HSC 物理中的熱平衡與淨能量流動
了解熱平衡的真正含義、為甚麼相同溫度會令淨能量流動為零，以及如何解答平衡溫度問題。
把一支燙熱的金屬湯匙放進一杯涼水中。湯匙會降溫，水則會升溫。這部分很容易預測。
但當它們達到相同溫度後，會發生甚麼事？能量傳遞會完全停止，還是粒子仍會彼此交換能量，只是各方向的傳遞互相平衡？
第二種情況更接近真實情形。熱平衡表示系統之間沒有淨熱能傳遞。 相同溫度就是產生這種平衡的條件。
這項區別很重要，因為「沒有淨能量流動」並不等於「甚麼都沒有發生」。
01先從能量流動的方向開始
想像兩個互相接觸的固體方塊。
- 方塊 A 的溫度為 \(80^\circ\text{C}\)。
- 方塊 B 的溫度為 \(20^\circ\text{C}\)。
在繼續閱讀之前，先預測會發生甚麼事。熱能會從 A 傳到 B、從 B 傳到 A，還是兩個方向都會傳遞？
在宏觀尺度上，最實用的答案是：熱能會由較熱的方塊傳遞到較冷的方塊。方塊 A 失去能量並降溫；方塊 B 獲得能量並升溫。
這個過程會持續到兩者達到相同溫度為止。
關鍵的字是淨。
在微觀尺度上，交界面的粒子會以兩個方向互相作用。能量可以由 A 中的一個粒子傳給 B 中的一個粒子，也可以由 B 傳回 A。不過，當 A 比較熱時，整體而言，這些傳遞並不平衡。由 A 傳到 B 的能量比由 B 傳到 A 的更多。
當兩個系統達到相同溫度後，這些微觀能量交換在平均而言會互相平衡。此時，熱能傳遞不再有偏向某一方向的趨勢。
02相同溫度實際上代表甚麼
溫度並不是「物體含有多少熱」的量度。
物體並不含有熱。熱是因溫度差而傳遞的能量。
相反，溫度描述的是系統的熱狀態。在 HSC 程度所使用的粒子模型中，溫度與粒子的平均動能有關。你可以在 HSC 物理中的溫度與平均動能 中重溫這項關係。
現在考慮兩個溫度相同的物體。
一個溫度為 \(25^\circ\text{C}\) 的大型游泳池，所含的內能遠多於一茶匙同樣為 \(25^\circ\text{C}\) 的水。然而，如果能以某種方式讓這茶匙水與游泳池保持可區分的同時彼此熱接觸，就會沒有因溫度差而產生的淨熱能傳遞。
為甚麼？因為它們的溫度本來就相同。
所以，相同溫度並不代表：
- 質量相同，
- 內能相同，
- 粒子的總動能相同，或
- 熱容量相同。
它表示系統之間沒有溫度差來驅動淨熱能傳遞。
03熱平衡
當兩個系統彼此熱接觸，而且由於溫度相同而沒有淨熱能傳遞時，它們就處於熱平衡。
一個有用的心智模型，是想像兩個人不斷隔著桌子互相傳硬幣。
如果一個人每分鐘交出 20 枚硬幣，卻只收到 8 枚，那麼就會有每分鐘 12 枚硬幣朝一個方向的淨流動。如果兩人各自每分鐘向對方交出 15 枚硬幣，硬幣仍然在移動，但淨流量為零。
這個類比並不完全成立，因為微觀的能量傳遞並不是真的由一個個人選擇把一份份能量來回傳遞。真正有用的部分，只是「相反方向的傳遞可以同時發生，而它們的淨效果為零」這個概念。
在熱平衡時，
\[ T_A = T_B \]
其中 \(T_A\) 和 \(T_B\) 分別是系統 A 和 B 的溫度。
其結果是
\[ Q_{\text{A 與 B 之間的淨傳遞}} = 0 \]
隨時間平均而言成立。
這裡的 \(Q\) 代表所傳遞的熱能，單位為焦耳（\(\text{J}\)）。
04相同溫度是終點，不一定是起始條件
假設把一塊 \(90^\circ\text{C}\) 的金屬放入 \(20^\circ\text{C}\) 的水中，而兩者位於一個隔熱良好的容器內。
只要符合以下條件，最終溫度必須介乎 \(20^\circ\text{C}\) 和 \(90^\circ\text{C}\) 之間：
- 沒有發生相變，
- 沒有顯著能量進入或離開容器，而且
- 沒有其他能量傳遞，例如電加熱。
金屬失去熱能。水獲得熱能。
在平衡時，
\[ Q_{\text{失去}} = Q_{\text{獲得}} \]
兩者的大小相等。
較嚴謹的帶正負號表示法是
\[ Q_{\text{金屬}} + Q_{\text{水}} = 0 \]
因為其中一個 \(Q\) 為負，另一個為正。
如果沒有發生相變，我們可以使用
\[ Q = mc\Delta T \]
