變壓器中的渦電流損耗：HSC 物理指南

將變壓器的次級線圈斷開，使它不向任何負載供電。鐵心仍然可能變暖。沒有任何東西在摩擦，也沒有有用的電流從次級線圈流出。那麼，這些熱能究竟從哪裡來？

繼續閱讀之前，先預測一下：如果變壓器不是使用許多薄而彼此絕緣的金屬片，而是使用一整塊實心的導電鐵，會發生甚麼事？發熱會增加、減少，還是維持不變？

發熱會增加。能在次級線圈中感應出電動勢的同一個變化磁通量，也可以在金屬鐵心內部感應出循環電流。這些電流稱為渦電流，而實心導電鐵心提供了很大的空間讓它們流動。

01鐵心可以像一個你根本沒打算製造的線圈

變壓器的工作原理，是初級線圈中的交流電在鐵心中產生變化的磁通量。這個變化的磁通量穿過次級線圈，並感應出電動勢。

但次級繞組並不是變化磁通量附近唯一的導體。鐵心本身也是導電金屬。

想像觀察實心鋼製鐵心內的一小塊區域。金屬中存在無數可能的閉合路徑。如果穿過其中某一條路徑的磁通量發生變化，該路徑周圍就會產生感應電動勢。

這只是法拉第定律在一個不方便的地方發揮作用而已。

對於一條閉合路徑，

\[
\epsilon=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}
\]

其中：

• \(\epsilon\) 是感應電動勢，單位為伏特，\(\text{V}\)，
• \(\Phi\) 是穿過該路徑的磁通量，單位為韋伯，\(\text{Wb}\)，以及
• \(t\) 是時間，單位為秒，\(\text{s}\)。

如果磁場近似均勻，並且與面積 \(A\) 垂直，

\[
\Phi=BA
\]

其中 \(B\) 是磁通密度，單位為特斯拉，\(\text{T}\)，而 \(A\) 是面積，單位為平方米，\(\text{m}^2\)。

因此，對於固定的迴路面積，

\[
|\epsilon|=A\left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right|
\]

所以，變化的磁場可以驅動電流沿著完全位於鐵心內部的迴路流動。

這種循環電流就是渦電流。

這個名稱很形象。可以想像流動的水中形成一個個小漩渦。渦電流也會在局部循環，而不是從一個有用的輸入端流向一個有用的輸出端。

不過，這個類比只能到此為止。真正的渦電流並不是幾條整齊的圓形導線藏在鐵心裡。電流其實是連續分布在導電材料之中的。

02為甚麼渦電流會浪費能量

假設鐵心中某一條可能的電流路徑具有電阻 \(R\)。一旦沿著這條路徑產生感應電動勢，電流約為

\[
I=\frac{\epsilon}{R}
\]

其中 \(I\) 是電流，單位為安培，\(\text{A}\)，而 \(R\) 是電阻，單位為歐姆，\(\Omega\)。

這個電流會因電阻而使金屬發熱：

\[
P=I^2R
\]

其中 \(P\) 是轉化為熱能的功率，單位為瓦特，\(\text{W}\)。

把兩個方程結合起來可得

\[
P=\frac{\epsilon^2}{R}
\]

第二種形式對理解變壓器設計特別有用。

渦電流本身也會產生磁場。根據楞次定律，這個磁場會反抗產生該電流的磁通量變化。初級電源必須提供額外能量來維持變壓器運作，而其中一部分電能最終會在鐵心中變成不需要的熱能。

