HSC 物理中的力矩：力臂与转动效果

你在靠近门铰链处推一扇沉重的门，几乎没有任何动静。用相同的力推门把手，门却很容易地转开。同一扇门。同样的力。结果却大不相同。

为什么？

继续阅读之前，先预测一下。假设你在门把手处推门，但你不是沿著横跨门面的方向推，而是几乎直接朝门铰链方向推。门会明显转动吗？

不会。力使物体转动的能力取决于三件事：力有多大、作用点离支点有多远，以及实际上有多少力是沿著垂直于支点至作用点连线的方向作用。

这种转动效果就是力矩。

01从转动效果开始

想像从上方俯视一扇门。门铰链形成支点。门把手离支点很远。

如果你在门把手处垂直于门面推，几乎所有施加的力都能用来使门转动。如果你在同一位置推，但方向朝向门铰链，门几乎不会转动，因为你的力沿著门的方向，而不是横向推门。

这让我们先建立一个有用的初步模型：

• 较大的力可以产生较大的转动效果，
• 在离支点更远的位置施力，可以产生较大的转动效果，
• 与朝向或背离支点的力相比，垂直于物体的力通常更有效。

这个模型很有用，但有一个重要之处需要修正。力矩实际上并不取决于力是否「垂直于物体」。它取决于力与位置向量之间的夹角，而位置向量是从支点画到力的作用点。

当杆、梁、扳手或施加的力呈倾斜时，这个区别就很重要。

02力矩与公式 \(\tau = rF\sin\theta\)

力所产生的力矩大小为

\[ \tau = rF\sin\theta \]

其中：

• \(\tau\) 是力矩，单位为牛顿公尺，\(\mathrm{N\,m}\)，
• \(r\) 是从支点到施力点的距离，单位为公尺，
• \(F\) 是力，单位为牛顿，
• \(\theta\) 是位置向量 \(r\) 与力 \(F\) 之间的夹角。

位置向量由支点指向力的作用点。

\(\sin\theta\) 代表一个具体的物理意义。它选出力中垂直于 \(r\) 的部分。

因此，你也可以写成

\[ \tau = rF_\perp \]

其中

\[ F_\perp = F\sin\theta \]

是力中垂直于 \(r\) 的分量。

一个力即使非常大，如果它直接朝向支点，则 \(F_\perp=0\)，所以它的力矩为零。

不同角度会有什么结果？

假设 \(r\) 和 \(F\) 都保持不变。

在 \(90^\circ\) 时，

\[ \tau_{\max}=rF \]

因为整个力都垂直于位置向量。

在 \(0^\circ\) 或 \(180^\circ\) 时，力的作用线会通过支点，因此不会产生转动效果。

03力臂：从另一个角度理解力矩

力矩公式还有另一种形式，通常更容易使用：

\[ \tau = Fd \]

其中 \(d\) 是从支点到力的作用线之间的垂直距离。

这个距离称为力臂，或垂直力臂。

这两个公式是等价的，因为

\[ d=r\sin\theta \]

所以

\[ \tau=F(r\sin\theta)=rF\sin\theta \]

与其死记硬背，不如在脑中想像这个情境。

把力的作用线想像成一条无限长的细绳。力臂就是支点到这条细绳的最短距离。如果细绳直接穿过支点，力臂就是零。

这里有个有点傻气的比喻：假设力矩就像你站在某人侧边叫他的名字，让他转头的能力。站在侧边远一点的位置，会有不错的「让人转头的机会」；直接站在他正前方则不会。这个比喻并不完全成立，因为真正的力矩是由力造成的，而不是社交上的尴尬，但其中有用的是几何概念：侧向的距离很重要。

该使用哪一种形式？

当你知道距离 \(r\)、力的大小，以及两者之间的夹角时，使用

\[ \tau=rF\sin\theta \]

当力的作用线到支点的垂直距离更容易看出来时，使用

\[ \tau=Fd \]

除非你要检查答案，否则不必两种都算。

04范例解析：以倾斜角度推动扳手

一名技工在一支长度为 \(0.80\,\mathrm{m}\) 的扳手末端施加 \(120\,\mathrm{N}\) 的力。施力方向与扳手呈 \(60^\circ\)。求此力对螺帽所产生的力矩。

步骤 1：找出支点以及支点到施力点的距离。

螺帽是支点，而施力点距离支点 \(0.80\,\mathrm{m}\)，因此

\[ r=0.80\,\mathrm{m} \]

步骤 2：找出 \(r\) 与 \(F\) 之间的夹角。

力的方向与扳手呈 \(60^\circ\)，因此

\[ \theta=60^\circ \]

