变压器中的涡电流损耗：HSC 物理指南

将变压器的次级线圈断开，使它不向任何负载供电。铁心仍然可能变暖。没有任何东西在摩擦，也没有有用的电流从次级线圈流出。那么，这些热能究竟从哪里来？

继续阅读之前，先预测一下：如果变压器不是使用许多薄而彼此绝缘的金属片，而是使用一整块实心的导电铁，会发生甚么事？发热会增加、减少，还是维持不变？

发热会增加。能在次级线圈中感应出电动势的同一个变化磁通量，也可以在金属铁心内部感应出循环电流。这些电流称为涡电流，而实心导电铁心提供了很大的空间让它们流动。

01铁心可以像一个你根本没打算制造的线圈

变压器的工作原理，是初级线圈中的交流电在铁心中产生变化的磁通量。这个变化的磁通量穿过次级线圈，并感应出电动势。

但次级绕组并不是变化磁通量附近唯一的导体。铁心本身也是导电金属。

想像观察实心钢制铁心内的一小块区域。金属中存在无数可能的闭合路径。如果穿过其中某一条路径的磁通量发生变化，该路径周围就会产生感应电动势。

这只是法拉第定律在一个不方便的地方发挥作用而已。

对于一条闭合路径，

\[ \epsilon=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \]

其中：

• \(\epsilon\) 是感应电动势，单位为伏特，\(\text{V}\)，
• \(\Phi\) 是穿过该路径的磁通量，单位为韦伯，\(\text{Wb}\)，以及
• \(t\) 是时间，单位为秒，\(\text{s}\)。

如果磁场近似均匀，并且与面积 \(A\) 垂直，

\[ \Phi=BA \]

其中 \(B\) 是磁通密度，单位为特斯拉，\(\text{T}\)，而 \(A\) 是面积，单位为平方米，\(\text{m}^2\)。

因此，对于固定的回路面积，

\[ |\epsilon|=A\left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| \]

所以，变化的磁场可以驱动电流沿著完全位于铁心内部的回路流动。

这种循环电流就是涡电流。

这个名称很形象。可以想像流动的水中形成一个个小漩涡。涡电流也会在局部循环，而不是从一个有用的输入端流向一个有用的输出端。

不过，这个类比只能到此为止。真正的涡电流并不是几条整齐的圆形导线藏在铁心里。电流其实是连续分布在导电材料之中的。

02为甚么涡电流会浪费能量

假设铁心中某一条可能的电流路径具有电阻 \(R\)。一旦沿著这条路径产生感应电动势，电流约为

\[ I=\frac{\epsilon}{R} \]

其中 \(I\) 是电流，单位为安培，\(\text{A}\)，而 \(R\) 是电阻，单位为欧姆，\(\Omega\)。

这个电流会因电阻而使金属发热：

\[ P=I^2R \]

其中 \(P\) 是转化为热能的功率，单位为瓦特，\(\text{W}\)。

把两个方程结合起来可得

\[ P=\frac{\epsilon^2}{R} \]

第二种形式对理解变压器设计特别有用。

涡电流本身也会产生磁场。根据楞次定律，这个磁场会反抗产生该电流的磁通量变化。初级电源必须提供额外能量来维持变压器运作，而其中一部分电能最终会在铁心中变成不需要的热能。

