变压器中的不完全磁通链结与漏磁通

一个接上 240 V 电源、匝数比为 10:1 的变压器，似乎会给出一个很整齐的预测：次级电压为 24 V。但这个预测其实默默假设了一件重要的事。它假设造成初级电动势的变化磁通量，也同样链结次级绕组。

现在假设有一部分磁场绕著初级绕组形成回路，并在没有穿过次级绕组的情况下闭合。匝数比没有改变。那么次级仍应该像理想变压器一样运作吗？不应该。两个线圈已不再共享全部相同的变化磁通量。

这种没有被共同链结的磁通量，就是漏磁通背后的概念。

01匝数比取决于共同链结的磁通量

先从法拉第定律开始。穿过线圈的磁通量发生变化时，会产生感应电动势：

\[ \varepsilon=-N\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \]

其中：

• \(\varepsilon\) 是以伏特（V）为单位的感应电动势，
• \(N\) 是匝数，
• \(\Delta \Phi\) 是穿过每一匝的磁通量变化，单位为韦伯（Wb），以及
• \(\Delta t\) 是以秒（s）为单位的时间间隔。

负号来自楞次定律，表示感应电动势的方向。当我们只需要大小时，可以使用绝对值来计算。

如果你对磁通量本身的概念还不太熟悉，可以先复习 HSC 物理的磁通量：使用 Φ = BA cos θ。

对理想变压器而言，相同的变化铁心磁通量 \(\Phi_m\) 会链结两个绕组的每一匝。因此

\[ |\varepsilon_p|=N_p\left|\frac{\Delta \Phi_m}{\Delta t}\right| \]

以及

\[ |\varepsilon_s|=N_s\left|\frac{\Delta \Phi_m}{\Delta t}\right|. \]

这里，\(N_p\) 和 \(N_s\) 分别是初级与次级的匝数。

两条方程中的磁通量变化项完全相同，因此可以约掉：

\[ \frac{|\varepsilon_s|}{|\varepsilon_p|} = \frac{N_s}{N_p}. \]

这就是 HSC 物理的理想变压器电压与匝数比 中说明的熟悉理想变压器关系。

但要注意，之所以能够约掉，是因为两个绕组必须链结相同的变化磁通量。

02漏磁通究竟是甚么

磁力线会形成闭合回路。铁磁性变压器铁心提供的路径比空气容易得多，因此大部分磁通量都会沿著铁心通过。

但「大部分」并不等于「全部」。

有些磁通量可能会在某个绕组附近形成较小的回路，而不是沿著铁心走得足够远去链结另一个绕组。这就是漏磁通。

一个有用的想像方式，是把它看成有两个车站的环状铁路。主要磁通，也就是互磁通，会沿著路线经过初级与次级两个「车站」。漏磁通则走其中一个车站附近的局部支线，之后重新汇入，却完全不经过另一个车站。

这个比喻有助于理解几何关系，但不要把它延伸得太过头。磁通量并不是一群小物体沿著铁心流动。

互磁通与漏磁通

把磁场分成两个概念会很有帮助。

互磁通会链结两个绕组。这就是把电磁效应从一个绕组传递到另一个绕组的磁通量。

漏磁通会链结其中一个绕组，却没有完全链结另一个绕组。

当次级向负载供电时，电流也会流过次级绕组。这股电流会产生自己的磁场，因此也可能存在次级漏磁通。

所以，变压器实际上并不是只有一个被完美限制在铁心内的磁场。实用的理想模型会如此处理，是因为在设计良好的变压器中，互磁通占主导地位。

03磁通链结才是法拉第定律真正关注的量

其实还有一种稍微更精确的方法来描述这个问题。

对线圈而言，磁通链结写作 \(\lambda\)。如果全部 \(N\) 匝都链结相同的磁通量 \(\Phi\)，

\[ \lambda=N\Phi. \]

法拉第定律便可以写成

\[ \varepsilon=-\frac{\Delta \lambda}{\Delta t}. \]

这一点很重要，因为耦合不佳的绕组中，不一定每一匝都链结完全相同的磁通量。

在最一般的情况下，

\[ \lambda=\Phi_1+\Phi_2+\Phi_3+\cdots+\Phi_N, \]

