समतल पर दूरी और विस्थापन: HSC भौतिकी मार्गदर्शिका

आपका फिटनेस ट्रैकर बताता है कि आप 420 m चले। एक नक्शा बताता है कि आप जहाँ से चले थे, वहाँ से केवल 110 m दूर जाकर रुके। कौन-सा माप गलत है?

कोई भी नहीं। दोनों अलग-अलग चीज़ें माप रहे हैं। दूरी आपके द्वारा तय किए गए पूरे पथ को ध्यान में रखती है। विस्थापन केवल आपकी प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति तक हुए परिवर्तन को ध्यान में रखता है।

यह अंतर विशेष रूप से तब महत्वपूर्ण हो जाता है जब गति दो आयामों में होती है। जैसे ही किसी यात्रा में पूर्व-पश्चिम और उत्तर-दक्षिण दोनों दिशाओं में गति शामिल होती है, केवल संख्याएँ जोड़ना पर्याप्त नहीं रहता। आपको सदिशों की आवश्यकता होती है।

01उस पथ से शुरू करें जिसकी आप कल्पना कर सकते हैं

कल्पना कीजिए कि आप 60 m पूर्व की ओर चलते हैं, फिर बाएँ मुड़कर 80 m उत्तर की ओर चलते हैं।

कुछ भी गणना करने से पहले अनुमान लगाइए: क्या आपका विस्थापन 140 m है?

ऐसा नहीं हो सकता। 140 m उस वास्तविक पथ को दर्शाता है जिस पर आप चले। आपका विस्थापन प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक स्थिति में हुआ सीधी रेखा वाला परिवर्तन है।

इससे हमें पहला उपयोगी अंतर मिलता है:

एक अदिश में केवल परिमाण होता है। एक सदिश में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।

इसलिए 140 m एक मान्य दूरी है। लेकिन यह विस्थापन बताने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं है, क्योंकि कोई दिशा नहीं दी गई है।

02विस्थापन अंतिम बिंदुओं के बीच के मार्ग को नज़रअंदाज़ करता है

विस्थापन को एक बहुत अधीर दोस्त की तरह समझिए। आप उन्हें अपनी यात्रा की पूरी कहानी बताना शुरू करते हैं, और वे बीच में रोककर कहते हैं, “ठीक है, लेकिन तुमने शुरुआत कहाँ से की थी और अंत कहाँ किया?”

इन दोनों के बीच जो कुछ हुआ, वह विस्थापन के लिए अप्रासंगिक है।

औपचारिक रूप से, विस्थापन है

\[ \Delta \vec r = \vec r_f - \vec r_i \]

जहाँ:

• \(\Delta \vec r\) विस्थापन सदिश है
• \(\vec r_i\) प्रारंभिक स्थिति सदिश है
• \(\vec r_f\) अंतिम स्थिति सदिश है

त्रिभुज चिह्न \(\Delta\) का अर्थ है “में परिवर्तन”।

यह परिभाषा एक महत्वपूर्ण परिणाम समझाती है। यदि आप घर से निकलते हैं, 2 km इधर-उधर घूमते हैं और फिर वापस घर पर ही समाप्त करते हैं, तो आपकी दूरी 2 km है लेकिन आपका विस्थापन शून्य है।

शून्य विस्थापन का अर्थ यह नहीं है कि कोई गति नहीं हुई।

03दो आयामों में गति को जोड़ना

मान लीजिए कि कोई वस्तु अपनी अंतिम स्थिति तक पहुँचने से पहले कई बार गति करती है। प्रत्येक गति को एक सदिश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

कुल विस्थापन सदिशों का योग है:

\[ \Delta \vec r = \vec d_1 + \vec d_2 + \vec d_3 + \cdots \]

जहाँ प्रत्येक \(\vec d\) यात्रा के दौरान हुए एक विस्थापन को दर्शाता है।

इस जोड़ को करने के दो मुख्य तरीके हैं:

• सदिशों को एक के सिरे से अगले की शुरुआत जोड़ते हुए बनाना
• प्रत्येक सदिश को परस्पर लंबवत घटकों में विभाजित करना, फिर उन घटकों को जोड़ना

