速度变化与向量相减：HSC 物理

一辆汽车正以 15 m/s 向东行驶。几秒后，它以 15 m/s 向北行驶。两次速度计显示的数值都相同。

那么，它的速度有改变吗？

在继续阅读之前，先作出预测。因为速率仍然是 15 m/s，所以很容易认为没有改变。但速度除了包含速率，也包含方向。转向北方会改变速度，即使速度的大小保持不变。

真正有用的问题不只是「物体现在移动得多快？」而是：

必须把哪一个向量加到初速度上，才能得到末速度？

这个向量就是速度变化量。

01把速度想像成箭头

速度向量可以想像成一支箭头。

• 箭头的长度代表速率。
• 箭头的方向代表运动方向。

10 m/s 向东的速度可以用一支指向东方的箭头表示。10 m/s 向北的速度具有相同的长度，但指向北方。

这表示两个物体可以有相同的速率，却有完全不同的速度。

这带出了第一个思考模型：

速度变化量就是把你从初速度箭头带到末速度箭头的那支箭头。

这个模型很有用，但有一个重要条件。初速度向量和末速度向量必须从同一个起点进行比较。

02向量相减规则

我们用 \(\vec v_i\) 表示初速度，其中 \(i\) 代表 initial（初始），并用 \(\vec v_f\) 表示末速度。

速度变化量为

\[
\Delta \vec v = \vec v_f – \vec v_i
\]

其中：

• \(\Delta\) 表示「……的变化量」
• \(\vec v\) 表示速度
• \(\vec v_i\) 是初速度
• \(\vec v_f\) 是末速度

次序很重要。

永远都是：

末速度减初速度

而不是初速度减末速度。

为甚么？把方程重新排列：

\[
\vec v_f = \vec v_i + \Delta \vec v
\]

因此，\(\Delta \vec v\) 正正就是必须加到初速度上，才能得到末速度的速度向量。

这就是向量相减的物理意义。

03一维运动：用正负号表示方向

如果物体只沿一条直线运动，只要把相反方向设定为相反的正负号，向量相减就会变成普通的减法。

例如，你可以选择：

• 东方为正
• 西方为负

你也可以选择西方为正。物理上并不在乎你选哪一个方向为正，只要求你前后保持一致。

04改变方向是学生最容易出错的情况

假设一辆手推车以 8.0 m/s 向东行驶，之后改为以 6.0 m/s 向西行驶。

一个常见的错误是：

\[
8.0-6.0=2.0\text{ m/s}
\]

这个计算只是在相减速率，完全忽略了方向。

选择东方为正。那么

\[
v_i=+8.0\text{ m/s}, \qquad v_f=-6.0\text{ m/s}
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
\Delta v &= v_f-v_i\\
&=(-6.0)-(+8.0)\\
&=-14.0\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

速度变化量是 14 m/s 向西。

想想手推车实际上必须做甚么。它首先要消除 8 m/s 的向东速度，才能达到零速度，然后再增加 6 m/s 的向西速度。因此，总速度变化量是 14 m/s 向西。

这就是为甚么带正负号的速度很重要。

05在图上进行向量相减

在二维情况下，只把一个方向设为正、另一个方向设为负已经不足够。物体可能向东北、西南或任何其他角度运动。

向量方程仍然是

\[
\Delta \vec v=\vec v_f-\vec v_i
\]

有两种实用的图像方法可以理解这个相减过程。

方法 1：把两个速度向量的尾端放在一起

从同一点画出 \(\vec v_i\) 和 \(\vec v_f\)。

然后画一支箭头：

从 \(\vec v_i\) 的箭头尖端指向 \(\vec v_f\) 的箭头尖端。

这支箭头就是 \(\Delta\vec v\)。

方向很重要。如果你把箭头从末速度画回初速度，你求得的是 \(-\Delta\vec v\)，也就是方向相反的向量。

方法 2：把减法改写成加法

向量相减永远可以改写成

\[
\Delta\vec v=\vec v_f+(-\vec v_i)
\]

向量 \(-\vec v_i\) 的大小与 \(\vec v_i\) 相同，但方向相反。

之后你就可以使用普通的首尾相接向量加法。

一个有点无厘头的记法，是想像你取消了一个晚餐计划。把原本的计划减去，并不等于假装它从未存在过。你需要一个大小相同、方向相反的「撤销计划」向量。当我们开始计算分量时，这个比喻就不再特别有用，但它能帮助你理解为甚么减去一个向量会令它的方向反转。

06比例图可以提供图解答案

如果题目要求用图解方法求速度变化量，你可以使用按比例绘制的向量图。

例如，假设比例尺是：

1 cm 代表 2 m/s

如果你量得的 \(\Delta\vec v\) 箭头长 4.5 cm，它的大小代表

\[
4.5\times2=9.0\text{ m/s}
\]

