變壓器中的不完全磁通鏈結與漏磁通

一個接上 240 V 電源、匝數比為 10:1 的變壓器，似乎會給出一個很整齊的預測：次級電壓為 24 V。但這個預測其實默默假設了一件重要的事。它假設造成初級電動勢的變化磁通量，也同樣鏈結次級繞組。

現在假設有一部分磁場繞著初級繞組形成迴路，並在沒有穿過次級繞組的情況下閉合。匝數比沒有改變。那麼次級仍應該像理想變壓器一樣運作嗎？不應該。兩個線圈已不再共享全部相同的變化磁通量。

這種沒有被共同鏈結的磁通量，就是漏磁通背後的概念。

01匝數比取決於共同鏈結的磁通量

先從法拉第定律開始。穿過線圈的磁通量發生變化時，會產生感應電動勢：

\[ \varepsilon=-N\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \]

其中：

• \(\varepsilon\) 是以伏特（V）為單位的感應電動勢，
• \(N\) 是匝數，
• \(\Delta \Phi\) 是穿過每一匝的磁通量變化，單位為韋伯（Wb），以及
• \(\Delta t\) 是以秒（s）為單位的時間間隔。

負號來自楞次定律，表示感應電動勢的方向。當我們只需要大小時，可以使用絕對值來計算。

如果你對磁通量本身的概念還不太熟悉，可以先複習 HSC 物理的磁通量：使用 Φ = BA cos θ。

對理想變壓器而言，相同的變化鐵心磁通量 \(\Phi_m\) 會鏈結兩個繞組的每一匝。因此

\[ |\varepsilon_p|=N_p\left|\frac{\Delta \Phi_m}{\Delta t}\right| \]

以及

\[ |\varepsilon_s|=N_s\left|\frac{\Delta \Phi_m}{\Delta t}\right|. \]

這裡，\(N_p\) 和 \(N_s\) 分別是初級與次級的匝數。

兩條方程中的磁通量變化項完全相同，因此可以約掉：

\[ \frac{|\varepsilon_s|}{|\varepsilon_p|} = \frac{N_s}{N_p}. \]

這就是 HSC 物理的理想變壓器電壓與匝數比 中說明的熟悉理想變壓器關係。

但要注意，之所以能夠約掉，是因為兩個繞組必須鏈結相同的變化磁通量。

02漏磁通究竟是甚麼

磁力線會形成閉合迴路。鐵磁性變壓器鐵心提供的路徑比空氣容易得多，因此大部分磁通量都會沿著鐵心通過。

但「大部分」並不等於「全部」。

有些磁通量可能會在某個繞組附近形成較小的迴路，而不是沿著鐵心走得足夠遠去鏈結另一個繞組。這就是漏磁通。

一個有用的想像方式，是把它看成有兩個車站的環狀鐵路。主要磁通，也就是互磁通，會沿著路線經過初級與次級兩個「車站」。漏磁通則走其中一個車站附近的局部支線，之後重新匯入，卻完全不經過另一個車站。

這個比喻有助於理解幾何關係，但不要把它延伸得太過頭。磁通量並不是一群小物體沿著鐵心流動。

互磁通與漏磁通

把磁場分成兩個概念會很有幫助。

互磁通會鏈結兩個繞組。這就是把電磁效應從一個繞組傳遞到另一個繞組的磁通量。

漏磁通會鏈結其中一個繞組，卻沒有完全鏈結另一個繞組。

當次級向負載供電時，電流也會流過次級繞組。這股電流會產生自己的磁場，因此也可能存在次級漏磁通。

所以，變壓器實際上並不是只有一個被完美限制在鐵心內的磁場。實用的理想模型會如此處理，是因為在設計良好的變壓器中，互磁通佔主導地位。

03磁通鏈結才是法拉第定律真正關注的量

其實還有一種稍微更精確的方法來描述這個問題。

對線圈而言，磁通鏈結寫作 \(\lambda\)。如果全部 \(N\) 匝都鏈結相同的磁通量 \(\Phi\)，

\[ \lambda=N\Phi. \]

法拉第定律便可以寫成

\[ \varepsilon=-\frac{\Delta \lambda}{\Delta t}. \]

這一點很重要，因為耦合不佳的繞組中，不一定每一匝都鏈結完全相同的磁通量。

在最一般的情況下，

\[ \lambda=\Phi_1+\Phi_2+\Phi_3+\cdots+\Phi_N, \]

