शंक्वाकार लोलक: HSC भौतिकी में तनाव और भार के घटकों का विश्लेषण

एक द्रव्यमान डोरी से बँधा हुआ एक पूर्णतः क्षैतिज वृत्त में घूमता है। उसकी ऊँचाई स्थिर रहती है, जबकि गुरुत्वाकर्षण पूरे समय उसे नीचे की ओर खींच रहा होता है।

तो प्रश्न यह है: यदि द्रव्यमान का ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य है, तो उसे गिरने से क्या रोकता है? और यदि डोरी तिरछी है, तो वास्तव में कौन-सा बल द्रव्यमान को वृत्त में मोड़ता है?

आगे पढ़ने से पहले अनुमान लगाइए: क्या डोरी में तनाव अभिकेन्द्रीय बल के बराबर है?

नहीं। यही आकर्षक लगने वाला विचार इस मॉडल में होने वाली अधिकांश गलतियों का कारण है।

01एक तनाव बल के दो काम हैं

द्रव्यमान को बगल से देखने की कल्पना कीजिए। डोरी द्रव्यमान से तिरछी ऊपर की ओर स्थिर धुरी तक जाती है।

द्रव्यमान पर केवल दो बल कार्य कर रहे हैं:

• उसका भार, \(mg\), ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर
• तनाव, \(F_T\), डोरी के साथ धुरी की ओर

“अभिकेन्द्रीय बल” नाम का कोई अलग बल नहीं होता। अभिकेन्द्रीय बल उस परिणामी बल का नाम है जो किसी वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। यदि यह अंतर स्पष्ट नहीं है, तो अभिकेन्द्रीय बल: HSC भौतिकी में वास्तविक बल की पहचान कैसे करें देखें।

मान लीजिए कि डोरी ऊर्ध्वाधर से \(\theta\) कोण बनाती है।

तनाव तिरछी दिशा में होता है, इसलिए हम इसे दो परस्पर लंबवत घटकों में विभाजित कर सकते हैं:

• \(F_T\cos\theta\) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर
• \(F_T\sin\theta\) क्षैतिज रूप से वृत्त के केंद्र की ओर

ऊर्ध्वाधर घटक द्रव्यमान को गिरने से रोकता है। क्षैतिज घटक उसे मोड़ता है।

यह कुछ वैसा ही है जैसे पहियों वाले सूटकेस को ऊपर की ओर झुके हुए हैंडल से खींचना। एक ही खिंचाव का एक ऊपर की ओर घटक और एक आगे की ओर घटक हो सकता है। लेकिन समानता यहीं समाप्त हो जाती है, क्योंकि सूटकेस पर जमीन से भी बल लगते हैं, जबकि हमारे द्रव्यमान पर केवल तनाव और भार कार्य करते हैं।

02बलों से नहीं, त्वरणों से शुरुआत करें

“क्षैतिज वृत्त” वाक्यांश आपको त्वरण के बारे में एक महत्वपूर्ण बात बताता है।

द्रव्यमान ऊपर या नीचे नहीं जा रहा है। इसलिए उसका ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य है।

लेकिन उसके क्षैतिज वेग की दिशा लगातार बदल रही है, इसलिए उसका अभिकेन्द्रीय त्वरण केंद्र की ओर है:

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

जहाँ:

• \(a_c\) अभिकेन्द्रीय त्वरण है, जिसकी इकाई \(\text{m s}^{-2}\) है
• \(v\) चाल है, जिसकी इकाई \(\text{m s}^{-1}\) है
• \(r\) क्षैतिज वृत्त की त्रिज्या है, मीटर में

अब न्यूटन के द्वितीय नियम को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दिशाओं में अलग-अलग लागू किया जा सकता है।

ये दोनों समीकरण इस मॉडल का मूल हैं।

ध्यान दें कि भौतिक रूप से ये क्या बताते हैं। पूरा तनाव अभिकेन्द्रीय त्वरण उत्पन्न नहीं करता। केवल उसका क्षैतिज घटक ऐसा करता है।

03तनाव अभिकेन्द्रीय बल से बड़ा क्यों होता है

एक सामान्य शुरुआती प्रयास है

\[ F_T=\frac{mv^2}{r} \]