रेखाचित्र वाला तरीका सहज समझ विकसित करता है। गणना के लिए घटक विधि अधिक विश्वसनीय है।

04पाइथागोरस प्रमेय हमेशा तुरंत क्यों काम नहीं करता

एक सामान्य गलती यह है कि दो विस्थापन सदिश देखते ही तुरंत लिख दिया जाए

\[ d = \sqrt{d_1^2+d_2^2} \]

यह समीकरण केवल तभी काम करता है जब वर्ग किए जा रहे दोनों मान परस्पर लंबवत घटक हों।

यदि एक विस्थापन उत्तर-पूर्व की ओर और दूसरा पश्चिम की ओर है, तो वे आवश्यक रूप से परस्पर लंबवत नहीं हैं। पहले कोण पर स्थित सदिश को पूर्व-पश्चिम और उत्तर-दक्षिण घटकों में विभाजित करें।

अधिकांश द्वि-आयामी विस्थापन समस्याओं में यही मुख्य कदम है।

05किसी सदिश को घटकों में विभाजित करना

मान लीजिए कि परिमाण \(d\) वाला एक विस्थापन पूर्व से उत्तर की ओर \(\theta\) कोण बनाता है।

आप उस एक कोणीय सदिश को दो परस्पर लंबवत सदिशों से बदल सकते हैं:

\[ d_x = d\cos\theta \]

\[ d_y = d\sin\theta \]

जहाँ:

• \(d_x\) क्षैतिज घटक है
• \(d_y\) ऊर्ध्वाधर घटक है
• \(d\) मूल विस्थापन का परिमाण है
• \(\theta\) धनात्मक क्षैतिज दिशा से मापा गया कोण है

क्षैतिज के लिए कोसाइन और ऊर्ध्वाधर के लिए साइन क्यों?

सदिश से बने समकोण त्रिभुज में क्षैतिज घटक \(\theta\) के सन्निकट होता है, जबकि ऊर्ध्वाधर घटक \(\theta\) के सामने होता है।

इसलिए:

\[ \cos\theta=\frac{\text{सन्निकट भुजा}}{\text{कर्ण}} \]

और

\[ \sin\theta=\frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} \]

सदिश वास्तव में भौतिक रूप से दो गतियों में विभाजित नहीं हुआ है। घटक उसी गति का एक गणितीय वर्णन हैं।

06गणना करने से पहले धनात्मक दिशाएँ चुनें

चिह्न महत्वपूर्ण हैं क्योंकि विस्थापन की दिशा होती है।

एक सामान्य परंपरा है:

• पूर्व: धनात्मक \(x\)
• पश्चिम: ऋणात्मक \(x\)
• उत्तर: धनात्मक \(y\)
• दक्षिण: ऋणात्मक \(y\)

आप विपरीत परंपरा भी चुन सकते हैं और फिर भी सही भौतिकी प्राप्त कर सकते हैं, बशर्ते आप पूरे प्रश्न में उसी के अनुरूप रहें।

उदाहरण के लिए, 25 m पश्चिम होगा

\[ d_x=-25\text{ m} \]

जबकि 12 m उत्तर होगा

\[ d_y=+12\text{ m} \]

ऋणात्मक चिह्न का अर्थ ऋणात्मक दूरी नहीं है। यह आपकी चुनी हुई धुरी के साथ दिशा को दर्ज करता है।

07परिणामी ज्ञात करने से पहले घटकों को जोड़ें

हर विस्थापन को घटकों में विभाजित करने के बाद, सभी क्षैतिज घटकों को आपस में और सभी ऊर्ध्वाधर घटकों को आपस में जोड़ें:

\[ \Delta x = d_{1x}+d_{2x}+\cdots \]

\[ \Delta y = d_{1y}+d_{2y}+\cdots \]

यहाँ, \(\Delta x\) शुद्ध क्षैतिज विस्थापन है और \(\Delta y\) शुद्ध ऊर्ध्वाधर विस्थापन है।

फिर कुल विस्थापन का परिमाण ज्ञात करें:

\[ d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \]

और उसकी दिशा निर्धारित करने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करें।

