磁场中运动电荷所受的力：HSC 物理

一个正电荷向右飞行，穿过一个指向纸面内的磁场。磁场会对它施加力。接下来会发生甚么：电荷会加速、减速，还是转弯？

在继续阅读之前，先作出预测。

它会向上转弯。令人意外的是，磁力的方向与运动方向成侧向关系。磁场可以持续使带电粒子的路径弯曲，而不令它的速率增加。

这一个概念已能解释大多数 HSC 关于磁力的题目。计算会告诉你这个侧向力有多大，而方向规则则告诉你粒子会向哪一边转弯。

01从侧向力模型开始

想像一个粒子在空间中运动，而某种作用一直恰好从侧面推它。每一次侧向推力都会改变粒子的前进方向，但不会改变它的速率。

对于运动中的电荷，磁场的作用就像这样。这个类比很有用，但并不完整。磁力不只是「某个侧向力」。它的大小取决于电荷量、速率、磁场强度，以及速度与磁场之间的夹角。

它的方向也受到严格限制：磁力同时垂直于粒子的速度方向和磁场方向。

这立即带来一个值得注意的结果。如果粒子沿著磁场方向直接运动，速度和磁场便无法共同定出一个侧向方向。此时磁力为零。

02计算磁力的大小

当一个电荷在磁场中运动时，磁力的大小为

\[ F=|q|vB\sin\theta \]

其中：

• \(F\) 是磁力，单位为牛顿，\(\text{N}\)，
• \(q\) 是电荷量，单位为库仑，\(\text{C}\)，
• \(v\) 是粒子的速率，单位为米每秒，\(\text{m s}^{-1}\)，
• \(B\) 是磁场强度，单位为特斯拉，\(\text{T}\)，而
• \(\theta\) 是粒子速度方向与磁场方向之间的夹角。

你也会经常看到它写成

\[ F=qvB\sin\theta. \]

当你计算力的大小时，要使用电荷量的绝对值。换句话说，电子的电荷应代入 \(1.60\times10^{-19}\text{ C}\)，而不是得到一个「负的力」。负号的重要性在于判断方向。

为甚么会有 \(\sin\theta\)？

假设粒子的运动有一部分沿著磁场，另一部分则横越磁场。哪一部分的运动会产生磁力？

只有垂直于磁场的分量。

这个垂直速率为

\[ v_\perp=v\sin\theta. \]

因此，磁力也可以写成

\[ F=|q|v_\perp B. \]

速度中平行于磁场的分量不会产生磁力。

由此可得到一组很有用的极端情况：

最后一行很容易令人出错。即使粒子沿著与磁场相反的方向运动，它仍然是沿著磁场的作用线运动，因此没有磁力。

03判断方向

方程式会给出力的大小，但本身不会告诉你力在空间中的方向。

完整的关系是

\[ \vec F=q\vec v\times\vec B. \]

你不需要把每一道 HSC 题目都变成向量代数。右手定则可以做到同样的事。

对正电荷而言：

1. 让右手食指指向速度 \(\vec v\) 的方向。
2. 让中指指向磁场 \(\vec B\) 的方向，并保持它与食指垂直。
3. 拇指所指的方向就是磁力 \(\vec F\) 的方向。

对负电荷而言，先找出正电荷所受力的方向，再把方向反转。

在考试压力下，这最后一步通常比尝试使用某种特殊的左手定则更可靠。

电荷的正负只改变方向，不改变大小

假设一个质子和一个电子具有相同速率，并以相同方向穿过同一磁场。

它们电荷量的大小相等：

\[ |q_p|=|q_e|=1.60\times10^{-19}\text{ C}. \]

因此，两者所受磁力的大小相同。

但由于它们的电荷符号相反，力的方向也相反。

这就是为甚么在纯量的力计算中直接代入电子的负电荷可能会令人误解。力的大小不可能是 \(-3.0\times10^{-13}\text{ N}\)。先计算正的力值，再另外处理方向。

04如果粒子的运动方向不是与磁场成 \(90^\circ\) 呢？

这正是盲目使用 \(F=qvB\) 容易出问题的地方。

假设粒子的运动方向与磁场成 \(35^\circ\)。只有垂直于磁场的速度分量会产生力，因此磁力会小于其可能的最大值。

你可以先计算 \(v_\perp\)，也可以直接使用 \(\sin35^\circ\)。两种方法其实完全相同。

05为甚么磁场能使路径弯曲，却不改变速率

有一个很容易令人产生的直觉：如果有力作用在粒子上，那么粒子不是应该加速，就是应该减速吗？

只有当力在运动方向上或相反方向上有分量时，这才成立。

磁力与瞬时速度垂直：

\[ \vec F\perp\vec v. \]