其中 \(\Phi_1,\Phi_2,\ldots\) 是分別鏈結各匝的磁通量。

在一般的 HSC 計算題中，通常會給你較簡單的情況，也就是每一個次級線圈匝都鏈結相關磁通量的某個指定比例。假設這個比例是 \(f\)，其中 \(0\leq f\leq1\)。那麼

\[ \Phi_{\text{鏈結}}=f\Phi \]

以及

\[ |\varepsilon_s| = N_s f\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|. \]

如果 \(f=1\)，全部該磁通量都鏈結次級。如果 \(f=0.94\)，則有 94% 鏈結次級，而 6% 沿著漏磁路徑通過。

當題目明確給出磁通鏈結百分比時，這個 \(f\) 是很有用的計算模型。不要在每一個真實變壓器的電壓比中，都自動乘上一個猜測的漏磁百分比。在實際變壓器中，繞組電阻、鐵心行為、漏感、負載電流以及施加在初級的電壓都會彼此影響。

04為甚麼變壓器設計會改變耦合

耦合描述由一個繞組產生的變化磁場，能多有效地鏈結另一個繞組。

強耦合表示大部分相關的變化磁通量都是共同共享的。弱耦合表示有更多磁通量形成局部漏磁路徑。

現在你可以預測基本的設計策略。如果漏磁通是進入某些路徑、因而錯過另一個繞組的磁場，那麼良好的變壓器應該讓共同路徑在磁性上更容易通過，並讓兩個繞組都靠近這條路徑。

最後兩列的區別很重要。

學生可能會推理：「疊片鐵心能提高變壓器效率，所以疊片一定能阻止漏磁通。」這聽起來似乎合理，因為兩者都是非理想變壓器行為的例子。

但疊片主要針對的是另一個問題。變化磁通量會在導電鐵心內感應出不需要的渦電流。把鐵心分成彼此絕緣的薄片，會使這些電流迴路較難形成。

漏磁通主要是磁場幾何與耦合的問題。

05為甚麼把繞組放得更近會有幫助

想像初級與次級分別繞在一個大型鐵心窗口的兩側。大部分磁通量仍然沿著鐵心通過，但每個繞組周圍有很多空間可以形成局部磁場。

現在把兩個繞組移到同一個鐵心柱上，並讓其中一個同心地繞在另一個外面。

在繼續閱讀之前，先預測一下：能夠鏈結一個繞組卻不鏈結另一個繞組的磁通量會有甚麼變化。

它會減少。

現在兩個繞組幾乎位於相同的磁場區域。穿過其中一個繞組的磁場，也更有可能同時穿過另一個繞組。

這並不表示工程師只要把繞組盡可能用力擠在一起就可以了。真實變壓器還需要電氣絕緣、冷卻、機械強度，以及不同電壓之間的安全隔離。良好的設計是一種折衷，而不是一場把間隙做到最小的比賽。

06漏磁通並不是能量被「用掉」

另一個很容易產生的想像是：磁通量離開初級，其中一部分把能量傳送到次級，而剩下的某部分則以某種方式被浪費了。

磁通量不是燃料。

次級繞組不會消耗磁通量。真正重要的是，變化磁場是否足夠強地鏈結該繞組，以產生所需的感應電動勢。

「漏磁通」這個名稱描述的是磁場的路徑與鏈結方式，而不是某種從容器中漏出的物質。

07更好的耦合不會自動產生完美變壓器

假設兩個繞組有近乎完美的磁通鏈結。那麼這個變壓器現在就是理想變壓器了嗎？

不一定。

它仍然可能具有：

• 繞組中的銅線電阻，
• 鐵心中的渦電流損耗，
• 磁滯損耗，
• 發熱，
• 在不合適運作條件下的鐵心飽和，或
• 隨負載而變的電壓降。

更好的耦合只會消除其中一種非理想行為來源。它不會消除全部非理想效應。

在帶負載時，這一點尤其重要。漏磁通與漏感有關，而漏感可以在電流變化時造成電壓降。這也是為甚麼真實變壓器在負載吸取更多電流時，端電壓可能下降的原因之一。

08問題與解答

問題 1

一個次級線圈有 300 匝。與初級相關的磁通量在 \(4.0\text{ ms}\) 內變化 \(0.40\text{ mWb}\)。只有 90% 的變化磁通量鏈結每一個次級匝。

計算次級平均感應電動勢的大小。

解答 1

平均感應電動勢為 \(27\text{ V}\)。

只有題目所給磁通量變化的 90% 鏈結次級，因此

\[ |\Delta\Phi_{\text{鏈結}}| = 0.90(0.40\times10^{-3}) = 3.6\times10^{-4}\text{ Wb}. \]