लेकिन ऊपर दिखाई गई तिरछी डोरी के लिए यह सही नहीं हो सकता।

यदि पूरा तनाव क्षैतिज दिशा में ही उपयोग हो रहा होता, तो \(mg\) को संतुलित करने के लिए कोई ऊपर की ओर बल नहीं होता। द्रव्यमान नीचे की ओर त्वरित होता, इसलिए उसका पथ एक ही क्षैतिज तल में नहीं रह सकता था।

इसके बजाय,

\[ F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

और

\[ F_T\cos\theta=mg \]

क्योंकि \(F_T\) को दोनों घटक प्रदान करने होते हैं,

\[ F_T=\sqrt{\left(\frac{mv^2}{r}\right)^2+(mg)^2} \]

इसलिए \(F_T\), \(mg\) और आवश्यक क्षैतिज अभिकेन्द्रीय बल-दोनों से बड़ा होता है।

एक और उपयोगी संबंध है। क्षैतिज समीकरण को ऊर्ध्वाधर समीकरण से भाग दें:

\[ \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta} = \frac{mv^2/r}{mg} \]

अतः

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

द्रव्यमान कट जाता है। किसी निश्चित चाल और त्रिज्या के लिए, द्रव्यमान बदलने से आवश्यक कोण नहीं बदलता। लेकिन तनाव बदलता है।

04त्रिज्या सामान्यतः डोरी की लंबाई नहीं होती

अब मान लीजिए कि डोरी की लंबाई \(L\) है।

\(r=L\) लिखना आकर्षक लग सकता है। यह केवल तब सही होता जब डोरी क्षैतिज होती।

शंक्वाकार लोलक के लिए, क्षैतिज त्रिज्या डोरी की लंबाई का क्षैतिज घटक है:

\[ r=L\sin\theta \]

धुरी से वृत्त के तल तक की ऊर्ध्वाधर दूरी है

\[ L\cos\theta \]

जब भी किसी प्रश्न में त्रिज्या के बजाय डोरी की लंबाई दी गई हो, यह ज्यामिति महत्वपूर्ण हो जाती है।

05शंक्वाकार लोलक के लिए एक उपयोगी संबंध

गति का वर्णन कोणीय चाल की सहायता से भी किया जा सकता है।

कोणीय चाल है

\[ \omega=\frac{v}{r} \]

जहाँ \(\omega\) की इकाई \(\text{rad s}^{-1}\) है।

क्षैतिज बल समीकरण बन जाता है

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2r \]

और क्योंकि \(r=L\sin\theta\),

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2L\sin\theta \]

वास्तविक वृत्तीय कक्षा के लिए, \(\sin\theta\neq0\), इसलिए

\[ F_T=m\omega^2L \]

इसे

\[ F_T\cos\theta=mg \]

के साथ मिलाने पर मिलता है

\[ m\omega^2L\cos\theta=mg \]

और इसलिए

\[ \omega^2=\frac{g}{L\cos\theta} \]

चूँकि \(P=2\pi/\omega\),

\[ P=2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}} \]

इस संबंध से थोड़ा आश्चर्यजनक परिणाम मिलता है: आवर्तकाल सीधे त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता, बल्कि धुरी से वृत्तीय पथ तक की ऊर्ध्वाधर दूरी \(L\cos\theta\) पर निर्भर करता है।

यह अवलोकन नीचे दिए गए अंतिम प्रश्न में महत्वपूर्ण हो जाता है।

06एक संक्षिप्त निर्णय नियम

जब भी आप किसी तिरछी डोरी पर बँधे द्रव्यमान को क्षैतिज वृत्त में घूमते देखें:

1. केवल वास्तविक बल बनाइए: तनाव और भार।
2. ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रूप से अंदर की ओर दिशाएँ चुनिए।
3. ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य होने का उपयोग करें:

\[ F_T\cos\theta=mg \]

1. क्षैतिज दिशा में अभिकेन्द्रीय त्वरण का उपयोग करें:

\[ F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

1. यदि डोरी की लंबाई दी गई हो, तो बल मॉडल को ज्यामिति से जोड़ें:

\[ r=L\sin\theta \]

