串聯電路：電流、電壓、電阻與功率

把兩個電阻串聯到一個電池上。其中一個電阻的電阻值是另一個的三倍。在進行任何計算之前，先預測兩件事：流出第一個電阻的電流會不會比流入它的電流少？每個電阻是否各分到電池一半的電壓？

這兩個預測都很容易讓人信服。但兩個都是錯的。

在串聯電路中，相同的電流會流過每一個元件。電壓會由各元件分擔，但通常不會平均分配。對一般的固定電阻而言，電阻較大的元件會有較大的電壓降。理解其中原因，就幾乎掌握了分析串聯網路中電流、電壓、電阻與功率所需的一切。

01什麼使電路成為「串聯」？

串聯電路具有單一的電流路徑。電路中沒有讓電流分流到不同支路的接點。

想像一群人排成康加舞隊伍，依次通過幾個閘機。如果每分鐘有 20 人通過第一個閘機，那麼每分鐘也必須有 20 人通過第二個閘機。人不會在兩個閘機之間消失。

電流的情況很相似。如果電荷以 \(0.50\ \text{A}\) 的電流流過某個元件，那麼在穩態下，同一串聯迴路中每個其他元件的電流也都是 \(0.50\ \text{A}\)。

不過，這個類比有其限制。電荷並不是像人進入隊伍一樣，從電池出發並穿過一條原本沒有電荷的導線。金屬導體中原本就存在電荷載流子，而在整個電路中建立的電場會使它們產生漂移。如果這部分對你來說不熟悉，值得重新複習導體中的電流如何運動。

對理想的串聯電路而言，

\[
I_{\text{電源}} = I_1 = I_2 = I_3 = \cdots
\]

其中 \(I\) 是電流，以安培 \(\text{A}\) 為單位。

這是電荷守恆的結果。在穩態運作時，電荷不會持續累積在元件之間。

02電流不會被「用掉」

一個常見錯誤，是把電流想成會被每個電阻消耗掉。

假設有 \(0.40\ \text{A}\) 的電流流入第一個電阻。學生可能會預測，只有 \(0.30\ \text{A}\) 流出，因為電阻已經「用掉」了一部分電流。

這表示電荷正在電阻內累積。如果這種情況持續下去，儲存的電荷量就會每秒增加。但在穩態直流電路中，實際情況並非如此。

電阻所轉移的是能量，而不是電荷。

電荷流動的速率會在整個電路中保持相同，但當電荷通過元件時，電位能會轉移成熱能及其他形式的能量。

這個區別說明了為什麼一個電路可以同時具有：

• 串聯各處都具有相同的電流，但
• 不同元件兩端具有不同的電位差。

03電壓反映能量轉移

電位差表示每單位電荷所轉移的能量。

如果一個 \(12\ \text{V}\) 電源對每庫侖電荷提供 \(12\ \text{J}\) 的能量，那麼迴路中的各元件加起來，就必須把每庫侖的這 \(12\ \text{J}\) 能量轉移成其他形式。

對兩個電阻而言，

\[
V_s = V_1 + V_2
\]

其中：

• \(V_s\) 是電源的電位差，單位為伏特，
• \(V_1\) 是第一個電阻兩端的電位差，而
• \(V_2\) 是第二個電阻兩端的電位差。

若有更多元件，

\[
V_s = V_1 + V_2 + V_3 + \cdots
\]

這是一個能量守恆的表述。在一個完整迴路中，每庫侖電荷從電源獲得的能量，等於各元件每庫侖所轉移的能量。

對理想連接導線而言，我們把導線的電阻視為可忽略，因此其電壓降約為零。真實導線確實具有一些電阻，但在 HSC 電路計算中，除非題目資訊顯示不能這樣處理，否則通常可以採用這個近似。

04為什麼電壓通常不會平均分配

現在回到最初的預測。假設一個串聯電阻的電阻值是另一個的三倍。

哪一個具有較大的電壓降？

電阻較大的那一個。

對符合歐姆定律的固定電阻而言，

\[
V = IR
\]

