圆锥摆：在 HSC 物理中分解张力与重量

一个质量连在绳子上，沿著完全水平的圆周摆动。尽管重力一直向下拉著它，它的高度仍然保持不变。

所以问题来了：如果这个质量没有垂直加速度，是甚么阻止它下坠？而且，如果绳子是倾斜的，究竟是哪个力使质量沿圆周转动？

继续阅读之前，先预测一下：绳子的张力是否等于向心力？

不是。这个看似合理的想法，正是这个模型中大多数错误的来源。

01一个张力同时有两个作用

想像从侧面观察这个质量。绳子从质量的位置斜向上延伸至固定支点。

作用在质量上的力只有两个：

• 它的重量 \(mg\)，垂直向下
• 张力 \(F_T\)，沿绳子指向支点

并不存在一个独立、称为「向心力」的力。向心力是指指向圆周路径中心的合力。如果这个分别仍不清楚，可参阅 向心力：如何在 HSC 物理中辨认真正的力。

假设绳子与铅直方向的夹角为 \(\theta\)。

张力沿斜向作用，因此可以把它分解成两个互相垂直的分量：

• \(F_T\cos\theta\)，垂直向上
• \(F_T\sin\theta\)，水平指向圆心

垂直分量防止质量下坠。水平分量则使它转弯。

这有点像用向上倾斜的拉杆拉动有轮子的行李箱。同一个拉力可以同时具有向上的分量和向前的分量。不过，这个类比到此为止，因为行李箱还受到地面的作用力，而我们的质量只受到张力和重量。

02先从加速度开始，而不是从力开始

「水平圆周」这个描述告诉你一个关于加速度的关键资讯。

质量并没有向上或向下运动。因此，它的垂直加速度为零。

但它的水平速度方向持续改变，所以它具有指向圆心的向心加速度：

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

其中：

• \(a_c\) 是向心加速度，单位为 \(\text{m s}^{-2}\)
• \(v\) 是速率，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(r\) 是水平圆周的半径，单位为米

现在可以分别在垂直和水平方向套用牛顿第二定律。

这一对方程式就是这个模型的核心。

注意它们在物理意义上所表达的内容。并不是整个张力都用来产生向心加速度。只有它的水平分量有这个作用。

03为甚么张力大于向心力

一个常见的初步做法是

\[ F_T=\frac{mv^2}{r} \]

但对上面所示的倾斜绳子而言，这不可能正确。

如果整个张力都用在水平方向，就不会有向上的力来平衡 \(mg\)。质量会向下加速，因此它的路径不可能维持在同一个水平面上。

正确的是

\[ F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

以及

\[ F_T\cos\theta=mg \]

因为 \(F_T\) 必须同时提供这两个分量，

\[ F_T=\sqrt{\left(\frac{mv^2}{r}\right)^2+(mg)^2} \]

所以 \(F_T\) 同时大于 \(mg\) 和所需的水平向心力。

还有另一个很有用的关系。把水平方程式除以垂直方程式：

\[ \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta} = \frac{mv^2/r}{mg} \]

因此

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

质量会约去。对于指定的速率和半径，改变质量不会改变所需的角度，但会改变张力。

04半径通常不等于绳长

现在假设绳长为 \(L\)。

很容易会想写成 \(r=L\)。只有在绳子水平时，这才正确。

对于圆锥摆，水平半径是绳长的水平分量：

\[ r=L\sin\theta \]

从支点到圆周所在平面的垂直距离是

\[ L\cos\theta \]

当题目给的是绳长而不是半径时，这个几何关系就很重要。

05圆锥摆的一个实用关系

还可以用角速度来描述这个运动。

角速度为

\[ \omega=\frac{v}{r} \]

其中 \(\omega\) 的单位为 \(\text{rad s}^{-1}\)。

水平方向的力方程式变成

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2r \]

而因为 \(r=L\sin\theta\)，

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2L\sin\theta \]

对于真正的圆周运动，\(\sin\theta\neq0\)，所以

\[ F_T=m\omega^2L \]

把它和

\[ F_T\cos\theta=mg \]

结合，可得

\[ m\omega^2L\cos\theta=mg \]

