\[ v_{\text{القارب، عبر النهر}} = v_b\cos\theta \]
و
\[ v_{\text{القارب، نحو المنبع}} = v_b\sin\theta \]
للوصول مباشرةً إلى النقطة المقابلة، يجب أن تلغي المركبة المتجهة نحو المنبع التيار المتجه نحو المصب تمامًا:
\[ v_b\sin\theta = v_c \]
إذن
\[ \sin\theta = \frac{v_c}{v_b} \]
وبمجرد إلغاء الحركة نحو المصب، تصبح سرعة القارب بالنسبة إلى الأرض متجهة بالكامل عبر النهر.
لكن لذلك تكلفة. إذ يُستخدم جزء من سرعة القارب لمقاومة التيار، فيتبقى جزء أقل منها للعبور.
مثال محلول: الوصول مباشرةً إلى النقطة المقابلة
يمكن لقارب أن يتحرك بسرعة 4.0 m s\(^{-1}\) بالنسبة إلى الماء. ويجب عليه عبور نهر عرضه 180 m يجري تياره بسرعة 1.5 m s\(^{-1}\). ما الزاوية التي يجب أن يوجَّه بها القارب ليصل مباشرةً إلى النقطة المقابلة لموضع انطلاقه، وكم يستغرق العبور؟
الخطوة 1
\[ v_b\sin\theta = v_c \]
بالتعويض عن السرعتين،
\[ 4.0\sin\theta = 1.5 \]
\[ \sin\theta = \frac{1.5}{4.0} = 0.375 \]
\[ \theta = \sin^{-1}(0.375) = 22.0^\circ \]
يجب توجيه القارب بزاوية 22.0° نحو المنبع من اتجاه العبور المباشر.
الخطوة 2
\[ v_{\text{عبر النهر}} = 4.0\cos(22.0^\circ) = 3.71\text{ m s}^{-1} \]
يمكنك أيضًا إيجاد ذلك باستخدام نظرية فيثاغورس:
\[ v_{\text{عبر النهر}} = \sqrt{4.0^2 - 1.5^2} = 3.71\text{ m s}^{-1} \]
الخطوة 3
\[ t = \frac{180}{3.71} = 48.5\text{ s} \]
ينبغي توجيه القارب بزاوية 22.0° نحو المنبع، وسيستغرق العبور نحو 48.5 s.
لاحظ أننا لم نستخدم 4.0 m s\(^{-1}\) في حساب زمن العبور. فعندما يُوجَّه القارب نحو المنبع، لا يتجه عبر النهر سوى جزء من سرعته البالغة 4.0 m s\(^{-1}\).
05قاعدة سريعة لاتخاذ القرار في مسائل الأنهار
| إذا كان السؤال يطلب… | فابحث عن… |
|---|---|
| زمن العبور | مركبة السرعة بالنسبة إلى الأرض العمودية على الضفتين |
| الانجراف نحو المصب | السرعة بالنسبة إلى الأرض نحو المصب وزمن العبور |
| السرعة بالنسبة إلى الأرض | مقدار مجموع المتجهات |
| اتجاه المسار بالنسبة إلى الأرض | نسبة مركبتي السرعة بالنسبة إلى الأرض نحو المصب وعبر النهر |
| اتجاه القارب اللازم للوصول إلى النقطة المقابلة | مركبة من سرعة القارب تلغي التيار |
| ما إذا كان الوصول إلى النقطة المقابلة ممكنًا | ما إذا كان القارب يستطيع إلغاء التيار مع الاحتفاظ بمركبة عبر النهر |
أنفع عادة هي رسم المحورين قبل لمس الآلة الحاسبة.
06الحالة الحدية المهمة
ماذا يحدث إذا كانت سرعة التيار مساوية تمامًا لسرعة القارب؟
لنفترض أن أقصى سرعة للقارب بالنسبة إلى الماء هي 3.0 m s\(^{-1}\)، وأن التيار يتحرك أيضًا بسرعة 3.0 m s\(^{-1}\).
للوصول مباشرةً إلى النقطة المقابلة، يحتاج القارب إلى مركبة قدرها 3.0 m s\(^{-1}\) نحو المنبع. لكن هذا يعني أن كامل سرعة القارب يجب أن تتجه نحو المنبع.