其中 \(V\) 是電阻兩端的電位差，\(I\) 是流過它的電流，而 \(R\) 是其電阻，單位為歐姆 \(\Omega\)。

串聯中的每個電阻都有相同的 \(I\)。因此，如果一個電阻的電阻值是另一個的三倍，它的電壓降也會是三倍。

例如，如果

\[
R_2 = 3R_1,
\]

那麼

\[
V_2 = IR_2 = I(3R_1) = 3V_1.
\]

因此，電壓會按照電阻值的比例分配。

這個推理假設元件可以視為固定電阻。例如，燈絲燈泡的電阻可能會隨溫度改變。串聯元件中的電流仍然相同，而且各元件的電壓降總和仍然等於電源電壓，但你不能直接把燈泡的電阻視為恆定不變。

如果想複習何時可以直接使用 \(V=IR\)，請參閱 HSC 物理中的歐姆定律。

05為什麼串聯電阻會相加

假設兩個電阻 \(R_1\) 和 \(R_2\) 串聯。

電源電壓為

\[
V_s = V_1 + V_2.
\]

利用 \(V=IR\)，

\[
V_s = IR_1 + IR_2.
\]

電流 \(I\) 對兩個電阻而言是相同的，因此

\[
V_s = I(R_1 + R_2).
\]

如果我們用單一的等效電阻 \(R_{\text{等效}}\) 取代這兩個電阻，它必須在相同電源下汲取相同的電流：

\[
V_s = IR_{\text{等效}}.
\]

因此，

\[
R_{\text{等效}} = R_1 + R_2.
\]

對任意數量的串聯固定電阻而言，

\[
R_{\text{等效}} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots
\]

因此，再串聯一個電阻會增加電路的總電阻。

如果電源電壓保持不變，增加 \(R_{\text{等效}}\) 就表示電路電流會減小：

\[
I = \frac{V_s}{R_{\text{等效}}}.
\]

這種整個系統的變化很重要。你不能加上一個電阻之後，就假設所有其他電流、電壓和功率仍然保持原來的數值。

06值得掌握的四條規則

這張表很有用，但不要把它當成四條彼此無關的公式。真正支撐大部分推理的是電荷守恆與能量守恆。

07一個實用的分壓關係

對兩個串聯固定電阻而言，

\[
I = \frac{V_s}{R_1+R_2}.
\]

因此，\(R_1\) 兩端的電壓為

\[
V_1 = IR_1
= \frac{V_sR_1}{R_1+R_2}.
\]

同樣地，

\[
V_2 = \frac{V_sR_2}{R_1+R_2}.
\]

更一般地，

\[
V_i = V_s\frac{R_i}{R_{\text{等效}}},
\]

其中 \(V_i\) 是某個特定電阻 \(R_i\) 兩端的電壓。

你不需要把這當成一條神祕的新定律來背。它直接來自兩個事實：

1. 每個電阻中的電流都相同，而且
2. \(V=IR\)。

如果某個電阻佔串聯總電阻的四分之一，它就會分到電源電壓的四分之一。

08串聯電路中的功率

電功率是能量轉移的速率。

對一個元件而言，

\[
P=VI,
\]

其中 \(P\) 是功率，單位為瓦特，\(V\) 是元件兩端的電位差，而 \(I\) 是流過元件的電流。

對固定電阻而言，把 \(P=VI\) 與歐姆定律結合可得到

\[
P=I^2R
\]

以及

\[
P=\frac{V^2}{R}.
\]

只要使用正確，這些形式是等價的。

這裡有一個重要陷阱。在 \(P=V^2/R\) 中，\(V\) 必須是該電阻兩端的電壓。在串聯電路中，你不能自動把總電源電壓代入每一個電阻。

在同一個串聯電路內，所有電阻都承載相同的電流。因此，

\[
P_i=I^2R_i.
\]