因此

\[ \omega^2=\frac{g}{L\cos\theta} \]

由于 \(P=2\pi/\omega\)，

\[ P=2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}} \]

这个关系包含一个略为出人意料的结果：周期取决于支点到圆周路径之间的垂直距离 \(L\cos\theta\)，而不是直接取决于半径。

这个观察在下面最后一道问题中会变得很重要。

06一个精简的判断方法

当你看到一个质量连在倾斜绳子上并沿水平圆周运动时：

1. 只画出真正存在的力：张力和重量。
2. 选择铅直方向和水平向内方向。
3. 利用垂直加速度为零：

\[ F_T\cos\theta=mg \]

1. 在水平方向使用向心加速度：

\[ F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

1. 如果已知绳长，就把力学模型和几何关系连结起来：

\[ r=L\sin\theta \]

这些方程式假设 \(\theta\) 是从铅直方向量度的。如果题目是从水平方向量度角度，正弦和余弦的分量就会互换。重新画出三角形，而不要试图死记另一套方程式。

07问题与解答

问题 1

一个 \(0.30\ \text{kg}\) 的质量以 \(3.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速率沿半径 \(0.80\ \text{m}\) 的水平圆周运动。求：

a. 张力的水平分量
b. 张力的垂直分量
c. 总张力
d. 绳子与铅直方向的夹角

取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

解答 1

水平和垂直分量分别为 \(3.38\ \text{N}\) 和 \(2.94\ \text{N}\)，因此总张力为 \(4.48\ \text{N}\)，绳子与铅直方向的夹角为 \(48.9^\circ\)。

在水平方向，

\[ F_{T,x} = \frac{mv^2}{r} = \frac{(0.30)(3.0)^2}{0.80} = 3.375\ \text{N} \]

所以

\[ F_{T,x}=3.38\ \text{N} \]

在垂直方向，加速度为零：

\[ F_{T,y}=mg=(0.30)(9.8)=2.94\ \text{N} \]

总张力是向量的大小：

\[ F_T = \sqrt{(3.375)^2+(2.94)^2} = 4.48\ \text{N} \]

最后，

\[ \tan\theta=\frac{3.375}{2.94} \]

所以

\[ \theta=48.9^\circ \]

一个很诱人的捷径，是因为 \(3.38\ \text{N}\) 等于 \(mv^2/r\)，便把它称为张力。但它其实只是张力的水平分量。同一个张力向量还必须提供 \(2.94\ \text{N}\) 的向上分量，以平衡重量。

问题 2

一个 \(0.20\ \text{kg}\) 的质量悬挂在一条 \(1.00\ \text{m}\) 长的绳子上，并作圆锥摆运动。绳子与铅直方向成 \(50^\circ\)。

计算：

a. 圆周路径的半径
b. 绳子的张力
c. 质量的速率
d. 周期

取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

解答 2

半径为 \(0.766\ \text{m}\)，张力为 \(3.05\ \text{N}\)，速率为 \(2.99\ \text{m s}^{-1}\)，周期为 \(1.61\ \text{s}\)。

先利用绳子的几何关系：

\[ r=L\sin\theta =(1.00)\sin50^\circ =0.766\ \text{m} \]

在垂直方向，

\[ F_T\cos50^\circ=mg \]

所以

\[ F_T = \frac{(0.20)(9.8)}{\cos50^\circ} = 3.05\ \text{N} \]

它的水平分量为

\[ F_T\sin50^\circ = (3.05)\sin50^\circ = 2.34\ \text{N} \]

因此，

\[ 2.34=\frac{(0.20)v^2}{0.766} \]

由此得到

\[ v = \sqrt{\frac{(2.34)(0.766)}{0.20}} = 2.99\ \text{m s}^{-1} \]

周期为

\[ P = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi(0.766)}{2.99} = 1.61\ \text{s} \]