ये समीकरण मानते हैं कि \(\theta\) को ऊर्ध्वाधर से मापा गया है। यदि किसी प्रश्न में कोण को क्षैतिज से मापा गया हो, तो साइन और कोसाइन वाले घटक अदल-बदल जाते हैं। समीकरणों का दूसरा समूह याद करने की कोशिश करने के बजाय त्रिभुज को फिर से बनाइए।

07प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक \(0.30\ \text{kg}\) द्रव्यमान \(0.80\ \text{m}\) त्रिज्या वाले क्षैतिज वृत्त में \(3.0\ \text{m s}^{-1}\) की चाल से चलता है। ज्ञात करें:

a. तनाव का क्षैतिज घटक
b. तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक
c. कुल तनाव
d. ऊर्ध्वाधर से डोरी का कोण

\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) लें।

समाधान 1

क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक क्रमशः \(3.38\ \text{N}\) और \(2.94\ \text{N}\) हैं, जिससे कुल तनाव \(4.48\ \text{N}\) और ऊर्ध्वाधर से कोण \(48.9^\circ\) मिलता है।

क्षैतिज दिशा के लिए,

\[ F_{T,x} = \frac{mv^2}{r} = \frac{(0.30)(3.0)^2}{0.80} = 3.375\ \text{N} \]

अतः

\[ F_{T,x}=3.38\ \text{N} \]

ऊर्ध्वाधर दिशा में त्वरण शून्य है:

\[ F_{T,y}=mg=(0.30)(9.8)=2.94\ \text{N} \]

कुल तनाव सदिश का परिमाण है:

\[ F_T = \sqrt{(3.375)^2+(2.94)^2} = 4.48\ \text{N} \]

अंत में,

\[ \tan\theta=\frac{3.375}{2.94} \]

अतः

\[ \theta=48.9^\circ \]

एक आकर्षक शॉर्टकट यह है कि \(3.38\ \text{N}\) को तनाव कह दिया जाए, क्योंकि यह \(mv^2/r\) के बराबर है। लेकिन यह केवल तनाव का क्षैतिज घटक है। उसी तनाव सदिश को \(2.94\ \text{N}\) का ऊपर की ओर घटक भी प्रदान करना होता है, जो भार को संतुलित करता है।

प्रश्न 2

एक \(0.20\ \text{kg}\) द्रव्यमान \(1.00\ \text{m}\) लंबी डोरी से लटका है और शंक्वाकार लोलक की तरह घूमता है। डोरी ऊर्ध्वाधर से \(50^\circ\) पर है।

गणना करें:

a. वृत्तीय पथ की त्रिज्या
b. डोरी में तनाव
c. द्रव्यमान की चाल
d. आवर्तकाल

\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) लें।

समाधान 2

त्रिज्या \(0.766\ \text{m}\), तनाव \(3.05\ \text{N}\), चाल \(2.99\ \text{m s}^{-1}\), और आवर्तकाल \(1.61\ \text{s}\) है।

पहले डोरी की ज्यामिति का उपयोग करें:

\[ r=L\sin\theta =(1.00)\sin50^\circ =0.766\ \text{m} \]

ऊर्ध्वाधर दिशा में,

\[ F_T\cos50^\circ=mg \]

अतः

\[ F_T = \frac{(0.20)(9.8)}{\cos50^\circ} = 3.05\ \text{N} \]

इसका क्षैतिज घटक है

\[ F_T\sin50^\circ = (3.05)\sin50^\circ = 2.34\ \text{N} \]

अतः,

\[ 2.34=\frac{(0.20)v^2}{0.766} \]

जिससे

\[ v = \sqrt{\frac{(2.34)(0.766)}{0.20}} = 2.99\ \text{m s}^{-1} \]

आवर्तकाल है

\[ P = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi(0.766)}{2.99} = 1.61\ \text{s} \]

आकर्षक गलती \(r=1.00\ \text{m}\) लेना है। डोरी की लंबाई ज्यामितीय त्रिभुज का कर्ण है; वृत्त की त्रिज्या उसका क्षैतिज घटक \(L\sin\theta\) है।