所以能量的流向是：

初级电能 \(\rightarrow\) 铁心中的感应涡电流 \(\rightarrow\) 热能。

这是一种铁心损耗。即使次级没有向任何负载供电，也可能发生这种损耗。

03为甚么实心铁心特别糟糕

想像涡电流试图沿著一大片实心金属绕一圈。

较大的路径可以包围相对较大的变化磁通量。根据法拉第定律，变化的磁通量越大，感应电动势就可能越大。

实心铁心也为电流提供了相当大的导电截面。这可以令该路径的电阻相当低。

因此，实心导电铁心给了涡电流两个你并不希望它们拥有的优势：

• 与磁通相连的回路相对较大，因此可能产生较大的感应电动势，以及
• 低电阻的导电路径，可容许较大的电流流动。

所以，变压器设计者会把铁心分成称为叠片的薄片。

04叠片实际上改变了甚么

叠片式变压器铁心由许多薄的磁性材料片组成。相邻的薄片彼此电气绝缘。

绝缘是其中最关键的部分。如果只是把铁心切成薄片，之后又把所有薄片重新电气连接起来，就不会得到相同的效果。

这些薄片的排列方式，使变压器的主要磁通量可以大部分沿著磁性材料传播，而大型涡电流回路若要形成，就必须跨越电气绝缘边界。

可以用一个有点滑稽的画面来理解：想像室内小型赛车场。实心铁心就像给电流一大片没有阻隔的空地，让它可以跑一个很大的圈。叠片则加入了绝缘墙。试图跑同样大圈的电流会撞上障碍，因此只剩下小得多的局部回路。

这个类比的限制在于，电流并不是像驾驶者一样「选择」路线。感应电场存在于整个导电材料之中。真正有用的重点只是：绝缘会中断可能形成的闭合导电路径。

叠片透过两个互相关联的方式减少涡电流损耗。

1. 它们减少许多电流回路的有效面积

对于磁场与回路面积垂直的路径，

\[ |\epsilon|=A\left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| \]

较小的有效回路面积 \(A\) 所连结的变化磁通量较少，因此感应电动势也较小。

2. 它们增加可能电流路径的电阻

与一整块实心材料相比，薄片提供的导电厚度小得多。

对于导体，

\[ R=\rho\frac{L}{A_c} \]

其中：

• \(\rho\) 是电阻率，单位为欧姆米，\(\Omega\text{ m}\)，
• \(L\) 是电流路径的长度，单位为米，以及
• \(A_c\) 是导电截面积，单位为平方米。

减少可用的导电截面会提高许多涡电流路径的电阻。

这种组合效果很强，因为

\[ P=\frac{\epsilon^2}{R} \]

叠片既可以减少 \(\epsilon\)，又可以增加 \(R\)。

05\(P=I^2R\) 的陷阱

一个常见的论点是：

叠片会增加电阻。但 \(P=I^2R\)，所以更高的电阻应该会产生更多热量。

方程是正确的，但结论并不正确。

这个推论暗中假设电流维持不变。

但在这里，电流并不维持不变。它是由感应电动势产生的：

\[ I=\frac{\epsilon}{R} \]

如果同一个感应电动势作用在一条路径上，而该路径的电阻增加，电流便会下降。把 \(I=\epsilon/R\) 代入 \(P=I^2R\)，可得

\[ P=\frac{\epsilon^2}{R} \]

因此，对于给定的感应电动势，提高电阻会降低耗散功率。

叠片的作用还不止于此：它们通常也会限制电流回路的大小，从而降低相关的感应电动势。

每当两条正确的方程看起来预测出相反的行为时，都应检查究竟有哪些物理量真正保持不变。这个习惯的重要性远不只限于涡电流问题。

06更薄的叠片效果更好

对于一个简单的叠片铁心模型，每单位体积的经典涡电流功率损耗大致遵循以下关系：

\[ P_e\propto\frac{B_{\max}^2f^2t^2}{\rho} \]

其中：

• \(P_e\) 代表每单位体积的涡电流功率损耗，
• \(B_{\max}\) 是最大磁通密度，
• \(f\) 是交变磁场的频率，
• \(t\) 是叠片厚度，以及
• \(\rho\) 是铁心材料的电阻率。