步骤 3：使用力矩公式。

\[ \begin{aligned} \tau &= rF\sin\theta\\ &=(0.80)(120)\sin60^\circ\\ &=83.1\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

力矩约为

\[ \tau=83\,\mathrm{N\,m} \]

这个结果表示，这个呈倾斜方向的 \(120\,\mathrm{N}\) 力，所产生的转动效果相当于在同一位置施加约 \(104\,\mathrm{N}\) 的垂直力，因为只有垂直分量会对力矩有所贡献。

请注意，答案不是 \(96\,\mathrm{N\,m}\)。那是直接使用 \(rF\)，并在没有说明的情况下假设力与扳手垂直所得到的结果。

05顺时针与逆时针力矩

力矩具有方向。

在大多数涉及平面内转动的 HSC 题目中，你可以将方向描述为：

• 顺时针力矩，
• 逆时针力矩。

当有多个力同时作用时，先选定正负号惯例，并始终遵守。例如：

• 逆时针：正值，
• 顺时针：负值。

实际选择哪一种惯例并不重要，前后一致才重要。

合力矩是所有个别力矩的总和：

\[ \tau_{\text{net}}=\sum\tau \]

如果顺时针力矩与逆时针力矩恰好平衡，

\[ \tau_{\text{net}}=0 \]

这相当于转动情况下的合力平衡。合力矩为零的物体没有角加速度。它可能处于静止状态，也可能已经以固定角速度转动。

合力矩为零，不代表每个个别力矩都必须为零。

06范例解析：具有相反力矩的梁

一根均匀的水平梁长 \(2.0\,\mathrm{m}\)，左端为支点。梁的重量为 \(120\,\mathrm{N}\)，作用于梁的中心。在右端施加一个 \(80\,\mathrm{N}\) 的力，方向在梁的上方 \(50^\circ\)。

计算此力对支点产生的合力矩，并指出其方向。

步骤 1：计算梁的重量所产生的力矩。

梁是均匀的，因此重量作用于中心，也就是距离支点 \(1.0\,\mathrm{m}\) 的位置。

重量垂直向下，与水平梁垂直。

以逆时针为正，

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{weight}} &=-(1.0)(120)\sin90^\circ\\ &=-120\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

负号代表顺时针方向。

步骤 2：计算倾斜力所产生的力矩。

这个 \(80\,\mathrm{N}\) 的力作用于距离支点 \(2.0\,\mathrm{m}\) 的位置，方向与梁呈 \(50^\circ\)。

\[ \begin{aligned} \tau_F &=(2.0)(80)\sin50^\circ\\ &=122.6\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

这个力会使梁逆时针转动，因此其力矩为正。

步骤 3：将力矩相加。

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{net}} &=122.6-120\\ &=2.6\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

合力矩约为

\[ \tau_{\text{net}}=2.6\,\mathrm{N\,m} \]

方向为逆时针。

有趣之处不在于这个很小的答案，而在于它为何如此小。两个很大的转动效果几乎完全抵销。

只计算 \(80\,\mathrm{N}\) 力的学生，忽略了梁本身的重量。只比较 \(120\,\mathrm{N}\) 和 \(80\,\mathrm{N}\) 的学生，则忽略了距离和角度。

07最容易让人犯的力矩错误

错误 1：「最大的力会产生最大的力矩」

不一定。

比较以下两种情况：

• 在距离支点 \(0.10\,\mathrm{m}\) 处施加 \(200\,\mathrm{N}\) 的力，且力与 \(r\) 垂直，
• 在距离支点 \(0.50\,\mathrm{m}\) 处施加 \(80\,\mathrm{N}\) 的力，且力与 \(r\) 垂直。

两者的力矩分别为

\[ \tau_1=(0.10)(200)=20\,\mathrm{N\,m} \]

以及

\[ \tau_2=(0.50)(80)=40\,\mathrm{N\,m} \]

较小的力产生了两倍的力矩，因为它作用的位置离支点远得多。

错误 2：「只要施力点离支点很远，就一定会产生很大的力矩」

同样不一定。

如果力指向支点，

\[ \theta=180^\circ \]

因此

\[ \tau=rF\sin180^\circ=0 \]

施力点可能离支点很远，但垂直力臂仍然为零。

错误 3：使用错误的角度

在

\[ \tau=rF\sin\theta \]

