連續光譜、發射光譜與吸收光譜：HSC 物理

A glowing filament and a low-pressure hydrogen tube can both look bright, but a spectroscope shows something very different. The filament gives a smooth band of colours. Hydrogen gives a few sharp lines with black gaps between them. Put suitable hydrogen gas in front of a bright continuous source, and some of those same wavelengths can instead appear as dark lines.

Before going further, predict what controls the pattern. Is it simply how hot the source is, or does the arrangement of matter matter as well? The second answer is the important one. A spectrum depends on how photons are produced, absorbed, and re-emitted by the material you are looking at.

01光譜實際顯示甚麼

分光鏡或光譜儀會按波長分開入射的電磁輻射。你不再只是看見所有光混合在一起，而是可以觀察每個波長有多少強度到達。

這會產生三種常見的模式：

這個表格是很實用的 HSC 判斷法則，但它只是第一個模型。真實的天文光譜可以同時包含連續光譜、發射線和吸收線。在這件事不再令人混淆之前，我們需要先理解每一種特徵為甚麼會出現。

02連續光譜：為甚麼沒有明顯的缺口

想像把一條金屬燈絲加熱至發光。起初它看起來是暗紅色。繼續加熱後，它會變得明亮得多，而輻射會分布在很廣的波長範圍內。

光譜儀不會只找到少數幾個彼此分離的波長，而會測得一個平滑的分布。

這就是連續光譜。

在 HSC 中，一個實用模型是：熱而緻密的物質會產生連續的熱輻射光譜。固體和液體通常會如此，密度足夠高或光學厚度足夠大的氣體與電漿亦可以如此。

「連續」並不表示每個波長的強度都相同。它表示強度會平滑地改變，而不是只由彼此分離的狹窄譜線組成。熱輻射源在某些波長附近的發射強度，可以遠高於其他波長。

「很多原子會產生很多譜線」這種簡單解釋也有其限制。緻密物質並不只是一群完全彼此隔離的原子。粒子之間會強烈互相作用，碰撞頻繁，能態會展寬，而且許多發射和吸收過程彼此重疊。與其嘗試追蹤個別原子躍遷，把光源近似視為熱輻射發射體通常更有用。

因此，熱而緻密的光源可以產生平滑的連續光譜，而稀薄氣體則可以產生尖銳的譜線。

03發射光譜：為甚麼稀薄氣體只選擇特定波長

現在取一團低壓氣體，並向它提供能量。讓電流通過氣體放電管就是常見例子。

碰撞可以把能量傳給原子，使其中的電子進入較高能量的量子態。這些狀態稱為激發態。

奇特之處在於：原子中的電子不能具有任意的束縛能量。

想像一部升降機只會停在 1、3 和 8 樓。你可以站在其中一層，但不能因為自己想要，就站在 4.62 樓。原子的能級也有類似情況：只有特定的量子態是允許的。

這個類比的限制在於，電子並不是一顆實際坐落在原子內某個高度的小球。「樓層」代表允許的能量狀態，而不是實際位置。

當受激發的原子由較高能態轉移到較低能態時，失去的能量會由一個光子帶走。

如果兩個狀態之間的能量差是 \(\Delta E\)，所發射光子的能量為

\[
E_{\text{光子}}=\Delta E=hf=\frac{hc}{\lambda}
\]

其中：

• \(E_{\text{光子}}\) 是光子能量，單位為焦耳，J
• \(h\) 是普朗克常數，\(6.626\times10^{-34}\ \text{J s}\)
• \(f\) 是光子頻率，單位為赫茲，Hz
• \(c\) 是光速，約為 \(3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)
• \(\lambda\) 是波長，單位為米，m。

所以，每一個允許的能量差都會產生一個特定波長。

這就是發射線光譜的來源。彼此近似獨立的原子不會平滑地產生所有波長，而是反覆發射對應特定能量差的光子。

如果你需要溫習 \(c=f\lambda\) 的關係，麥克斯韋對電磁波的預測：HSC 物理會把光的波動性質與電磁理論連繫起來。

04吸收光譜：為甚麼明亮的光會出現暗線

現在把低密度氣體放在你與連續光源之間。

預測一下：如果一個光子的能量剛好等於氣體原子某個允許的向上能量躍遷，會發生甚麼事？

原子可以吸收整個光子，使其電子移到一個較高的允許能態。

束縛電子通常不會只是因為光子的能量「足夠高」就吸收它。對束縛態之間的躍遷而言，光子能量必須與能量差相符：

\[
\Delta E=hf=\frac{hc}{\lambda}
\]