法拉第定律給出

\[ |\varepsilon| = N\frac{|\Delta\Phi_{\text{鏈結}}|}{\Delta t} = 300 \frac{3.6\times10^{-4}}{4.0\times10^{-3}} = 27\text{ V}. \]

一個很容易犯的錯誤，是直接把完整的 \(0.40\text{ mWb}\) 代入法拉第定律。這樣就等於假設磁通完全鏈結，即使題目已明確告訴我們，有 10% 的變化磁通量並沒有鏈結次級。

問題 2

一個 500 匝的次級繞組裝在變壓器鐵心上。在某個 \(2.0\text{ ms}\) 的時間間隔內，相關總鐵心磁通量變化的大小為 \(0.30\text{ mWb}\)。

在原本的配置中，這個變化只有 \(0.22\text{ mWb}\) 鏈結每一個次級匝。把繞組重新配置成同心地位於同一鐵心柱上之後，每一匝鏈結的磁通量變為 \(0.29\text{ mWb}\)。

計算：

• 重新配置前後，未能鏈結次級的變化磁通量百分比，
• 每種配置下的平均次級電動勢，以及
• 完全鏈結時會產生的平均電動勢。

解釋為甚麼只把原來的鐵心做成疊片結構，不一定會帶來相同程度的改善。

解答 2

漏磁比例從約 \(26.7\%\) 降至 \(3.3\%\)，而平均感應電動勢從 \(55.0\text{ V}\) 上升至 \(72.5\text{ V}\)。完全鏈結時則會得到 \(75.0\text{ V}\)。

重新配置前，鏈結比例為

\[ \frac{0.22}{0.30}=0.733. \]

因此未能鏈結的比例為

\[ 1-0.733=0.267, \]

也就是約 \(26.7\%\)。

重新配置後，

\[ \frac{0.29}{0.30}=0.967, \]

所以漏磁比例為

\[ 1-0.967=0.033, \]

也就是約 \(3.3\%\)。

對原來的配置而言，

\[ |\varepsilon_{\text{之前}}| = N\frac{|\Delta\Phi_{\text{鏈結}}|}{\Delta t} = 500 \frac{0.22\times10^{-3}}{2.0\times10^{-3}} = 55.0\text{ V}. \]

重新配置後，

\[ |\varepsilon_{\text{之後}}| = 500 \frac{0.29\times10^{-3}}{2.0\times10^{-3}} = 72.5\text{ V}. \]

如果完全鏈結，

\[ |\varepsilon_{\text{完全}}| = 500 \frac{0.30\times10^{-3}}{2.0\times10^{-3}} = 75.0\text{ V}. \]

重要的設計改變是繞組之間的磁性距離減少。同心繞組更有可能鏈結相同的磁場。

一個很容易採取的錯誤思路，是認為任何已知能「改善變壓器」的改變，都一定能改善耦合。疊片主要抑制鐵心中的渦電流。除非它同時以相關方式改變磁場幾何或鐵心的有效性質，否則它並不能直接解決因繞組位置不佳而形成的大型漏磁路徑。

問題 3

一個 \(800:80\) 的變壓器接到 \(240\text{ V}\) 交流電源。

理想匝數比表示次級電壓應為 \(24.0\text{ V}\)。測得的空載次級電壓為 \(23.8\text{ V}\)。

接上一個 \(6.0\,\Omega\) 的電阻性負載後，端電壓降至 \(22.2\text{ V}\)，而次級電流為 \(3.70\text{ A}\)。次級繞組電阻為 \(0.20\,\Omega\)。

在這項估算中，假設測得的空載電壓已包含接上負載之前存在的各種效應，並把隨負載而變的電壓降視為純量。

判斷接上負載後新增的電壓下降中，有多少可以由次級繞組電阻解釋。剩餘多少電壓下降需要由其他隨負載而變的效應解釋，包括與漏磁有關的效應及初級繞組的電壓降？

解釋為甚麼把 \(24.0\text{ V}\) 與 \(22.2\text{ V}\) 之間的全部差值都描述成漏磁通所造成，會是不正確的。

解答 3

次級銅線電阻可解釋 \(1.60\text{ V}\) 負載相關下降中的 \(0.74\text{ V}\)，因此約有 \(0.86\text{ V}\) 留給這個簡化模型中的其他效應。

空載次級電壓為 \(23.8\text{ V}\)。接上負載後，它變成 \(22.2\text{ V}\)。

因此，與加上負載相關的額外下降為

\[ \Delta V_{\text{負載}} = 23.8-22.2 = 1.6\text{ V}. \]