其中 \(\Phi_1,\Phi_2,\ldots\) 是分别链结各匝的磁通量。

在一般的 HSC 计算题中，通常会给你较简单的情况，也就是每一个次级线圈匝都链结相关磁通量的某个指定比例。假设这个比例是 \(f\)，其中 \(0\leq f\leq1\)。那么

\[ \Phi_{\text{链结}}=f\Phi \]

以及

\[ |\varepsilon_s| = N_s f\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|. \]

如果 \(f=1\)，全部该磁通量都链结次级。如果 \(f=0.94\)，则有 94% 链结次级，而 6% 沿著漏磁路径通过。

当题目明确给出磁通链结百分比时，这个 \(f\) 是很有用的计算模型。不要在每一个真实变压器的电压比中，都自动乘上一个猜测的漏磁百分比。在实际变压器中，绕组电阻、铁心行为、漏感、负载电流以及施加在初级的电压都会彼此影响。

04为甚么变压器设计会改变耦合

耦合描述由一个绕组产生的变化磁场，能多有效地链结另一个绕组。

强耦合表示大部分相关的变化磁通量都是共同共享的。弱耦合表示有更多磁通量形成局部漏磁路径。

现在你可以预测基本的设计策略。如果漏磁通是进入某些路径、因而错过另一个绕组的磁场，那么良好的变压器应该让共同路径在磁性上更容易通过，并让两个绕组都靠近这条路径。

最后两列的区别很重要。

学生可能会推理：「叠片铁心能提高变压器效率，所以叠片一定能阻止漏磁通。」这听起来似乎合理，因为两者都是非理想变压器行为的例子。

但叠片主要针对的是另一个问题。变化磁通量会在导电铁心内感应出不需要的涡电流。把铁心分成彼此绝缘的薄片，会使这些电流回路较难形成。

漏磁通主要是磁场几何与耦合的问题。

05为甚么把绕组放得更近会有帮助

想像初级与次级分别绕在一个大型铁心窗口的两侧。大部分磁通量仍然沿著铁心通过，但每个绕组周围有很多空间可以形成局部磁场。

现在把两个绕组移到同一个铁心柱上，并让其中一个同心地绕在另一个外面。

在继续阅读之前，先预测一下：能够链结一个绕组却不链结另一个绕组的磁通量会有甚么变化。

它会减少。

现在两个绕组几乎位于相同的磁场区域。穿过其中一个绕组的磁场，也更有可能同时穿过另一个绕组。

这并不表示工程师只要把绕组尽可能用力挤在一起就可以了。真实变压器还需要电气绝缘、冷却、机械强度，以及不同电压之间的安全隔离。良好的设计是一种折衷，而不是一场把间隙做到最小的比赛。

06漏磁通并不是能量被「用掉」

另一个很容易产生的想像是：磁通量离开初级，其中一部分把能量传送到次级，而剩下的某部分则以某种方式被浪费了。

磁通量不是燃料。

次级绕组不会消耗磁通量。真正重要的是，变化磁场是否足够强地链结该绕组，以产生所需的感应电动势。

「漏磁通」这个名称描述的是磁场的路径与链结方式，而不是某种从容器中漏出的物质。

07更好的耦合不会自动产生完美变压器

假设两个绕组有近乎完美的磁通链结。那么这个变压器现在就是理想变压器了吗？

不一定。

它仍然可能具有：

• 绕组中的铜线电阻，
• 铁心中的涡电流损耗，
• 磁滞损耗，
• 发热，
• 在不合适运作条件下的铁心饱和，或
• 随负载而变的电压降。

更好的耦合只会消除其中一种非理想行为来源。它不会消除全部非理想效应。

在带负载时，这一点尤其重要。漏磁通与漏感有关，而漏感可以在电流变化时造成电压降。这也是为甚么真实变压器在负载吸取更多电流时，端电压可能下降的原因之一。

08问题与解答

问题 1

一个次级线圈有 300 匝。与初级相关的磁通量在 \(4.0\text{ ms}\) 内变化 \(0.40\text{ mWb}\)。只有 90% 的变化磁通量链结每一个次级匝。

计算次级平均感应电动势的大小。

解答 1

平均感应电动势为 \(27\text{ V}\)。

只有题目所给磁通量变化的 90% 链结次级，因此

\[ |\Delta\Phi_{\text{链结}}| = 0.90(0.40\times10^{-3}) = 3.6\times10^{-4}\text{ Wb}. \]

