HSC 物理中的热平衡与净能量流动
了解热平衡的真正含义、为甚么相同温度会令净能量流动为零，以及如何解答平衡温度问题。
把一支烫热的金属汤匙放进一杯凉水中。汤匙会降温，水则会升温。这部分很容易预测。
但当它们达到相同温度后，会发生甚么事？能量传递会完全停止，还是粒子仍会彼此交换能量，只是各方向的传递互相平衡？
第二种情况更接近真实情形。热平衡表示系统之间没有净热能传递。 相同温度就是产生这种平衡的条件。
这项区别很重要，因为「没有净能量流动」并不等于「甚么都没有发生」。
01先从能量流动的方向开始
想像两个互相接触的固体方块。
- 方块 A 的温度为 \(80^\circ\text{C}\)。
- 方块 B 的温度为 \(20^\circ\text{C}\)。
在继续阅读之前，先预测会发生甚么事。热能会从 A 传到 B、从 B 传到 A，还是两个方向都会传递？
在宏观尺度上，最实用的答案是：热能会由较热的方块传递到较冷的方块。方块 A 失去能量并降温；方块 B 获得能量并升温。
这个过程会持续到两者达到相同温度为止。
关键的字是净。
在微观尺度上，交界面的粒子会以两个方向互相作用。能量可以由 A 中的一个粒子传给 B 中的一个粒子，也可以由 B 传回 A。不过，当 A 比较热时，整体而言，这些传递并不平衡。由 A 传到 B 的能量比由 B 传到 A 的更多。
当两个系统达到相同温度后，这些微观能量交换在平均而言会互相平衡。此时，热能传递不再有偏向某一方向的趋势。
02相同温度实际上代表甚么
温度并不是「物体含有多少热」的量度。
物体并不含有热。热是因温度差而传递的能量。
相反，温度描述的是系统的热状态。在 HSC 程度所使用的粒子模型中，温度与粒子的平均动能有关。你可以在 HSC 物理中的温度与平均动能 中重温这项关系。
现在考虑两个温度相同的物体。
一个温度为 \(25^\circ\text{C}\) 的大型游泳池，所含的内能远多于一茶匙同样为 \(25^\circ\text{C}\) 的水。然而，如果能以某种方式让这茶匙水与游泳池保持可区分的同时彼此热接触，就会没有因温度差而产生的净热能传递。
为甚么？因为它们的温度本来就相同。
所以，相同温度并不代表：
- 质量相同，
- 内能相同，
- 粒子的总动能相同，或
- 热容量相同。
它表示系统之间没有温度差来驱动净热能传递。
03热平衡
当两个系统彼此热接触，而且由于温度相同而没有净热能传递时，它们就处于热平衡。
一个有用的心智模型，是想像两个人不断隔著桌子互相传硬币。
如果一个人每分钟交出 20 枚硬币，却只收到 8 枚，那么就会有每分钟 12 枚硬币朝一个方向的净流动。如果两人各自每分钟向对方交出 15 枚硬币，硬币仍然在移动，但净流量为零。
这个类比并不完全成立，因为微观的能量传递并不是真的由一个个人选择把一份份能量来回传递。真正有用的部分，只是「相反方向的传递可以同时发生，而它们的净效果为零」这个概念。
在热平衡时，
\[ T_A = T_B \]
其中 \(T_A\) 和 \(T_B\) 分别是系统 A 和 B 的温度。
其结果是
\[ Q_{\text{A 与 B 之间的净传递}} = 0 \]
随时间平均而言成立。
这里的 \(Q\) 代表所传递的热能，单位为焦耳（\(\text{J}\)）。
04相同温度是终点，不一定是起始条件
假设把一块 \(90^\circ\text{C}\) 的金属放入 \(20^\circ\text{C}\) 的水中，而两者位于一个隔热良好的容器内。
只要符合以下条件，最终温度必须介乎 \(20^\circ\text{C}\) 和 \(90^\circ\text{C}\) 之间：
- 没有发生相变，
- 没有显著能量进入或离开容器，而且
- 没有其他能量传递，例如电加热。
金属失去热能。水获得热能。
在平衡时，
\[ Q_{\text{失去}} = Q_{\text{获得}} \]
两者的大小相等。
较严谨的带正负号表示法是
\[ Q_{\text{金属}} + Q_{\text{水}} = 0 \]