次級繞組的電阻性電壓降為

\[ V_R=IR=(3.70)(0.20)=0.74\text{ V}. \]

因此剩餘部分為

\[ 1.60-0.74=0.86\text{ V}. \]

根據題目的假設，這個 \(0.86\text{ V}\) 代表其他尚未個別指定的隨負載而變效應。這些效應可以包括與漏感有關的效應，以及初級繞組中的電壓降。

一個很容易產生的錯誤論證是

\[ 24.0-22.2=1.8\text{ V}, \]

然後聲稱整個 \(1.8\text{ V}\) 都是由漏磁通造成的。

這個結論沒有充分依據。

第一，在接上負載之前，變壓器的電壓已經是 \(23.8\text{ V}\)。第二，一旦電流流動，已知的次級電阻本身就會造成 \(0.74\text{ V}\) 的電壓降。漏磁只是多種非理想效應中的其中一種。

如果把繞組移得更近，而它們的電阻維持不變，與漏磁相關的電壓降部分應該會減少。銅線造成的電壓降不會自動消失。在真實電路中，端電壓的改變也可能改變電流，因此若要作出完全精確的預測，就必須重新計算完整的帶負載電路。

問題 4

一個 200 匝的次級繞組製作得很差。

在它的各匝中：

• 150 匝各自鏈結變化鐵心磁通量的 98%，以及
• 50 個位置偏移的線圈匝各自只鏈結變化鐵心磁通量的 50%。

在 \(5.0\text{ ms}\) 的時間間隔內，鐵心磁通量變化的大小為 \(0.40\text{ mWb}\)。

計算整個 200 匝繞組兩端的平均感應電動勢。

接著把那 50 個位置偏移的線圈匝移動，使它們各自能鏈結變化鐵心磁通量的 90%，其他條件全部保持不變。求新的電動勢。

解釋為甚麼一開始直接使用 \(N\Phi\)，並假設全部 200 匝具有單一相同的磁通量，是沒有充分根據的。

解答 4

原本的平均電動勢為 \(13.76\text{ V}\)，而把耦合不佳的線圈匝移動後，電動勢上升至 \(15.36\text{ V}\)。

關鍵在於，磁通鏈結必須把各個線圈匝的貢獻相加。我們一開始不能假設每一匝都鏈結相同的 \(\Phi\)。

鐵心磁通量變化率的大小為

\[ \left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| = \frac{0.40\times10^{-3}}{5.0\times10^{-3}} = 0.080\text{ Wb s}^{-1}. \]

對原本的繞組而言，150 個耦合良好的線圈匝提供的有效鏈結匝數因子為

\[ 150(0.98)=147. \]

50 個位置偏移的線圈匝提供

\[ 50(0.50)=25. \]

因此總有效鏈結匝數因子為

\[ 147+25=172. \]

所以，

\[ |\varepsilon| = 172(0.080) = 13.76\text{ V}. \]

把那 50 個位置偏移的線圈匝移動後，

\[ 50(0.90)=45, \]

所以新的有效鏈結匝數因子為

\[ 147+45=192. \]

新的電動勢為

\[ |\varepsilon| = 192(0.080) = 15.36\text{ V}. \]

作為比較，如果全部 200 匝都完全鏈結，則會得到

\[ |\varepsilon|=200(0.080)=16.0\text{ V}. \]

一個很容易採用的做法，是因為 \(\lambda=N\Phi\) 是熟悉的磁通鏈結形式，所以立即寫下這條式子。但只有在全部 \(N\) 匝都鏈結相同磁通量時，\(N\Phi\) 才能直接使用。

這裡並非如此。

更基本的概念是

\[ \lambda=\sum \Phi_i. \]

把不同的鏈結量合併後，我們可以用以下有效鏈結比例來描述原本的繞組：

\[ \frac{172}{200}=0.86, \]

但這個 86% 是不均勻幾何配置所導致的結果，而不是我們事前有理由直接假設的數值。

問題 5

兩個變壓器具有相同的 \(10:1\) 匝數比，而且都接到相同的 \(240\text{ V}\) 電源。

在這個刻意簡化的模型中，把 \(f\) 定義為有效磁通鏈結比例，並把次級近似為一個內部電動勢

\[ E=f\left(\frac{N_s}{N_p}\right)V_p \]

與指定的等效電阻 \(R_{\text{int}}\) 串聯。

變壓器 A 具有

\[ f_A=0.995, \qquad R_{\text{int},A}=1.40\,\Omega. \]

