等速圆周运动中的速率、半径与周期

摩天轮上的乘客与旋转唱片边缘的标记，都可以用固定速率运动。但如果唱片每 2 秒旋转一圈，那个标记实际上移动得有多快？单凭周期无法回答这个问题。每转一圈，靠近圆心的点所走的路径，远比靠近边缘的点短。

在使用方程式之前，先预测一下：两个点在完全相同的时间内各完成一圈，但其中一个点距离圆心是另一个的两倍。哪个点的速率较大？

外侧的点速率较大。在相同的时间内，它每转一圈必须走过两倍的距离。这个简单的概念，正是方程式

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

成立的根本原因。

01从路程除以时间开始

想像一颗小球以固定速率沿著圆形轨道运动。绕行一整圈的路程，等于圆的周长：

\[ \text{一整圈的路程}=2\pi r \]

其中，\(r\) 是圆形路径的半径，以公尺为单位。

假设完成一圈需要 \(T\) 秒。\(T\) 称为周期。

速率等于路程除以时间，因此，完成一整圈时：

\[ \begin{aligned} v&=\frac{\text{路程}}{\text{时间}}\\ &=\frac{2\pi r}{T} \end{aligned} \]

其中：

• \(v\) 是速率，单位为公尺每秒，\(\text{m s}^{-1}\)；
• \(r\) 是圆形路径的半径，单位为公尺，\(\text{m}\)；以及
• \(T\) 是周期，也就是完成一整圈所需的时间，单位为秒，\(\text{s}\)。

这个方程式并不是专为圆周运动发明的特殊新规则，而是把我们熟悉的规则

\[ \text{速率}=\frac{\text{路程}}{\text{时间}} \]

套用在绕行一整圈的情况。

02「等速」实际上代表什么

在等速圆周运动中，物体沿著圆形路径运动，速率保持不变。

但这并不代表它的速度保持不变。

速度包含方向。当物体沿著圆周运动时，即使速率表的读数始终完全相同，它的运动方向仍会持续改变。

在每一瞬间，速度方向都沿著圆的切线。

想像你用绳子甩动一颗球。如果绳子突然断掉，球会直接朝远离圆心的方向飞去吗？

常见的第一个猜测是会，因为感觉球一直在「试图向外逃离」。但绳子断掉后，球会沿著它在那一瞬间原本的运动方向继续前进，也就是沿著切线方向。

这种速度方向的持续改变，正是为什么即使 \(v\) 保持不变，圆周运动仍然涉及加速度。加速度指向圆心，相关内容会在 HSC 物理中的向心加速度：为什么方向指向内侧 中进一步探讨。

03为什么半径会改变速率

假设两名学生站在同一个旋转平台上。

A 学生距离圆心 \(1.0\text{ m}\)，B 学生距离圆心 \(2.0\text{ m}\)。平台是刚性结构，因此两人每次完成一圈所需的时间相同。

你可以把这个情况想像成两个人在两条大小不同的圆形跑道上跑步，却不知为何被迫每一圈都同时完成。跑较大圈的人必须走过更长的距离，因此他们必须跑得更快。

如果跑者可以自行决定步调，这个比喻就不再成立。在刚性旋转平台上，各点受到机械约束，每次转动都必须同时完成。

如果两名学生的周期都是 \(T\)，

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

便显示速率与半径成正比：

\[ v\propto r \]

前提是 \(T\) 保持不变。

因此，若 \(r\) 加倍，\(v\) 也会加倍；若 \(r\) 变成三倍，\(v\) 也会变成三倍。

所以，旋转圆盘的外缘比靠近圆心的点移动得更快，即使两者每秒转动的圈数相同。

范例：比较旋转平台上的两个点

一个圆形平台以固定速率旋转，周期为 \(4.0\text{ s}\)。A 点距离圆心 \(1.2\text{ m}\)，B 点距离圆心 \(2.4\text{ m}\)。计算各点的速率。

步骤 1：找出保持不变的量。

两点都固定在同一个平台上，因此两者的周期都是

\[ T=4.0\text{ s} \]

两点的半径则不同。

步骤 2：计算 A 点的速率。

使用

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

可得

\[ \begin{aligned} v_A&=\frac{2\pi(1.2)}{4.0}\\ &=1.88\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