因为其中一个 \(Q\) 为负，另一个为正。
如果没有发生相变，我们可以使用
\[ Q = mc\Delta T \]
其中：
- \(Q\) 是所传递的热能，单位为焦耳（\(\text{J}\)），
- \(m\) 是质量，单位为千克（\(\text{kg}\)），
- \(c\) 是比热容，单位为焦耳每千克每开尔文（\(\text{J kg}^{-1}\text{K}^{-1}\)），
- \(\Delta T = T_f-T_i\) 是温度变化，而
- \(T_f\) 和 \(T_i\) 分别是最终温度和初始温度。
\(1^\circ\text{C}\) 的温差与 \(1\text{ K}\) 的温差大小相同，因此在表示 \(\Delta T\) 时可以使用任何一种单位。
如需更完整地了解这条方程式，请参阅 比热容：在 HSC 物理中使用 Q = mcΔT。
例题：混合等质量的水
在一个完全隔热的容器中，将 \(0.20\text{ kg}\)、温度为 \(70^\circ\text{C}\) 的水，与 \(0.20\text{ kg}\)、温度为 \(30^\circ\text{C}\) 的水混合。求平衡温度。假设没有水蒸发。
步骤 1
热水必须降温，冷水必须升温。由于两份水的质量相同，而且是同一种物质，因此它们的热容量相同。
所以，我们应预期最终温度位于 \(70^\circ\text{C}\) 和 \(30^\circ\text{C}\) 的正中间。
步骤 2
热水失去的总热能等于冷水获得的总热能：
\[ m c (70-T_f) = m c (T_f-30) \]
共同因子 \(m\) 和 \(c\) 可以约去：
\[ 70-T_f = T_f-30 \]
步骤 3
\[ \begin{aligned} 100 &= 2T_f \\ T_f &= 50^\circ\text{C} \end{aligned} \]
所以，平衡温度为
\[ \boxed{50^\circ\text{C}} \]
两份水最后都达到 \(50^\circ\text{C}\)。当它们达到这个温度后，两者之间便没有净热能传递。
注意为甚么这里会得到 \(50^\circ\text{C}\)。这并不只是因为「答案永远都是平均值」。之所以成立，是因为两份水的质量相同，而且比热容也相同。
05平衡温度不一定是数值上的平均值
现在想像把较冷的水换成一种只需要较少能量便能改变温度的材料。
你还会预期最终温度恰好位于两个初始温度的正中间吗？
不会。
平衡温度取决于每个物体的热容量。对于比热容保持不变的物体，其热容量为
\[ mc \]
乘积 \(mc\) 告诉我们，要使物体的温度改变一度需要多少能量。
\(mc\) 较大的物体较难改变温度。它会使最终平衡温度更接近自己的初始温度。
例题：把铝放入水中
一块 \(0.50\text{ kg}\)、温度为 \(100^\circ\text{C}\) 的铝块，被放入 \(0.20\text{ kg}\)、温度为 \(20^\circ\text{C}\) 的水中。系统是隔热的。取
\[ c_{\text{Al}} = 900\text{ J kg}^{-1}\text{K}^{-1} \]
以及
\[ c_{\text{water}} = 4200\text{ J kg}^{-1}\text{K}^{-1}. \]
求最终平衡温度。
步骤 1
铝的热容量为
\[ m_{\text{Al}}c_{\text{Al}}=(0.50)(900)=450\text{ J K}^{-1}. \]
水的热容量为
\[ m_{\text{water}}c_{\text{water}}=(0.20)(4200)=840\text{ J K}^{-1}. \]
水具有较大的热容量。因此，水的温度较难改变，所以最终温度应该更接近 \(20^\circ\text{C}\)，而不是 \(100^\circ\text{C}\)。
在开始任何代数运算之前，这个预测可以为我们提供一项有用的检查。