因此，磁场改变的是速度的方向，而不是其大小。

想像用一条绳子使一个物体在水平圆周上旋转。张力会持续改变物体的运动方向，但不一定要增加物体的速率。这个类比有其限制，因为磁力并不是绳子的张力，而且它的方向由 \(q\vec v\times\vec B\) 决定，但「从侧面改变运动方向」这个概念是一样的。

这也表示磁场本身不会对带电粒子做功。

如果粒子最初以垂直于均匀磁场的方向运动，磁力会充当向心力。粒子可以沿圆形路径运动。

如果粒子同时具有某个平行于磁场的速度分量，这个平行分量会保持不变，而垂直分量则不断转向。所得的运动可以形成螺旋线。

关键原因仍然相同：

\[ F=|q|v_\perp B. \]

06不要把磁力和电力混淆

电场和磁场对电荷的作用方式不同。

电场可以对静止的电荷施力。其作用力为

\[ \vec F=q\vec E. \]

磁场则需要电荷正在运动，其作用力也取决于运动方向。

因此，电场可以更直接地改变粒子的动能。你可以在电场中的带电粒子轨迹：HSC 物理中看到这项对比。如果电场由两块平行板产生，关系 \(E=V/d\) 则在平行板之间的电场：使用 E = V/d中进一步说明。

一个实用的考试判断方式是：

07最实用的解题程序

当你看到一个运动电荷处于磁场中时，不要立即开始计算。

先问：

1. 粒子正向哪个方向运动？
2. 磁场指向哪个方向？
3. 两者之间的夹角是多少？
4. 电荷是正还是负？
5. 我需要整个速度，还是只需要 \(v_\perp\)？
6. 如果是正电荷，力会指向哪个方向？
7. 如果粒子带负电，我有没有把这个方向反转？

然后才计算力的大小。

这个次序可以避免两个常见错误：在运动方向并非垂直于磁场时仍使用 \(F=qvB\)，以及算出完全正确的力值，却把方向判断错误。

08问题与解答

问题 1

一个质子以 \(2.0\times10^6\text{ m s}^{-1}\) 向右运动，穿过一个指向纸面内、强度为 \(0.30\text{ T}\) 的均匀磁场。

计算质子所受磁力的大小和方向。

解答 1

磁力为 \(9.6\times10^{-14}\text{ N}\)，方向向上。

速度与磁场互相垂直，因此

\[ \theta=90^\circ. \]

使用质子的电荷量 \(q=1.60\times10^{-19}\text{ C}\)，

\[ \begin{aligned} F&=|q|vB\sin\theta\\ &=(1.60\times10^{-19})(2.0\times10^6)(0.30)\sin90^\circ\\ &=9.6\times10^{-14}\text{ N}. \end{aligned} \]

对正电荷而言，向右叉乘指向纸面内，所得的力向上。

一个很容易犯的错误，是因为磁场指向纸面内，就以为磁场会把质子推向纸面内或纸面外。实际上并非如此。磁力同时垂直于 \(\vec v\) 和 \(\vec B\)。

问题 2

一个电子以 \(6.0\times10^6\text{ m s}^{-1}\) 的速率沿东偏北 \(50^\circ\) 的方向运动。一个强度为 \(0.25\text{ T}\) 的均匀磁场指向东方。

另一个电子在同一磁场中具有相同速率，但沿东偏南 \(50^\circ\) 的方向运动。

对每个电子：

• 计算磁力的大小，以及
• 判断力的方向。

解释为甚么两者的速度方向不同，但所受磁力的大小却相同。

解答 2

两个电子所受的力都约为 \(1.8\times10^{-13}\text{ N}\)，但第一个电子所受的力指向纸面外，第二个则指向纸面内。

对任何一个电子而言，速度与磁场之间夹角的大小都是 \(50^\circ\)。因此，

\[ \begin{aligned} F&=|q|vB\sin\theta\\ &=(1.60\times10^{-19})(6.0\times10^6)(0.25)\sin50^\circ\\ &=1.84\times10^{-13}\text{ N}. \end{aligned} \]