यह इसलिए काम करता है क्योंकि \(\Delta x\) और \(\Delta y\) परस्पर लंबवत हैं, भले ही मूल विस्थापन सदिश परस्पर लंबवत न रहे हों।

08परिणामी की दिशा की तार्किक जाँच आवश्यक है

आपका कैलकुलेटर \(30^\circ\) जैसा कोई कोण दे सकता है, लेकिन केवल कोण यह नहीं बताता कि सदिश किस चतुर्थांश में है।

मान लीजिए कि आप गणना करते हैं

\[ \Delta x=-20\text{ m}, \qquad \Delta y=15\text{ m} \]

विस्थापन पश्चिम और उत्तर की ओर इंगित करता है, इसलिए यह उत्तर-पश्चिम चतुर्थांश में होना चाहिए।

यदि आप गणना करते हैं

\[ \tan^{-1}\left(\frac{15}{20}\right)=36.9^\circ \]

तो पूरी दिशा पश्चिम से \(36.9^\circ\) उत्तर की ओर है।

दिशा बताने से पहले हमेशा घटकों के चिह्नों की जाँच करें।

कैलकुलेटर का उत्तर यह जानने का विकल्प नहीं है कि सदिश वास्तव में किस दिशा में इंगित कर रहा है।

09दूरी और विस्थापन अलग-अलग नियमों का पालन करते हैं

विद्यार्थी अक्सर दूरी को भी किसी घटक-गणना की तरह मानने की कोशिश करते हैं।

ऐसा नहीं है।

कई सीधे खंडों से बनी यात्रा के लिए:

\[ \text{दूरी}=d_1+d_2+d_3+\cdots \]

जहाँ प्रत्येक \(d\), एक खंड की धनात्मक लंबाई है।

विस्थापन के लिए दिशा महत्वपूर्ण है:

\[ \Delta \vec r=\vec d_1+\vec d_2+\vec d_3+\cdots \]

इससे एक उपयोगी नियम मिलता है:

\[ \text{विस्थापन का परिमाण}\leq \text{तय की गई दूरी} \]

दोनों राशियाँ केवल तभी बराबर होती हैं जब वस्तु दिशा बदले या पीछे लौटे बिना सीधे अपने प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक जाती है।

यदि आपकी गणना में विस्थापन का परिमाण तय की गई दूरी से अधिक आता है, तो कहीं न कहीं गलती हुई है।

10द्वि-आयामी यात्राओं के लिए एक विश्वसनीय विधि

अधिकांश HSC-शैली के विस्थापन प्रश्नों के लिए यह क्रम अपनाएँ:

1. धनात्मक \(x\) और \(y\) दिशाएँ चुनें।
2. प्रत्येक कोणीय विस्थापन को \(x\) और \(y\) घटकों में विभाजित करें।
3. प्रत्येक घटक को सही चिह्न दें।
4. सभी \(x\)-घटकों को जोड़ें।
5. सभी \(y\)-घटकों को जोड़ें।
6. शुद्ध घटकों पर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें।
7. दिशा ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करें।
8. सही चतुर्थांश पहचानने के लिए चिह्नों की जाँच करें।
9. यदि दूरी भी चाहिए, तो वास्तविक पथ के खंडों की लंबाइयों को अलग से जोड़ें।

महत्वपूर्ण विचार चरण 6 है। पाइथागोरस का उपयोग अंत में किया जाता है, जब आप दो परस्पर लंबवत शुद्ध घटक बना चुके हों।

11प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक साइकिल चालक 90 m पूर्व की ओर और फिर 120 m उत्तर की ओर चलता है।

तय की गई कुल दूरी और प्रारंभिक बिंदु से साइकिल चालक का विस्थापन ज्ञात कीजिए।

समाधान 1

साइकिल चालक 210 m की दूरी तय करता है और उसका विस्थापन 150 m, पूर्व से \(53.1^\circ\) उत्तर की ओर है।

दूरी पूरे पथ की लंबाई है:

\[ \text{दूरी}=90+120=210\text{ m} \]

पूर्व और उत्तर की ओर विस्थापन परस्पर लंबवत हैं, इसलिए विस्थापन का परिमाण है

\[ d=\sqrt{(90)^2+(120)^2} =\sqrt{22500} =150\text{ m} \]