प्रश्न 3

एक द्रव्यमान \(1.80\ \text{s}\) के आवर्तकाल वाले शंक्वाकार लोलक की तरह घूमता है।

प्रारंभ में उसकी डोरी \(1.00\ \text{m}\) लंबी है।

a. ऊर्ध्वाधर से डोरी का कोण और वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।

फिर डोरी को छोटा करके \(0.70\ \text{m}\) कर दिया जाता है, जबकि एक तंत्र आवर्तकाल को ठीक \(1.80\ \text{s}\) बनाए रखने का प्रयास करता है।

b. क्या द्रव्यमान उस आवर्तकाल के साथ शून्य से अधिक त्रिज्या वाले शंक्वाकार लोलक की स्थिर अवस्था में आ सकता है? अपने उत्तर को भौतिक और गणितीय रूप से उचित ठहराइए।

\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) लें।

समाधान 3

प्रारंभ में कोण \(36.5^\circ\) और त्रिज्या \(0.594\ \text{m}\) है। डोरी को \(0.70\ \text{m}\) तक छोटा करने के बाद, \(1.80\ \text{s}\) के आवर्तकाल वाली शून्य से अधिक त्रिज्या की कोई शंक्वाकार-लोलक अवस्था संभव नहीं है।

आवर्तकाल के अनुरूप कोणीय चाल है

\[ \omega = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{1.80} = 3.49\ \text{rad s}^{-1} \]

शंक्वाकार लोलक के लिए,

\[ \omega^2=\frac{g}{L\cos\theta} \]

अतः

\[ \cos\theta=\frac{g}{\omega^2L} \]

\(L=1.00\ \text{m}\) के लिए,

\[ \cos\theta = \frac{9.8}{(3.49)^2(1.00)} = 0.804 \]

इसलिए,

\[ \theta=36.5^\circ \]

और

\[ r=L\sin\theta = (1.00)\sin36.5^\circ = 0.594\ \text{m} \]

अब उसी \(\omega\) को बनाए रखते हुए डोरी को \(0.70\ \text{m}\) तक छोटा करें:

\[ \cos\theta = \frac{9.8}{(3.49)^2(0.70)} = 1.15 \]

लेकिन किसी वास्तविक कोण के लिए \(\cos\theta>1\) नहीं हो सकता।

इसलिए माँगी गई स्थिर वृत्तीय गति असंभव है।

आकर्षक विचार यह है कि छोटी डोरी को काम करने योग्य बनाने के लिए तंत्र बस तनाव बढ़ा सकता है। लेकिन तनाव प्रत्येक बंधन को स्वतंत्र रूप से ठीक करने के लिए मनमाने ढंग से नहीं बदला जा सकता। ऊर्ध्वाधर संतुलन, क्षैतिज अभिकेन्द्रीय त्वरण, दी गई कोणीय चाल और निश्चित डोरी-ज्यामिति-इन सभी शर्तों को एक साथ पूरा होना चाहिए। यहाँ वे \(\cos\theta\) का एक असंभव मान माँगती हैं।

समतुल्य रूप से, इस कोणीय चाल पर डोरी की एक न्यूनतम संभव लंबाई है:

\[ L_{\min}=\frac{g}{\omega^2} = \frac{9.8}{(3.49)^2} = 0.804\ \text{m} \]

प्रस्तावित \(0.70\ \text{m}\) डोरी इस सीमा से छोटी है।

प्रश्न 4

एक \(0.40\ \text{kg}\) द्रव्यमान \(1.00\ \text{m}\) लंबी डोरी पर शंक्वाकार लोलक के रूप में घूम रहा है। उसका वृत्तीय पथ एक क्षैतिज फर्श से \(1.25\ \text{m}\) ऊपर है।

डोरी अचानक टूट जाती है। वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें। द्रव्यमान फर्श पर उस बिंदु से \(1.10\ \text{m}\) क्षैतिज दूरी पर गिरता है, जो डोरी टूटने के स्थान के ठीक नीचे है।

ज्ञात करें:

a. डोरी टूटने से ठीक पहले की चाल
b. ऊर्ध्वाधर से डोरी द्वारा बनाया गया कोण
c. डोरी टूटने से ठीक पहले उसमें तनाव