這表示，當它們承載相同電流時，電阻值較大的電阻所耗散的功率會比電阻值較小的電阻大。

但比較兩個不同電路時要小心。改變一個電阻通常也會改變電流。因此，在整個電路已經改變之後，較大的電阻並不會自動代表較大的功率。

09範例：12 V 電源上的兩個電阻

兩個固定電阻 \(4.0\ \Omega\) 和 \(8.0\ \Omega\) 串聯在一個理想 \(12\ \text{V}\) 電源兩端。計算總電阻、電路電流、每個電阻兩端的電壓，以及每個電阻所耗散的功率。

步驟 1：把串聯電阻相加。

\[
R_{\text{等效}}=4.0+8.0=12\ \Omega
\]

從電源的角度來看，整個電路的效果就像一個 \(12\ \Omega\) 的電阻。

步驟 2：利用電源電壓求共同電流。

\[
I=\frac{V_s}{R_{\text{等效}}}
=\frac{12}{12}
=1.0\ \text{A}
\]

所以 \(1.0\ \text{A}\) 的電流會流過兩個電阻。

步驟 3：求每個電壓降。

\[
\begin{aligned}
V_1 &= IR_1=(1.0)(4.0)=4.0\ \text{V}\\
V_2 &= IR_2=(1.0)(8.0)=8.0\ \text{V}
\end{aligned}
\]

檢查能量關係：

\[
V_1+V_2=4.0+8.0=12\ \text{V}.
\]

\(8.0\ \Omega\) 電阻的電阻值是另一個的兩倍，因此它得到的電壓降也是兩倍。

步驟 4：計算每個電阻中的功率。

使用 \(P=I^2R\)，

\[
\begin{aligned}
P_1&=(1.0)^2(4.0)=4.0\ \text{W}\\
P_2&=(1.0)^2(8.0)=8.0\ \text{W}
\end{aligned}
\]

較大的電阻耗散較多功率，因為兩個電阻都承載相同的 \(1.0\ \text{A}\) 電流。

總功率為

\[
P_{\text{總}}=4.0+8.0=12\ \text{W}.
\]

這與電源所提供的功率一致：

\[
P_{\text{電源}}=V_sI=(12)(1.0)=12\ \text{W}.
\]

因此，功率計算通過了一項獨立檢查。

10範例：從總功率反推

一個 \(4.0\ \Omega\) 電阻和一個未知電阻 \(R\) 串聯在理想 \(18\ \text{V}\) 電源兩端。電源向電路提供 \(27\ \text{W}\) 的功率。求 \(R\)、每個電阻兩端的電壓，以及每個電阻所耗散的功率。

這裡沒有直接給出總電阻。如果從 \(R_{\text{等效}}=R_1+R_2\) 開始，就會留下太多未知數。總功率提供了更好的切入點。

步驟 1：利用總功率求電路電流。

對完整電路而言，

\[
P_{\text{總}}=V_sI.
\]

因此，

\[
I=\frac{P_{\text{總}}}{V_s}
=\frac{27}{18}
=1.5\ \text{A}.
\]

因為這些元件是串聯的，所以這個 \(1.5\ \text{A}\) 的電流會流過兩個電阻。

步驟 2：求等效電阻。

\[
R_{\text{等效}}=\frac{V_s}{I}
=\frac{18}{1.5}
=12\ \Omega.
\]

步驟 3：求未知電阻。

\[
R_{\text{等效}}=R_1+R
\]

所以

\[
12=4.0+R.
\]

因此，

\[
R=8.0\ \Omega.
\]

步驟 4：求兩個電壓降。

\[
\begin{aligned}
V_1&=(1.5)(4.0)=6.0\ \text{V}\\
V_2&=(1.5)(8.0)=12\ \text{V}.
\end{aligned}
\]

它們的總和是 \(18\ \text{V}\)，符合要求。

步驟 5：求每個電阻所耗散的功率。

\[
\begin{aligned}
P_1&=V_1I=(6.0)(1.5)=9.0\ \text{W}\\
P_2&=V_2I=(12)(1.5)=18\ \text{W}.
\end{aligned}
\]

同樣地，

\[
P_1+P_2=9.0+18=27\ \text{W}.
\]