一個常見錯誤，是想像如果原子需要 \(2\ \text{eV}\)，它就可以吸收一個 \(3\ \text{eV}\) 的光子，再把多出的 \(1\ \text{eV}\) 像商店找續一樣留下來。光子並不是這樣運作的。對這種簡單的束縛態躍遷而言，整個光子要麼被吸收，要麼不被吸收。

還有其他過程，例如游離，其物理機制並不相同。我們在這裡只集中討論造成線光譜的離散束縛態躍遷。

因此，光會穿過氣體，但某些特定波長的光子會優先從到達觀察者的光束中被移除。

結果就是吸收光譜：一個連續背景中，某些特定波長的強度降低。

但原子不是會把光子再放回來嗎？

通常會。

原子吸收光子並受到激發後，不一定會一直維持激發態。它之後可能回到較低能態，並發射另一個光子。

那麼，原本的譜線為甚麼仍然是暗的？

因為重新發射的光子不一定會朝向你的偵測器。

想像由一顆恆星射向你望遠鏡的一束狹窄光束。一個氣體原子從光束中吸收了一個光子。當原子稍後發射輻射時，新光子可能向左、向右、向後，或射往太空的其他方向。

也可能有部分輻射朝向你重新發射，因此吸收線通常並不是完全黑色的缺口。它只是比鄰近的連續光譜強度較低。

關鍵概念是方向。光子從你的特定視線方向被移除的速率，高於它們在同一視線方向中被補回的速率。

這也解釋了為甚麼「冷氣體」是一種相對說法。氣體不必真的摸起來很冷。它需要有適當數量的原子處於較低能態，而且在那些波長上朝向我們產生的輻射，比後方較明亮光源所提供的輻射少。

05為甚麼發射線與吸收線可以出現在相同波長

假設兩個原子能態之間相差能量 \(\Delta E\)。

對吸收而言，原子可以向上躍遷：

\[
E_{\text{較低}}+\frac{hc}{\lambda}=E_{\text{較高}}
\]

對發射而言，它可以向下躍遷：

\[
E_{\text{較高}}-E_{\text{較低}}=\frac{hc}{\lambda}
\]

兩條方程式中出現的是同一個能量差。

所以，同一個特定躍遷可以在相同波長產生吸收線，也可以產生發射線。

改變的是物理情況：

• 如果在該波長有光子加入你的視線方向，你可以看見發射線
• 如果有光子從更明亮的背景光束中被移除，你可以看見吸收線。

這裡有一項重要限制。原子只能從它目前所處的能態吸收光子。如果幾乎所有原子都在基態，那麼由某個已激發的較低能態開始的躍遷，即使相應的向下躍遷能夠出現在發射光譜中，也只會產生很少甚至沒有吸收。

06區分三種光譜的簡潔方法

當考試給你一個光源並問它會產生甚麼光譜時，不要死記顏色。追蹤光所經歷的物理過程。

密度條件很重要。當原子足夠獨立地表現，使其離散躍遷仍能彼此分辨時，尖銳的原子譜線最容易被觀察到。

幾何配置也很重要。當你透過同一團氣體望向一顆明亮恆星時，它可能看起來是一團吸收氣體；但如果從側面觀察，背景是黑暗太空，它則可能看起來是一團發射氣體。

07最常導致錯誤的迷思

最後一點在天文學中特別有用。譜線圖樣可以辨認原子躍遷；整個圖樣的位移則可以揭示運動。

08問題與解答

問題 1

用分光鏡觀察三個光源。

• 光源 A 是一條熱的鎢燈絲。
• 光源 B 是由放電激發的低壓氣體，並在黑暗背景下觀察。
• 光源 C 是透過較冷、低密度氣體觀察的一個明亮連續光源。

指出每個光源主要預期產生的光譜，並解釋其物理來源。

解答 1

光源 A 產生連續光譜，光源 B 產生發射線光譜，而光源 C 產生吸收線光譜。

熱鎢燈絲是進行熱輻射的緻密物質，因此它的輻射會平滑地延伸到廣泛的波長範圍。

受激發的低壓氣體含有電子由較高能態躍遷到較低能態的原子。每個允許的能量差都會產生特定波長的光子，形成明亮的發射線。

對光源 C 而言，背景光源先提供連續光譜。前景氣體中的原子再吸收能量與允許向上躍遷相符的光子。這些波長以較低強度到達觀察者，因此形成吸收線。

一個常見錯誤是只根據某物是否「很熱」來判斷。溫度的確重要，但密度、原子能級，以及氣體相對於背景光源的位置，都會決定觀察到的光譜。

問題 2

一個原子有三個能級：

\[
E_0=0,\qquad E_1=2.0\ \text{eV},\qquad E_2=4.5\ \text{eV}
\]