步骤 2
铝会降温：
\[ Q_{\text{失去}}=m_{\text{Al}}c_{\text{Al}}(100-T_f). \]
水会升温：
\[ Q_{\text{获得}}=m_{\text{water}}c_{\text{water}}(T_f-20). \]
因此，
\[ (0.50)(900)(100-T_f) = (0.20)(4200)(T_f-20). \]
步骤 3
\[ \begin{aligned} 450(100-T_f) &= 840(T_f-20) \\ 45000-450T_f &= 840T_f-16800 \\ 61800 &= 1290T_f \\ T_f &\approx 47.9^\circ\text{C} \end{aligned} \]
所以，
\[ \boxed{T_f \approx 48^\circ\text{C}} \]
结果符合我们的预测。最终温度更接近水的初始温度 \(20^\circ\text{C}\)，因为水具有较大的热容量。
06简洁的平衡方程式
对于隔热系统中的两个物体，如果没有发生相变，
\[ m_1c_1(T_f-T_1)+m_2c_2(T_f-T_2)=0 \]
其中：
- \(m_1\) 和 \(m_2\) 是质量，
- \(c_1\) 和 \(c_2\) 是比热容，
- \(T_1\) 和 \(T_2\) 是初始温度，而
- \(T_f\) 是两者共同的最终平衡温度。
这条方程式其实只是能量守恒。它并不是另一条需要另外背诵的热平衡定律。
每一项 \(mc(T_f-T_i)\) 都代表其中一个物体的能量变化。它们的总和为零，是因为在理想的隔热模型中，系统某一部分失去的能量会由另一部分获得。
07最容易出现的误解：「相同温度表示完全没有能量传递」
这个说法很接近正确，但说得太强了。
假设两个温度相同的物体彼此相对。两者都会发出热辐射，也都可以吸收对方的辐射。
所以，能量仍然可以向两个方向传递。
在平衡状态下，消失的是由温度差所造成的净传递。如果两个物体以相同的平均速率向对方传递能量，那么两者都不会因这种交换而出现净能量变化。
这就像两个同样受欢迎的人互相传送相同数量的讯息。讯息确实有在传送，但两人的未读讯息数目并不会因为这种交换而持续增加。
当你开始追问辐射或粒子碰撞的实际机制时，这个类比便不再有用。分子没有手机，这大概也是件好事。
08单有相同温度还需要考虑情境
看到两支温度计都显示 \(40^\circ\text{C}\)，并不能自动证明整个系统已处于完全的热平衡。
例如，两个物体可能在某一瞬间具有相同的测量温度，但同时：
- 其中一个正被电加热，
- 另一个正向寒冷的周围环境失去能量，或
- 其中一个物体内部存在很大的温度梯度。
它们的温度计读数在那一刻可能相同，但较大的整体系统仍然正在改变。
热平衡描述的是一种状态：在所考虑的系统内，不存在由温度差所驱动的净热能流动。
因此，你应该经常问：系统是甚么？允许哪些能量传递？
09热平衡与热力学第零定律
还有一个有用的结果。
假设物体 A 与物体 C 处于热平衡，而物体 B 也与物体 C 处于热平衡。
你可以对 A 和 B 得出甚么结论？
它们具有相同温度。因此，如果把 A 和 B 放在热接触中，它们也会彼此处于热平衡。
这就是热力学第零定律。
用符号表示，如果
\[ T_A=T_C \]
而且
\[ T_B=T_C, \]
那么
\[ T_A=T_B. \]
正是这个概念令温度计能够发挥作用。你不需要让每一个物体都直接与其他所有物体比较。你只需要让每一个物体都与同一个共同的测量系统比较。
10题目与解答
问题 1
一块温度为 \(65^\circ\text{C}\) 的铜块与另一块温度为 \(25^\circ\text{C}\) 的铜块接触。两块铜均与周围环境热隔离。
在达到平衡之前，指出净热能传递的方向。然后说明当两块铜达到相同温度后，这个净传递会发生甚么变化。
解答 1
