简单直流马达的组件与运作原理｜HSC 物理

将电池连接到一个放置在两块磁铁之间的线圈，便会发生一件有趣的事：线圈开始转动。但载流导线处于磁场中，并不代表它就能自动持续旋转。事实上，如果移除马达中的一个小零件–分裂环换向器（split-ring commutator）–线圈通常会先转动、逐渐减速，然后受到反方向的力矩作用而往回转。

继续阅读前，先预测简单直流马达中，究竟是哪个部分产生使线圈转动的力矩：线圈、磁铁、换向器，还是电刷？最准确的答案是：转动效应来自线圈中的电流与磁铁产生的磁场之间的相互作用。换向器和电刷则有不同的工作：它们让这种转动效应能持续推动线圈朝同一旋转方向转动。

01基本问题：只有力还不够

想像一条直导线载著电流，并穿过磁场。如果电流方向不与磁场平行，导线就会受到磁力。

对于一段直导线，

\[ F = BIL\sin\theta \]

其中：

• \(F\) 是磁力，单位为牛顿（N）
• \(B\) 是磁场强度，单位为特斯拉（T）
• \(I\) 是电流，单位为安培（A）
• \(L\) 是位于磁场内的导线长度，单位为公尺（m）
• \(\theta\) 是电流方向与磁场方向之间的夹角

马达需要的不只是一个力。它需要适当配置的力，使这些力能产生转动效应，也就是力矩（torque）。

这就是为甚么导线要绕成线圈。

02线圈的作用

想像一个矩形线圈放置在磁铁的北极与南极之间。磁力线穿过两磁极之间的空隙，方向由北极指向南极。

电流从线圈的一端流入，沿著线圈回路流动，再从另一个接点流出。在线圈相对的两侧，电流方向相反。

这一点很重要，因为当电流方向反转时，磁力方向也会反转。

因此，线圈的一侧受到向上的力，而另一侧受到向下的力。这两个力大小相等、方向相反，但作用于不同的位置。

它们形成一个力偶（couple）。

力偶会产生力矩，因此线圈开始旋转。

对理想的矩形线圈，最大力矩可表示为

\[ \tau_{\text{max}} = nBIA \]

其中：

• \(\tau_{\text{max}}\) 是最大力矩，单位为牛顿公尺（N m）
• \(n\) 是线圈的匝数
• \(B\) 是磁场强度，单位为 T
• \(I\) 是电流，单位为 A
• \(A\) 是每一匝线圈的面积，单位为 \(\text{m}^2\)

更一般地，

\[ \tau = nBIA\sin\theta \]

其中，\(\theta\) 是磁场方向与线圈平面法线之间的夹角。

这个角度的定义很容易混淆。如果线圈平面与磁场平行，其法线便与磁场成 \(90^\circ\)，因此力矩最大。如果线圈平面与磁场垂直，其法线便与磁场平行，因此力矩为零。

03为甚么线圈无法自行持续旋转？

假设电流方向始终不变。

起初，线圈的一侧受到向上的力，另一侧受到向下的力，因此开始旋转。转过半圈后，原本位于两侧的导线已移动到马达的相反位置。

如果这些导线中的电流仍沿原来的方向流动，会发生甚么事？

此时，磁力产生的力矩会指向相反的旋转方向。

换句话说，马达开始与自己「对抗」。

可以想像两个人推动游乐场的旋转圆盘。如果他们一直站在固定位置，而圆盘的把手从他们面前转过，他们最终便会把把手推回原来的方向。要让圆盘持续朝同一方向旋转，他们就必须在适当时刻改变施力方向。

