船只横渡水流：速度、轨迹与渡河时间

一艘船笔直朝河对岸前进。它相对于水的速度是 3.0 m s\(^{-1}\)，而水流以 2.0 m s\(^{-1}\) 的速度向下游流动。很明显，这艘船相对于河岸的移动速度比 3.0 m s\(^{-1}\) 更快，因此可以先作一个有用的预测：水流会让它更快到达对岸吗？

不会。只要水流方向与河岸平行，它到达对岸所需的时间，会与水面静止时完全相同。水流会改变船最后登岸的位置，也会改变它相对地面的移动方向，但不会增加任何横渡河流方向的速度。

只要掌握这一项区别，就能解决大多数 HSC 船只与水流问题。

01船有不只一个速度

想像一条巨型输送带向东移动，而你在输送带上向北走。

相对于输送带，你正在向北移动。相对于输送带下方的地面，你同时向北和向东移动。站在地面上的人会看到这两种运动的合成。

河流中的船也是同样的情况：

• 引擎使船具有相对于水的速度
• 水流使水具有相对于地面的速度
• 站在河岸上的人看到的是船相对于地面的速度

输送带模型很有用，因为它能把向量相加直观地呈现出来。不过，它并不完全适用于所有河流，因为真实河流中的水流速度和方向可能会随河流不同位置而改变。

我们可以把精确的相对速度关系写成

\[ \vec v_{BG} = \vec v_{BW} + \vec v_{WG} \]

其中：

• \(\vec v_{BG}\) 是船相对于地面的速度
• \(\vec v_{BW}\) 是船相对于水的速度
• \(\vec v_{WG}\) 是水相对于地面的速度

河岸上的观察者看到的是 \(\vec v_{BG}\)。这个速度决定了船的对地轨迹。

02将运动分解成横渡河流与下游方向的分量

最简单的方法是选择两个互相垂直的方向：

• 横渡河流方向，即垂直于河岸
• 下游方向，即平行于河岸

假设船相对于水以速度 \(v_b\) 笔直指向河对岸，而水流以速度 \(v_c\) 向下游流动。

那么，船的对地速度分量为

\[ v_{\text{横渡}} = v_b \]

以及

\[ v_{\text{下游}} = v_c \]

因此，船的对地速度大小为

\[ v_g = \sqrt{v_b^2 + v_c^2} \]

其中 \(v_g\) 是船相对于地面的速率。

它的对地轨迹角 \(\theta\)，以正横渡方向向下游量度，满足

\[ \tan \theta = \frac{v_c}{v_b} \]

留意这条方程描述的是甚么。船可能正指向对岸，但相对于地面，它不一定是笔直横渡。

航向与对地轨迹是不同的概念。

03渡河时间取决于横渡河流方向的分量

假设河宽为 \(d\)。

要到达对岸，船必须走完这段垂直于河岸的距离。因此，渡河时间为

\[ t = \frac{d}{v_{\text{横渡}}} \]

其中：

• \(t\) 是以秒为单位的渡河时间
• \(d\) 是以米为单位的河宽
• \(v_{\text{横渡}}\) 是船的对地速度中垂直于河岸的分量，单位为 m s\(^{-1}\)

这里很容易出现一个看似合理的错误。

学生可能先计算总对地速率，然后使用

\[ t = \frac{d}{v_g} \]

这看起来很合理，因为 \(t=d/v\) 很熟悉。问题在于，\(d\) 是横渡河流的距离，而 \(v_g\) 的方向是斜向的。两者方向并不相同。

使用 \(t=d/v\) 时，距离和速度必须指向同一方向。

04正对著河对岸，不等于会在正对面登岸

假设你真的希望船到达起点正对面的那一点。

那么，你仍然应该笔直指向河对岸吗？

不应该。你需要把船头指向上游，使船相对于水的部分速度抵销水流。

这与前一个例题是不同的问题。

设船相对于水的速率为 \(v_b\)，水流速率为 \(v_c\)。如果船从正横渡方向向上游偏 \(\theta\) 角航行，那么船相对于水的速度有两个分量：

\[ v_{\text{船，横渡}} = v_b\cos\theta \]

以及

\[ v_{\text{船，上游}} = v_b\sin\theta \]

若要在正对面登岸，上游方向的分量必须恰好抵销向下游的水流：

\[ v_b\sin\theta = v_c \]

所以

\[ \sin\theta = \frac{v_c}{v_b} \]