热能会由 \(65^\circ\text{C}\) 的铜块净传递至 \(25^\circ\text{C}\) 的铜块；当两者的温度变得相同时，净传递会变成零。
温度差令热能传递具有一个优先的净方向。较热的铜块失去内能并降温，而较冷的铜块获得内能并升温。
在热平衡时，
\[ T_{\text{热}}=T_{\text{冷}}. \]
微观的能量交换仍可能同时向两个方向发生，但平均而言会互相平衡，因此没有净热能传递。
常见的错误是说所有能量传递都停止了。热平衡要求的是净传递为零，而不一定是微观能量交换完全不存在。
问题 2
在一个隔热容器中，混合两份质量相等、同一种液体，而且没有发生相变的样本。一份的初始温度为 \(18^\circ\text{C}\)，另一份为 \(62^\circ\text{C}\)。
求它们的平衡温度。
解答 2
平衡温度为 \(40^\circ\text{C}\)。
因为两份样本的质量相等，而且比热容相同，所以它们具有相同的热容量。
利用能量守恒，
\[ mc(62-T_f)=mc(T_f-18). \]
约去 \(m\) 和 \(c\)：
\[ \begin{aligned} 62-T_f &= T_f-18 \\ 80 &= 2T_f \\ T_f &= 40^\circ\text{C}. \end{aligned} \]
因此，
\[ \boxed{T_f=40^\circ\text{C}}. \]
每份样本的温度都改变 \(22^\circ\text{C}\)。较暖的样本所失去的热能，恰好等于较冷的样本所获得的热能。
这里能够使用算术平均值，只是因为两者的热容量相同。
问题 3
一个 \(0.30\text{ kg}\)、温度为 \(90^\circ\text{C}\) 的黄铜物体被放入 \(0.10\text{ kg}\)、温度为 \(20^\circ\text{C}\) 的水中。系统完全隔热。
使用
\[ c_{\text{brass}}=380\text{ J kg}^{-1}\text{K}^{-1} \]
以及
\[ c_{\text{water}}=4200\text{ J kg}^{-1}\text{K}^{-1}. \]
计算平衡温度。
解答 3
平衡温度约为 \(35^\circ\text{C}\)。
黄铜失去热能，而水获得热能。
对黄铜而言，
\[ Q_{\text{失去}} = m_{\text{b}}c_{\text{b}}(90-T_f). \]
对水而言，
\[ Q_{\text{获得}} = m_{\text{w}}c_{\text{w}}(T_f-20). \]
能量守恒给出
\[ (0.30)(380)(90-T_f) = (0.10)(4200)(T_f-20). \]
所以，
\[ \begin{aligned} 114(90-T_f) &= 420(T_f-20) \\ 10260-114T_f &= 420T_f-8400 \\ 18660 &= 534T_f \\ T_f &\approx 34.9^\circ\text{C}. \end{aligned} \]
因此，
\[ \boxed{T_f\approx35^\circ\text{C}}. \]
结果明显更接近水的初始温度。虽然水的质量较小，但水的比热容大得多，因此水具有较大的热容量：
\[ m_{\text{water}}c_{\text{water}} = (0.10)(4200) = 420\text{ J K}^{-1}, \]
相比之下，
\[ m_{\text{brass}}c_{\text{brass}} = (0.30)(380) = 114\text{ J K}^{-1}. \]
因此，水每改变一度温度所需要的能量多得多。
问题 4
一名学生说：
两个物体的温度都是 \(30^\circ\text{C}\)，所以它们一定含有相同数量的热能。
其中一个物体是一块 \(2.0\text{ kg}\) 的钢板，另一个则是一枚 \(5.0\text{ g}\) 的钢螺丝。