假設所有向下躍遷都允許發生。

1. 求它的發射光譜中可能出現的波長。
2. 現在同一種氣體足夠冷，使幾乎所有原子都處於 \(E_0\)。從 \(400\ \text{nm}\) 到 \(700\ \text{nm}\) 的連續可見光穿過氣體。求應該可以看見哪一條吸收線。

使用 \(1\ \text{eV}=1.60\times10^{-19}\ \text{J}\)、\(h=6.63\times10^{-34}\ \text{J s}\) 和 \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)。

解答 2

可能的發射波長約為 \(622\ \text{nm}\)、\(497\ \text{nm}\) 和 \(276\ \text{nm}\)，而在指定的可見光範圍內，冷氣體只會產生 \(622\ \text{nm}\) 的吸收線。

對 \(E_1\rightarrow E_0\)，

\[
\Delta E=(2.0)(1.60\times10^{-19})
=3.20\times10^{-19}\ \text{J}
\]

所以

\[
\lambda=
\frac{hc}{\Delta E}
=
\frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)}
{3.20\times10^{-19}}
=6.22\times10^{-7}\ \text{m}
=622\ \text{nm}
\]

對 \(E_2\rightarrow E_1\)，

\[
\Delta E=(4.5-2.0)\ \text{eV}=2.5\ \text{eV}
\]

\[
\Delta E=(2.5)(1.60\times10^{-19})
=4.00\times10^{-19}\ \text{J}
\]

因此，

\[
\lambda=
\frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)}
{4.00\times10^{-19}}
=4.97\times10^{-7}\ \text{m}
=497\ \text{nm}
\]

對 \(E_2\rightarrow E_0\)，

\[
\Delta E=(4.5)(1.60\times10^{-19})
=7.20\times10^{-19}\ \text{J}
\]

所以

\[
\lambda=
\frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)}
{7.20\times10^{-19}}
=2.76\times10^{-7}\ \text{m}
=276\ \text{nm}
\]

三個波長都可能出現在發射光譜中，因為已經處於較高能態的原子可以進行這些向下躍遷。

然而，對吸收而言，幾乎所有原子都由 \(E_0\) 開始。因此，它們可以吸收 \(E_0\rightarrow E_1\) 所需的 \(622\ \text{nm}\) 光子，以及 \(E_0\rightarrow E_2\) 所需的 \(276\ \text{nm}\) 光子。

只有 \(622\ \text{nm}\) 位於指定的 \(400\)-\(700\ \text{nm}\) 可見光範圍內。

很容易犯的錯誤，是只因為 \(497\ \text{nm}\) 有一條發射線，就預測那裡也會有吸收線。那個躍遷由 \(E_1\) 開始，但題目已說明幾乎所有原子都處於 \(E_0\)。

問題 3

一顆恆星原本具有平滑的連續光譜，但在 \(589\ \text{nm}\) 處顯示一條強吸收線。

學生 A 說：「恆星內部一定不會產生 \(589\ \text{nm}\) 的光子。」

學生 B 說：「大氣會吸收那些光子，之後再重新發射，所以不應該有暗線。」

計算與 \(589\ \text{nm}\) 躍遷相關的能量差，並解釋兩位學生論點中的問題。

解答 3

躍遷能量約為 \(3.38\times10^{-19}\ \text{J}\)，而兩位學生都忽略了光穿過恆星時所經歷過程的一部分。

使用

\[
\Delta E=\frac{hc}{\lambda}
\]

其中

\[
\lambda=589\times10^{-9}\ \text{m}
\]

得到

\[
\Delta E=
\frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)}
{589\times10^{-9}}
=3.38\times10^{-19}\ \text{J}
\]