दिशा के लिए,

\[ \tan\theta=\frac{120}{90} \]

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{120}{90}\right) =53.1^\circ \]

इसलिए स्थिति में सीधी रेखा वाला परिवर्तन 150 m, पूर्व से \(53.1^\circ\) उत्तर की ओर है। 210 m प्राप्त करने के लिए 90 m और 120 m को जोड़ने पर दूरी मिलेगी, विस्थापन नहीं।

प्रश्न 2

एक सर्वेक्षण ड्रोन 150 m, पूर्व से \(40^\circ\) उत्तर की ओर उड़ता है। फिर वह ठीक दक्षिण की ओर 90 m उड़ता है।

उसके प्रारंभिक बिंदु से अंतिम विस्थापन का परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए।

समाधान 2

ड्रोन का अंतिम विस्थापन लगभग 115 m, पूर्व से \(33^\circ\) उत्तर की ओर है।

पहले 150 m के विस्थापन को घटकों में विभाजित करें:

\[ d_x=150\cos40^\circ=114.9\text{ m} \]

\[ d_y=150\sin40^\circ=96.4\text{ m} \]

दूसरी गति 90 m दक्षिण की ओर है, इसलिए उसका ऊर्ध्वाधर घटक \(-90\text{ m}\) है।

इसलिए,

\[ \Delta x=114.9\text{ m} \]

\[ \Delta y=96.4-90=6.4\text{ m} \]

परिमाण है

\[ d=\sqrt{(114.9)^2+(6.4)^2} \approx115.1\text{ m} \]

दिशा के लिए,

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{6.4}{114.9}\right) \approx3.2^\circ \]

इसलिए विस्थापन लगभग 115 m, पूर्व से \(3.2^\circ\) उत्तर की ओर है।

यहाँ महत्वपूर्ण गलती यह मान लेना है कि दूसरी 90 m की गति को सीधे 150 m के परिमाण से घटा देना चाहिए। ऐसा नहीं किया जा सकता, क्योंकि दोनों सदिश एक ही रेखा पर नहीं हैं। केवल एक ही दिशा के अनुरूप घटकों को सीधे जोड़ा या घटाया जा सकता है।

प्रश्न 3

एक विद्यार्थी 70 m पूर्व, 40 m उत्तर, 70 m पश्चिम और 10 m दक्षिण की ओर चलता है।

उसका सहपाठी दावा करता है कि विस्थापन शून्य है क्योंकि पूर्व और पश्चिम की ओर हुई गतियाँ एक-दूसरे को निरस्त कर देती हैं।

तय की गई दूरी और वास्तविक विस्थापन ज्ञात कीजिए। सहपाठी के तर्क में गलती समझाइए।

समाधान 3

विद्यार्थी 190 m की दूरी तय करता है और उसका विस्थापन 30 m उत्तर की ओर है।

कुल दूरी है

\[ \text{दूरी}=70+40+70+10=190\text{ m} \]

विस्थापन के लिए घटकों को जोड़ें।

क्षैतिज दिशा में,

\[ \Delta x=70-70=0\text{ m} \]

ऊर्ध्वाधर दिशा में,

\[ \Delta y=40-10=30\text{ m} \]

इसलिए,

\[ d=\sqrt{0^2+30^2}=30\text{ m} \]

सहपाठी केवल आंशिक रूप से सही है। पूर्व-पश्चिम वाले घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, लेकिन उत्तर-दक्षिण वाले घटक नहीं। विद्यार्थी प्रारंभिक बिंदु से 30 m उत्तर में समाप्त करता है।

किसी सदिश का एक आयाम में विस्थापन शून्य हो सकता है, जबकि उसका कुल विस्थापन शून्य न हो।

प्रश्न 4

दो विस्थापन सदिशों में से प्रत्येक का परिमाण 50 m है। उनके बीच का कोण \(60^\circ\) है।

एक विद्यार्थी तर्क देता है कि परिणामी विस्थापन 100 m होना चाहिए क्योंकि \(50+50=100\)।

यह मान लिए बिना कि दोनों सदिश परस्पर लंबवत हैं, उनके परिणामी का परिमाण ज्ञात कीजिए।