一个很容易犯的错误是令 \(r=1.00\ \text{m}\)。绳长是几何三角形的斜边；圆周半径是它的水平分量 \(L\sin\theta\)。

问题 3

一个质量作圆锥摆运动，周期为 \(1.80\ \text{s}\)。

起初，它的绳长为 \(1.00\ \text{m}\)。

a. 求绳子与铅直方向的夹角，以及圆周的半径。

之后，绳子缩短至 \(0.70\ \text{m}\)，同时有一个机制尝试把周期准确维持在 \(1.80\ \text{s}\)。

b. 质量能否稳定成一个半径非零、且周期为该数值的圆锥摆？请从物理和数学上说明你的答案。

取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

解答 3

起初，角度为 \(36.5^\circ\)，半径为 \(0.594\ \text{m}\)。把绳子缩短至 \(0.70\ \text{m}\) 后，不可能存在周期为 \(1.80\ \text{s}\)、且半径非零的圆锥摆状态。

与该周期相应的角速度为

\[ \omega = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{1.80} = 3.49\ \text{rad s}^{-1} \]

对圆锥摆而言，

\[ \omega^2=\frac{g}{L\cos\theta} \]

所以

\[ \cos\theta=\frac{g}{\omega^2L} \]

当 \(L=1.00\ \text{m}\) 时，

\[ \cos\theta = \frac{9.8}{(3.49)^2(1.00)} = 0.804 \]

因此，

\[ \theta=36.5^\circ \]

而

\[ r=L\sin\theta = (1.00)\sin36.5^\circ = 0.594\ \text{m} \]

现在把绳子缩短至 \(0.70\ \text{m}\)，同时保持相同的 \(\omega\)：

\[ \cos\theta = \frac{9.8}{(3.49)^2(0.70)} = 1.15 \]

但实数角不可能有 \(\cos\theta>1\)。

所以，所要求的稳定圆周运动是不可能的。

一个看似合理的想法是，系统只需增加张力，就能让较短的绳子正常运作。但张力不能任意调整来独立满足所有限制。垂直平衡、水平向心加速度、指定的角速度，以及固定的绳子几何关系，都必须同时成立。在这里，它们要求 \(\cos\theta\) 取一个不可能的数值。

等价地，在这个角速度下，绳长存在一个最小可能值：

\[ L_{\min}=\frac{g}{\omega^2} = \frac{9.8}{(3.49)^2} = 0.804\ \text{m} \]

所提出的 \(0.70\ \text{m}\) 绳子比这个下限更短。

问题 4

一个 \(0.40\ \text{kg}\) 的质量连接在一条 \(1.00\ \text{m}\) 长的绳子上作圆锥摆运动。它的圆周路径位于水平地面上方 \(1.25\ \text{m}\)。

绳子突然断裂。忽略空气阻力。质量最后落在距离绳子断裂位置正下方地面点 \(1.10\ \text{m}\) 的水平位置。

求：

a. 绳子断裂前一刻的速率
b. 绳子与铅直方向的夹角
c. 绳子断裂前一刻的张力

取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

解答 4

在断裂前一刻，质量的速率为 \(2.18\ \text{m s}^{-1}\)，绳子与铅直方向的夹角为 \(38.1^\circ\)，张力为 \(4.98\ \text{N}\)。

在绳子断裂的瞬间，质量会保留当时的瞬时速度。这个速度是水平的，并且沿圆周路径的切线方向。

因此，它的初始垂直速度为零。

对于 \(1.25\ \text{m}\) 的下落，

\[ h=\frac{1}{2}gt^2 \]

所以

\[ 1.25=\frac{1}{2}(9.8)t^2 \]

并且

\[ t = \sqrt{\frac{2(1.25)}{9.8}} = 0.505\ \text{s} \]

在水平方向，

\[ v=\frac{d}{t} = \frac{1.10}{0.505} = 2.18\ \text{m s}^{-1} \]

在断裂之前，圆锥摆的关系式为

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

但半径目前仍未知。由于绳长为 \(L=1.00\ \text{m}\)，

\[ r=L\sin\theta \]

因此，

\[ v^2 = gL\sin\theta\tan\theta = gL\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \]

令 \(c=\cos\theta\)。由于 \(\sin^2\theta=1-c^2\)，

\[ \frac{v^2}{gL} = \frac{1-c^2}{c} \]

代入 \(v=2.18\ \text{m s}^{-1}\)，

\[ \frac{(2.18)^2}{(9.8)(1.00)} = 0.484 \]

所以

\[ 0.484=\frac{1-c^2}{c} \]