这并不是一条需要为 HSC 普遍背诵的公式，而是一个有助于观察变化趋势的模型。

它预测，以下情况会使涡电流损耗增大：

「其他物理量维持不变」这个条件很重要。稍后你会看到，改变频率并不一定会令 \(B_{\max}\) 保持不变。

07叠片不能做到甚么

叠片可以减少涡电流，但不能令所有变压器损耗消失。

首先，每一片独立的叠片内仍然可以有小型涡电流循环。目标是令这些电流大幅减小，而不是神奇地变成零。

其次，叠片不能消除磁滞损耗。磁滞是由铁心材料的磁性状态反复变化所造成的，是另一种不同的铁心损耗机制。

第三，绝缘并不是用来阻挡变压器的主要磁通量。叠片的方向经过安排，使磁通量主要沿著磁性薄片传播，而绝缘则中断造成问题的电流路径。

最后这一点很容易被忽略。「把铁心绝缘」并不是完整的设计规则。绝缘层的方向同样重要。

08分析任何涡电流问题的一个简洁方法

遇到不熟悉的变压器问题时，可以追踪以下五点：

• 磁通量是否正在变化？
• 有哪些闭合的导电路径可以形成？
• 每条路径可以包围多少变化的磁通量？
• 每条路径具有多大的电阻？
• 电能最终去了哪里？

如果存在变化的磁通量、大型闭合导电路径，而且电阻很低，就应预期会有显著的涡电流。

如果绝缘叠片中断了这些路径，就应预期电流较小、发热也较少。

09问题与解答

问题 1

一个变压器的初级线圈使用交流电，并具有导电的铁制铁心。

解释为甚么铁心内会形成涡电流、为甚么涡电流会降低变压器的效率，以及把铁心制成叠片结构如何减少这种损耗。

解答 1

涡电流之所以形成，是因为变压器内变化的磁通量会在铁心内部的闭合导电路径周围感应出电动势。这些电流会以热的形式耗散能量，而叠片会限制电流路径，大幅减少这种损耗。

交变的初级电流会产生变化的磁通量。根据法拉第定律，穿过导电回路的磁通量发生变化时，就会产生感应电动势。由于实心金属铁心内有许多可能的闭合导电路径，因此可以在其中形成循环电流。

这些电流会造成电阻发热：

\[ P=I^2R \]

这些热能来自供应给变压器的电能，因此输入能量中能够有效传送到次级电路的部分会减少。

叠片铁心由薄的磁性材料片组成，每片都与相邻薄片电气绝缘。绝缘会阻止大型涡电流回路自由穿过整个铁心。

剩余的回路通常包围较少的变化磁通量，因此其感应电动势较小，而且其导电路径具有较大的电阻。两种效果都会减少涡电流所造成的发热。

一个容易出现的错误观念，是以为叠片会阻止磁通量。它们的主要设计目的，是中断电流路径，同时仍让变压器的主要磁通量可以穿过磁性铁心。

问题 2

当一个变压器以 \(50\text{ Hz}\) 运作时，一条代表性涡电流路径具有 \(0.090\text{ V}\) 的均方根感应电动势。该路径的电阻为 \(0.015\ \Omega\)。

频率增加至 \(60\text{ Hz}\)，并假设最大磁通密度、几何形状和电阻均维持不变。

在这些条件下，假设感应电动势与频率成正比：

a. 计算在 \(50\text{ Hz}\) 时的耗散功率，

b. 计算在 \(60\text{ Hz}\) 时的耗散功率，以及

c. 求功率增加的百分比。

解答 2

功率由 \(0.54\text{ W}\) 增加至约 \(0.78\text{ W}\)，增幅为 \(44\%\)。

重要的限制条件是最大磁通密度保持不变。这表示增加频率会令磁通量变化得更快，因而增加感应电动势。

在 \(50\text{ Hz}\) 时，

\[ P_{50} =\frac{\epsilon_{50}^2}{R} =\frac{(0.090)^2}{0.015} =0.54\text{ W} \]

对于新的电动势，

\[ \frac{\epsilon_{60}}{\epsilon_{50}} =\frac{60}{50} \]

所以

\[ \epsilon_{60} =0.090\left(\frac{60}{50}\right) =0.108\text{ V} \]