步骤 3：计算 B 点的速率。

\[ \begin{aligned} v_B&=\frac{2\pi(2.4)}{4.0}\\ &=3.77\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

步骤 4：解读结果。

B 点距离圆心是 A 点的两倍，因此每转一圈，B 点走过的距离也是 A 点的两倍。由于两点都需要相同的 \(4.0\text{ s}\) 才能完成一圈，B 点的速率就是 A 点的两倍。

04为什么周期会改变速率

现在改为固定半径。

想像同一颗球沿著同一条圆形轨道运动。如果它先以 \(8\text{ s}\) 完成一圈，接著能在 \(4\text{ s}\) 内走完相同的距离，那么它的速率必定加倍。

根据

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

如果 \(r\) 保持不变，

\[ v\propto \frac{1}{T} \]

因此，周期越短，速率越大。

这是反比关系，而不是正比关系。

请留意，这张表描述的是另一个列出的变数确实保持不变时的情况。真实的物理系统可能受到其他条件限制，使你无法独立改变其中一个变数。

05周期与频率以不同方式描述同一种旋转

有时候，题目给出的不是周期，而是频率。

频率 \(f\) 表示每秒发生多少次旋转。它的单位是赫兹，\(\text{Hz}\)，其中 \(1\text{ Hz}=1\text{ s}^{-1}\)。

周期与频率互为倒数：

\[ T=\frac{1}{f} \]

以及

\[ f=\frac{1}{T} \]

例如，如果一个物体每秒完成 \(5.0\) 圈，

\[ f=5.0\text{ Hz} \]

因此，

\[ T=\frac{1}{5.0}=0.20\text{ s} \]

将 \(T=1/f\) 代入圆周运动的速率方程式，可得

\[ v=\frac{2\pi r}{1/f}=2\pi rf \]

因此，以下两种形式都很实用：

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

以及

\[ v=2\pi rf \]

两者表达的是同一件事。

范例：根据每分钟转数求速率

一个实验室用转盘的半径为 \(0.180\text{ m}\)，并以每分钟 \(45.0\) 圈的固定速率旋转。计算转盘外缘上一点的速率。

步骤 1：将每分钟转数换算成频率。

频率必须以每秒的转数表示：

\[ \begin{aligned} f&=\frac{45.0}{60}\\ &=0.750\text{ Hz} \end{aligned} \]

步骤 2：使用圆周运动的速率方程式。

使用

\[ v=2\pi rf \]

可得

\[ \begin{aligned} v&=2\pi(0.180)(0.750)\\ &=0.848\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

步骤 3：解读结果。

外缘上的一点每秒沿著圆形路径移动约 \(0.848\text{ m}\)。整个转盘具有相同的角旋转速率，但越靠近圆心的点，其线速率越小。

06容易犯的错误：「转完一圈后，位移就是零」

我们在推导过程中，其实隐藏著一个微妙的问题。

完成一整圈后，物体会回到起点。因此，它的位移为零。

那么，为什么我们写的是

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

而不是用零除以 \(T\) 呢？

因为这个方程式给出的是物体的固定速率，而不是它在整个旋转周期内的平均速度。

这是两个不同的物理量。

在一整圈的运动中：

• 行经的路程是 \(2\pi r\)；
• 位移是 \(0\)；
• 平均速率是 \(\frac{2\pi r}{T}\)；以及
• 平均速度是 \(0\)。

因此，等速圆周运动中的物体可以在每一瞬间都具有非零速率，但在完成一整圈后，其平均速度却为零。

只要记得速度包含方向，这件事就不难理解。在绕行一整圈的过程中，物体朝不同方向运动；计算总位移时，这些不同方向的运动会互相抵消。

07重新整理方程式，同时保留物理意义

你可能需要求出 \(T\) 或 \(r\)，而不是 \(v\)。

从

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

开始，将两边同乘 \(T\)：

\[ vT=2\pi r \]

接著可得

\[ T=\frac{2\pi r}{v} \]

或

\[ r=\frac{vT}{2\pi} \]

与其死记三个不同的方程式，通常更安全的做法是记住实际发生的物理情况：

物体在时间 \(T\) 内完成一圈，所走过的路程为 \(2\pi r\)。

你往往可以从这句话重新推导出所需的方程式。

范例：求未知的半径

一个粒子以 \(7.5\text{ m s}^{-1}\) 的速率进行等速圆周运动。它在 \(30\text{ s}\) 内完成 \(12\) 圈。求其运动路径的半径。