學生 A 的說法並不是吸收線的正確解釋。恆星較深、較熱而且光學厚的部分可以提供一個廣泛的連續光譜，其中包括 \(589\ \text{nm}\) 附近的輻射。強度降低是在這些輻射之後與外層物質互相作用時發生。

學生 B 說被吸收的能量之後可以重新發射，這一點是正確的，但他錯誤地假設補回的光子一定會回到原來的光束。重新發射會向不同方向進行。因此，從朝向地球的狹窄視線方向移除的光子，不會全部在相同視線方向中被補回。

所以，\(589\ \text{nm}\) 附近觀察到的強度會低於周圍的連續光譜，形成一條吸收線。

重要的限制條件是具有方向性的強度，而不只是總能量守恆。

問題 4

一種稀薄氣體有三個能級：

\[
E_0=0,\qquad E_1=1.80\ \text{eV},\qquad E_2=4.20\ \text{eV}
\]

一盞連續光譜燈發射從 \(250\ \text{nm}\) 到 \(800\ \text{nm}\) 的波長。燈光穿過氣體。

假設：

• 幾乎所有原子最初都處於 \(E_0\)
• 照明足夠弱，因此這仍是良好的近似
• 碰撞不會明顯激發原子
• 三種躍遷全部都允許發生。

觀察者 X 直接透過氣體朝燈光觀察。觀察者 Y 從側面觀察氣體，而燈本身位於 Y 的視野之外。

1. 求三個能量差所對應的波長。
2. 觀察者 X 可以看見哪些吸收線？
3. 觀察者 Y 可能看見哪些發射波長？
4. 解釋為甚麼 Y 可以看見一個並沒有成為 X 重要吸收線的發射波長。

解答 4

三個躍遷波長約為 \(691\ \text{nm}\)、\(518\ \text{nm}\) 和 \(296\ \text{nm}\)。觀察者 X 主要看見 \(691\ \text{nm}\) 和 \(296\ \text{nm}\) 的吸收，而觀察者 Y 則可能接收到全部三個波長的發射。

對 \(E_1-E_0=1.80\ \text{eV}\)，

\[
\Delta E=(1.80)(1.60\times10^{-19})
=2.88\times10^{-19}\ \text{J}
\]

所以

\[
\lambda=
\frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)}
{2.88\times10^{-19}}
=6.91\times10^{-7}\ \text{m}
=691\ \text{nm}
\]

對 \(E_2-E_1=2.40\ \text{eV}\)，

\[
\Delta E=(2.40)(1.60\times10^{-19})
=3.84\times10^{-19}\ \text{J}
\]

得到

\[
\lambda=
\frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)}
{3.84\times10^{-19}}
=5.18\times10^{-7}\ \text{m}
=518\ \text{nm}
\]

對 \(E_2-E_0=4.20\ \text{eV}\)，

\[
\Delta E=(4.20)(1.60\times10^{-19})
=6.72\times10^{-19}\ \text{J}
\]

所以

\[
\lambda=
\frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)}
{6.72\times10^{-19}}
=2.96\times10^{-7}\ \text{m}
=296\ \text{nm}
\]

觀察者 X 透過氣體看見燈，而氣體中的原子幾乎全部處於 \(E_0\)。因此，可能產生的強吸收會由 \(E_0\) 開始：

\[
E_0\rightarrow E_1
\]

在 \(691\ \text{nm}\)，以及

\[
E_0\rightarrow E_2
\]

在 \(296\ \text{nm}\)。

要在 \(518\ \text{nm}\) 發生吸收，原子必須已經處於 \(E_1\)，因為 \(518\ \text{nm}\) 對應 \(E_1\rightarrow E_2\)。題目告訴我們，\(E_1\) 的佔據數量非常少。

觀察者 Y 並不直接看見明亮的燈。相反，Y 可以偵測受激發原子向下躍遷時所發射的光子。

被激發至 \(E_1\) 的原子可以發射 \(691\ \text{nm}\) 的光子。

被激發至 \(E_2\) 的原子可以直接下降至 \(E_0\)，發射 \(296\ \text{nm}\)；或者先下降至 \(E_1\)，發射 \(518\ \text{nm}\)，之後再由 \(E_1\) 下降至 \(E_0\)，發射 \(691\ \text{nm}\)。