因此，

\[ P_{60} =\frac{(0.108)^2}{0.015} =0.7776\text{ W} \approx0.78\text{ W} \]

功率增加的百分比为

\[ \frac{0.7776-0.54}{0.54}\times100\% =44\% \]

一个很容易想到的预测是：频率增加 \(20\%\)，发热就应该增加 \(20\%\)。但这忽略了下式中的平方关系：

\[ P=\frac{\epsilon^2}{R} \]

当 \(B_{\max}\) 维持不变时，\(\epsilon\propto f\)，因此这个简化模型给出 \(P\propto f^2\)。所以

\[ \left(\frac{60}{50}\right)^2=1.44 \]

这与 \(44\%\) 的增幅一致。

问题 3

对于某个特定的变压器铁心，使用以下近似模型：

\[ P_e\propto\frac{B_{\max}^2f^2t^2}{\rho} \]

考虑两种可能的重新设计。\(B_{\max}\) 和 \(f\) 维持不变。

• 设计 A 将叠片厚度由 \(0.50\text{ mm}\) 减少至 \(0.30\text{ mm}\)，电阻率维持不变。
• 设计 B 保留 \(0.50\text{ mm}\) 厚的叠片，但使用电阻率为原来两倍的材料。

将每种设计的新涡电流损耗与原本的损耗比较。你能否根据这些资料进一步断定，涡电流损耗较低的设计一定会产生较低的次级电压？

解答 3

设计 A 将模型预测的涡电流损耗降至原来的 \(36\%\)，而设计 B 则降至 \(50\%\)。你不能断定损耗较低的设计必然会产生较低的次级电压。

对于设计 A，只有叠片厚度改变：

\[ \frac{P_A}{P_0} =\left(\frac{0.30}{0.50}\right)^2 =(0.60)^2 =0.36 \]

所以，设计 A 保留原本涡电流损耗的 \(36\%\)，相当于减少 \(64\%\)。

对于设计 B，电阻率变为两倍：

\[ \frac{P_B}{P_0} =\frac{\rho_0}{2\rho_0} =\frac12 \]

所以，设计 B 保留原本涡电流损耗的 \(50\%\)，相当于减少 \(50\%\)。

下一个很容易出现的推论，是认为如果铁心损耗减少得更多，变压器的输出电压也必定会降低。这是把两种不同的效应混在一起。

涡电流损耗描述的是铁心内不需要的能量耗散。次级感应电动势主要取决于穿过次级绕组的磁通量改变得有多快。如果磁通量波形和匝数保持不变，单纯减少涡电流发热并不要求次级电动势变小。

在真实的变压器中，损耗与磁通量可以互相影响，因此完整的行为可能更复杂。但单凭题目提供的损耗模型，并不足以对次级电压作出这种结论。

问题 4

一个变压器以正弦波电源运作。对于固定的初级匝数和铁心截面积，假设

\[ V_p\propto fB_{\max} \]

并把涡电流损耗近似为

\[ P_e\propto f^2B_{\max}^2 \]

变压器由 \(50\text{ Hz}\) 改为在 \(100\text{ Hz}\) 下运作，但初级均方根电压维持不变。

一名学生提出：

频率加倍一定会令涡电流损耗变为四倍，因为 \(P_e\propto f^2\)。

在上述假设下，判断 \(B_{\max}\) 和涡电流损耗会如何改变。解释这名学生的论证错在哪里。

解答 4

根据上述模型，\(B_{\max}\) 会减半，而涡电流损耗则大致维持不变。

只有在 \(B_{\max}\) 保持不变的情况下，学生根据 \(f^2\) 所作的论证才是正确的。但这里的 \(B_{\max}\) 并不保持不变，因为初级电压是固定的。

由

\[ V_p\propto fB_{\max} \]

以及 \(V_p\) 维持不变，可得

\[ f_1B_1=f_2B_2 \]