وعندئذ تكون مركبته عبر النهر صفرًا.
لذلك، رغم أنه يستطيع إلغاء التيار المتجه نحو المصب، فإنه لن يعبر النهر إطلاقًا.
وإذا كان التيار أسرع من القارب، يصبح الوصول مباشرةً إلى النقطة المقابلة مستحيلًا أيضًا. فالقارب لا يستطيع إنتاج مركبة كبيرة بما يكفي نحو المنبع لإلغاء التيار.
وهذا يعطينا شرطًا أدق:
\[ v_b > v_c \]
وهو شرط لازم إذا كان على القارب أن يلغي التيار ويحرز تقدمًا عبر النهر.
07الفكرة الخاطئة التي يجب تجنبها
يؤدي التيار الأقوى عادةً إلى زيادة سرعة القارب بالنسبة إلى الأرض عندما يكون القارب موجّهًا مباشرةً عبر النهر. وقد يجعل ذلك الأمر يبدو كما لو أن القارب ينبغي أن يعبر في وقت أقصر.
لكن زيادة السرعة في الاتجاه الخطأ لا تساعدك على قطع المسافة المطلوبة.
الأمر يشبه أن تتأخر عن لقاء شخص يعيش شمالك مباشرةً، ثم تعلن بفخر أنك تركض بسرعة كبيرة نحو الشرق. سرعة مبهرة. مشكلة بسيطة في الملاحة.
عند حساب زمن العبور، اطرح سؤالًا واحدًا أولًا:
ما السرعة الفعلية التي يتحرك بها القارب باتجاه الضفة المقابلة؟
هذه المركبة، وليس السرعة الكلية، هي التي تحدد الزمن.
08أسئلة وحلول
السؤال 1
يشير قارب مباشرةً عبر نهر عرضه 90 m. تبلغ سرعته بالنسبة إلى الماء 2.5 m s\(^{-1}\)، ويجري التيار نحو المصب بسرعة 0.80 m s\(^{-1}\).
احسب زمن العبور والمسافة التي يتحركها القارب نحو المصب.
الحل 1
يستغرق القارب 36 s للعبور ويصل إلى نقطة تبعد 28.8 m نحو المصب.
التيار موازٍ للضفتين، لذلك لا يغير مركبة سرعة القارب عبر النهر البالغة 2.5 m s\(^{-1}\).
زمن العبور هو
\[ t = \frac{d}{v_{\text{عبر النهر}}} = \frac{90}{2.5} = 36\text{ s} \]
خلال هذه الـ 36 s، يحمل التيار القارب نحو المصب:
\[ s_{\text{نحو المصب}} = v_c t = 0.80(36) = 28.8\text{ m} \]
إذن يعبر القارب في 36 s ويصل إلى نقطة تبعد 28.8 m نحو المصب عن النقطة المقابلة مباشرةً.
الفكرة الأساسية هي أن العبور والانجراف يحدثان في الوقت نفسه. فلا تضيف «زمن انجراف» منفصلًا بعد أن يكون القارب قد عبر النهر.
السؤال 2
يتحرك قارب بسرعة 5.0 m s\(^{-1}\) بالنسبة إلى الماء ويشير مباشرةً عبر نهر عرضه 200 m. يجري التيار نحو المصب بسرعة 3.0 m s\(^{-1}\).
أوجد:
- زمن العبور
- الإزاحة نحو المصب
- سرعة القارب بالنسبة إلى الأرض
- زاوية مساره بالنسبة إلى الأرض نحو المصب انطلاقًا من اتجاه العبور المباشر
- المسافة التي يقطعها بالنسبة إلى الأرض أثناء العبور
الحل 2
يعبر القارب في 40 s، ويتحرك 120 m نحو المصب، وتبلغ سرعته بالنسبة إلى الأرض 5.83 m s\(^{-1}\)، ويتبع مسارًا بزاوية 31.0° نحو المصب من اتجاه العبور المباشر، ويقطع نحو 233 m بالنسبة إلى الأرض.