其中：
- \(Q\) 是所傳遞的熱能，單位為焦耳（\(\text{J}\)），
- \(m\) 是質量，單位為千克（\(\text{kg}\)），
- \(c\) 是比熱容，單位為焦耳每千克每開爾文（\(\text{J kg}^{-1}\text{K}^{-1}\)），
- \(\Delta T = T_f-T_i\) 是溫度變化，而
- \(T_f\) 和 \(T_i\) 分別是最終溫度和初始溫度。
\(1^\circ\text{C}\) 的溫差與 \(1\text{ K}\) 的溫差大小相同，因此在表示 \(\Delta T\) 時可以使用任何一種單位。
如需更完整地了解這條方程式，請參閱 比熱容：在 HSC 物理中使用 Q = mcΔT。
例題：混合等質量的水
在一個完全隔熱的容器中，將 \(0.20\text{ kg}\)、溫度為 \(70^\circ\text{C}\) 的水，與 \(0.20\text{ kg}\)、溫度為 \(30^\circ\text{C}\) 的水混合。求平衡溫度。假設沒有水蒸發。
步驟 1
熱水必須降溫，冷水必須升溫。由於兩份水的質量相同，而且是同一種物質，因此它們的熱容量相同。
所以，我們應預期最終溫度位於 \(70^\circ\text{C}\) 和 \(30^\circ\text{C}\) 的正中間。
步驟 2
熱水失去的總熱能等於冷水獲得的總熱能：
\[ m c (70-T_f) = m c (T_f-30) \]
共同因子 \(m\) 和 \(c\) 可以約去：
\[ 70-T_f = T_f-30 \]
步驟 3
\[ \begin{aligned} 100 &= 2T_f \\ T_f &= 50^\circ\text{C} \end{aligned} \]
所以，平衡溫度為
\[ \boxed{50^\circ\text{C}} \]
兩份水最後都達到 \(50^\circ\text{C}\)。當它們達到這個溫度後，兩者之間便沒有淨熱能傳遞。
注意為甚麼這裡會得到 \(50^\circ\text{C}\)。這並不只是因為「答案永遠都是平均值」。之所以成立，是因為兩份水的質量相同，而且比熱容也相同。
05平衡溫度不一定是數值上的平均值
現在想像把較冷的水換成一種只需要較少能量便能改變溫度的材料。
你還會預期最終溫度恰好位於兩個初始溫度的正中間嗎？
不會。
平衡溫度取決於每個物體的熱容量。對於比熱容保持不變的物體，其熱容量為
\[ mc \]
乘積 \(mc\) 告訴我們，要使物體的溫度改變一度需要多少能量。
\(mc\) 較大的物體較難改變溫度。它會使最終平衡溫度更接近自己的初始溫度。
例題：把鋁放入水中
一塊 \(0.50\text{ kg}\)、溫度為 \(100^\circ\text{C}\) 的鋁塊，被放入 \(0.20\text{ kg}\)、溫度為 \(20^\circ\text{C}\) 的水中。系統是隔熱的。取
\[ c_{\text{Al}} = 900\text{ J kg}^{-1}\text{K}^{-1} \]
以及
\[ c_{\text{water}} = 4200\text{ J kg}^{-1}\text{K}^{-1}. \]
求最終平衡溫度。
步驟 1
鋁的熱容量為
\[ m_{\text{Al}}c_{\text{Al}}=(0.50)(900)=450\text{ J K}^{-1}. \]
水的熱容量為
\[ m_{\text{water}}c_{\text{water}}=(0.20)(4200)=840\text{ J K}^{-1}. \]
水具有較大的熱容量。因此，水的溫度較難改變，所以最終溫度應該更接近 \(20^\circ\text{C}\)，而不是 \(100^\circ\text{C}\)。
在開始任何代數運算之前，這個預測可以為我們提供一項有用的檢查。
步驟 2
鋁會降溫：
\[ Q_{\text{失去}}=m_{\text{Al}}c_{\text{Al}}(100-T_f). \]
水會升溫：
\[ Q_{\text{獲得}}=m_{\text{water}}c_{\text{water}}(T_f-20). \]