不过，这个类比也有局限：人可以有意识地决定如何施力，而马达则利用电接点自动完成这种改变。

这就是分裂环换向器的工作。

04分裂环换向器的作用

分裂环换向器由两个导电半环组成，并固定在旋转轴上。线圈的两端分别连接到其中一个半环。

两个半环之间以绝缘材料隔开，彼此不导电。

当线圈每转过半圈时，每个换向器半环都会从接触其中一个电刷，转为接触另一个电刷。这使线圈两端所连接的电源正、负极互换。

因此，流经线圈的电流每半圈便会反转一次。

听起来，这似乎应该令马达反向旋转，但事实并非如此。

关键在于，线圈本身也已经实际转过半圈。

两个变化同时发生：

1. 线圈两侧的有效导线互换位置；以及
2. 线圈中的电流方向反转。

由于电流恰好在线圈两侧交换位置时反转，磁力便能持续产生相同旋转方向的力矩。

这就是简单直流马达最核心的原理。

一个容易产生的迷思

有学生可能会这样推论：

如果反转电流会使磁力反向，那么马达应该每半圈就反向旋转一次。

如果导线一直停留在同一位置，这个推论便是正确的。

但导线的位置并没有保持不变。转过半圈后，线圈的每一侧都已移动到磁场中的相反位置。换向器反转电流，正是为了补偿这种位置变化。

每一段特定导线所受到的力确实会反向，但整个旋转线圈受到的力矩仍会维持原来的旋转方向。

05电刷的作用

电源不会旋转，但线圈和换向器会旋转。

那么，电流要如何从静止的电路传入旋转中的零件？

这就是电刷（brushes）的工作。

电刷是固定不动的导电接点，会压在旋转中的换向器表面。在许多实际马达中，电刷由碳基材料制成。不过，在 HSC 物理课程中，重点只在于它们能提供滑动式电接触。

电刷的作用包括：

• 将外部直流电源连接到换向器；
• 让电流能够流入及流出旋转中的线圈；以及
• 在换向器旋转时维持电接触。

电刷本身不会反转电流。它们的位置保持不变。

旋转中的分裂环换向器具有特定的几何结构，使每个半环在每转过半圈后都会接触另一个电刷，从而反转线圈中的电流。

这个分别必须清楚掌握：

06磁铁的作用

磁铁提供线圈所处的磁场。

在学校使用的模型中，磁铁通常以标有 N 和 S 的永久磁铁表示。两磁极之间的磁场一般近似视为均匀磁场，方向由北极指向南极。

如果没有外部磁场，载流线圈便不会受到 \(F=BIL\sin\theta\) 所描述的马达效应磁力。

在其他变数保持不变的情况下，增加 \(B\) 会增加线圈受到的磁力，因而提高可产生的力矩。

简化的学校示意图可能令人以为，北极以某种方式「拉动」一段导线，而南极则「推动」另一段导线。但这并不是理解马达的有效模型。磁场分布在两磁极之间的区域，而磁力取决于磁场与构成电流的移动电荷之间的相互作用。

07追踪一次完整旋转

理解这四个零件最简单的方法，就是追踪马达完成一整个旋转周期的过程。

位置 1：线圈受到较大的力矩

直流电源驱动电流经过一个电刷，流入其中一个换向器半环，再沿线圈流动，经过另一个换向器半环，最后透过第二个电刷流回电源。

线圈相对两侧的电流方向相反。

磁场在这两侧产生方向相反的力，形成力矩。

线圈因此产生角加速度。

位置 2：线圈接近零力矩位置

随著线圈旋转，以下公式中的角度 \(\theta\) 会改变：

\[ \tau=nBIA\sin\theta \]

力矩逐渐减小。当线圈的法线与磁场平行或反平行时，力矩最终降至零。

线圈通常不会在这一刻立即停止，因为它已经具有角速度，并具有转动惯性。

位置 3：发生换向

在接近这个位置时，分裂环与电刷的接触关系发生改变。

电源与线圈两端之间的连接对调。

线圈中的电流因此反转。

位置 4：力矩再次增大，并维持相同旋转方向

越过零力矩位置后，线圈已转到另一侧。

由于电流已经反转，此时磁力产生的力矩会继续推动原有的旋转，而不是阻碍它。

这个过程每半圈便重复一次。

在理想化的 HSC 马达模型中，我们通常将电流反转视为瞬间完成。实际马达的接触行为更复杂，其设计必须确保换向过程能可靠运作。

08如果移除其中一个零件，会发生甚么事？

思考零件失效时会发生甚么事，通常比死记定义更有助于理解。

移除磁铁

线圈所在位置不再有可用的外部磁场。

由 \(F=BIL\sin\theta\) 可知，如果 \(B=0\)，磁力便为零。马达不会产生电磁力矩。

使线圈断路

电路变成开路，因此电流无法流动。

如果 \(I=0\)，磁力和力矩都为零。

移除电刷

静止的电源不再能与旋转中的换向器保持连续的电连接。

因此，无法维持流经旋转线圈的电流。

以两个完整的导电环取代分裂环

此时，线圈的每一端在整个旋转过程中，都会一直连接到同一个电源端子。

电流不再每半圈反转一次。

因此，当线圈越过中性位置后，磁力矩的旋转方向便会改变。这种装置不会像这里研究的简单直流马达一样持续旋转。

完整的导电环则与另一种机器有关：交流发电机。学习交流发电机、正弦感应电动势与滑环时，这项对比尤其有用。

09记住四个零件的更好方法

不要把四个定义分开死记。试著沿著能量转换和力的作用过程来理解。

磁铁提供磁场。

电源驱动电流，经由电刷和换向器流入线圈。

载流线圈与磁场相互作用，受到磁力。

这些磁力产生力矩。

换向器在每次旋转的适当阶段反转电流，使力矩能持续沿同一旋转方向作用。

这就是整个马达的因果关系：

\[ \text{电能输入} \rightarrow \text{磁场中的电流} \rightarrow \text{磁力} \rightarrow \text{力矩} \rightarrow \text{旋转} \]