法拉第定律给出

\[ |\varepsilon| = N\frac{|\Delta\Phi_{\text{链结}}|}{\Delta t} = 300 \frac{3.6\times10^{-4}}{4.0\times10^{-3}} = 27\text{ V}. \]

一个很容易犯的错误，是直接把完整的 \(0.40\text{ mWb}\) 代入法拉第定律。这样就等于假设磁通完全链结，即使题目已明确告诉我们，有 10% 的变化磁通量并没有链结次级。

问题 2

一个 500 匝的次级绕组装在变压器铁心上。在某个 \(2.0\text{ ms}\) 的时间间隔内，相关总铁心磁通量变化的大小为 \(0.30\text{ mWb}\)。

在原本的配置中，这个变化只有 \(0.22\text{ mWb}\) 链结每一个次级匝。把绕组重新配置成同心地位于同一铁心柱上之后，每一匝链结的磁通量变为 \(0.29\text{ mWb}\)。

计算：

• 重新配置前后，未能链结次级的变化磁通量百分比，
• 每种配置下的平均次级电动势，以及
• 完全链结时会产生的平均电动势。

解释为甚么只把原来的铁心做成叠片结构，不一定会带来相同程度的改善。

解答 2

漏磁比例从约 \(26.7\%\) 降至 \(3.3\%\)，而平均感应电动势从 \(55.0\text{ V}\) 上升至 \(72.5\text{ V}\)。完全链结时则会得到 \(75.0\text{ V}\)。

重新配置前，链结比例为

\[ \frac{0.22}{0.30}=0.733. \]

因此未能链结的比例为

\[ 1-0.733=0.267, \]

也就是约 \(26.7\%\)。

重新配置后，

\[ \frac{0.29}{0.30}=0.967, \]

所以漏磁比例为

\[ 1-0.967=0.033, \]

也就是约 \(3.3\%\)。

对原来的配置而言，

\[ |\varepsilon_{\text{之前}}| = N\frac{|\Delta\Phi_{\text{链结}}|}{\Delta t} = 500 \frac{0.22\times10^{-3}}{2.0\times10^{-3}} = 55.0\text{ V}. \]

重新配置后，

\[ |\varepsilon_{\text{之后}}| = 500 \frac{0.29\times10^{-3}}{2.0\times10^{-3}} = 72.5\text{ V}. \]

如果完全链结，

\[ |\varepsilon_{\text{完全}}| = 500 \frac{0.30\times10^{-3}}{2.0\times10^{-3}} = 75.0\text{ V}. \]

重要的设计改变是绕组之间的磁性距离减少。同心绕组更有可能链结相同的磁场。

一个很容易采取的错误思路，是认为任何已知能「改善变压器」的改变，都一定能改善耦合。叠片主要抑制铁心中的涡电流。除非它同时以相关方式改变磁场几何或铁心的有效性质，否则它并不能直接解决因绕组位置不佳而形成的大型漏磁路径。

问题 3

一个 \(800:80\) 的变压器接到 \(240\text{ V}\) 交流电源。

理想匝数比表示次级电压应为 \(24.0\text{ V}\)。测得的空载次级电压为 \(23.8\text{ V}\)。

接上一个 \(6.0\,\Omega\) 的电阻性负载后，端电压降至 \(22.2\text{ V}\)，而次级电流为 \(3.70\text{ A}\)。次级绕组电阻为 \(0.20\,\Omega\)。

在这项估算中，假设测得的空载电压已包含接上负载之前存在的各种效应，并把随负载而变的电压降视为纯量。

判断接上负载后新增的电压下降中，有多少可以由次级绕组电阻解释。剩余多少电压下降需要由其他随负载而变的效应解释，包括与漏磁有关的效应及初级绕组的电压降？

解释为甚么把 \(24.0\text{ V}\) 与 \(22.2\text{ V}\) 之间的全部差值都描述成漏磁通所造成，会是不正确的。

解答 3

次级铜线电阻可解释 \(1.60\text{ V}\) 负载相关下降中的 \(0.74\text{ V}\)，因此约有 \(0.86\text{ V}\) 留给这个简化模型中的其他效应。

空载次级电压为 \(23.8\text{ V}\)。接上负载后，它变成 \(22.2\text{ V}\)。

因此，与加上负载相关的额外下降为

\[ \Delta V_{\text{负载}} = 23.8-22.2 = 1.6\text{ V}. \]