因此，

\[ 50B_1=100B_2 \]

所以

\[ B_2=\frac12B_1 \]

现在比较涡电流损耗：

\[ \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{f_2}{f_1}\right)^2 \left(\frac{B_2}{B_1}\right)^2 \]

代入数值，

\[ \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{100}{50}\right)^2 \left(\frac12\right)^2 =4\times\frac14 =1 \]

所以

\[ P_2=P_1 \]

在题目所提供的模型范围内成立。

很容易出现的做法，是看到 \(f^2\) 后就停下来。被忽略的相互作用是：频率也会影响产生相同初级感应电动势所需的磁通密度。

把 \(f\) 加倍会令损耗公式中的频率因素增加四倍，但把 \(B_{\max}\) 减半则会令相应因素减少四倍。两者互相抵消。

这并不表示当频率加倍时，变压器的所有损耗都维持不变。磁滞、绕组效应、漏磁行为、材料性质，以及其他真实效应都可能发生变化。这个结论只适用于题目所指定的涡电流模型。

问题 5

考虑变压器铁心中的一个小区域，其中主要的交变磁通量在局部由左指向右。

两个铁心都使用相同的薄钢片，而且钢片彼此电气绝缘。

在铁心 X 中，每片钢片沿左右方向和上下方向延伸，而钢片由前向后堆叠。因此，主要磁通量大部分沿著每片钢片内部传播。

在铁心 Y 中，每片钢片沿上下方向和前后方向延伸，而钢片由左向右堆叠。因此，主要磁通量必须穿过一层又一层的钢片边界。

一名学生认为，两个铁心抑制涡电流的效果应该同样好，因为两者使用的钢片厚度相同，绝缘也相同。

判断哪一种排列方式更适合变压器。你的解释必须同时考虑可能的涡电流路径以及主要磁通量的路径。

解答 5

铁心 X 是较合适的排列：它的绝缘会中断大型涡电流回路，同时让变压器的主要磁通量大部分沿著磁性钢材传播。铁心 Y 的钢片方向对这两项作用都不合适。

先考虑由左指向右的主要磁场。

由这个变化磁场所感应出的涡电流，倾向围绕磁场方向循环。在局部来说，这表示一条可能的电流回路会位于包含上下方向和前后方向的平面内。

在铁心 X 中，叠片由前向后堆叠。因此，一个位于上下／前后平面内的大型电流回路，必须从一片钢片跨越到相邻钢片。

但各钢片彼此电气绝缘。

这会中断大型导电回路。只有小得多的回路可以保留在单一薄片内。它们有效连结的磁通面积较小，而且其电阻较大。

现在再追踪主要磁通量。它由左指向右，而这个方向位于铁心 X 每片钢片的平面内。因此，磁通量可以主要沿著磁性钢材传播，而不需要反复穿过绝缘边界。

铁心 Y 则把这些优势反转了。

它的宽广钢片位于上下／前后平面内，而这正是涡电流可以围绕左右方向磁场循环的平面。因此，电流可以在同一片导电钢片内形成相对较大的回路。相邻钢片之间的绝缘对中断这种特定回路的作用小得多。

与此同时，所需要的磁通量由左向右传播，所以在铁心 Y 中，它必须反复穿过钢片之间的边界，而不是主要留在磁性材料之中。

这名学生的推理只集中在钢片厚度上。缺少的条件是几何排列。叠片之所以有效，是因为绝缘边界必须放置在能够中断不需要的电流路径的位置，同时又不会不必要地中断所需要的磁通量路径。

这就是更深层的设计原则：叠片不只是薄薄的金属片。它们的方向也是其工作原理的一部分。

一旦把涡电流损耗与有用的电磁感应分开来看，就能理解理想变压器与真实变压器之间的差异。理想变压器的电压与匝数比描述了预期的电压转换；涡电流则解释了为甚么真实变压器还会吸收一部分永远无法传送到负载的能量。