中，角度是 \(r\) 与 \(F\) 之间的夹角。

它不一定是相对于水平、垂直、地面，或图中任何看起来方便的线所量得的角度。

从支点画出指向施力点的 \(r\)，然后找出这个向量与力之间的夹角。

错误 4：因为力矩和能量都使用 \(\mathrm{N\,m}\)，就把力矩当成能量

力矩和能量都可以用牛顿公尺的量纲表示，但它们是不同的物理量。

力矩使用 \(\mathrm{N\,m}\)。

能量的 SI 导出单位是焦耳，符号为 \(\mathrm{J}\)。

\(20\,\mathrm{N\,m}\) 的力矩，与 \(20\,\mathrm{J}\) 的能量并不是同一种物理叙述。

08快速分析任何力矩示意图的方法

当力矩题目看起来很复杂时，不要一开始就把数字代入 \(\tau=rF\sin\theta\)。

依照以下顺序处理：

1. 标出支点。
2. 分别处理每一个力。
3. 画出或想像从支点到该力作用点的 \(r\)。
4. 判断该力的作用线是否通过支点。如果是，该力的力矩为零。
5. 否则，找出 \(r\) 与 \(\theta\)，或垂直力臂 \(d\)。
6. 判断该力会使物体顺时针还是逆时针转动。
7. 将带有正负号的力矩相加。

第三和第四个步骤可以避免许多意想不到的错误。

09题目与解答

题目 1

一名学生使用长 \(0.35\,\mathrm{m}\) 的扳手转动螺栓。他施加一个与扳手垂直的 \(65\,\mathrm{N}\) 力。

计算此力对螺栓产生的力矩。

解答 1

力矩为 \(22.8\,\mathrm{N\,m}\)。

因为力与扳手垂直，\(r\) 与 \(F\) 之间的夹角是 \(90^\circ\)。因此，

\[ \begin{aligned} \tau&=rF\sin\theta\\ &=(0.35)(65)\sin90^\circ\\ &=22.75\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

所以，以适当的有效数字表示，

\[ \tau=23\,\mathrm{N\,m} \]

常见的陷阱是，明明力已经垂直，却还以为需要额外使用三角函数。由于 \(\sin90^\circ=1\)，力矩就是 \(rF\)。

题目 2

一根均匀的水平梁长 \(3.0\,\mathrm{m}\)，左端以铰链固定。梁的重量为 \(200\,\mathrm{N}\)。一个 \(350\,\mathrm{N}\) 的负载悬挂在距离铰链 \(2.4\,\mathrm{m}\) 的位置。

一条连接梁远端的缆线向上拉，方向在梁的上方 \(30^\circ\)。

假设梁处于转动平衡，计算缆线的张力。

解答 2

缆线的张力为 \(760\,\mathrm{N}\)。

对于转动平衡，

\[ \tau_{\text{net}}=0 \]

因此，缆线产生的逆时针力矩必须等于顺时针力矩的总和。

梁的重量作用于中心，也就是距离铰链 \(1.5\,\mathrm{m}\) 的位置：

\[ \tau_{\text{beam}}=(1.5)(200)=300\,\mathrm{N\,m} \]

悬挂的负载产生

\[ \tau_{\text{load}}=(2.4)(350)=840\,\mathrm{N\,m} \]

因此，顺时针力矩总和为

\[ 300+840=1140\,\mathrm{N\,m} \]

缆线作用于距离铰链 \(3.0\,\mathrm{m}\) 的位置，且与梁呈 \(30^\circ\)：

\[ \tau_{\text{cable}}=(3.0)T\sin30^\circ \]

在平衡条件下，

\[ \begin{aligned} (3.0)T\sin30^\circ&=1140\\ (3.0)T(0.5)&=1140\\ 1.5T&=1140\\ T&=760\,\mathrm{N} \end{aligned} \]

最容易犯的错误是把缆线的力矩写成 \(3.0T\)，仿佛整个张力都垂直于梁。实际上并非如此。只有垂直分量 \(T\sin30^\circ\) 才会对铰链产生力矩。

缆线的水平分量不会产生力矩，因为它沿著梁的方向作用，所以它的作用线会通过铰链。

题目 3

一名学生可以用以下两种方式之一，对扳手施加 \(120\,\mathrm{N}\) 的力。

• 方法 A：在距离支点 \(0.50\,\mathrm{m}\) 的位置施力，方向与扳手呈 \(25^\circ\)。
• 方法 B：在距离支点 \(0.35\,\mathrm{m}\) 的位置施加相同的力，方向与扳手垂直。

哪一种方法产生的力矩较大？

接著，求出 \(120\,\mathrm{N}\) 的力若作用于距离支点 \(0.50\,\mathrm{m}\) 的位置，需要与扳手呈多大的锐角，才能产生与方法 B 相同的力矩。