因此，
\[ (0.50)(900)(100-T_f) = (0.20)(4200)(T_f-20). \]
步驟 3
\[ \begin{aligned} 450(100-T_f) &= 840(T_f-20) \\ 45000-450T_f &= 840T_f-16800 \\ 61800 &= 1290T_f \\ T_f &\approx 47.9^\circ\text{C} \end{aligned} \]
所以，
\[ \boxed{T_f \approx 48^\circ\text{C}} \]
結果符合我們的預測。最終溫度更接近水的初始溫度 \(20^\circ\text{C}\)，因為水具有較大的熱容量。
06簡潔的平衡方程式
對於隔熱系統中的兩個物體，如果沒有發生相變，
\[ m_1c_1(T_f-T_1)+m_2c_2(T_f-T_2)=0 \]
其中：
- \(m_1\) 和 \(m_2\) 是質量，
- \(c_1\) 和 \(c_2\) 是比熱容，
- \(T_1\) 和 \(T_2\) 是初始溫度，而
- \(T_f\) 是兩者共同的最終平衡溫度。
這條方程式其實只是能量守恆。它並不是另一條需要另外背誦的熱平衡定律。
每一項 \(mc(T_f-T_i)\) 都代表其中一個物體的能量變化。它們的總和為零，是因為在理想的隔熱模型中，系統某一部分失去的能量會由另一部分獲得。
07最容易出現的誤解：「相同溫度表示完全沒有能量傳遞」
這個說法很接近正確，但說得太強了。
假設兩個溫度相同的物體彼此相對。兩者都會發出熱輻射，也都可以吸收對方的輻射。
所以，能量仍然可以向兩個方向傳遞。
在平衡狀態下，消失的是由溫度差所造成的淨傳遞。如果兩個物體以相同的平均速率向對方傳遞能量，那麼兩者都不會因這種交換而出現淨能量變化。
這就像兩個同樣受歡迎的人互相傳送相同數量的訊息。訊息確實有在傳送，但兩人的未讀訊息數目並不會因為這種交換而持續增加。
當你開始追問輻射或粒子碰撞的實際機制時，這個類比便不再有用。分子沒有手機，這大概也是件好事。
08單有相同溫度還需要考慮情境
看到兩支溫度計都顯示 \(40^\circ\text{C}\)，並不能自動證明整個系統已處於完全的熱平衡。
例如，兩個物體可能在某一瞬間具有相同的測量溫度，但同時：
- 其中一個正被電加熱，
- 另一個正向寒冷的周圍環境失去能量，或
- 其中一個物體內部存在很大的溫度梯度。
它們的溫度計讀數在那一刻可能相同，但較大的整體系統仍然正在改變。
熱平衡描述的是一種狀態：在所考慮的系統內，不存在由溫度差所驅動的淨熱能流動。
因此，你應該經常問：系統是甚麼？允許哪些能量傳遞？
09熱平衡與熱力學第零定律
還有一個有用的結果。
假設物體 A 與物體 C 處於熱平衡，而物體 B 也與物體 C 處於熱平衡。
你可以對 A 和 B 得出甚麼結論？
它們具有相同溫度。因此，如果把 A 和 B 放在熱接觸中，它們也會彼此處於熱平衡。
這就是熱力學第零定律。
用符號表示，如果
\[ T_A=T_C \]
而且
\[ T_B=T_C, \]
那麼
\[ T_A=T_B. \]
正是這個概念令溫度計能夠發揮作用。你不需要讓每一個物體都直接與其他所有物體比較。你只需要讓每一個物體都與同一個共同的測量系統比較。
10題目與解答
問題 1
一塊溫度為 \(65^\circ\text{C}\) 的銅塊與另一塊溫度為 \(25^\circ\text{C}\) 的銅塊接觸。兩塊銅均與周圍環境熱隔離。
在達到平衡之前，指出淨熱能傳遞的方向。然後說明當兩塊銅達到相同溫度後，這個淨傳遞會發生甚麼變化。
解答 1
熱能會由 \(65^\circ\text{C}\) 的銅塊淨傳遞至 \(25^\circ\text{C}\) 的銅塊；當兩者的溫度變得相同時，淨傳遞會變成零。
溫度差令熱能傳遞具有一個優先的淨方向。較熱的銅塊失去內能並降溫，而較冷的銅塊獲得內能並升溫。
在熱平衡時，
\[ T_{\text{熱}}=T_{\text{冷}}. \]
微觀的能量交換仍可能同時向兩個方向發生，但平均而言會互相平衡，因此沒有淨熱能傳遞。