当下游方向的运动被抵销后，船的对地速度便完全指向河对岸。

不过，这是有代价的。船的一部分速度要用来对抗水流，所以能用于渡河的速度会减少。

05河流问题的快速判断规则

最有用的习惯，是在碰计算机之前先画出这两条座标轴。

06重要的极限情况

如果水流和船一样快，会发生甚么事？

假设船相对于水的最大速率是 3.0 m s\(^{-1}\)，而水流也以 3.0 m s\(^{-1}\) 流动。

若要在正对面登岸，船需要有 3.0 m s\(^{-1}\) 的上游速度分量。但这代表船的全部速度都必须指向上游。

它的横渡河流方向分量将会是零。

所以，即使它能抵销向下游的水流，也完全无法横渡河流。

如果水流比船更快，在正对面登岸同样不可能。船无法产生足够大的上游速度分量来抵销水流。

因此可以得到更精确的条件：

\[ v_b > v_c \]

如果船既要抵销水流，又要向河对岸前进，就必须满足这个条件。

07必须避免的误解

当船笔直指向河对岸时，更强的水流通常会增加船的对地速率。这可能令人以为船应该更快渡河。

但如果增加的速度指向错误的方向，它并不会帮助你走完所需的距离。

这就像你正赶著去见一个住在你正北方的人，却很自豪地宣布自己正在以很高的速度向东跑。速度的确很惊人。导航方面就有一点问题。

计算渡河时间时，先问一个问题：

船实际上正以多快的速度接近对岸？

控制渡河时间的是这个分量，而不是总速率。

08问题与解答

问题 1

一艘船笔直指向一条宽 90 m 的河对岸。它相对于水的速率是 2.5 m s\(^{-1}\)，水流以 0.80 m s\(^{-1}\) 向下游流动。

计算渡河时间，以及船向下游移动的距离。

解答 1

船需要 36 s 渡河，并在下游 28.8 m 处登岸。

水流与河岸平行，因此不会改变船 2.5 m s\(^{-1}\) 的横渡河流方向分量。

渡河时间为

\[ t = \frac{d}{v_{\text{横渡}}} = \frac{90}{2.5} = 36\text{ s} \]

在这 36 s 内，水流把船带往下游：

\[ s_{\text{下游}} = v_c t = 0.80(36) = 28.8\text{ m} \]

因此，船在 36 s 内渡河，并到达起点正对面位置的下游 28.8 m 处。

重点是，横渡和漂移是同时发生的。船渡河之后，不需要再额外加上一段「漂移时间」。

问题 2

一艘船相对于水以 5.0 m s\(^{-1}\) 航行，并笔直指向一条宽 200 m 的河对岸。水流以 3.0 m s\(^{-1}\) 向下游流动。

求：

• 渡河时间
• 下游位移
• 船的对地速率
• 对地轨迹从正横渡方向向下游偏的角度
• 渡河期间相对于地面所走的距离

解答 2

船在 40 s 内渡河，向下游移动 120 m，对地速率为 5.83 m s\(^{-1}\)，沿著从正横渡方向向下游偏 31.0° 的轨迹前进，并相对于地面移动约 233 m。

横渡河流方向的分量为 5.0 m s\(^{-1}\)，所以

\[ t = \frac{200}{5.0} = 40\text{ s} \]

下游位移为

\[ s_{\text{下游}} = 3.0(40) = 120\text{ m} \]

对地速率是向量和的大小：

\[ v_g = \sqrt{5.0^2 + 3.0^2} = \sqrt{34} = 5.83\text{ m s}^{-1} \]

对于对地轨迹角，

\[ \tan\theta = \frac{3.0}{5.0} \]

\[ \theta = \tan^{-1}(0.600) = 31.0^\circ \]

相对于地面，船沿斜线移动。它的对地轨迹距离为

\[ s_g = v_g t = 5.83(40) \approx 233\text{ m} \]

利用位移三角形也可得到相同结果：

\[ s_g = \sqrt{200^2 + 120^2} \approx 233\text{ m} \]

200 m 的河宽并不是船的总对地轨迹距离。它只是该位移中垂直于河岸的分量。

问题 3

两艘完全相同的船要分别横渡两条各宽 160 m 的河。

船 A 相对于静水以 4.0 m s\(^{-1}\) 移动。

船 B 相对于水同样以 4.0 m s\(^{-1}\) 移动，但它所在的河有一股与河岸平行、速度为 3.0 m s\(^{-1}\) 的水流。

两艘船都笔直指向河对岸。

一名学生认为船 B 会先到达，因为它的对地速率是

\[ \sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\text{ m s}^{-1} \]

