Leis da Corrente e da Tensão de Kirchhoff para Física HSC

Uma corrente de \(5.0\ \text{A}\) chega a uma junção. Um ramo conduz \(2.0\ \text{A}\) para fora da junção e outro conduz \(4.0\ \text{A}\) para fora. Poderia isto acontecer continuamente?

Faz uma previsão antes de continuares a ler. Se \(5.0\ \text{C}\) de carga chegam a cada segundo, mas \(6.0\ \text{C}\) saem a cada segundo, a junção teria, de algum modo, de criar \(1.0\ \text{C}\) de carga a cada segundo. Isso não pode acontecer.

Agora experimenta um problema diferente. Uma carga dá uma volta completa num circuito que contém uma bateria de \(12\ \text{V}\). Poderiam os componentes produzir quedas de tensão que totalizassem \(15\ \text{V}\), sem estar presente qualquer outra fonte? Mais uma vez, não. A carga aparentemente perderia mais energia por coulomb do que aquela que a bateria forneceu.

Estes dois problemas são a razão pela qual existem as leis de Kirchhoff. A lei das correntes de Kirchhoff acompanha a carga nas junções. A lei das tensões de Kirchhoff acompanha a energia por unidade de carga ao longo das malhas. Usadas em conjunto, permitem analisar circuitos demasiado complexos para uma única regra simples de associação em série ou em paralelo.

01As duas ideias de conservação por detrás das leis de Kirchhoff

Antes das equações, imagina o que o circuito está realmente a fazer.

A corrente mede a rapidez com que a carga passa por um ponto:

\[
I=\frac{q}{t}
\]

onde \(I\) é a corrente em amperes (A), \(q\) é a carga em coulombs (C) e \(t\) é o tempo em segundos (s). Se precisares de rever esta ideia, consulta Corrente como Taxa de Fluxo de Carga: Utilizar I = q/t em Física HSC.

Imagina uma estação de comboios com uma entrada e várias saídas. Se 100 pessoas entrarem por minuto, mas apenas 80 saírem, a estação terá de ficar cada vez mais cheia. Se o número de pessoas no interior se mantiver constante, o número de pessoas que entram por minuto terá de ser igual ao número das que saem por minuto.

Uma junção num circuito comporta-se de forma semelhante em relação ao fluxo de carga. A analogia não é exata, porque as cargas não são pequenos passageiros a correr pelos fios, mas a ideia de contabilização é útil: a carga não pode simplesmente desaparecer numa junção.

A tensão exige um modelo mental diferente. A diferença de potencial indica quanta energia é transferida por coulomb de carga. Uma bateria de \(12\ \text{V}\) fornece \(12\ \text{J}\) de energia por cada coulomb que passa através dela.

Se essa carga percorrer toda uma malha fechada e regressar ao seu ponto de partida, a sua variação líquida de potencial elétrico terá de ser zero. Assim, a energia ganha por coulomb a partir das fontes tem de equilibrar a energia transferida por coulomb noutras partes da malha.

Isto dá-nos duas perguntas a fazer sempre que um circuito se torna complicado:

02Lei das correntes de Kirchhoff: a carga não pode desaparecer numa junção

Suponhamos que uma corrente \(I\) chega a uma junção e se divide nas correntes \(I_1\) e \(I_2\).

Para um circuito em regime estacionário,

\[
I=I_1+I_2
\]

De forma mais geral,

\[
\sum I_{\text{entrada}}=\sum I_{\text{saída}}
\]

O símbolo \(\sum\) significa “a soma de”. Assim, a equação diz simplesmente:

corrente total que entra numa junção = corrente total que sai da junção.

Esta é a lei das correntes de Kirchhoff, frequentemente abreviada como KCL.

Porque pode a corrente dividir-se sem que a carga seja dividida em partes

Um erro comum é imaginar que cada eletrão chega à junção e é cortado em pedaços mais pequenos. Não é isso que acontece.