未知的 \(8.0\ \Omega\) 電阻得到的電壓是 \(4.0\ \Omega\) 電阻的兩倍，耗散的功率也是兩倍，因為它們承載相同的電流。

11解答串聯電路問題的可靠方法

當一道題目包含多個電學物理量時，不要急著抓一條剛好含有未知數的公式。應該把整個電路視為一個系統來處理。

一個可靠的順序是：

1. 先確認它確實是串聯電路。 你正在分析的元件之間應該只有一條電流路徑。
2. 求等效電阻，如果已知各個電阻值。
3. 求共同電流，使用總電源電壓與等效電阻。
4. 求各個電壓降，使用 \(V_i=IR_i\)。
5. 求各個功率，選擇包含你已知物理量的有效公式形式。
6. 檢查總量。 各個電壓降應相加等於電源電壓，而各個功率應相加等於電源所提供的總功率。

有時候，題目提供的資訊會暗示另一個起點。在第二個範例中，總功率讓我們先求出了電流。物理規則並沒有改變，只是找出答案的最高效率路徑不同。

12最容易造成問題的迷思

假設一個 \(6.0\ \Omega\) 電阻直接接在 \(12\ \text{V}\) 電源兩端。接著，你再串聯另一個 \(6.0\ \Omega\) 電阻。

學生可能會說：「第一個電阻仍然接在同一個 12 V 電池上，所以它兩端應該仍然是 12 V。」

如果你認為電池只是簡單地給每一個元件 \(12\ \text{V}\)，這種說法聽起來很合理。

但是，電池所提供的 \(12\ \text{V}\) 是加在整個網路兩端。

最初，

\[
I=\frac{12}{6.0}=2.0\ \text{A}.
\]

加入第二個電阻後，

\[
R_{\text{等效}}=6.0+6.0=12\ \Omega,
\]

所以

\[
I=\frac{12}{12}=1.0\ \text{A}.
\]

現在原本那個電阻兩端的電壓為

\[
V_1=IR_1=(1.0)(6.0)=6.0\ \text{V}.
\]

加入第二個電阻改變了總電阻，總電阻的改變又改變了電流，而電流的改變進一步改變了第一個電阻兩端的電壓。

這條推理鏈比單純背誦「相同電阻會平均分配電壓」更有用。即使電阻不相等，它仍然適用。

13問題與解答

問題 1

一個 \(5.0\ \Omega\) 電阻和一個 \(10\ \Omega\) 電阻串聯在理想 \(15\ \text{V}\) 電源兩端。

計算電路電流以及每個電阻兩端的電位差。

解答 1

電路電流為 \(1.0\ \text{A}\)，其中 \(5.0\ \Omega\) 電阻兩端為 \(5.0\ \text{V}\)，而 \(10\ \Omega\) 電阻兩端為 \(10\ \text{V}\)。

先求等效電阻：

\[
R_{\text{等效}}=5.0+10=15\ \Omega.
\]

共同的串聯電流為

\[
I=\frac{V_s}{R_{\text{等效}}}
=\frac{15}{15}
=1.0\ \text{A}.
\]

現在對每個電阻使用 \(V=IR\)：

\[
\begin{aligned}
V_1&=(1.0)(5.0)=5.0\ \text{V}\\
V_2&=(1.0)(10)=10\ \text{V}.
\end{aligned}
\]

各電壓降的總和正確：

\[
5.0+10=15\ \text{V}.
\]

\(10\ \Omega\) 電阻得到的電壓是兩倍，因為在承載相同電流的情況下，它的電阻值是兩倍。

問題 2

三個 \(2.0\ \Omega\)、\(3.0\ \Omega\) 和 \(7.0\ \Omega\) 的電阻串聯在理想 \(24\ \text{V}\) 電源兩端。

計算電流、每個電阻兩端的電壓、每個電阻所耗散的功率，以及電源提供的總功率。

解答 2

電流為 \(2.0\ \text{A}\)。各電壓降分別為 \(4.0\ \text{V}\)、\(6.0\ \text{V}\) 和 \(14\ \text{V}\)，相應的功率分別為 \(8.0\ \text{W}\)、\(12\ \text{W}\) 和 \(28\ \text{W}\)。電源提供 \(48\ \text{W}\)。