次级绕组的电阻性电压降为

\[ V_R=IR=(3.70)(0.20)=0.74\text{ V}. \]

因此剩余部分为

\[ 1.60-0.74=0.86\text{ V}. \]

根据题目的假设，这个 \(0.86\text{ V}\) 代表其他尚未个别指定的随负载而变效应。这些效应可以包括与漏感有关的效应，以及初级绕组中的电压降。

一个很容易产生的错误论证是

\[ 24.0-22.2=1.8\text{ V}, \]

然后声称整个 \(1.8\text{ V}\) 都是由漏磁通造成的。

这个结论没有充分依据。

第一，在接上负载之前，变压器的电压已经是 \(23.8\text{ V}\)。第二，一旦电流流动，已知的次级电阻本身就会造成 \(0.74\text{ V}\) 的电压降。漏磁只是多种非理想效应中的其中一种。

如果把绕组移得更近，而它们的电阻维持不变，与漏磁相关的电压降部分应该会减少。铜线造成的电压降不会自动消失。在真实电路中，端电压的改变也可能改变电流，因此若要作出完全精确的预测，就必须重新计算完整的带负载电路。

问题 4

一个 200 匝的次级绕组制作得很差。

在它的各匝中：

• 150 匝各自链结变化铁心磁通量的 98%，以及
• 50 个位置偏移的线圈匝各自只链结变化铁心磁通量的 50%。

在 \(5.0\text{ ms}\) 的时间间隔内，铁心磁通量变化的大小为 \(0.40\text{ mWb}\)。

计算整个 200 匝绕组两端的平均感应电动势。

接著把那 50 个位置偏移的线圈匝移动，使它们各自能链结变化铁心磁通量的 90%，其他条件全部保持不变。求新的电动势。

解释为甚么一开始直接使用 \(N\Phi\)，并假设全部 200 匝具有单一相同的磁通量，是没有充分根据的。

解答 4

原本的平均电动势为 \(13.76\text{ V}\)，而把耦合不佳的线圈匝移动后，电动势上升至 \(15.36\text{ V}\)。

关键在于，磁通链结必须把各个线圈匝的贡献相加。我们一开始不能假设每一匝都链结相同的 \(\Phi\)。

铁心磁通量变化率的大小为

\[ \left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| = \frac{0.40\times10^{-3}}{5.0\times10^{-3}} = 0.080\text{ Wb s}^{-1}. \]

对原本的绕组而言，150 个耦合良好的线圈匝提供的有效链结匝数因子为

\[ 150(0.98)=147. \]

50 个位置偏移的线圈匝提供

\[ 50(0.50)=25. \]

因此总有效链结匝数因子为

\[ 147+25=172. \]

所以，

\[ |\varepsilon| = 172(0.080) = 13.76\text{ V}. \]

把那 50 个位置偏移的线圈匝移动后，

\[ 50(0.90)=45, \]

所以新的有效链结匝数因子为

\[ 147+45=192. \]

新的电动势为

\[ |\varepsilon| = 192(0.080) = 15.36\text{ V}. \]

作为比较，如果全部 200 匝都完全链结，则会得到

\[ |\varepsilon|=200(0.080)=16.0\text{ V}. \]

一个很容易采用的做法，是因为 \(\lambda=N\Phi\) 是熟悉的磁通链结形式，所以立即写下这条式子。但只有在全部 \(N\) 匝都链结相同磁通量时，\(N\Phi\) 才能直接使用。

这里并非如此。

更基本的概念是

\[ \lambda=\sum \Phi_i. \]

把不同的链结量合并后，我们可以用以下有效链结比例来描述原本的绕组：

\[ \frac{172}{200}=0.86, \]

但这个 86% 是不均匀几何配置所导致的结果，而不是我们事前有理由直接假设的数值。

问题 5

两个变压器具有相同的 \(10:1\) 匝数比，而且都接到相同的 \(240\text{ V}\) 电源。

在这个刻意简化的模型中，把 \(f\) 定义为有效磁通链结比例，并把次级近似为一个内部电动势

\[ E=f\left(\frac{N_s}{N_p}\right)V_p \]

与指定的等效电阻 \(R_{\text{int}}\) 串联。

变压器 A 具有

\[ f_A=0.995, \qquad R_{\text{int},A}=1.40\,\Omega. \]