所以能量的流向是：

初級電能 \(\rightarrow\) 鐵心中的感應渦電流 \(\rightarrow\) 熱能。

這是一種鐵心損耗。即使次級沒有向任何負載供電，也可能發生這種損耗。

03為甚麼實心鐵心特別糟糕

想像渦電流試圖沿著一大片實心金屬繞一圈。

較大的路徑可以包圍相對較大的變化磁通量。根據法拉第定律，變化的磁通量越大，感應電動勢就可能越大。

實心鐵心也為電流提供了相當大的導電截面。這可以令該路徑的電阻相當低。

因此，實心導電鐵心給了渦電流兩個你並不希望它們擁有的優勢：

• 與磁通相連的迴路相對較大，因此可能產生較大的感應電動勢，以及
• 低電阻的導電路徑，可容許較大的電流流動。

所以，變壓器設計者會把鐵心分成稱為疊片的薄片。

04疊片實際上改變了甚麼

疊片式變壓器鐵心由許多薄的磁性材料片組成。相鄰的薄片彼此電氣絕緣。

絕緣是其中最關鍵的部分。如果只是把鐵心切成薄片，之後又把所有薄片重新電氣連接起來，就不會得到相同的效果。

這些薄片的排列方式，使變壓器的主要磁通量可以大部分沿著磁性材料傳播，而大型渦電流迴路若要形成，就必須跨越電氣絕緣邊界。

可以用一個有點滑稽的畫面來理解：想像室內小型賽車場。實心鐵心就像給電流一大片沒有阻隔的空地，讓它可以跑一個很大的圈。疊片則加入了絕緣牆。試圖跑同樣大圈的電流會撞上障礙，因此只剩下小得多的局部迴路。

這個類比的限制在於，電流並不是像駕駛者一樣「選擇」路線。感應電場存在於整個導電材料之中。真正有用的重點只是：絕緣會中斷可能形成的閉合導電路徑。

疊片透過兩個互相關聯的方式減少渦電流損耗。

1. 它們減少許多電流迴路的有效面積

對於磁場與迴路面積垂直的路徑，

\[
|\epsilon|=A\left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right|
\]

較小的有效迴路面積 \(A\) 所連結的變化磁通量較少，因此感應電動勢也較小。

2. 它們增加可能電流路徑的電阻

與一整塊實心材料相比，薄片提供的導電厚度小得多。

對於導體，

\[
R=\rho\frac{L}{A_c}
\]

其中：

• \(\rho\) 是電阻率，單位為歐姆米，\(\Omega\text{ m}\)，
• \(L\) 是電流路徑的長度，單位為米，以及
• \(A_c\) 是導電截面積，單位為平方米。

減少可用的導電截面會提高許多渦電流路徑的電阻。

這種組合效果很強，因為

\[
P=\frac{\epsilon^2}{R}
\]

疊片既可以減少 \(\epsilon\)，又可以增加 \(R\)。

05\(P=I^2R\) 的陷阱

一個常見的論點是：

疊片會增加電阻。但 \(P=I^2R\)，所以更高的電阻應該會產生更多熱量。

方程是正確的，但結論並不正確。

這個推論暗中假設電流維持不變。

但在這裡，電流並不維持不變。它是由感應電動勢產生的：

\[
I=\frac{\epsilon}{R}
\]

如果同一個感應電動勢作用在一條路徑上，而該路徑的電阻增加，電流便會下降。把 \(I=\epsilon/R\) 代入 \(P=I^2R\)，可得

\[
P=\frac{\epsilon^2}{R}
\]

因此，對於給定的感應電動勢，提高電阻會降低耗散功率。

疊片的作用還不止於此：它們通常也會限制電流迴路的大小，從而降低相關的感應電動勢。

每當兩條正確的方程看起來預測出相反的行為時，都應檢查究竟有哪些物理量真正保持不變。這個習慣的重要性遠不只限於渦電流問題。

06更薄的疊片效果更好

對於一個簡單的疊片鐵心模型，每單位體積的經典渦電流功率損耗大致遵循以下關係：

\[
P_e\propto\frac{B_{\max}^2f^2t^2}{\rho}
\]

其中：

• \(P_e\) 代表每單位體積的渦電流功率損耗，
• \(B_{\max}\) 是最大磁通密度，
• \(f\) 是交變磁場的頻率，
• \(t\) 是疊片厚度，以及
• \(\rho\) 是鐵心材料的電阻率。