總電阻為

\[
R_{\text{等效}}=2.0+3.0+7.0=12\ \Omega.
\]

因此，

\[
I=\frac{24}{12}=2.0\ \text{A}.
\]

各電壓降為

\[
\begin{aligned}
V_1&=(2.0)(2.0)=4.0\ \text{V}\\
V_2&=(2.0)(3.0)=6.0\ \text{V}\\
V_3&=(2.0)(7.0)=14\ \text{V}.
\end{aligned}
\]

它們的總和為

\[
4.0+6.0+14=24\ \text{V}.
\]

由於三個電阻的電流相同，使用 \(P=I^2R\) 很方便：

\[
\begin{aligned}
P_1&=(2.0)^2(2.0)=8.0\ \text{W}\\
P_2&=(2.0)^2(3.0)=12\ \text{W}\\
P_3&=(2.0)^2(7.0)=28\ \text{W}.
\end{aligned}
\]

因此，

\[
P_{\text{總}}=8.0+12+28=48\ \text{W}.
\]

用電源計算也得到相同結果：

\[
P_{\text{電源}}=V_sI=(24)(2.0)=48\ \text{W}.
\]

\(7.0\ \Omega\) 電阻具有最大的電壓降和功率耗散，因為三個電阻都承載相同的電流。

問題 3

一個 \(6.0\ \Omega\) 電阻最初單獨連接在理想 \(12\ \text{V}\) 電源兩端。接著，再將第二個 \(6.0\ \Omega\) 電阻與它串聯。

計算加入第二個電阻之前與之後，原本電阻中的電流與其耗散的功率。說明為什麼即使電源仍保持在 \(12\ \text{V}\)，功率仍然會改變。

解答 3

原本電阻的功率從 \(24\ \text{W}\) 降低至 \(6.0\ \text{W}\)。加入第二個電阻使總電阻加倍、電流減半，並使原本電阻兩端只剩下 \(6.0\ \text{V}\)。

加入第二個電阻之前，

\[
I_{\text{加入前}}=\frac{12}{6.0}=2.0\ \text{A}.
\]

其功率為

\[
P_{\text{加入前}}=I^2R=(2.0)^2(6.0)=24\ \text{W}.
\]

再串聯另一個 \(6.0\ \Omega\) 電阻後，

\[
R_{\text{等效}}=6.0+6.0=12\ \Omega.
\]

新的電流為

\[
I_{\text{加入後}}=\frac{12}{12}=1.0\ \text{A}.
\]

原本的電阻現在耗散

\[
P_{\text{加入後}}=(1.0)^2(6.0)=6.0\ \text{W}.
\]

它兩端的電壓也改變了：

\[
V=(1.0)(6.0)=6.0\ \text{V}.
\]

陷阱在於假設電路改變之後，一個元件仍然會保持完整的電源電壓。\(12\ \text{V}\) 是加在完整串聯網路兩端，而不是分別加在每一個電阻兩端。

注意，因為 \(P=I^2R\)，所以當電流減半時，這個電阻的功率會降低到原來的四分之一。

問題 4

一個理想 \(18\ \text{V}\) 電源與一個未知電阻 \(R\) 以及一個 \(12\ \Omega\) 電阻串聯。接在 \(12\ \Omega\) 電阻兩端的理想電壓表讀數為 \(9.0\ \text{V}\)。

求 \(R\) 以及每個電阻所耗散的功率。

接著改用一個電阻並非極大的真實電壓表。說明為什麼相同的簡單串聯分析可能不再能給出實際的電路數值。

解答 4

未知電阻為 \(12\ \Omega\)，而每個電阻都耗散 \(6.75\ \text{W}\)。非理想電壓表可能會改變電路，因為它在被測電阻兩端形成了一條額外的電流路徑。

流過 \(12\ \Omega\) 電阻的電流為

\[
I=\frac{V}{R}
=\frac{9.0}{12}
=0.75\ \text{A}.
\]