所以

\[ F\approx1.8\times10^{-13}\text{ N}. \]

对第一个电子而言，相关的垂直速度分量指向北方。向北叉乘向东，对正电荷会得到指向纸面内的力。电子带负电，因此它所受的力指向纸面外。

对第二个电子而言，垂直分量指向南方。向南叉乘向东，对正电荷会得到指向纸面外的力，因此电子所受的力指向纸面内。

一个很容易走错的思路，是认为速度方向改变就必定会改变力的大小。真正重要的是垂直速度分量的大小。两个粒子都有

\[ v_\perp=v\sin50^\circ, \]

因此它们所受磁力的大小完全相同。把这个垂直分量的方向反转，就会使力的方向反转。

问题 3

一个带单位正电荷的离子在一个均匀的 \(0.80\text{ T}\) 磁场中运动。它的速度由以下两部分组成：

• \(3.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\)，平行于磁场，以及
• \(4.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\)，垂直于磁场。

离子的电荷为 \(+1.60\times10^{-19}\text{ C}\)。

计算磁力的大小。然后解释磁场是否会改变：

1. 平行速度分量，
2. 垂直速度分量的大小，以及
3. 离子的总速率。

解答 3

磁力为 \(5.1\times10^{-14}\text{ N}\)。平行速度保持不变，垂直速度的方向改变但大小不变，而总速率保持不变。

只有垂直分量会产生磁力，因此

\[ \begin{aligned} F&=|q|v_\perp B\\ &=(1.60\times10^{-19})(4.0\times10^5)(0.80)\\ &=5.12\times10^{-14}\text{ N}. \end{aligned} \]

因此，

\[ F\approx5.1\times10^{-14}\text{ N}. \]

\(3.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\) 的平行分量不会产生磁力，因此保持不变。

垂直分量会受到磁力持续转向。它的方向改变，但大小仍然是 \(4.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\)。

初始总速率为

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(3.0\times10^5)^2+(4.0\times10^5)^2}\\ &=5.0\times10^5\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

这个总速率也保持不变，因为磁力始终垂直于瞬时速度，因此不做功。

一个很容易犯的错误，是说垂直分量「因为磁力与它相反，所以会减小」。实际上并不会。磁力是不断使这个分量旋转，而不是沿著它本身的方向与它相反。把不变的平行运动与旋转中的垂直运动结合起来，就会形成螺旋轨迹。

问题 4

在纸面平面内使用一个 \(x\)-\(y\) 坐标系。

一个正粒子从原点进入均匀磁场，沿 \(+x\) 方向运动。磁场指向纸面内。它的路径半径为 \(R\)。

在恰好完成四分之一圆周后，它到达 \((R,R)\)，并沿 \(+y\) 方向运动。此时，它突然越过边界进入第二个区域，该区域的磁场大小相同，但方向指向纸面外。

假设不存在边缘磁场效应。

一名学生提出：

把磁场方向反转就会令力的方向反转，所以粒子一定会沿著刚才的圆形路径原路返回。

判断这个说法是否正确。找出粒子新的圆形路径的圆心、再完成四分之一圆周后的位置，以及当时的运动方向。

解答 4

这个说法不正确。新圆的圆心是 \((2R,R)\)。再完成四分之一圆周后，粒子位于 \((2R,2R)\)，并沿 \(+x\) 方向运动。

在第一个区域中，粒子最初沿 \(+x\) 方向运动，而磁场指向纸面内。对正电荷而言，磁力指向 \(+y\)，所以路径向上弯曲。

在 \((R,R)\) 处，粒子的速度方向为 \(+y\)。

越过边界并不会瞬间使这个速度反向。这就是学生的论证所忽略的关键限制。磁场改变的是加速度，而不是粒子原有的速度。

刚进入第二个区域时：

• \(\vec v\) 指向 \(+y\)，
• \(\vec B\) 指向纸面外。

对正电荷而言，\(+y\) 叉乘指向纸面外，所得的力指向 \(+x\)。

这个力是向心力，因此新圆形路径的圆心必须位于粒子右方一个半径 \(R\) 的位置：

\[ (R,R)+(R,0)=(2R,R). \]

磁场大小、电荷量和速率都没有改变，因此曲率半径仍然是 \(R\)。

粒子从这个新圆的最左端 \((R,R)\) 出发，速度向上，并沿顺时针方向运动。完成该圆的四分之一圆周后，它到达

\[ (2R,2R) \]