這並不是一條需要為 HSC 普遍背誦的公式，而是一個有助於觀察變化趨勢的模型。

它預測，以下情況會使渦電流損耗增大：

「其他物理量維持不變」這個條件很重要。稍後你會看到，改變頻率並不一定會令 \(B_{\max}\) 保持不變。

07疊片不能做到甚麼

疊片可以減少渦電流，但不能令所有變壓器損耗消失。

首先，每一片獨立的疊片內仍然可以有小型渦電流循環。目標是令這些電流大幅減小，而不是神奇地變成零。

其次，疊片不能消除磁滯損耗。磁滯是由鐵心材料的磁性狀態反覆變化所造成的，是另一種不同的鐵心損耗機制。

第三，絕緣並不是用來阻擋變壓器的主要磁通量。疊片的方向經過安排，使磁通量主要沿著磁性薄片傳播，而絕緣則中斷造成問題的電流路徑。

最後這一點很容易被忽略。「把鐵心絕緣」並不是完整的設計規則。絕緣層的方向同樣重要。

08分析任何渦電流問題的一個簡潔方法

遇到不熟悉的變壓器問題時，可以追蹤以下五點：

• 磁通量是否正在變化？
• 有哪些閉合的導電路徑可以形成？
• 每條路徑可以包圍多少變化的磁通量？
• 每條路徑具有多大的電阻？
• 電能最終去了哪裡？

如果存在變化的磁通量、大型閉合導電路徑，而且電阻很低，就應預期會有顯著的渦電流。

如果絕緣疊片中斷了這些路徑，就應預期電流較小、發熱也較少。

09問題與解答

問題 1

一個變壓器的初級線圈使用交流電，並具有導電的鐵製鐵心。

解釋為甚麼鐵心內會形成渦電流、為甚麼渦電流會降低變壓器的效率，以及把鐵心製成疊片結構如何減少這種損耗。

解答 1

渦電流之所以形成，是因為變壓器內變化的磁通量會在鐵心內部的閉合導電路徑周圍感應出電動勢。這些電流會以熱的形式耗散能量，而疊片會限制電流路徑，大幅減少這種損耗。

交變的初級電流會產生變化的磁通量。根據法拉第定律，穿過導電迴路的磁通量發生變化時，就會產生感應電動勢。由於實心金屬鐵心內有許多可能的閉合導電路徑，因此可以在其中形成循環電流。

這些電流會造成電阻發熱：

\[
P=I^2R
\]

這些熱能來自供應給變壓器的電能，因此輸入能量中能夠有效傳送到次級電路的部分會減少。

疊片鐵心由薄的磁性材料片組成，每片都與相鄰薄片電氣絕緣。絕緣會阻止大型渦電流迴路自由穿過整個鐵心。

剩餘的迴路通常包圍較少的變化磁通量，因此其感應電動勢較小，而且其導電路徑具有較大的電阻。兩種效果都會減少渦電流所造成的發熱。

一個容易出現的錯誤觀念，是以為疊片會阻止磁通量。它們的主要設計目的，是中斷電流路徑，同時仍讓變壓器的主要磁通量可以穿過磁性鐵心。

問題 2

當一個變壓器以 \(50\text{ Hz}\) 運作時，一條代表性渦電流路徑具有 \(0.090\text{ V}\) 的均方根感應電動勢。該路徑的電阻為 \(0.015\ \Omega\)。

頻率增加至 \(60\text{ Hz}\)，並假設最大磁通密度、幾何形狀和電阻均維持不變。

在這些條件下，假設感應電動勢與頻率成正比：

a. 計算在 \(50\text{ Hz}\) 時的耗散功率，

b. 計算在 \(60\text{ Hz}\) 時的耗散功率，以及

c. 求功率增加的百分比。

解答 2

功率由 \(0.54\text{ W}\) 增加至約 \(0.78\text{ W}\)，增幅為 \(44\%\)。

重要的限制條件是最大磁通密度保持不變。這表示增加頻率會令磁通量變化得更快，因而增加感應電動勢。

在 \(50\text{ Hz}\) 時，

\[
P_{50}
=\frac{\epsilon_{50}^2}{R}
=\frac{(0.090)^2}{0.015}
=0.54\text{ W}
\]

對於新的電動勢，

\[
\frac{\epsilon_{60}}{\epsilon_{50}}
=\frac{60}{50}
\]

所以

\[
\epsilon_{60}
=0.090\left(\frac{60}{50}\right)
=0.108\text{ V}
\]