\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) लें।

समाधान 4

टूटने से ठीक पहले द्रव्यमान \(2.18\ \text{m s}^{-1}\) की चाल से चल रहा था, डोरी ऊर्ध्वाधर से \(38.1^\circ\) पर थी, और उसमें तनाव \(4.98\ \text{N}\) था।

जिस क्षण डोरी टूटती है, द्रव्यमान अपना तात्कालिक वेग बनाए रखता है। वह वेग क्षैतिज और वृत्तीय पथ की स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है।

इसलिए उसका प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग शून्य है।

\(1.25\ \text{m}\) की गिरावट के लिए,

\[ h=\frac{1}{2}gt^2 \]

अतः

\[ 1.25=\frac{1}{2}(9.8)t^2 \]

और

\[ t = \sqrt{\frac{2(1.25)}{9.8}} = 0.505\ \text{s} \]

क्षैतिज दिशा में,

\[ v=\frac{d}{t} = \frac{1.10}{0.505} = 2.18\ \text{m s}^{-1} \]

टूटने से पहले शंक्वाकार-लोलक संबंध था

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

लेकिन त्रिज्या अभी ज्ञात नहीं है। चूँकि डोरी की लंबाई \(L=1.00\ \text{m}\) है,

\[ r=L\sin\theta \]

अतः,

\[ v^2 = gL\sin\theta\tan\theta = gL\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \]

मान लें \(c=\cos\theta\)। चूँकि \(\sin^2\theta=1-c^2\),

\[ \frac{v^2}{gL} = \frac{1-c^2}{c} \]

\(v=2.18\ \text{m s}^{-1}\) रखने पर,

\[ \frac{(2.18)^2}{(9.8)(1.00)} = 0.484 \]

अतः

\[ 0.484=\frac{1-c^2}{c} \]

और इसलिए

\[ c^2+0.484c-1=0 \]

भौतिक रूप से सार्थक मूल है

\[ c=0.787 \]

अतः

\[ \cos\theta=0.787 \]

और

\[ \theta=38.1^\circ \]

अंत में, डोरी टूटने से पहले ऊर्ध्वाधर संतुलन से

\[ F_T\cos\theta=mg \]

अतः

\[ F_T = \frac{(0.40)(9.8)}{\cos38.1^\circ} = 4.98\ \text{N} \]

एक आकर्षक तरीका यह है कि प्रक्षेप्य की \(1.10\ \text{m}\) क्षैतिज दूरी को मूल वृत्त की त्रिज्या मान लिया जाए। ऐसा नहीं है। डोरी टूटने के बाद द्रव्यमान शुरू में अपने पुराने पथ की स्पर्शरेखा के अनुदिश चलता है। प्रक्षेप्य गति से स्पर्शरेखीय चाल मिलती है; इसके बाद मूल त्रिज्या को डोरी की ज्यामिति और वृत्तीय-गति समीकरणों से ज्ञात करना पड़ता है।

प्रश्न 5

दो अलग-अलग शंक्वाकार लोलकों की धुरियाँ एक ही क्षैतिज स्तर पर हैं।

लोलक A के लिए डोरी की लंबाई \(1.20\ \text{m}\) है। लोलक B के लिए डोरी की लंबाई \(0.80\ \text{m}\) है।

दोनों स्थितियों में क्षैतिज वृत्तीय पथ धुरी से ठीक \(0.60\ \text{m}\) ऊर्ध्वाधर नीचे है। दोनों द्रव्यमानों का बराबर होना आवश्यक नहीं है।

एक विद्यार्थी तर्क देता है:

लोलक A की वृत्तीय त्रिज्या बड़ी है, इसलिए प्रत्येक चक्कर पूरा करने में उसे अधिक समय लगना चाहिए।

निर्धारित करें कि क्या वास्तव में दोनों आवर्तकाल अलग हैं। फिर प्रत्येक द्रव्यमान की त्रिज्या और रैखिक चाल की गणना करें।

\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) लें।

समाधान 5

दोनों लोलकों का आवर्तकाल बिल्कुल समान, \(1.55\ \text{s}\), है, भले ही लोलक A की त्रिज्या बड़ी है और वह अधिक रैखिक चाल से चलता है।