因此

\[ c^2+0.484c-1=0 \]

具有物理意义的根为

\[ c=0.787 \]

所以

\[ \cos\theta=0.787 \]

并且

\[ \theta=38.1^\circ \]

最后，绳子断裂前的垂直平衡给出

\[ F_T\cos\theta=mg \]

所以

\[ F_T = \frac{(0.40)(9.8)}{\cos38.1^\circ} = 4.98\ \text{N} \]

一个很诱人的做法，是把抛射运动中的 \(1.10\ \text{m}\) 水平位移当作原本圆周的半径。它不是。绳子一旦断裂，质量一开始会沿原本圆周的切线方向运动。抛射运动让我们求出切向速率；之后仍必须利用绳子的几何关系和圆周运动方程式，求回原本的半径。

问题 5

两个不同的圆锥摆，其支点位于同一水平高度。

摆 A 的绳长为 \(1.20\ \text{m}\)。摆 B 的绳长为 \(0.80\ \text{m}\)。

在两种情况下，水平圆周路径都恰好位于支点下方 \(0.60\ \text{m}\) 的垂直距离。两个质量不一定相等。

一名学生认为：

摆 A 的圆周半径较大，所以它完成一周所需的时间一定较长。

判断两者的周期是否真的不同。然后计算每个质量的半径和线速率。

取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

解答 5

两个摆的周期完全相同，都是 \(1.55\ \text{s}\)，尽管摆 A 的半径较大，而且具有较大的线速率。

令支点到圆周所在平面的垂直距离为 \(h\)。

由几何关系，

\[ h=L\cos\theta \]

由力的平衡，

\[ F_T\cos\theta=mg \]

以及

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2r \]

把水平方程式除以垂直方程式：

\[ \tan\theta=\frac{\omega^2r}{g} \]

但绳子的几何关系也给出

\[ \tan\theta=\frac{r}{h} \]

因此，

\[ \frac{r}{h} = \frac{\omega^2r}{g} \]

两个摆的半径都不为零，所以 \(r\) 可以约去：

\[ \omega^2=\frac{g}{h} \]

这就是关键限制。半径看起来似乎很重要，但当力的方程式和绳子的几何关系必须同时成立时，它会从角速度的表达式中消失。

取 \(h=0.60\ \text{m}\)，

\[ \omega = \sqrt{\frac{9.8}{0.60}} = 4.04\ \text{rad s}^{-1} \]

因此

\[ P = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4.04} = 1.55\ \text{s} \]

两个摆皆是如此。

现在求半径。

对摆 A，

\[ r_A = \sqrt{L_A^2-h^2} = \sqrt{(1.20)^2-(0.60)^2} = 1.04\ \text{m} \]

对摆 B，

\[ r_B = \sqrt{L_B^2-h^2} = \sqrt{(0.80)^2-(0.60)^2} = 0.529\ \text{m} \]

线速率为 \(v=\omega r\)。

因此，

\[ v_A = (4.04)(1.04) = 4.20\ \text{m s}^{-1} \]

以及

\[ v_B = (4.04)(0.529) = 2.14\ \text{m s}^{-1} \]

摆 A 的确沿著较长的圆周运动，但它的速率也恰好提高到足以令周期保持不变。

这名学生的说法把半径和速率视为其中一个可以改变、而另一个保持不变。在圆锥摆中，两者透过力的平衡和几何关系互相连系。当垂直距离 \(h=L\cos\theta\) 相同时，角速度由

\[ \omega=\sqrt{\frac{g}{h}} \]

决定，与质量或半径无关。

08这个模型接下来能让你做到甚么

这里最重要的习惯，不是死记两条分量方程式，而是判断哪个方向实际上存在加速度。

对水平圆周路径而言，垂直加速度为零，所以垂直方向的力互相平衡。在水平方向，存在向内的加速度，因此真正作用力的水平分量必须产生 \(mv^2/r\)。

同样的方法也适用于更复杂的圆周运动问题。如果圆周是倾斜的、垂直的，或由多于一个力支撑，分量方程式会改变，但方法不变：选定径向方向、辨认真正存在的力、把它们分解成分量，然后才写出牛顿第二定律。