然后，你可以利用图形量度它的方向。

比例图的准确度受你绘图和量度的精确程度限制。使用分量计算通常可以得到更精确的数值答案。

不过，图形仍然非常有用，因为它能显示这个相减过程实际代表甚么。

07二维速度变化：相减各个分量

任何二维速度向量都可以分解成互相垂直的分量。

一个方便的座标系是：

• 东方为正 \(x\)
• 北方为正 \(y\)

我们可以把速度写成

\[
\vec v=(v_x,v_y)
\]

其中 \(v_x\) 是东西方向的分量，而 \(v_y\) 是南北方向的分量。

要找速度变化量，就分别相减对应的分量：

\[
\Delta v_x=v_{fx}-v_{ix}
\]

以及

\[
\Delta v_y=v_{fy}-v_{iy}
\]

因此，

\[
\Delta\vec v=(\Delta v_x,\Delta v_y)
\]

得到这些分量后，可以利用毕氏定理求其大小：

\[
|\Delta\vec v|=\sqrt{(\Delta v_x)^2+(\Delta v_y)^2}
\]

然后再利用三角学求方向。

08当速度以角度表示时

有时候，初速度或末速度并不是刚好沿水平或垂直方向。

假设一个物体以速率 \(v\)、东偏北 \(\theta\) 的方向运动。

其分量为

\[
v_x=v\cos\theta
\]

以及

\[
v_y=v\sin\theta
\]

之后便可以像之前一样相减各个分量。

09一个实用的判断规则

10最容易出现的误解：速率变化量并不等于速度变化量

考虑一个物体先以 10 m/s 向东移动，转向后以 10 m/s 向北移动。

它的速率变化量是

\[
10-10=0\text{ m/s}
\]

但它的速度变化量并不是零。

使用分量表示，

\[
\vec v_i=(10,0)\text{ m/s}
\]

以及

\[
\vec v_f=(0,10)\text{ m/s}
\]

所以

\[
\begin{aligned}
\Delta\vec v
&=(0,10)-(10,0)\\
&=(-10,10)\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

其大小为

\[
|\Delta\vec v|=\sqrt{(-10)^2+(10)^2}=14.1\text{ m/s}
\]

速率保持不变，但由于方向改变，速度其实有相当大的变化。

这一点在圆周运动中特别重要，因为物体的速率可以保持不变，但速度却持续改变。

11问题与解答

问题 1

一辆滑板车以 4.0 m/s 向西行驶，然后加速至以 10 m/s 向西行驶。求其速度变化量。

解答 1

速度变化量是 6.0 m/s 向西。

选择东方为正，因此西方为负。

\[
v_i=-4.0\text{ m/s},\qquad v_f=-10\text{ m/s}
\]

使用末速度减初速度，

\[
\begin{aligned}
\Delta v&=v_f-v_i\\
&=(-10)-(-4.0)\\
&=-6.0\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

负号表示向西。

因此，

\[
\boxed{\Delta v=6.0\text{ m/s 向西}}
\]

滑板车本来已经向西移动，而它的向西速度变得更大，所以速度变化量也必须指向西方。

问题 2

一个冰球最初以 7.0 m/s 向东移动。撞到障碍物后，它以 3.0 m/s 向西移动。求其速度变化量。

解答 2

速度变化量是 10 m/s 向西。

取东方为正。

\[
v_i=+7.0\text{ m/s},\qquad v_f=-3.0\text{ m/s}
\]

则

\[
\begin{aligned}
\Delta v&=v_f-v_i\\
&=(-3.0)-(+7.0)\\
&=-10\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

因此，

\[
\boxed{\Delta v=10\text{ m/s 向西}}
\]

最容易犯的错误是把两个速率相减，得到 4.0 m/s。这样做忽略了方向反转。冰球必须先失去 7.0 m/s 的向东速度，再增加 3.0 m/s 的向西速度。

问题 3

一个机械人的初速度为 \((3.0,4.0)\) m/s，其中正 \(x\) 方向为东方，正 \(y\) 方向为北方。它的末速度为 \((-1.0,8.0)\) m/s。

求其速度变化量的大小和方向。

解答 3

速度变化量的大小为 5.7 m/s，方向为西偏北 \(45^\circ\)。

从末速度的各分量减去初速度的各分量：

\[
\begin{aligned}
\Delta\vec v
&=\vec v_f-\vec v_i\\
&=(-1.0,8.0)-(3.0,4.0)\\
&=(-4.0,4.0)\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

其大小为

\[
\begin{aligned}
|\Delta\vec v|
&=\sqrt{(-4.0)^2+(4.0)^2}\\
&=\sqrt{32}\\
&=5.7\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

向西和向北的分量大小相等，所以方向为

\[
\theta=45^\circ
\]