使用理想電壓表時，沒有電流流過電表。因此，兩個電阻仍然構成一個簡單串聯電路，所以相同的 \(0.75\ \text{A}\) 電流也會流過未知電阻。

電源提供 \(18\ \text{V}\)，而已知電阻兩端有 \(9.0\ \text{V}\)。因此，未知電阻兩端也有

\[
V_R=18-9.0=9.0\ \text{V}
\]

的電壓。

它的電阻為

\[
R=\frac{V_R}{I}
=\frac{9.0}{0.75}
=12\ \Omega.
\]

每個電阻的功率為

\[
P=VI=(9.0)(0.75)=6.75\ \text{W}.
\]

重要而隱含的假設，就是理想這個詞。理想電壓表實際上具有無限大的電阻，因此不會汲取電流。

真實電壓表具有有限的電阻。當它接在 \(12\ \Omega\) 電阻兩端時，它會在同樣的兩個接點之間形成另一條路徑。此時，一部分電流可以流過電表，因此電阻和電表形成一個並聯部分。完整電路不再只是兩個承載相同電流的電阻。

在一般學校實驗中，電壓表會被設計成具有非常高的電阻，因此這個影響很小，但這個理想化假設對推理仍然很重要。

問題 5

一個可變電阻 \(R\) 與一個固定 \(6.0\ \Omega\) 電阻串聯在理想 \(12\ \text{V}\) 電源兩端。

一名學生說：

把可變電阻設定為 \(18\ \Omega\) 時，它耗散的功率一定比設定為 \(6.0\ \Omega\) 時大，因為 \(P=I^2R\)，而 \(18\ \Omega\) 的電阻值較大。

計算當 \(R=6.0\ \Omega\) 與 \(R=18\ \Omega\) 時，可變電阻所耗散的功率。精確說明這名學生的論證錯在哪裡。

解答 5

可變電阻設定為 \(6.0\ \Omega\) 時耗散 \(6.0\ \text{W}\)，但設定為 \(18\ \Omega\) 時只耗散 \(4.5\ \text{W}\)。學生的錯誤，是把電流 \(I\) 當成在 \(R\) 改變時仍保持不變。

當 \(R=6.0\ \Omega\) 時，總電阻為

\[
R_{\text{等效}}=6.0+6.0=12\ \Omega.
\]

電流為

\[
I=\frac{12}{12}=1.0\ \text{A}.
\]

因此，可變電阻的功率為

\[
P_R=I^2R=(1.0)^2(6.0)=6.0\ \text{W}.
\]

現在把可變電阻設定為 \(18\ \Omega\)。

總電阻變成

\[
R_{\text{等效}}=6.0+18=24\ \Omega.
\]

此時的電流為

\[
I=\frac{12}{24}=0.50\ \text{A}.
\]

它的功率為

\[
P_R=(0.50)^2(18)
=4.5\ \text{W}.
\]

學生使用 \(P=I^2R\) 本身並沒有錯。隱含的錯誤是假設 \(I\) 不會改變。

把可變電阻從 \(6.0\ \Omega\) 增加至 \(18\ \Omega\)，也會增加整個電路的總電阻。電流從 \(1.0\ \text{A}\) 降低至 \(0.50\ \text{A}\)。因為在 \(P=I^2R\) 中電流會被平方，所以這個電流減少的影響足以超過 \(R\) 增加的影響。

安全的判斷原則是：在同一個未改變的串聯電路中，電阻值較大的電阻會耗散較多功率，因為所有電阻的電流相同。如果你改變了電路本身，就必須先重新計算電流，再比較功率。

14串聯電路為下一步學習奠定什麼基礎

串聯電路最清楚地呈現了兩個會在電路分析中反覆出現的概念：電荷守恆，以及能量守恆。

在單一路徑電路中，電荷守恆表示各處具有相同的電流，而能量守恆使各電壓降的總和等於電源電壓。當電路出現支路時，計算方式就會改變。電流可以在接點分流，而連接在相同兩個接點之間的元件可以具有相同的電位差。

下一個實用步驟，就是準確辨認簡單的串聯規則何時不再適用，然後利用相同的守恆概念來分析並聯與混合網路。