A corrente é uma taxa de fluxo de carga. Na junção, os portadores de carga deslocam-se por diferentes caminhos disponíveis. Se \(3.0\ \text{C}\) chegam a cada segundo, talvez \(1.0\ \text{C}\) por segundo siga por um ramo e \(2.0\ \text{C}\) por segundo siga por outro.

Os valores da corrente dividem-se porque a taxa de fluxo se divide.

A KCL deixa alguma vez de funcionar?

A conservação da carga não deixa de funcionar.

A afirmação simples “a corrente que entra é igual à corrente que sai” pressupõe que incluíste todos os caminhos relevantes e que a carga não se está a acumular continuamente na própria junção. Nos circuitos de corrente contínua em regime estacionário normalmente analisados ao nível de HSC, este é um excelente modelo.

Se um circuito contiver algo como um condensador a carregar, é necessário incluir corretamente a corrente de carregamento. Uma aparente discrepância não significa que a conservação da carga tenha falhado.

03Lei das tensões de Kirchhoff: a energia tem de se equilibrar ao longo de uma malha

Agora desvia a atenção de uma junção e segue um percurso completo ao longo de um circuito.

Suponhamos que começas imediatamente antes de uma bateria, percorres todos os componentes e acabas por regressar exatamente ao mesmo ponto. Como regressaste ao mesmo potencial elétrico, todas as subidas e descidas de potencial têm de somar zero.

A lei das tensões de Kirchhoff, ou KVL, é portanto

\[
\sum \Delta V=0
\]

onde \(\Delta V\) é a variação do potencial elétrico em cada parte da malha, medida em volts (V).

Outra forma comum de expressar a mesma ideia é:

\[
\text{total das subidas de tensão}=\text{total das quedas de tensão}
\]

Isto é a conservação da energia escrita por coulomb de carga.

As regras de sinais que tornam a KVL mais fácil de aplicar

Escolhe um sentido para percorrer a malha. O sentido horário não é mais correto do que o sentido anti-horário. Basta escolher um e manter a consistência.

Para uma fonte de tensão ideal:

• ao atravessá-la do terminal negativo para o terminal positivo há uma subida de tensão, por isso usa \(+V\)
• ao atravessá-la do terminal positivo para o terminal negativo há uma queda de tensão, por isso usa \(-V\)

Para uma resistência \(R\) percorrida por uma corrente \(I\):

• percorrer a resistência no mesmo sentido da corrente dá uma variação de potencial de \(-IR\)
• percorrer a resistência no sentido oposto ao da corrente dá uma variação de potencial de \(+IR\)

Aqui, \(V\) é a diferença de potencial em volts, \(I\) é a corrente em amperes e \(R\) é a resistência em ohms (\(\Omega\)). A relação \(V=IR\) vem da lei de Ohm para uma resistência óhmica. Podes rever essa relação em Lei de Ohm em Física HSC: Quando a Resistência É Constante.

Não tentes memorizar os sinais como regras arbitrárias. Pergunta o que está fisicamente a acontecer. Uma bateria pode aumentar o potencial elétrico quando passas do seu terminal negativo para o positivo. Uma resistência comum transfere energia elétrica para outras formas de energia, por isso o potencial diminui quando a atravessas no sentido da corrente convencional.

04Utilizar KCL e KVL em conjunto

As leis tornam-se mais úteis quando um circuito contém simultaneamente junções e várias malhas possíveis.

O método não consiste em “encontrar a fórmula certa”. Consiste em:

1. atribuir variáveis às correntes
2. utilizar a KCL nas junções
3. escolher malhas fechadas úteis
4. utilizar a KVL ao longo dessas malhas
5. utilizar relações entre componentes, como \(V=IR\)
6. resolver as equações em conjunto
7. interpretar fisicamente quaisquer sinais negativos

Suponhamos que uma bateria ideal de \(12\ \text{V}\) envia corrente através de uma resistência de \(2\ \Omega\) antes de chegar a uma junção. A corrente divide-se então entre um ramo de \(6\ \Omega\) e um ramo de \(3\ \Omega\), antes de voltar a juntar-se.