因此，

\[
P_{60}
=\frac{(0.108)^2}{0.015}
=0.7776\text{ W}
\approx0.78\text{ W}
\]

功率增加的百分比為

\[
\frac{0.7776-0.54}{0.54}\times100\%
=44\%
\]

一個很容易想到的預測是：頻率增加 \(20\%\)，發熱就應該增加 \(20\%\)。但這忽略了下式中的平方關係：

\[
P=\frac{\epsilon^2}{R}
\]

當 \(B_{\max}\) 維持不變時，\(\epsilon\propto f\)，因此這個簡化模型給出 \(P\propto f^2\)。所以

\[
\left(\frac{60}{50}\right)^2=1.44
\]

這與 \(44\%\) 的增幅一致。

問題 3

對於某個特定的變壓器鐵心，使用以下近似模型：

\[
P_e\propto\frac{B_{\max}^2f^2t^2}{\rho}
\]

考慮兩種可能的重新設計。\(B_{\max}\) 和 \(f\) 維持不變。

• 設計 A 將疊片厚度由 \(0.50\text{ mm}\) 減少至 \(0.30\text{ mm}\)，電阻率維持不變。
• 設計 B 保留 \(0.50\text{ mm}\) 厚的疊片，但使用電阻率為原來兩倍的材料。

將每種設計的新渦電流損耗與原本的損耗比較。你能否根據這些資料進一步斷定，渦電流損耗較低的設計一定會產生較低的次級電壓？

解答 3

設計 A 將模型預測的渦電流損耗降至原來的 \(36\%\)，而設計 B 則降至 \(50\%\)。你不能斷定損耗較低的設計必然會產生較低的次級電壓。

對於設計 A，只有疊片厚度改變：

\[
\frac{P_A}{P_0}
=\left(\frac{0.30}{0.50}\right)^2
=(0.60)^2
=0.36
\]

所以，設計 A 保留原本渦電流損耗的 \(36\%\)，相當於減少 \(64\%\)。

對於設計 B，電阻率變為兩倍：

\[
\frac{P_B}{P_0}
=\frac{\rho_0}{2\rho_0}
=\frac12
\]

所以，設計 B 保留原本渦電流損耗的 \(50\%\)，相當於減少 \(50\%\)。

下一個很容易出現的推論，是認為如果鐵心損耗減少得更多，變壓器的輸出電壓也必定會降低。這是把兩種不同的效應混在一起。

渦電流損耗描述的是鐵心內不需要的能量耗散。次級感應電動勢主要取決於穿過次級繞組的磁通量改變得有多快。如果磁通量波形和匝數保持不變，單純減少渦電流發熱並不要求次級電動勢變小。

在真實的變壓器中，損耗與磁通量可以互相影響，因此完整的行為可能更複雜。但單憑題目提供的損耗模型，並不足以對次級電壓作出這種結論。

問題 4

一個變壓器以正弦波電源運作。對於固定的初級匝數和鐵心截面積，假設

\[
V_p\propto fB_{\max}
\]

並把渦電流損耗近似為

\[
P_e\propto f^2B_{\max}^2
\]

變壓器由 \(50\text{ Hz}\) 改為在 \(100\text{ Hz}\) 下運作，但初級均方根電壓維持不變。

一名學生提出：

頻率加倍一定會令渦電流損耗變為四倍，因為 \(P_e\propto f^2\)。

在上述假設下，判斷 \(B_{\max}\) 和渦電流損耗會如何改變。解釋這名學生的論證錯在哪裡。

解答 4

根據上述模型，\(B_{\max}\) 會減半，而渦電流損耗則大致維持不變。

只有在 \(B_{\max}\) 保持不變的情況下，學生根據 \(f^2\) 所作的論證才是正確的。但這裡的 \(B_{\max}\) 並不保持不變，因為初級電壓是固定的。

由

\[
V_p\propto fB_{\max}
\]

以及 \(V_p\) 維持不變，可得

\[
f_1B_1=f_2B_2
\]

因此，

\[
50B_1=100B_2
\]

所以

\[
B_2=\frac12B_1
\]