تبلغ المركبة عبر النهر 5.0 m s\(^{-1}\)، لذلك
\[ t = \frac{200}{5.0} = 40\text{ s} \]
الإزاحة نحو المصب هي
\[ s_{\text{نحو المصب}} = 3.0(40) = 120\text{ m} \]
السرعة بالنسبة إلى الأرض هي مقدار مجموع المتجهات:
\[ v_g = \sqrt{5.0^2 + 3.0^2} = \sqrt{34} = 5.83\text{ m s}^{-1} \]
لإيجاد زاوية المسار بالنسبة إلى الأرض،
\[ \tan\theta = \frac{3.0}{5.0} \]
\[ \theta = \tan^{-1}(0.600) = 31.0^\circ \]
يتحرك القارب قطريًا بالنسبة إلى الأرض. ومسافة مساره بالنسبة إلى الأرض هي
\[ s_g = v_g t = 5.83(40) \approx 233\text{ m} \]
وتنتج الإجابة نفسها من مثلث الإزاحة:
\[ s_g = \sqrt{200^2 + 120^2} \approx 233\text{ m} \]
عرض النهر البالغ 200 m ليس المسافة الكلية لمسار القارب بالنسبة إلى الأرض، بل هو فقط المركبة العمودية من تلك الإزاحة.
السؤال 3
يجب على قاربين متماثلين عبور نهرين منفصلين، يبلغ عرض كل منهما 160 m.
يتحرك القارب A بسرعة 4.0 m s\(^{-1}\) بالنسبة إلى ماء ساكن.
ويتحرك القارب B أيضًا بسرعة 4.0 m s\(^{-1}\) بالنسبة إلى الماء، لكن نهره يحتوي على تيار سرعته 3.0 m s\(^{-1}\) موازٍ للضفتين.
يشير القاربان مباشرةً عبر النهر.
يجادل أحد الطلاب بأن القارب B سيصل أولًا لأن سرعته بالنسبة إلى الأرض هي
\[ \sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\text{ m s}^{-1} \]
هل الطالب محق؟ احسب زمن العبور لكل قارب واشرح النتيجة.
الحل 3
لا. يستغرق كلا القاربين 40 s للعبور.
للقارب A سرعة عبر النهر مقدارها 4.0 m s\(^{-1}\)، لذلك
\[ t_A = \frac{160}{4.0} = 40\text{ s} \]
وللقارب B أيضًا سرعة عبر النهر مقدارها 4.0 m s\(^{-1}\). يضيف التيار مركبة مقدارها 3.0 m s\(^{-1}\) نحو المصب، لكنه لا يضيف شيئًا عبر النهر.
لذلك،
\[ t_B = \frac{160}{4.0} = 40\text{ s} \]
سرعة القارب B بالنسبة إلى الأرض هي بالفعل 5.0 m s\(^{-1}\)، لكن جزءًا من هذه السرعة يتجه نحو المصب. لا تساعده الزيادة في سرعته بالنسبة إلى الأرض على الاقتراب من الضفة المقابلة.
حساب الطالب للسرعة بالنسبة إلى الأرض صحيح. والخطأ هو استخدام مقدار السرعة بالنسبة إلى الأرض للإجابة عن سؤال لا تتحكم فيه إلا مركبتها العمودية.
السؤال 4
يمكن لقارب أن يتحرك بسرعة 4.0 m s\(^{-1}\) بالنسبة إلى الماء. ويجب عليه عبور نهر عرضه 120 m وله تيار سرعته 3.0 m s\(^{-1}\).
يحسب أحد الطلاب بصورة صحيحة أن القارب يجب أن يُوجَّه
\[ \sin^{-1}\left(\frac{3.0}{4.0}\right) = 48.6^\circ \]
نحو المنبع انطلاقًا من اتجاه العبور المباشر كي يصل مباشرةً إلى النقطة المقابلة.
ثم يحسب الطالب زمن العبور كما يلي
\[ t = \frac{120}{4.0} = 30\text{ s} \]
حدّد الخطأ واحسب زمن العبور الصحيح.
الحل 4
زمن العبور الصحيح نحو 45.4 s. والخطأ هو التعامل مع كامل سرعة القارب البالغة 4.0 m s\(^{-1}\) كما لو كانت متجهة عبر النهر.
القارب موجّه بزاوية \(48.6^\circ\) نحو المنبع من اتجاه العبور المباشر. وتلغي مركبته البالغة 3.0 m s\(^{-1}\) نحو المنبع التيار.