Sejam:

• \(I\) a corrente através da resistência de \(2\ \Omega\)
• \(I_1\) a corrente através do ramo de \(6\ \Omega\)
• \(I_2\) a corrente através do ramo de \(3\ \Omega\)

Antes de calcular, prevê qual dos ramos em paralelo deverá conduzir mais corrente.

O ramo de \(3\ \Omega\) tem menor resistência. Ambos os ramos em paralelo estão ligados entre as mesmas duas junções, pelo que têm a mesma tensão entre os seus extremos. Deves, portanto, esperar que o ramo de \(3\ \Omega\) conduza mais corrente.

Agora, as leis de Kirchhoff podem dizer-nos exatamente quanto mais.

05O equívoco que causa mais dificuldades

Um aluno vê a corrente passar através de uma resistência e pensa:

A resistência utiliza parte da corrente, por isso deve haver menos corrente depois dela.

Isso parece razoável porque as resistências transferem energia elétrica para energia térmica. Há realmente algo a ser transferido.

Mas é energia, não carga.

Num único percurso em série, a mesma taxa de fluxo de carga passa por todos os componentes. Se \(2.0\ \text{C}\) passam pela primeira resistência a cada segundo, também têm de sair dela \(2.0\ \text{C}\) a cada segundo. Caso contrário, a carga acumular-se-ia continuamente dentro da resistência.

O que muda ao atravessar a resistência é a energia potencial elétrica por coulomb. É por isso que existe uma queda de tensão.

Mantém estas duas ideias separadas:

• a corrente acompanha a carga por segundo
• a tensão acompanha a energia por coulomb

A KCL trata da primeira. A KVL trata da segunda.

06Uma corrente negativa é informação, não um erro

Ao montar um problema de Kirchhoff, é frequente teres de escolher um sentido para a corrente antes de saberes qual é o sentido real.

Isso não é um problema.

Suponhamos que assumes que \(I\) circula no sentido horário e, ao resolveres as equações, obténs

\[
I=-0.60\ \text{A}
\]

O sinal negativo não significa que esteja a circular “eletricidade negativa”. Significa que a seta que escolheste inicialmente apontava no sentido errado.

A corrente física é \(0.60\ \text{A}\) no sentido oposto.

Esta é uma das razões pelas quais o método de Kirchhoff é poderoso. Não tens de adivinhar corretamente todos os sentidos antes de começares. Tens, no entanto, de manter os sinais consistentes.

07Uma regra de decisão compacta

Quando encontrares um circuito que não conheces, não comeces imediatamente à procura da resistência equivalente.

Pergunta:

Existe uma junção?
Escreve uma equação de KCL que relacione as correntes que entram e saem dela.

Existe uma malha fechada?
Escreve uma equação de KVL de modo que todas as subidas e quedas de potencial ao longo dessa malha somem zero.

Aparece uma resistência?
Para uma resistência óhmica, relaciona a sua tensão, corrente e resistência utilizando \(V=IR\).

Uma corrente desconhecida resultou negativa?
Mantém o valor absoluto e inverte o sentido assumido.

A tua resposta final conserva tanto a carga como a energia?
Verifica as correntes nas junções e o balanço das tensões antes de aceitares a resposta.

08Questões e soluções

Questão 1

Uma corrente de \(1.80\ \text{A}\) entra numa junção. Um dos ramos de saída conduz \(0.40\ \text{A}\). Um segundo ramo conduz uma corrente \(I\). Determina \(I\).

Solução 1

A corrente desconhecida é \(1.40\ \text{A}\) a sair da junção.

A lei das correntes de Kirchhoff exige que a corrente total que entra na junção seja igual à corrente total que sai:

\[
I_{\text{entrada}}=I_1+I
\]

Substituindo,

\[
\begin{aligned}
1.80&=0.40+I\\
I&=1.80-0.40\\
I&=1.40\ \text{A}
\end{aligned}
\]

Assim, \(1.40\ \text{C}\) de carga saem pelo segundo ramo a cada segundo. Em conjunto, as duas correntes de saída transportam \(1.80\ \text{A}\), correspondendo à corrente de entrada.