变压器 B 具有

\[ f_B=0.970, \qquad R_{\text{int},B}=0.15\,\Omega. \]

每个变压器分别接上一个 \(8.0\,\Omega\) 的电阻性负载。

求：

• 每个变压器的内部次级电动势，
• 每个变压器带负载时的端电压，
• 哪一个变压器具有较大的负载电压，以及
• 在这个模型中，两个变压器产生相同端电压时的负载电阻。

解释为甚么这个结果不会与「较强的磁耦合是理想的」这个说法矛盾。

解答 5

即使变压器 A 具有较好的磁通链结，变压器 B 在 \(8.0\,\Omega\) 负载两端仍提供较大的电压。当负载电阻约为 \(48.4\,\Omega\) 时，两者会产生相同的端电压。

这里的关键转折是：较强的耦合会改善变压器行为中的一个部分，但它不一定能压过所有其他非理想因素。

两个变压器都有

\[ \frac{N_s}{N_p}=\frac{1}{10}. \]

对变压器 A 而言，

\[ E_A = 0.995 \left(\frac{1}{10}\right) (240) = 23.88\text{ V}. \]

对变压器 B 而言，

\[ E_B = 0.970 \left(\frac{1}{10}\right) (240) = 23.28\text{ V}. \]

因此在没有接上负载时，A 的次级电动势较大。

接上 \(8.0\,\Omega\) 负载后，在这个模型中，负载与内部电阻形成分压器。

对变压器 A 而言，

\[ V_A = 23.88 \left( \frac{8.0}{8.0+1.40} \right) = 20.32\text{ V}. \]

对变压器 B 而言，

\[ V_B = 23.28 \left( \frac{8.0}{8.0+0.15} \right) = 22.85\text{ V}. \]

因此 B 提供较大的负载电压：

\[ 22.85\text{ V}>20.32\text{ V}. \]

若要找出两者输出相等时的负载电阻 \(R_L\)，

\[ 23.88 \frac{R_L}{R_L+1.40} = 23.28 \frac{R_L}{R_L+0.15}. \]

对非零负载电阻，可约去 \(R_L\)：

\[ \frac{23.88}{R_L+1.40} = \frac{23.28}{R_L+0.15}. \]

交叉相乘得到

\[ 23.88(R_L+0.15) = 23.28(R_L+1.40). \]

因此，

\[ 23.88R_L+3.582 = 23.28R_L+32.592, \]

所以

\[ 0.60R_L=29.010 \]

以及

\[ R_L=48.35\,\Omega. \]

因此交会点约为

\[ R_L=48.4\,\Omega. \]

一个很容易得出的结论是：因为 \(99.5\%\) 的链结比 \(97.0\%\) 更接近理想状况，所以变压器 A 一定永远「更好」。

这忽略了另一项限制。变压器 A 也具有大得多的内部电阻。在相对较重的负载下，它的电阻性电压降大到足以抵消它在耦合方面的优势。

在很轻的负载下，也就是 \(R_L\) 很大、电流很小时，电阻性电压降变得较不重要，而 A 较强的耦合会使它具有较大的电压。在 \(8.0\,\Omega\) 时，B 小得多的内部电阻影响更大。

这并不矛盾。更好的耦合是理想的，因为它减少其中一个非理想行为来源。完整的变压器设计仍然必须控制绕组电阻、铁心损耗、发热、饱和、绝缘及其他效应。

09不完全链结接下来可以解释甚么

理想匝数比之所以成立，是因为两个绕组共享相同的变化磁通量。漏磁通透过形成对其中一个绕组链结较强、而对另一个较弱的磁场路径，破坏了这个完全相同的假设。

这给你一套有用的判断准则：

• 如果问题在问有多少变化磁通量链结某个绕组，先从法拉第定律与磁通链结开始；
• 如果两个绕组的全部线圈匝都共享相同的变化磁通量，就可以得到理想匝数比；
• 如果有部分磁通量错过另一个绕组，在计算感应电动势之前，先找出实际链结的磁通量；
• 如果问题涉及真实变压器在带负载时的端电压，不要把每一个电压下降都归咎于漏磁–电阻及其他非理想效应也可能很重要。

下一步，是把漏磁通与漏感和电压调整率连结起来。到了这里，不完全磁耦合就不再只是一张磁场示意图，而开始解释为甚么变压器的输出会随著负载改变而变化。