解释这名学生的推理有甚么问题。如果钢板和螺丝在两者都保持 \(30^\circ\text{C}\) 时彼此热接触，指出它们之间的净热能传递。
解答 4
这名学生的说法不正确。两个物体具有相同温度，但它们的内能并不相同。它们之间的净热能传递为零。
温度并不是物体所储存总能量的量度。钢板所含的物质远多于螺丝，因此包含的粒子也多得多。虽然与温度相关的平均热运动情况相同，但钢板的总内能并不等于螺丝的总内能。
由于两个物体的温度都是
\[ 30^\circ\text{C}, \]
它们之间没有温度差。因此，净热能传递没有优先方向。
所以，
\[ \boxed{Q_{\text{net}}=0}. \]
这个陷阱在于把描述热状态的温度，与还取决于物质多少及物质种类的总内能混为一谈。
问题 5
一个电加热器把物体 A 保持在恰好 \(50^\circ\text{C}\)。测得物体 B 也是 \(50^\circ\text{C}\)，但 B 正持续向一个寒冷的房间失去能量。
一名学生声称：「A 和 B 的温度相同，所以整个装置一定处于热平衡。」
评估这项说法。
解答 5
就整个装置而言，这项说法并不成立。某一瞬间温度计读数相同，并不能保证整个系统处于热平衡。
在所描述的时刻，物体 A 和 B 的温度相同，因此 A 和 B 之间单纯由两者之间的温度差所造成的净热能传递为零。
然而，较大的整体装置还包括其他能量传递。物体 A 从电加热器获得能量，而物体 B 则向周围环境失去能量。因此，这个系统并非处于不再改变的平衡状态。
若整个装置真正处于热平衡，在所考虑的系统内便不能存在由温度差所驱动的净热能流动。
这名学生推理中的隐藏假设，是认为单有相同温度便已足够，而没有检查系统边界，也没有考虑是否正发生外部能量传递。
问题 6
两个隔热物体 X 和 Y 被放在一起热接触。X 的初始温度为 \(60^\circ\text{C}\)，Y 的初始温度为 \(20^\circ\text{C}\)。
一段时间后，测得两者的温度都是 \(35^\circ\text{C}\)。
一名学生认为，这些测量结果一定不可能，因为 \(35^\circ\text{C}\) 并不是 \(20^\circ\text{C}\) 和 \(60^\circ\text{C}\) 的中点。
在不知道任何一个物体的质量或比热容的情况下，判断这名学生的结论是否合理。然后判断哪一个物体必须具有较大的热容量 \(mc\)。
解答 6
这名学生的结论并不合理，而且物体 Y 必须具有较大的热容量。
只有在两个物体的热容量相同时，最终平衡温度才需要等于两个初始温度的简单平均值。
物体 X 从 \(60^\circ\text{C}\) 降温至 \(35^\circ\text{C}\)，所以
\[ \Delta T_X=25^\circ\text{C}. \]
物体 Y 从 \(20^\circ\text{C}\) 升温至 \(35^\circ\text{C}\)，所以
\[ \Delta T_Y=15^\circ\text{C}. \]
因为系统是隔热的，
\[ Q_{\text{X 失去}}=Q_{\text{Y 获得}}. \]
因此，
\[ (m_Xc_X)(25)=(m_Yc_Y)(15). \]
整理后，
\[ \frac{m_Yc_Y}{m_Xc_X} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}. \]
所以，
\[ \boxed{m_Yc_Y=\frac{5}{3}m_Xc_X}. \]
物体 Y 具有较大的热容量。两者交换相同数量的能量时，Y 的温度变化较小。
这就是为甚么平衡温度最终会更接近 Y 的初始温度 \(20^\circ\text{C}\)，而不是 X 的初始温度 \(60^\circ\text{C}\)。
接下来很有用的一步，是把这个平衡模型与 \(Q=mc\Delta T\) 已不足以描述的情况连结起来。如果一种物质达到熔点或沸点，即使其温度保持不变，能量仍然可以继续传递。这会直接引出 潜热与相变：HSC 物理解说。