Questão 2

Uma bateria ideal de \(9.0\ \text{V}\) está ligada numa única malha com uma resistência de \(3.0\ \Omega\) e uma resistência de \(6.0\ \Omega\). Determina a corrente e a queda de tensão em cada resistência.

Solução 2

A corrente é \(1.0\ \text{A}\), com quedas de tensão de \(3.0\ \text{V}\) e \(6.0\ \text{V}\) nas resistências de \(3.0\ \Omega\) e \(6.0\ \Omega\), respetivamente.

Aplicando a KVL ao longo da malha,

\[
9.0-3.0I-6.0I=0
\]

logo,

\[
\begin{aligned}
9.0-9.0I&=0\\
I&=1.0\ \text{A}
\end{aligned}
\]

Na resistência de \(3.0\ \Omega\),

\[
V_1=IR=(1.0)(3.0)=3.0\ \text{V}
\]

Na resistência de \(6.0\ \Omega\),

\[
V_2=IR=(1.0)(6.0)=6.0\ \text{V}
\]

A verificação é

\[
3.0+6.0=9.0\ \text{V}
\]

por isso as quedas de tensão são iguais à subida de tensão da bateria. A energia por coulomb é conservada ao longo da malha.

Questão 3

Uma bateria de \(10\ \text{V}\) está ligada em série com uma resistência de \(2.0\ \Omega\) e uma resistência de \(3.0\ \Omega\). Um aluno afirma que a corrente tem de ser maior antes da primeira resistência do que depois da segunda resistência, porque cada resistência “utiliza parte da corrente”.

Determina a corrente no circuito e explica o que o aluno confundiu.

Solução 3

A corrente é \(2.0\ \text{A}\) em todos os pontos do percurso em série. As resistências transferem energia, mas não consomem carga nem corrente.

Aplica a KVL:

\[
10-2.0I-3.0I=0
\]

Portanto,

\[
\begin{aligned}
10-5.0I&=0\\
I&=2.0\ \text{A}
\end{aligned}
\]

A primeira resistência tem uma queda de tensão

\[
V_1=(2.0)(2.0)=4.0\ \text{V}
\]

e a segunda tem uma queda de tensão

\[
V_2=(2.0)(3.0)=6.0\ \text{V}
\]

logo,

\[
4.0+6.0=10\ \text{V}
\]

O erro tentador é tratar a tensão e a corrente como se medissem a mesma coisa. Não medem. A corrente é a taxa de fluxo de carga, por isso os mesmos \(2.0\ \text{A}\) têm de passar por todos os pontos deste único percurso em série. A tensão descreve a energia transferida por coulomb, pelo que pode diminuir em cada resistência enquanto a corrente permanece inalterada.

Questão 4

Uma bateria ideal de \(12\ \text{V}\) está ligada a uma resistência de \(2.0\ \Omega\). Depois desta resistência, o circuito divide-se em dois ramos em paralelo que contêm resistências de \(4.0\ \Omega\) e \(12\ \Omega\), antes de voltarem a juntar-se.

Seja \(I\) a corrente através da resistência de \(2.0\ \Omega\), \(I_1\) a corrente através do ramo de \(4.0\ \Omega\) e \(I_2\) a corrente através do ramo de \(12\ \Omega\).

Um aluno escreve

\[
12-2I-4I_1-12I_2=0
\]

como uma equação de KVL.

Explica por que razão esta equação não é uma equação válida para uma única malha e, em seguida, determina \(I\), \(I_1\) e \(I_2\).

Solução 4

A equação da malha escrita pelo aluno é inválida porque não existe um único percurso fechado que atravesse as duas resistências em paralelo uma depois da outra. As correntes corretas são \(I=2.40\ \text{A}\), \(I_1=1.80\ \text{A}\) e \(I_2=0.60\ \text{A}\).