步骤 1：求周期。

完成 \(12\) 圈需要 \(30\text{ s}\)，因此完成一圈需要

\[ T=\frac{30}{12}=2.50\text{ s} \]

步骤 2：重新整理圆周运动的速率方程式。

从

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

可得

\[ r=\frac{vT}{2\pi} \]

步骤 3：代入数值。

\[ \begin{aligned} r&=\frac{(7.5)(2.50)}{2\pi}\\ &=2.98\text{ m} \end{aligned} \]

步骤 4：检查结果的物理意义。

半径为 \(2.98\text{ m}\) 的圆，其周长为

\[ 2\pi(2.98)\approx18.7\text{ m} \]

以 \(7.5\text{ m s}^{-1}\) 的速率行经 \(18.7\text{ m}\)，大约需要 \(2.50\text{ s}\)，与题目给出的周期一致。

这种检查很有用，因为它能让代数计算重新连结到实际的运动情况。

08只知道速率，还不足以描述圆周运动

两个物体可以具有相同的速率，却沿著半径差异很大的圆形路径运动。

假设两者的速率都是 \(6.0\text{ m s}^{-1}\)。其中一个沿著半径为 \(2.0\text{ m}\) 的圆运动，另一个则沿著半径为 \(8.0\text{ m}\) 的圆运动。

它们的周期为

\[ T=\frac{2\pi r}{v} \]

因此，较小的圆具有较短的周期。由于它更频繁地完成一整圈，其运动方向改变得也更快。

这就直接引出了向心加速度：

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

其中，\(a_c\) 是指向圆心的加速度。

将这个方程式与

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

结合，可得

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{(2\pi r/T)^2}{r}\\ &=\frac{4\pi^2r}{T^2} \end{aligned} \]

这告诉我们一件重要的事：如果同一个刚性旋转物体上的两个点具有相同的周期，那么距离圆心较远的点不但移动得更快，其向心加速度也更大。

不过，不要把「向心」误解成一种额外的神秘力。向内的加速度必须由真实的力或多个力的合力所造成。这个区别会在 HSC 物理中的向心力：如何辨认真正的力 中进一步说明。

09问题与解答

问题 1

一架模型飞机以等速圆周运动沿著水平圆形路径飞行，该圆的半径为 \(25\text{ m}\)。飞机每隔 \(10\text{ s}\) 完成一圈。

计算它的速率。

解答 1

飞机的速率为 \(15.7\text{ m s}^{-1}\)。

完成一整圈的路程为

\[ 2\pi r=2\pi(25)\text{ m} \]

所需时间为 \(T=10\text{ s}\)。因此，

\[ \begin{aligned} v&=\frac{2\pi r}{T}\\ &=\frac{2\pi(25)}{10}\\ &=15.7\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

容易犯的错误是将半径除以周期。飞机每转一圈并不是行经 \(25\text{ m}\)，而是行经整个圆周，即 \(2\pi r\)。

问题 2

A、B 两点位于同一个刚性旋转圆盘上。A 距离圆心 \(0.30\text{ m}\)，B 距离圆心 \(0.75\text{ m}\)。A 点的速率为 \(2.4\text{ m s}^{-1}\)。

求出：

a. 圆盘的周期，

b. B 点的速率，以及

c. B 点的向心加速度与 A 点的向心加速度之比。

解答 2

周期为 \(0.785\text{ s}\)，B 点的速率为 \(6.0\text{ m s}^{-1}\)，而 B 点的向心加速度是 A 点的 \(2.5\) 倍。

对 A 点而言，

\[ \begin{aligned} T&=\frac{2\pi r_A}{v_A}\\ &=\frac{2\pi(0.30)}{2.4}\\ &=0.785\text{ s} \end{aligned} \]

由于 A、B 两点固定在同一个刚性圆盘上，两点会同时完成每一圈。因此，

\[ T_B=T_A=0.785\text{ s} \]

对 B 点而言，

\[ \begin{aligned} v_B&=\frac{2\pi r_B}{T}\\ &=\frac{2\pi(0.75)}{0.785}\\ &=6.0\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