現在比較渦電流損耗：

\[
\frac{P_2}{P_1}
=
\left(\frac{f_2}{f_1}\right)^2
\left(\frac{B_2}{B_1}\right)^2
\]

代入數值，

\[
\frac{P_2}{P_1}
=
\left(\frac{100}{50}\right)^2
\left(\frac12\right)^2
=4\times\frac14
=1
\]

所以

\[
P_2=P_1
\]

在題目所提供的模型範圍內成立。

很容易出現的做法，是看到 \(f^2\) 後就停下來。被忽略的相互作用是：頻率也會影響產生相同初級感應電動勢所需的磁通密度。

把 \(f\) 加倍會令損耗公式中的頻率因素增加四倍，但把 \(B_{\max}\) 減半則會令相應因素減少四倍。兩者互相抵消。

這並不表示當頻率加倍時，變壓器的所有損耗都維持不變。磁滯、繞組效應、漏磁行為、材料性質，以及其他真實效應都可能發生變化。這個結論只適用於題目所指定的渦電流模型。

問題 5

考慮變壓器鐵心中的一個小區域，其中主要的交變磁通量在局部由左指向右。

兩個鐵心都使用相同的薄鋼片，而且鋼片彼此電氣絕緣。

在鐵心 X 中，每片鋼片沿左右方向和上下方向延伸，而鋼片由前向後堆疊。因此，主要磁通量大部分沿著每片鋼片內部傳播。

在鐵心 Y 中，每片鋼片沿上下方向和前後方向延伸，而鋼片由左向右堆疊。因此，主要磁通量必須穿過一層又一層的鋼片邊界。

一名學生認為，兩個鐵心抑制渦電流的效果應該同樣好，因為兩者使用的鋼片厚度相同，絕緣也相同。

判斷哪一種排列方式更適合變壓器。你的解釋必須同時考慮可能的渦電流路徑以及主要磁通量的路徑。

解答 5

鐵心 X 是較合適的排列：它的絕緣會中斷大型渦電流迴路，同時讓變壓器的主要磁通量大部分沿著磁性鋼材傳播。鐵心 Y 的鋼片方向對這兩項作用都不合適。

先考慮由左指向右的主要磁場。

由這個變化磁場所感應出的渦電流，傾向圍繞磁場方向循環。在局部來說，這表示一條可能的電流迴路會位於包含上下方向和前後方向的平面內。

在鐵心 X 中，疊片由前向後堆疊。因此，一個位於上下／前後平面內的大型電流迴路，必須從一片鋼片跨越到相鄰鋼片。

但各鋼片彼此電氣絕緣。

這會中斷大型導電迴路。只有小得多的迴路可以保留在單一薄片內。它們有效連結的磁通面積較小，而且其電阻較大。

現在再追蹤主要磁通量。它由左指向右，而這個方向位於鐵心 X 每片鋼片的平面內。因此，磁通量可以主要沿著磁性鋼材傳播，而不需要反覆穿過絕緣邊界。

鐵心 Y 則把這些優勢反轉了。

它的寬廣鋼片位於上下／前後平面內，而這正是渦電流可以圍繞左右方向磁場循環的平面。因此，電流可以在同一片導電鋼片內形成相對較大的迴路。相鄰鋼片之間的絕緣對中斷這種特定迴路的作用小得多。

與此同時，所需要的磁通量由左向右傳播，所以在鐵心 Y 中，它必須反覆穿過鋼片之間的邊界，而不是主要留在磁性材料之中。

這名學生的推理只集中在鋼片厚度上。缺少的條件是幾何排列。疊片之所以有效，是因為絕緣邊界必須放置在能夠中斷不需要的電流路徑的位置，同時又不會不必要地中斷所需要的磁通量路徑。

這就是更深層的設計原則：疊片不只是薄薄的金屬片。它們的方向也是其工作原理的一部分。

一旦把渦電流損耗與有用的電磁感應分開來看，就能理解理想變壓器與真實變壓器之間的差異。理想變壓器的電壓與匝數比描述了預期的電壓轉換；渦電流則解釋了為甚麼真實變壓器還會吸收一部分永遠無法傳送到負載的能量。