Na junção, a KCL dá

\[
I=I_1+I_2
\]

Uma malha que passa pelo ramo de \(4.0\ \Omega\) dá

\[
12-2I-4I_1=0
\]

Uma malha diferente que passa pelo ramo de \(12\ \Omega\) dá

\[
12-2I-12I_2=0
\]

Os ramos em paralelo partilham as mesmas duas junções, pelo que as suas quedas de tensão têm de ser iguais:

\[
4I_1=12I_2
\]

Portanto,

\[
I_1=3I_2
\]

Utilizando a KCL,

\[
I=3I_2+I_2=4I_2
\]

Substitui isto na equação da malha que contém o ramo de \(12\ \Omega\):

\[
\begin{aligned}
12-2(4I_2)-12I_2&=0\\
12-20I_2&=0\\
I_2&=0.60\ \text{A}
\end{aligned}
\]

Logo,

\[
I_1=3(0.60)=1.80\ \text{A}
\]

e

\[
I=1.80+0.60=2.40\ \text{A}
\]

Verifica as quedas de tensão. Na resistência comum de \(2.0\ \Omega\),

\[
V=(2.40)(2.0)=4.80\ \text{V}
\]

por isso cada ramo em paralelo tem de ter

\[
12.0-4.80=7.20\ \text{V}
\]

entre os seus extremos.

Para o ramo de \(4.0\ \Omega\),

\[
(1.80)(4.0)=7.20\ \text{V}
\]

e para o ramo de \(12\ \Omega\),

\[
(0.60)(12)=7.20\ \text{V}
\]

Ambas as malhas satisfazem a KVL e a junção satisfaz a KCL.

A armadilha não estava na álgebra. Estava na geometria. Uma equação de KVL tem de seguir um percurso fechado real através do circuito.

Questão 5

Uma única malha de circuito contém duas baterias ideais e duas resistências. Percorrendo a malha no sentido horário, atravessas a primeira bateria do terminal negativo para o positivo, o que corresponde a uma subida de \(6.0\ \text{V}\). Depois, atravessas a segunda bateria do terminal positivo para o negativo, o que corresponde a uma queda de \(9.0\ \text{V}\). As resistências são \(1.0\ \Omega\) e \(4.0\ \Omega\).

Admite que a corrente \(I\) circula no sentido horário.

Determina \(I\), indica o sentido real da corrente e explica por que razão um resultado negativo não significa que a lei das tensões de Kirchhoff tenha falhado.

Solução 5

O cálculo dá \(I=-0.60\ \text{A}\), por isso a corrente real é \(0.60\ \text{A}\) no sentido anti-horário. O sinal negativo significa que o sentido assumido era oposto ao sentido real.

Utilizando o sentido horário assumido, a KVL dá

\[
6.0-9.0-1.0I-4.0I=0
\]

Portanto,

\[
\begin{aligned}
-3.0-5.0I&=0\\
-5.0I&=3.0\\
I&=-0.60\ \text{A}
\end{aligned}
\]

O módulo da corrente é, portanto,

\[
|I|=0.60\ \text{A}
\]

mas o seu sentido é anti-horário.

Isto faz sentido fisicamente. A fonte de \(9.0\ \text{V}\) é mais forte do que a fonte de \(6.0\ \text{V}\), por isso a tensão resultante que impulsiona a corrente é

\[
9.0-6.0=3.0\ \text{V}
\]

A resistência total é

\[
R=1.0+4.0=5.0\ \Omega
\]

por isso o módulo da corrente é

\[
I=\frac{3.0}{5.0}=0.60\ \text{A}
\]

A lei de Kirchhoff fez exatamente o que devia fazer. A álgebra corrigiu a suposição inicial sobre o sentido da corrente.

Quando conseguires alternar entre a KCL nas junções e a KVL ao longo das malhas, os circuitos mais complexos deixam de parecer uma coleção de casos especiais. Podes analisá-los acompanhando duas quantidades conservadas: o fluxo de carga em cada junção e a energia por coulomb ao longo de cada percurso fechado. O passo seguinte útil é relacionar essas correntes e diferenças de potencial com a potência elétrica, para poderes determinar não apenas como a carga e a energia se deslocam através de um circuito, mas também a rapidez com que os componentes transferem essa energia.