धुरी से वृत्त के तल तक की ऊर्ध्वाधर दूरी को \(h\) मानें।

ज्यामिति से,

\[ h=L\cos\theta \]

बल संतुलन के लिए,

\[ F_T\cos\theta=mg \]

और

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2r \]

क्षैतिज समीकरण को ऊर्ध्वाधर समीकरण से भाग दें:

\[ \tan\theta=\frac{\omega^2r}{g} \]

लेकिन डोरी की ज्यामिति से यह भी मिलता है

\[ \tan\theta=\frac{r}{h} \]

अतः,

\[ \frac{r}{h} = \frac{\omega^2r}{g} \]

दोनों लोलकों की त्रिज्या शून्य से अधिक है, इसलिए \(r\) कट जाता है:

\[ \omega^2=\frac{g}{h} \]

यही मुख्य बंधन है। त्रिज्या महत्वपूर्ण दिखाई देती है, लेकिन जैसे ही बल समीकरणों और डोरी की ज्यामिति को एक साथ संतुष्ट करना आवश्यक होता है, कोणीय चाल के व्यंजक से त्रिज्या गायब हो जाती है।

\(h=0.60\ \text{m}\) रखने पर,

\[ \omega = \sqrt{\frac{9.8}{0.60}} = 4.04\ \text{rad s}^{-1} \]

अतः

\[ P = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4.04} = 1.55\ \text{s} \]

दोनों लोलकों के लिए।

अब त्रिज्याएँ ज्ञात करें।

लोलक A के लिए,

\[ r_A = \sqrt{L_A^2-h^2} = \sqrt{(1.20)^2-(0.60)^2} = 1.04\ \text{m} \]

लोलक B के लिए,

\[ r_B = \sqrt{L_B^2-h^2} = \sqrt{(0.80)^2-(0.60)^2} = 0.529\ \text{m} \]

रैखिक चाल \(v=\omega r\) है।

अतः,

\[ v_A = (4.04)(1.04) = 4.20\ \text{m s}^{-1} \]

और

\[ v_B = (4.04)(0.529) = 2.14\ \text{m s}^{-1} \]

लोलक A वास्तव में बड़ी परिधि तय करता है, लेकिन वह ठीक उतनी ही अधिक चाल से चलता है जितनी आवर्तकाल को अपरिवर्तित रखने के लिए आवश्यक है।

विद्यार्थी का तर्क त्रिज्या और चाल को ऐसे मानता है जैसे एक बदल सकती है जबकि दूसरी स्थिर रहे। शंक्वाकार लोलक में वे बल संतुलन और ज्यामिति द्वारा एक-दूसरे से जुड़ी होती हैं। जब ऊर्ध्वाधर दूरी \(h=L\cos\theta\) समान होती है, तो कोणीय चाल

\[ \omega=\sqrt{\frac{g}{h}} \]

से निर्धारित होती है, चाहे द्रव्यमान या त्रिज्या कुछ भी हो।

08यह मॉडल आपको आगे क्या करने देता है

यहाँ महत्वपूर्ण आदत दो घटक समीकरणों को याद करना नहीं है। महत्वपूर्ण बात यह तय करना है कि वास्तव में किस दिशा में त्वरण है।

क्षैतिज वृत्तीय पथ के लिए ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य है, इसलिए ऊर्ध्वाधर बल संतुलित होते हैं। क्षैतिज दिशा में अंदर की ओर त्वरण होता है, इसलिए वास्तविक बलों के क्षैतिज घटकों को \(mv^2/r\) उत्पन्न करना चाहिए।

यही तरीका अधिक कठिन वृत्तीय-गति समस्याओं पर भी लागू होता है। यदि वृत्त झुका हुआ हो, ऊर्ध्वाधर हो, या उस पर एक से अधिक बलों का सहारा हो, तो घटक समीकरण बदल जाते हैं, लेकिन विधि नहीं बदलती: त्रिज्यीय दिशा चुनें, वास्तविक बलों की पहचान करें, उन्हें घटकों में विभाजित करें, और उसके बाद ही न्यूटन का द्वितीय नियम लिखें।