وهذا يترك مركبة عبر النهر مقدارها
\[ v_{\text{عبر النهر}} = \sqrt{4.0^2 - 3.0^2} = \sqrt{7} = 2.65\text{ m s}^{-1} \]
لذلك يكون زمن العبور
\[ t = \frac{120}{2.65} = 45.4\text{ s} \]
إذن يستغرق القارب نحو 45.4 s.
الخطأ المغري هو الاعتقاد بأنه ما دامت سرعة القارب بالنسبة إلى الماء تساوي 4.0 m s\(^{-1}\)، فإنه يعبر النهر بسرعة 4.0 m s\(^{-1}\). ولا يكون ذلك صحيحًا إلا عندما تتجه كامل سرعة القارب بالنسبة إلى الماء عبر النهر.
السؤال 5
لنهر عرضه 180 m تيار يتغير فجأة عند منتصف المسافة عبر النهر.
خلال أول 90 m، تبلغ سرعة التيار 1.0 m s\(^{-1}\) نحو المصب. وخلال الـ 90 m الثانية، تبلغ سرعته 3.0 m s\(^{-1}\) نحو المصب.
يشير القارب مباشرةً عبر النهر طوال الرحلة ويحافظ على سرعة ثابتة مقدارها 3.0 m s\(^{-1}\) بالنسبة إلى الماء المحلي.
أوجد زمن العبور الكلي والإزاحة نحو المصب. هل مسار القارب بالنسبة إلى الأرض خط مستقيم واحد؟
الحل 5
يستغرق القارب 60 s للعبور، ويتحرك إجمالًا 120 m نحو المصب، ولا يكون مساره بالنسبة إلى الأرض خطًا مستقيمًا واحدًا.
الملاحظة الأساسية هي أن كلا التيارين موازيان لضفتي النهر. ولا يغير أي منهما مركبة سرعة القارب عبر النهر البالغة 3.0 m s\(^{-1}\).
خلال أول 90 m،
\[ t_1 = \frac{90}{3.0} = 30\text{ s} \]
وخلال الـ 90 m الثانية،
\[ t_2 = \frac{90}{3.0} = 30\text{ s} \]
لذلك،
\[ t_{\text{الكلي}} = 30 + 30 = 60\text{ s} \]
خلال النصف الأول، تكون الإزاحة نحو المصب
\[ s_1 = 1.0(30) = 30\text{ m} \]
وخلال النصف الثاني،
\[ s_2 = 3.0(30) = 90\text{ m} \]
إذن تكون الإزاحة الكلية نحو المصب
\[ s_{\text{نحو المصب}} = 30 + 90 = 120\text{ m} \]
المسار بالنسبة إلى الأرض ليس خطًا مستقيمًا واحدًا. ففي النصف الثاني من النهر، تصبح مركبة السرعة بالنسبة إلى الأرض نحو المصب أكبر، ولذلك يتغير اتجاه السرعة المحصلة. ومن ثم يتغير اتجاه المسار عند نقطة المنتصف في هذا النموذج المبسط.
تكشف هذه المسألة افتراضًا مهمًا يكون مستترًا في مسائل الأنهار الأبسط: يتطلب المسار المستقيم بالنسبة إلى الأرض أن تظل مركبات السرعة ثابتة.
09إلى ماذا تقود هذه الفكرة بعد ذلك
مسائل القوارب والتيارات هي في الأساس مسائل سرعة نسبية. وبمجرد أن تتمكن من تفكيك السرعة إلى مركبات متعامدة وتحديد الإطار المرجعي الصحيح، تعمل الطريقة نفسها مع الطائرات في الرياح، والسباحين في المياه الجارية، وغيرها من صور الحركة خلال وسط متحرك.
الخطوة المفيدة التالية هي تعلّم كيفية التعامل مع الحالات التي يُعطى فيها الجسم اتجاهًا اعتباطيًا بدلًا من مجرد «مباشرةً عبر النهر» أو «موجّهًا للوصول إلى النقطة المقابلة». لا تتغير الفيزياء. حلّل السرعة إلى مركبات، ثم أضف سرعة الوسط مركبةً بمركبة، وبعد ذلك استخدم السرعة الناتجة بالنسبة إلى الأرض للتنبؤ بالحركة.