解答 3

方法 B 产生的力矩较大，而方法 A 需要使用约 \(44^\circ\) 的角度才能与方法 B 相同。

对于方法 A，

\[ \begin{aligned} \tau_A &=rF\sin\theta\\ &=(0.50)(120)\sin25^\circ\\ &=25.4\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

对于方法 B，

\[ \begin{aligned} \tau_B &=(0.35)(120)\sin90^\circ\\ &=42.0\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

因此，尽管施力点更靠近支点，方法 B 产生的力矩仍然较大。

要找出在 \(0.50\,\mathrm{m}\) 处所需的角度，令力矩等于 \(42.0\,\mathrm{N\,m}\)：

\[ \begin{aligned} (0.50)(120)\sin\theta&=42.0\\ 60\sin\theta&=42.0\\ \sin\theta&=0.700 \end{aligned} \]

依题意取锐角，

\[ \theta=\sin^{-1}(0.700)=44.4^\circ \]

所以

\[ \theta\approx44^\circ \]

一个很容易出现的错误预测是：只要施力点离支点更远，力矩就一定比较大。距离确实有帮助，但只有力的垂直分量才会产生力矩。在方法 A 中，不理想的角度使 \(120\,\mathrm{N}\) 的力有相当一部分无法发挥作用，因此方法 B 胜出。

题目 4

一根长 \(4.0\,\mathrm{m}\) 的水平梁以铰链固定在墙上。一条缆线将梁的外端连接到墙上铰链上方 \(3.0\,\mathrm{m}\) 的位置。

梁的重量为 \(200\,\mathrm{N}\)，作用于梁的中心；另有一个 \(600\,\mathrm{N}\) 的负载悬挂在距离铰链 \(3.0\,\mathrm{m}\) 的位置。

首先，计算使梁达到转动平衡所需的缆线张力。

接著，将缆线从梁的外端拆下，改接在距离铰链 \(2.0\,\mathrm{m}\) 的位置，同时仍连接到铰链上方 \(3.0\,\mathrm{m}\) 的同一个墙上固定点。梁和负载的位置保持不变。

计算新的缆线张力。

一名学生认为，第二种情况下的张力一定较小，因为缆线现在更接近与梁垂直。请解释这个论点为何不成立。

解答 4

原本的缆线张力约为 \(917\,\mathrm{N}\)，新的张力约为 \(1.32\,\mathrm{kN}\)。第二种情况下的张力较大，即使缆线的角度更有利也是如此。

梁的重量所造成的顺时针力矩为

\[ \tau_{\text{beam}}=(2.0)(200)=400\,\mathrm{N\,m} \]

负载产生

\[ \tau_{\text{load}}=(3.0)(600)=1800\,\mathrm{N\,m} \]

因此，缆线必须提供

\[ \tau_{\text{cable}}=400+1800=2200\,\mathrm{N\,m} \]

的逆时针力矩。

对于原本的缆线，几何形状形成一个 \(3\)-\(4\)-\(5\) 三角形，因此

\[ \sin\theta=\frac{3}{5} \]

缆线作用于距离铰链 \(4.0\,\mathrm{m}\) 的位置：

\[ \begin{aligned} (4.0)T_1\left(\frac35\right)&=2200\\ 2.4T_1&=2200\\ T_1&=916.7\,\mathrm{N} \end{aligned} \]

因此

\[ T_1\approx917\,\mathrm{N} \]

移动缆线后，它与墙之间的水平距离为 \(2.0\,\mathrm{m}\)，垂直距离为 \(3.0\,\mathrm{m}\)。因此，缆线长度为

\[ \sqrt{2.0^2+3.0^2}=\sqrt{13}\,\mathrm{m} \]

所以

\[ \sin\theta=\frac{3}{\sqrt{13}} \]

新的力矩方程式为

\[ \begin{aligned} (2.0)T_2\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)&=2200\\ T_2&=\frac{2200\sqrt{13}}{6}\\ &=1322\,\mathrm{N} \end{aligned} \]

因此

\[ T_2\approx1.32\,\mathrm{kN} \]

学生的论点注意到了一个真实存在的影响，却忽略了另一个影响。

没错，第二条缆线更接近与梁垂直，因此它的张力有更大比例会对力矩有所贡献。但它的连接点也从距离铰链 \(4.0\,\mathrm{m}\) 处，移到了只有 \(2.0\,\mathrm{m}\) 的位置。

真正有用的量不是角度本身，而是完整的力臂：

\[ d=r\sin\theta \]