變壓器 B 具有

\[ f_B=0.970, \qquad R_{\text{int},B}=0.15\,\Omega. \]

每個變壓器分別接上一個 \(8.0\,\Omega\) 的電阻性負載。

求：

• 每個變壓器的內部次級電動勢，
• 每個變壓器帶負載時的端電壓，
• 哪一個變壓器具有較大的負載電壓，以及
• 在這個模型中，兩個變壓器產生相同端電壓時的負載電阻。

解釋為甚麼這個結果不會與「較強的磁耦合是理想的」這個說法矛盾。

解答 5

即使變壓器 A 具有較好的磁通鏈結，變壓器 B 在 \(8.0\,\Omega\) 負載兩端仍提供較大的電壓。當負載電阻約為 \(48.4\,\Omega\) 時，兩者會產生相同的端電壓。

這裡的關鍵轉折是：較強的耦合會改善變壓器行為中的一個部分，但它不一定能壓過所有其他非理想因素。

兩個變壓器都有

\[ \frac{N_s}{N_p}=\frac{1}{10}. \]

對變壓器 A 而言，

\[ E_A = 0.995 \left(\frac{1}{10}\right) (240) = 23.88\text{ V}. \]

對變壓器 B 而言，

\[ E_B = 0.970 \left(\frac{1}{10}\right) (240) = 23.28\text{ V}. \]

因此在沒有接上負載時，A 的次級電動勢較大。

接上 \(8.0\,\Omega\) 負載後，在這個模型中，負載與內部電阻形成分壓器。

對變壓器 A 而言，

\[ V_A = 23.88 \left( \frac{8.0}{8.0+1.40} \right) = 20.32\text{ V}. \]

對變壓器 B 而言，

\[ V_B = 23.28 \left( \frac{8.0}{8.0+0.15} \right) = 22.85\text{ V}. \]

因此 B 提供較大的負載電壓：

\[ 22.85\text{ V}>20.32\text{ V}. \]

若要找出兩者輸出相等時的負載電阻 \(R_L\)，

\[ 23.88 \frac{R_L}{R_L+1.40} = 23.28 \frac{R_L}{R_L+0.15}. \]

對非零負載電阻，可約去 \(R_L\)：

\[ \frac{23.88}{R_L+1.40} = \frac{23.28}{R_L+0.15}. \]

交叉相乘得到

\[ 23.88(R_L+0.15) = 23.28(R_L+1.40). \]

因此，

\[ 23.88R_L+3.582 = 23.28R_L+32.592, \]

所以

\[ 0.60R_L=29.010 \]

以及

\[ R_L=48.35\,\Omega. \]

因此交會點約為

\[ R_L=48.4\,\Omega. \]

一個很容易得出的結論是：因為 \(99.5\%\) 的鏈結比 \(97.0\%\) 更接近理想狀況，所以變壓器 A 一定永遠「更好」。

這忽略了另一項限制。變壓器 A 也具有大得多的內部電阻。在相對較重的負載下，它的電阻性電壓降大到足以抵消它在耦合方面的優勢。

在很輕的負載下，也就是 \(R_L\) 很大、電流很小時，電阻性電壓降變得較不重要，而 A 較強的耦合會使它具有較大的電壓。在 \(8.0\,\Omega\) 時，B 小得多的內部電阻影響更大。

這並不矛盾。更好的耦合是理想的，因為它減少其中一個非理想行為來源。完整的變壓器設計仍然必須控制繞組電阻、鐵心損耗、發熱、飽和、絕緣及其他效應。

09不完全鏈結接下來可以解釋甚麼

理想匝數比之所以成立，是因為兩個繞組共享相同的變化磁通量。漏磁通透過形成對其中一個繞組鏈結較強、而對另一個較弱的磁場路徑，破壞了這個完全相同的假設。

這給你一套有用的判斷準則：

• 如果問題在問有多少變化磁通量鏈結某個繞組，先從法拉第定律與磁通鏈結開始；
• 如果兩個繞組的全部線圈匝都共享相同的變化磁通量，就可以得到理想匝數比；
• 如果有部分磁通量錯過另一個繞組，在計算感應電動勢之前，先找出實際鏈結的磁通量；
• 如果問題涉及真實變壓器在帶負載時的端電壓，不要把每一個電壓下降都歸咎於漏磁–電阻及其他非理想效應也可能很重要。

下一步，是把漏磁通與漏感和電壓調整率連結起來。到了這裡，不完全磁耦合就不再只是一張磁場示意圖，而開始解釋為甚麼變壓器的輸出會隨著負載改變而變化。