而其切线速度指向 \(+x\)。

为甚么它不会沿旧路径返回？若要原路返回，粒子在 \((R,R)\) 处的速度必须沿著旧圆向下。把 \(\vec B\) 反转会使磁加速度反向，但不会使 \(\vec v\) 反向。因此，粒子会在另一侧沿著新的相切圆弧开始运动。

问题 5

一群电荷正负未知的粒子向右进入一个区域。均匀磁场指向纸面内，而均匀电场指向下方。

当速率为 \(v_0\) 时，粒子不发生偏转，直接穿过该区域。

然后调整粒子源，使粒子以 \(1.20v_0\) 的速率进入，运动方向仍然向右。这些较快的粒子最初向下偏转。

其中一个粒子开始弯曲后，其速度仍然主要指向右方，但已获得一个很小的向下速度分量。

回答以下所有问题：

1. 推导 \(v_0\)、电场强度 \(E\) 和磁场强度 \(B\) 之间的关系。
2. 单凭粒子在 \(v_0\) 时不偏转的运动，能否判断粒子带正电还是负电？
3. 利用在 \(1.20v_0\) 时观察到的向下偏转，判断电荷的正负。
4. 假设粒子获得少量向下速度分量后，电场突然被关闭。此时磁力具有一个向左的分量。这个向左分量会令粒子的速率降低吗？
5. 如果电场没有被关闭，当向下速度分量形成后，判断电场最初会使粒子的动能增加还是减少。

解答 5

粒子带负电，\(v_0=E/B\)，磁场本身不能改变它们的速率，而当粒子开始有部分速度向下时，电场最初会使它们的动能减少。

对最初不偏转的粒子束而言，电力和磁力的大小必须相等：

\[ F_E=F_B. \]

由于粒子进入时的运动方向垂直于磁场，

\[ |q|E=|q|v_0B. \]

约去 \(|q|\) 后得到

\[ v_0=\frac{E}{B}. \]

直线路径并不能显示电荷的正负。

要理解原因，先假设粒子带正电。它向右运动，而 \(\vec B\) 指向纸面内，因此磁力向上。它所受的电力则向下。两个力可以互相抵消。

现在把电荷符号反转。两个力都会反向：磁力向下，电力向上。它们仍然互相抵消。

因此，当粒子以选择器速率运动而不偏转时，我们可以知道它的速率，却不能知道它带正电还是负电。很容易有人得出「力的方向是这样，所以粒子一定带正电」这个结论，但这忽略了当 \(q\) 的符号改变时，两个力都会同时反向。

现在把速率增加到 \(1.20v_0\)。

电力的大小仍然是

\[ F_E=|q|E. \]

磁力则变成

\[ F_B=|q|(1.20v_0)B. \]

由于 \(v_0B=E\)，

\[ F_B=1.20|q|E. \]

此时磁力大于电力。

对正粒子而言，较大的磁力会指向上方，产生向上的合偏转。实际观察到的偏转却向下，因此粒子必定带负电。

现在考虑稍后的一刻，此时负粒子同时向右运动，并有少量向下运动。

如果关闭电场，就只剩下磁力。由于速度已不再完全水平，磁力方向也不再完全垂直。对这个负粒子而言，磁力同时具有向左和向下的分量。

看到向左的力分量时，很容易作出这样的结论：「粒子正在向右运动，所以这个分量一定会令它减速。」

但这只考虑了运动的一个分量。

粒子同时具有向下的速度分量，而磁力也有相应的向下分量。这两方面配合起来，使完整的磁力仍然恰好垂直于完整的速度。

因此，磁场不做功，也不能改变粒子的总速率。当轨迹弯曲时，它会使速度在水平与垂直方向之间重新分配，但

\[ |\vec v| \]

保持不变。

最后，让电场保持开启。

电场指向下方，但粒子带负电，因此它所受的电力指向上方。此时粒子已有一个向下的速度分量，因此电力有一个与粒子运动方向相反的分量，并在最初做负功。

粒子的动能开始减少。

这就是概念上的关键：磁力可以具有一个与某个坐标方向的速度分量相反的分量，却不会降低总速率，因为完整的磁力仍然垂直于完整的速度。电力则没有这种限制，因此可以改变粒子的动能。

理解这项差异后，你就能从个别的 \(F=qvB\sin\theta\) 计算，进一步预测粒子在电场和磁场同时存在时的完整带电粒子轨迹。