所以，即使 \(518\ \text{nm}\) 沿著燈光方向的吸收線很弱或不存在，從側面觀察時，它仍可以作為發射線出現。

容易走錯的思路，是假設吸收光譜和發射光譜一定包含完全相同的譜線清單。缺少的限制條件是起始狀態的佔據數。發射由受激發態開始；吸收則由入射光子到達前實際有原子佔據的狀態開始。

如果氣體變得足夠熱，使相當比例的原子處於 \(E_1\)，那麼 \(518\ \text{nm}\) 的吸收躍遷就可能變得明顯得多。

問題 5

考慮一顆理想化恆星，外面包圍著一個完全呈球對稱的低密度氣體殼層。

在某一個波長 \(\lambda_0\)，殼層中的原子會吸收來自恆星的光子，再以完全相同的波長向隨機方向重新發射光子。

假設：

• 恆星發射各向同性的連續光譜
• 殼層是完全球對稱的
• 碰撞不會損失任何光子能量
• 重新發射期間不發生任何波長改變
• 系統處於穩態。

望遠鏡 A 使用狹窄光闌，因此實際上只測量恆星的視圓面。

望遠鏡 B 具有足夠的角分辨率和光闌覆蓋範圍，可以把恆星視圓面和整個周圍氣體殼層的總光線一起收集，並把它們作為一個未分辨的整體系統測量。

一名學生認為，兩部望遠鏡都必定會在 \(\lambda_0\) 顯示吸收線，因為氣體位於恆星與觀察者之間。

這個結論正確嗎？解釋每部望遠鏡實際測量的是甚麼。

解答 5

不正確。望遠鏡 A 可以在 \(\lambda_0\) 顯示吸收特徵，但在這個刻意理想化的模型中，如果望遠鏡 B 收集整個恆星加殼層系統的光，它在該波長不一定會顯示任何淨吸收。

望遠鏡 A 集中觀察恆星的視圓面。部分從恆星直接朝向 A 傳播的 \(\lambda_0\) 光子會被殼層吸收，之後再向其他方向重新發射，或重新發射到影像中看起來位於恆星視圓面之外的位置。

因此，在恆星視圓面範圍內測得的 \(\lambda_0\) 強度可以下降。A 會看見吸收特徵。

很容易在這裡就停下來，並說：「連續光源前方有氣體，就代表會有吸收。」這條法則很實用，但它假設觀察者主要追蹤的是直接來自背景的光束。

望遠鏡 B 測量的是不同的東西。它不僅包括變暗的恆星視圓面，也包括整個周圍殼層所發出的光。

根據題目中的假設，吸收並沒有摧毀任何 \(\lambda_0\) 光子，也沒有把它們的能量轉換成另一個波長。它只是重新分配了光子的傳播方向。

由於光源和殼層都完全球對稱，因此沒有任何優先方向。在穩態下，\(\lambda_0\) 的總光度守恆，並繼續對稱地分布。

從恆星視圓面所佔影像區域散射出去的光子，在對整個恆星加殼層進行總體測量時，會被殼層其他部分散射進觀察者方向的光子所平衡。因此，當完整系統的光被積分起來時，視圓面外的發射可以填補視圓面上的吸收。

概念上的關鍵在於：光譜永遠都是在特定幾何配置和視野下進行的測量。「發生了吸收」並不會自動表示「收集到的總光譜一定有一條暗線」。

真實的恆星大氣比這個模型複雜。其光譜涉及溫度梯度、不同原子態的佔據數、碰撞、重複交互作用，以及取決於波長的發射與吸收。這個思想實驗之所以有用，是因為它把一個重點獨立出來：整體能量守恆並不妨礙一條狹窄視線方向失去強度，而某一條視線方向失去強度，也不能證明光子已被摧毀。

09這些概念讓你接下來可以理解甚麼

當你能夠根據物理來源區分連續光譜、發射光譜和吸收光譜後，光譜學就不再只是辨認三幅圖。

譜線波長的圖樣可以辨認原子能量躍遷，因而辨認存在的元素。熱連續光譜的形狀則包含溫度資訊。接著，如果整個熟悉的譜線圖樣向較長或較短的波長移動，就會出現一個新問題：原子的能級並沒有改變，那麼為甚麼觀察到的波長會移動？

這正是多普勒位移和天文紅移開始發揮作用的地方。第一步是辨認甚麼機制產生了這些譜線。下一步則是判斷它們在前往偵測器的路途中發生了甚麼事。