向心加速度为

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \frac{a_B}{a_A} &=\frac{v_B^2/r_B}{v_A^2/r_A}\\ &=\frac{(6.0)^2/0.75}{(2.4)^2/0.30}\\ &=2.5 \end{aligned} \]

还有一种更快的概念性解法。由于圆盘上各点的周期相同，

\[ a_c=\frac{4\pi^2r}{T^2} \]

所以 \(a_c\propto r\)。因此，

\[ \begin{aligned} \frac{a_B}{a_A} &=\frac{0.75}{0.30}\\ &=2.5 \end{aligned} \]

一个容易出现的错误猜测是：两点属于同一个圆盘，因此它们的速率与加速度相同。实际上，两点共用的是同一个周期。较大的半径迫使 B 点在相同的时间内走过更长的距离。

问题 3

一颗卫星沿著半径为 \(7.0\times10^6\text{ m}\) 的圆形轨道运动，速率为 \(7.5\times10^3\text{ m s}^{-1}\)。

a. 计算它的轨道周期。

b. 一名学生说：「它在一整圈内的平均速度也必定是 \(7.5\times10^3\text{ m s}^{-1}\)，因为它的速度大小从未改变。」解释为什么这个说法不正确。

解答 3

轨道周期约为 \(5.86\times10^3\text{ s}\)，也就是 \(97.7\text{ min}\)；卫星完成一整圈后的平均速度则为零。

对于 a，

\[ T=\frac{2\pi r}{v} \]

因此，

\[ \begin{aligned} T&=\frac{2\pi(7.0\times10^6)}{7.5\times10^3}\\ &=5.86\times10^3\text{ s} \end{aligned} \]

换算成分钟，

\[ \begin{aligned} T&=\frac{5.86\times10^3}{60}\\ &=97.7\text{ min} \end{aligned} \]

对于 b，卫星完成一整圈后会回到起点。因此，它的总位移为零。

平均速度为

\[ \text{平均速度}=\frac{\text{位移}}{\text{时间}} \]

所以，在完成整个轨道的过程中，

\[ \begin{aligned} \text{平均速度} &=\frac{0}{5.86\times10^3}\\ &=0 \end{aligned} \]

学生的推理混淆了速率与速度。瞬时速度的大小始终保持在 \(7.5\times10^3\text{ m s}^{-1}\)，但其方向会持续改变。卫星的平均速率不为零，但完成一整圈后的平均速度为零。

问题 4

两个粒子 X、Y 都进行等速圆周运动。

X 沿著半径为 \(r\)、周期为 \(T\) 的圆运动。

Y 沿著半径为 \(4r\) 的圆运动。

在某一瞬间，X 与 Y 的向心加速度大小相等。

在不指定 \(r\) 或 \(T\) 数值的情况下，求出：

a. 比值 \(\frac{v_Y}{v_X}\)，

b. 比值 \(\frac{T_Y}{T_X}\)，以及

c. 在一段固定的时间内，Y 完成的转数比 X 多还是少。

解释为什么只说「Y 的半径是四倍，所以它的速率必定是四倍」在这里并不成立。

解答 4

Y 的速率是 X 的两倍，周期也是 X 的两倍，因此，在任何固定的时间间隔内，Y 完成的圈数都是 X 的一半。

向心加速度相等，表示

\[ \frac{v_X^2}{r_X}=\frac{v_Y^2}{r_Y} \]

其中

\[ r_X=r \]

而

\[ r_Y=4r \]

因此，

\[ \frac{v_X^2}{r}=\frac{v_Y^2}{4r} \]

所以，

\[ v_Y^2=4v_X^2 \]

由于速率为正值，

\[ v_Y=2v_X \]

因此，

\[ \frac{v_Y}{v_X}=2 \]

接著使用

\[ T=\frac{2\pi r}{v} \]

可得

\[ \begin{aligned} \frac{T_Y}{T_X} &=\frac{r_Y/v_Y}{r_X/v_X}\\ &=\frac{4r/(2v_X)}{r/v_X}\\ &=2 \end{aligned} \]

因此，

\[ T_Y=2T_X \]

Y 每完成一圈所需的时间是 X 的两倍，所以在相同的总时间内，Y 完成的圈数只有 X 的一半。

容易出现的错误推论是 \(v\propto r\)，但这个比例关系只有在周期保持不变时才成立。题目并没有说 X 与 Y 的周期相同。相反地，题目给出的条件是两者的向心加速度相等。这个不同的限制条件，会改变速率必须如何随半径变化。