这名学生正确吗？计算两艘船的渡河时间，并解释结果。

解答 3

不正确。两艘船都需要 40 s 渡河。

船 A 的横渡河流方向速度为 4.0 m s\(^{-1}\)，所以

\[ t_A = \frac{160}{4.0} = 40\text{ s} \]

船 B 的横渡河流方向速度同样是 4.0 m s\(^{-1}\)。水流增加了 3.0 m s\(^{-1}\) 的下游速度分量，但没有增加任何横渡河流方向的分量。

因此，

\[ t_B = \frac{160}{4.0} = 40\text{ s} \]

船 B 的对地速率确实是 5.0 m s\(^{-1}\)，但其中一部分速度指向下游。额外的对地速率并不会帮助它更快接近对岸。

学生计算对地速率的方法是正确的。错误在于使用对地速度的大小，来回答一个只由其垂直于河岸的分量所决定的问题。

问题 4

一艘船相对于水能以 4.0 m s\(^{-1}\) 移动。它要横渡一条宽 120 m、水流速度为 3.0 m s\(^{-1}\) 的河。

一名学生正确计算出，若要在正对面登岸，船必须从正横渡方向向上游偏

\[ \sin^{-1}\left(\frac{3.0}{4.0}\right) = 48.6^\circ \]

然后，学生计算渡河时间为

\[ t = \frac{120}{4.0} = 30\text{ s} \]

指出错误，并计算正确的渡河时间。

解答 4

正确的渡河时间约为 45.4 s。错误在于把船完整的 4.0 m s\(^{-1}\) 速率当成全部都指向河对岸。

船从正横渡方向向上游偏 \(48.6^\circ\)。它 3.0 m s\(^{-1}\) 的上游速度分量抵销了水流。

剩下的横渡河流方向分量为

\[ v_{\text{横渡}} = \sqrt{4.0^2 - 3.0^2} = \sqrt{7} = 2.65\text{ m s}^{-1} \]

因此，渡河时间为

\[ t = \frac{120}{2.65} = 45.4\text{ s} \]

所以船大约需要 45.4 s。

容易犯的错误是认为，既然船相对于水的速率是 4.0 m s\(^{-1}\)，它就会以 4.0 m s\(^{-1}\) 的速率横渡河流。只有当船相对于水的全部速度都指向河对岸时，这才成立。

问题 5

一条宽 180 m 的河，其水流在河中央突然改变。

在前 90 m，水流以 1.0 m s\(^{-1}\) 向下游流动。在后 90 m，水流以 3.0 m s\(^{-1}\) 向下游流动。

整段航程中，船一直笔直指向河对岸，并相对于当地水体维持 3.0 m s\(^{-1}\) 的恒定速率。

求总渡河时间和下游位移。船的对地轨迹是一条直线吗？

解答 5

船需要 60 s 渡河，总共向下游移动 120 m，而且它的对地轨迹不是一条直线。

关键观察是，两段水流都与河岸平行。它们都不会改变船 3.0 m s\(^{-1}\) 的横渡河流方向分量。

对前 90 m 而言，

\[ t_1 = \frac{90}{3.0} = 30\text{ s} \]

对后 90 m 而言，

\[ t_2 = \frac{90}{3.0} = 30\text{ s} \]

因此，

\[ t_{\text{总}} = 30 + 30 = 60\text{ s} \]

在前半段，下游位移为

\[ s_1 = 1.0(30) = 30\text{ m} \]

在后半段，

\[ s_2 = 3.0(30) = 90\text{ m} \]

所以总下游位移为

\[ s_{\text{下游}} = 30 + 90 = 120\text{ m} \]

对地轨迹不是一条直线。在河流的后半段，对地速度的下游分量变大，因此合速度的方向也会改变。所以在这个简化模型中，路径会在中点改变方向。

这道题揭示了较简单河流问题中一个重要但常被隐含的假设：若要有笔直的对地轨迹，各速度分量必须保持不变。

09这个概念接下来可以延伸到甚么

船只与水流问题其实就是相对速度问题。只要能把速度分解成互相垂直的分量，并辨认正确的参考系，同样的方法便可用于有风时的飞机、流动水中的游泳者，以及其他在移动介质中运动的情况。

下一个实用步骤，是学习处理物体具有任意航向的情况，而不是只处理「笔直横渡」或「瞄准正对面登岸」。物理原理并没有改变。先把速度分解成各方向分量，再逐个分量加上介质的速度，最后利用所得的对地速度预测运动。