原本的力臂为

\[ d_1=(4.0)\left(\frac35\right)=2.40\,\mathrm{m} \]

移动缆线后，

\[ d_2=(2.0)\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)=1.66\,\mathrm{m} \]

缆线虽然变得更接近垂直于梁，但它的垂直力臂仍然缩短了。若要用较短的力臂产生相同的 \(2200\,\mathrm{N\,m}\) 力矩，就必须增加张力。

这就是为什么只比较角度，可能会让人很有把握地得出错误答案。

题目 5

一块正方形板的边长为 \(0.40\,\mathrm{m}\)。

一个 \(50\,\mathrm{N}\) 的水平力作用于左上角，方向向右。另一个 \(50\,\mathrm{N}\) 的水平力作用于右下角，方向向左。

因此，这两个力的大小相等、方向相反。

1. 求作用于板上的合力。
2. 计算以正方形中心为参考点的合力矩。
3. 计算以左下角为参考点的合力矩。
4. 一名学生说：「力矩取决于支点，所以两个合力矩一定不同。」请解释为什么这个规则对单一力成立，却不适用于这一对力。

假设顺时针力矩为负。

解答 5

合力为零，而以正方形中心或左下角为参考点计算的合力矩，都是 \(20\,\mathrm{N\,m}\)，方向为顺时针。

令人意外的是，对于这一对特定的力，改变计算力矩的参考点并不会改变合力矩。

首先，两个力大小相等、方向相反：

\[ F_{\text{net}}=50-50=0\,\mathrm{N} \]

它们不会产生合力。

现在计算以中心为参考点的力矩。

每个水平力的垂直力臂都是 \(0.20\,\mathrm{m}\)，因为两个力的作用线分别位于中心上方或下方 \(0.20\,\mathrm{m}\) 处。

上方的力产生顺时针力矩：

\[ \tau_{\text{top}}=-(50)(0.20)=-10\,\mathrm{N\,m} \]

下方的力也产生顺时针力矩：

\[ \tau_{\text{bottom}}=-(50)(0.20)=-10\,\mathrm{N\,m} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{net}} &=-10-10\\ &=-20\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

所以合力矩为

\[ 20\,\mathrm{N\,m} \]

方向为顺时针。

现在改用左下角作为参考点。

上方的力沿著一条位于此点上方 \(0.40\,\mathrm{m}\) 的水平线作用，因此

\[ \tau_{\text{top}}=-(50)(0.40)=-20\,\mathrm{N\,m} \]

下方的力之作用线直接通过左下角这个参考点。因此，它的垂直力臂为零：

\[ \tau_{\text{bottom}}=0 \]

所以

\[ \tau_{\text{net}}=-20+0=-20\,\mathrm{N\,m} \]

同样地，板所受到的合力矩为

\[ 20\,\mathrm{N\,m} \]

方向为顺时针。

容易让人误以为，参考点一改变，力矩就一定会改变。对单一力而言，这通常是对的：改变参考点会改变该力的垂直力臂。

但这两个力形成一种特殊的组合，称为力偶。它们大小相等、方向相反，而且作用线彼此平行但不重合。

当参考点移动时，一个力的力臂可能增加，而另一个力的力臂可能减少。由于合力为零，这些变化会恰好抵销。因此，力偶的合力矩保持不变。

如果移除下方的力，就能看出两者的差异。只保留上方的 \(50\,\mathrm{N}\) 力时，它对中心产生的力矩会是 \(10\,\mathrm{N\,m}\)，方向为顺时针；但对左下角产生的力矩则会是 \(20\,\mathrm{N\,m}\)，方向同样为顺时针。单一力的力矩确实会随所选参考点而改变。

更深一层的重点是，力矩并不只是「力乘以距离支点的距离」。它取决于每个力及其作用线的完整几何关系。

10力矩能帮助你进一步理解什么？

公式

\[ \tau=rF\sin\theta \]

其实是在说明：力中哪一部分能改变转动运动。径向分量朝向或背离支点，因此不会对该支点产生力矩。垂直分量则是能够产生转动效果的部分。

这个概念与圆周运动有很直接的关联。纯粹的向心力指向圆心，因此它对圆心的力矩为零，即使它会持续改变物体速度的方向。如果你想更深入厘清这个区别，可以参阅向心力：如何在 HSC 物理中辨认真正的力以及向心加速度：为什么它在 HSC 物理中指向内侧。

下一个值得学习的步骤是转动平衡：同时运用 \(\sum\tau=0\) 和力平衡，分析梁、支撑物、铰链及其他必须避免滑动与转动的系统。