这是解答圆周运动题目时一个很重要的习惯：在使用比例关系之前，先确认究竟是哪个量保持不变。

问题 5

两个小物体 A、B 最初都进行等速圆周运动。

对 A 而言，

\[ r_A=R,\qquad T_A=T \]

对 B 而言，

\[ r_B=4R,\qquad T_B=2T \]

一名学生推论：

「B 的半径是四倍，而周期只有两倍，所以 B 的速率必定是两倍。由于向心加速度为 \(v^2/r\)，因此 B 的向心加速度与 A 相同。」

到目前为止，这名学生的推论是正确的。

接著，系统的条件发生改变。A 保持原本的运动状态。B 则改在一条新的圆形路径上运动，但必须满足两个条件：

• B 必须保持改变前的速率。
• B 现在的向心加速度必须是 A 的两倍。

求出 B 的新半径与新周期，并以 \(R\) 和 \(T\) 表示。

接著解释，为什么在满足这两个新条件的同时，不可能让 B 保持原本的周期 \(2T\)。

解答 5

B 的新半径为 \(2R\)，新周期为 \(T\)。如果还要求它保持原本的周期 \(2T\)，就会与所要求的速率及向心加速度互相矛盾。

首先，求出原本的速率。

对 A 而言，

\[ v_A=\frac{2\pi R}{T} \]

对原本的 B 而言，

\[ \begin{aligned} v_B&=\frac{2\pi(4R)}{2T}\\ &=\frac{4\pi R}{T}\\ &=2v_A \end{aligned} \]

因此，学生最初的结论是正确的。

A 的向心加速度为

\[ a_A=\frac{v_A^2}{R} \]

B 必须保持原本的速率 \(v_B=2v_A\)，但改变后，它的向心加速度必须满足

\[ a_B=2a_A \]

设 B 的新半径为 \(r'_B\)。那么，

\[ a_B=\frac{v_B^2}{r'_B} \]

因此，

\[ 2a_A=\frac{(2v_A)^2}{r'_B} \]

代入 \(a_A=v_A^2/R\)：

\[ 2\left(\frac{v_A^2}{R}\right)=\frac{4v_A^2}{r'_B} \]

消去 \(v_A^2\)，

\[ \frac{2}{R}=\frac{4}{r'_B} \]

可得

\[ r'_B=2R \]

接著求出 B 的新周期：

\[ T'_B=\frac{2\pi r'_B}{v_B} \]

代入 \(r'_B=2R\) 与 \(v_B=2v_A\)，

\[ \begin{aligned} T'_B&=\frac{2\pi(2R)}{2v_A}\\ &=\frac{2\pi R}{v_A} \end{aligned} \]

而对 A 而言，

\[ v_A=\frac{2\pi R}{T} \]

因此，

\[ T'_B=T \]

所以，B 改变后的运动状态为

\[ r'_B=2R,\qquad T'_B=T \]

现在考虑额外的条件：假设 B 还必须维持原本的周期 \(2T\)。

如果 B 同时保持原本的速率 \(2v_A\) 与原本的周期 \(2T\)，那么

\[ r=\frac{vT}{2\pi} \]

便会迫使它的半径维持在

\[ \begin{aligned} r&=\frac{(2v_A)(2T)}{2\pi}\\ &=4R \end{aligned} \]

但当 \(r=4R\)，且速率为 \(2v_A\) 时，

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{(2v_A)^2}{4R}\\ &=\frac{v_A^2}{R}\\ &=a_A \end{aligned} \]

而不是 \(2a_A\)。

因此，这三个要求不可能同时成立。

容易犯的错误是把半径、速率与周期当成可以彼此独立调整的量。事实并非如此。对于等速圆周运动，只要 \(v\)、\(r\) 和 \(T\) 之中有任意两个量固定，第三个量就会由下列方程式决定：

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

更深一层的重点是，这个方程式不只是一个用来计算数值的公式。它是一个将路径的几何形状与运动所需时间连结起来的限制条件。掌握这个关系后，下一步就是将它与 \(a_c=v^2/r\) 结合，并判断哪一种实际的力能够产生所需的向内加速度。