西偏北。

因此，

\[
\boxed{\Delta\vec v=5.7\text{ m/s，方向为西偏北 }45^\circ}
\]

方向是由速度变化量的分量决定，而不是直接由初速度或末速度其中一个的方向决定。

问题 4

一名跑手以 5.0 m/s 向东跑，之后改为以 5.0 m/s 向北跑。一名学生说：「跑手的速度没有改变，因为速率一直保持在 5.0 m/s。」

评估这个说法，并计算速度变化量的大小。

解答 4

这个说法不正确。跑手的速度变化量是 7.1 m/s，方向为西偏北 \(45^\circ\)。

速度包含方向，因此初速率和末速率相等，并不代表初速度和末速度相等。

使用分量表示，

\[
\vec v_i=(5.0,0)\text{ m/s}
\]

以及

\[
\vec v_f=(0,5.0)\text{ m/s}
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
\Delta\vec v
&=(0,5.0)-(5.0,0)\\
&=(-5.0,5.0)\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

其大小为

\[
\begin{aligned}
|\Delta\vec v|
&=\sqrt{(-5.0)^2+(5.0)^2}\\
&=\sqrt{50}\\
&=7.1\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

大小相等的向西和向北分量给出西偏北 \(45^\circ\) 的方向。

这名学生的推理混淆了速率变化量和速度变化量。前者为零，但后者并不是零。

问题 5

一架无人机在一段 8.0 s 的时间开始时以 6.0 m/s 向东飞行。在这段时间内，它沿一条弯曲路径飞行，但在结束时，它再次以刚好 6.0 m/s 向东飞行。

求它在这 8.0 s 内的平均加速度。你能否由此断定它在整段时间内的加速度都是零？

解答 5

平均加速度为零，但无人机在整段时间内的加速度不一定一直为零。

初速度和末速度完全相同：

\[
\vec v_i=\vec v_f
\]

因此，

\[
\Delta\vec v=\vec v_f-\vec v_i=\vec 0
\]

平均加速度等于速度变化量除以所经过的时间：

\[
\begin{aligned}
\vec a_{\text{avg}}
&=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}\\
&=\frac{\vec 0}{8.0\text{ s}}\\
&=\vec 0\text{ m/s}^2
\end{aligned}
\]

所以，

\[
\boxed{\vec a_{\text{avg}}=0\text{ m/s}^2}
\]

然而，这只是在比较时间区间开始和结束时的速度。题目指出无人机沿一条弯曲路径飞行，因此在途中，它的速度方向必定曾经改变。速度发生改变，表示在运动的至少一部分时间内存在加速度。

这是平均量的一个重要限制。平均加速度为零，并不能证明每一瞬间的加速度都是零。

问题 6

一辆车以 15 m/s、东偏北 \(30^\circ\) 的方向行驶。两秒后，它的速率仍然是 15 m/s，但改为以西偏北 \(30^\circ\) 的方向行驶。

一名学生认为，由于速率不变，因此动能也不变，所以平均加速度一定为零。

求平均加速度，并解释这名学生的论证有甚么错误。

解答 6

平均加速度是 13 m/s² 向西，因此这名学生的结论不正确。

取东方为正 \(x\)，北方为正 \(y\)。

对于初速度，

\[
\begin{aligned}
v_{ix}&=15\cos30^\circ=13.0\text{ m/s}\\
v_{iy}&=15\sin30^\circ=7.5\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

所以

\[
\vec v_i=(13.0,7.5)\text{ m/s}
\]

对于末速度，水平分量指向西方，而垂直分量仍然指向北方：

\[
\vec v_f=(-13.0,7.5)\text{ m/s}
\]

速度变化量为

\[
\begin{aligned}
\Delta\vec v
&=\vec v_f-\vec v_i\\
&=(-13.0,7.5)-(13.0,7.5)\\
&=(-26.0,0)\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

所以速度变化量是 26.0 m/s 向西。

平均加速度为

\[
\begin{aligned}
\vec a_{\text{avg}}
&=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}\\
&=\frac{(-26.0,0)\text{ m/s}}{2.0\text{ s}}\\
&=(-13.0,0)\text{ m/s}^2
\end{aligned}
\]

因此，

\[
\boxed{\vec a_{\text{avg}}=13\text{ m/s}^2\text{ 向西}}
\]

这名学生的错误，是假设动能不变就代表速度不变。动能取决于速率，而不是方向。车辆的速率没有改变，因此动能没有改变，但速度的方向已经有相当大的变化。

这正是为甚么速度变化量在圆周运动和曲线运动中如此重要。一旦你能求出 \(\Delta\vec v\)，下一步就是把它除以时间间隔，以求出平均加速度。再进一步，同一个向量概念也能解释为甚么物体即使以恒定速率绕圆周运动，仍然具有加速度。