电刷和换向器并不是这条因果链中可有可无的装饰。正是它们让旋转中的电路能持续连接电源，并不断产生有用的力矩。

10问题与解答

问题 1

一个简单直流马达包含一个位于两块永久磁铁之间的矩形线圈。

解释以下各部分的作用：

a. 磁铁
b. 线圈
c. 电刷
d. 分裂环换向器

解答 1

磁铁提供磁场；线圈承载电流，并受到产生力矩的磁力；电刷将静止的电源连接到旋转中的换向器；分裂环换向器则每半圈反转一次线圈中的电流。

载流导线受到的磁力可由以下公式描述：

\[ F=BIL\sin\theta \]

因此，产生马达效应需要同时具备磁场和电流。

线圈相对两侧的有效导线中，电流方向相反，因此受到方向相反的力。由于这些力作用于不同位置，它们形成力偶并产生力矩。

常见的错误是说换向器「令马达旋转」。更准确地说，线圈与磁场之间的相互作用产生力矩。换向器则在适当时刻反转电流，让力矩能持续沿相同旋转方向作用。

问题 2

一个简单直流马达中的 60 匝线圈，面积为 \(2.5\times10^{-3}\text{ m}^2\)。线圈在磁场强度为 \(0.35\text{ T}\) 的磁场中，通过 \(1.6\text{ A}\) 的电流。

a. 计算最大力矩。

b. 在其他所有物理量保持不变的情况下，将电流加倍。计算新的最大力矩。

c. 解释为甚么电流加倍，不代表马达的稳定转速必然恰好变成原来的两倍。

解答 2

最大力矩为 \(0.084\text{ N m}\)。当电流加倍后，最大力矩增加至 \(0.168\text{ N m}\)，但这不代表稳定转速也会加倍。

对于最大力矩，

\[ \tau_{\text{max}}=nBIA \]

对于 a 部分，

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{max}} &=(60)(0.35)(1.6)(2.5\times10^{-3})\\ &=8.4\times10^{-2}\text{ N m} \end{aligned} \]

因此，

\[ \tau_{\text{max}}=0.084\text{ N m} \]

对于 b 部分，新的电流为

\[ I=3.2\text{ A} \]

所以

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{max}} &=(60)(0.35)(3.2)(2.5\times10^{-3})\\ &=0.168\text{ N m} \end{aligned} \]

由于在特定线圈方向下，力矩与 \(I\) 成正比，因此电流加倍会使磁力矩加倍。

一个看似合理的结论是：力矩加倍，转速就一定加倍。然而，力矩直接对应的是角加速度，而不是角速度。随著马达转速增加，其他效应也会变得重要，包括机械阻力，以及称为反电动势（back emf）的感应电压。这些因素会影响电流及最终的稳定运转速度。

关于这种感应电压的作用，tutorgum 的直流马达中的反电动势指南有更深入的说明。

问题 3

一名学生说：

「分裂环换向器不可能让直流马达持续朝同一方向旋转，因为它每半圈就会反转电流。反转电流会使磁力反向，所以马达一定会反向旋转。」

准确解释为甚么这个结论是错误的。

解答 3

这个结论是错误的，因为转过半圈后，线圈的位置和电流方向都发生了改变；这两个反转同时发生，使力矩能维持相同的旋转方向。

对于一段特定的导线，如果磁场保持不变，反转电流确实会使其受到的磁力反向。因此，这名学生到这一步的说法是正确的。

他忽略的是空间位置的变化。

转过半圈后，原本位于左侧的线圈导线已移到右侧，而原本位于右侧的导线则移到左侧。如果电流没有反转，所产生的力便会形成与原来旋转方向相反的力矩。

分裂环换向器恰好在线圈经过这种方向变化时反转电流。每一段实际导线受到的磁力虽然反向，但该段导线此时已位于相反的位置。

结果，这一对力仍然会产生沿原来旋转方向作用的力矩。

一个容易犯的错误，是只追踪电流方向。对于旋转问题，单知道力的方向并不足够。还必须考虑力相对于转轴作用在甚么位置。

问题 4

从转轴的一端观察，一个简单直流马达正沿顺时针方向旋转。一名技术人员意外地将分裂环换向器固定，使其两个半环无法再与电刷交换接触位置。电源仍然保持连接，而线圈最初正以高速旋转。