समाधान 4

परिणामी विस्थापन का परिमाण लगभग 86.6 m है, 100 m नहीं।

पहले 50 m के विस्थापन को धनात्मक \(x\)-अक्ष के साथ मानें। उसके घटक हैं

\[ d_{1x}=50\text{ m}, \qquad d_{1y}=0 \]

दूसरा सदिश उससे \(60^\circ\) ऊपर है, इसलिए

\[ d_{2x}=50\cos60^\circ=25\text{ m} \]

\[ d_{2y}=50\sin60^\circ=43.3\text{ m} \]

इसलिए शुद्ध घटक हैं

\[ \Delta x=50+25=75\text{ m} \]

\[ \Delta y=43.3\text{ m} \]

अब शुद्ध घटक परस्पर लंबवत हैं, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है:

\[ d=\sqrt{(75)^2+(43.3)^2} \]

\[ d\approx86.6\text{ m} \]

विद्यार्थी का 100 m वाला उत्तर केवल तभी सही होता जब दोनों विस्थापन बिल्कुल एक ही दिशा में होते।

\(\sqrt{50^2+50^2}\) की गणना करना भी गलत होगा, क्योंकि मूल सदिशों के बीच का कोण \(60^\circ\) है, \(90^\circ\) नहीं।

प्रश्न 5

एक रोबोट पहले 100 m, पूर्व से \(30^\circ\) उत्तर की ओर चलता है। फिर वह ठीक पश्चिम की ओर चलता है।

दोनों गतियों के बाद रोबोट अपनी प्रारंभिक स्थिति के ठीक उत्तर में है।

पश्चिम की ओर चली गई दूरी और रोबोट का अंतिम विस्थापन ज्ञात कीजिए।

समाधान 5

रोबोट को 86.6 m पश्चिम की ओर चलना होगा, और उसका अंतिम विस्थापन 50.0 m उत्तर होगा।

पहले विस्थापन को घटकों में विभाजित करें:

\[ d_x=100\cos30^\circ=86.6\text{ m} \]

\[ d_y=100\sin30^\circ=50.0\text{ m} \]

रोबोट को अपनी प्रारंभिक स्थिति के ठीक उत्तर में समाप्त करने के लिए उसका शुद्ध क्षैतिज विस्थापन शून्य होना चाहिए।

इसलिए पश्चिम की ओर गति को 86.6 m वाले पूर्व दिशा के घटक को निरस्त करना होगा:

\[ 86.6-d_{\text{पश्चिम}}=0 \]

इसलिए

\[ d_{\text{पश्चिम}}=86.6\text{ m} \]

पश्चिम की ओर गति का कोई ऊर्ध्वाधर घटक नहीं है, इसलिए 50.0 m वाला उत्तर दिशा का घटक अपरिवर्तित रहता है।

अतः,

\[ \Delta x=0 \]

\[ \Delta y=50.0\text{ m} \]

और अंतिम विस्थापन 50.0 m उत्तर है।

यहाँ छिपा हुआ विचार यह है कि “ठीक उत्तर” केवल कोण का वर्णन नहीं है। यह एक गणितीय शर्त लगाता है: अंतिम क्षैतिज घटक शून्य के बराबर होना चाहिए।

12इससे आगे क्या समझना संभव होता है

विस्थापन को घटकों में विभाजित करना केवल यात्रा से जुड़े प्रश्नों की एक तरकीब नहीं है। यही संरचना HSC Physics में कई जगह दिखाई देती है।

वेग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित किया जा सकता है। त्वरण और बल को भी। प्रक्षेप्य गति को समझना आसान हो जाता है क्योंकि क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति का अलग-अलग विश्लेषण किया जा सकता है और फिर उन्हें दोबारा जोड़ा जा सकता है।

याद रखने की आदत सरल है: जब कोई सदिश समस्या उलझी हुई लगे, तो पूछें कि उसके कौन-से भाग आपकी चुनी हुई अक्षों के साथ हैं। पहले उन घटकों को जोड़ें। परिणामी को तभी दोबारा बनाएँ जब अलग-अलग दिशाएँ स्पष्ट हो जाएँ।