假设摩擦力很小，但不为零。

描述接下来几个半圈中线圈会如何运动。不要只回答「马达会停止」。请解释力矩和运动的变化。

解答 4

线圈不再持续受到沿同一旋转方向作用的力矩。越过中性位置后，电磁力矩会反向，因此线圈的运动一般会逐渐减速、反向，并倾向于围绕某个稳定方向振荡，直到摩擦力耗散其机械能。

当电流方向保持固定时，线圈受到的磁力与线圈的方向有关。

假设线圈最初具有顺时针方向的角速度。在到达零力矩方向之前，电磁力矩仍可能沿顺时针方向作用，使旋转加快或维持其运动。

接著，线圈会经过以下条件成立的方向：

\[ \tau=nBIA\sin\theta=0 \]

由于线圈已经具有角速度，因此可以凭惯性越过这个位置。

当线圈越过这个方向后，相同方向的固定电流会产生反方向、即逆时针方向的力矩。这个力矩会减小线圈的顺时针角速度。

如果线圈具有足够的转动动能，它会继续转过下一个速度降至零的位置，然后才反向。之后线圈会沿逆时针方向旋转，但磁力矩会随角度改变，并可能再次产生使线圈回到稳定方向的恢复作用。

因此，线圈的行为会更像一个转动振荡器，而不是正常运作的马达。在摩擦和电能损耗的影响下，振荡会逐渐衰减。

一个容易出现的答案是「没有换向器就没有力矩」。这并不正确。只要电流仍在流动，磁力矩就仍可能存在。真正失去的是自动反转电流的机制，而这个机制原本能让力矩持续推动线圈朝同一旋转方向转动。

问题 5

考虑一个摩擦力可忽略的理想简单直流马达。它的矩形线圈最初完全静止，并恰好处于磁力矩为零的方向。直流电源已透过电刷和分裂环换向器正确连接。

一名学生认为：

「换向器能保证持续旋转，所以马达一定会开始转动。」

另一名学生则认为：

「初始力矩为零，所以马达永远不可能开始转动。」

只根据简单马达模型，判断实际上可以得出甚么结论。然后解释，如果在连接电源之前，先让线圈偏离原来方向一个极小角度，答案会如何改变。

解答 5

如果理想线圈最初恰好位于零力矩方向，而且角速度完全为零，简单模型并不预测它会自发开始旋转。然而，如果线圈偏离该方向一个极小角度，就会出现非零力矩，使线圈能够开始旋转。

控制力矩的公式为

\[ \tau=nBIA\sin\theta \]

在零力矩方向，\(\theta=0^\circ\) 或 \(180^\circ\)，因此

\[ \sin\theta=0 \]

所以

\[ \tau=0 \]

当力矩为零时，线圈在该瞬间的角加速度为零。如果线圈也完全静止，而且没有任何外界扰动，理想模型中就不存在能够决定起始旋转方向并使线圈开始旋转的机制。

这说明了「换向器使马达旋转」这种说法的局限。当线圈与磁场的几何关系使力矩为零时，换向器并不会凭空产生力矩。它的作用是在已经旋转的线圈经过适当位置时，切换电路连接。

现在，让线圈偏离原来方向一个极小角度。此时 \(\sin\theta\neq0\)，因此会出现一个微小的磁力矩。

这个力矩会产生角加速度。线圈开始运动后，便能在到达下一个零力矩位置之前累积角速度。转动惯性可使线圈越过该位置，而换向器随后便能反转电流，使力矩再次沿相同旋转方向增大。

这里的细微但重要之处在于：零力矩位置并不等于线圈必然停止的位置。正在运动的线圈具有角动量，因此能越过零力矩位置。但如果理想线圈完全静止，而且恰好放置在该位置，就没有原有的运动能带它越过。

实际马达不会依赖如此容易受到初始位置影响的单线圈设计。透过配置多个线圈和换向器片段，可以让马达在旋转周期中更大范围的角度下都能产生有用的力矩。这让我们从简单的四零件模型，自然地进一步理解实际马达的设计。而下一个重要的物理概念，则是理解为甚么旋转中的马达也会部分地表现得像发电机，并产生反电动势。