常見的錯誤是說所有能量傳遞都停止了。熱平衡要求的是淨傳遞為零，而不一定是微觀能量交換完全不存在。
問題 2
在一個隔熱容器中，混合兩份質量相等、同一種液體，而且沒有發生相變的樣本。一份的初始溫度為 \(18^\circ\text{C}\)，另一份為 \(62^\circ\text{C}\)。
求它們的平衡溫度。
解答 2
平衡溫度為 \(40^\circ\text{C}\)。
因為兩份樣本的質量相等，而且比熱容相同，所以它們具有相同的熱容量。
利用能量守恆，
\[ mc(62-T_f)=mc(T_f-18). \]
約去 \(m\) 和 \(c\)：
\[ \begin{aligned} 62-T_f &= T_f-18 \\ 80 &= 2T_f \\ T_f &= 40^\circ\text{C}. \end{aligned} \]
因此，
\[ \boxed{T_f=40^\circ\text{C}}. \]
每份樣本的溫度都改變 \(22^\circ\text{C}\)。較暖的樣本所失去的熱能，恰好等於較冷的樣本所獲得的熱能。
這裡能夠使用算術平均值，只是因為兩者的熱容量相同。
問題 3
一個 \(0.30\text{ kg}\)、溫度為 \(90^\circ\text{C}\) 的黃銅物體被放入 \(0.10\text{ kg}\)、溫度為 \(20^\circ\text{C}\) 的水中。系統完全隔熱。
使用
\[ c_{\text{brass}}=380\text{ J kg}^{-1}\text{K}^{-1} \]
以及
\[ c_{\text{water}}=4200\text{ J kg}^{-1}\text{K}^{-1}. \]
計算平衡溫度。
解答 3
平衡溫度約為 \(35^\circ\text{C}\)。
黃銅失去熱能，而水獲得熱能。
對黃銅而言，
\[ Q_{\text{失去}} = m_{\text{b}}c_{\text{b}}(90-T_f). \]
對水而言，
\[ Q_{\text{獲得}} = m_{\text{w}}c_{\text{w}}(T_f-20). \]
能量守恆給出
\[ (0.30)(380)(90-T_f) = (0.10)(4200)(T_f-20). \]
所以，
\[ \begin{aligned} 114(90-T_f) &= 420(T_f-20) \\ 10260-114T_f &= 420T_f-8400 \\ 18660 &= 534T_f \\ T_f &\approx 34.9^\circ\text{C}. \end{aligned} \]
因此，
\[ \boxed{T_f\approx35^\circ\text{C}}. \]
結果明顯更接近水的初始溫度。雖然水的質量較小，但水的比熱容大得多，因此水具有較大的熱容量：
\[ m_{\text{water}}c_{\text{water}} = (0.10)(4200) = 420\text{ J K}^{-1}, \]
相比之下，
\[ m_{\text{brass}}c_{\text{brass}} = (0.30)(380) = 114\text{ J K}^{-1}. \]
因此，水每改變一度溫度所需要的能量多得多。
問題 4
一名學生說：
兩個物體的溫度都是 \(30^\circ\text{C}\)，所以它們一定含有相同數量的熱能。
其中一個物體是一塊 \(2.0\text{ kg}\) 的鋼板，另一個則是一枚 \(5.0\text{ g}\) 的鋼螺絲。
解釋這名學生的推理有甚麼問題。如果鋼板和螺絲在兩者都保持 \(30^\circ\text{C}\) 時彼此熱接觸，指出它們之間的淨熱能傳遞。
解答 4
這名學生的說法不正確。兩個物體具有相同溫度，但它們的內能並不相同。它們之間的淨熱能傳遞為零。
溫度並不是物體所儲存總能量的量度。鋼板所含的物質遠多於螺絲，因此包含的粒子也多得多。雖然與溫度相關的平均熱運動情況相同，但鋼板的總內能並不等於螺絲的總內能。
由於兩個物體的溫度都是
\[ 30^\circ\text{C}, \]
它們之間沒有溫度差。因此，淨熱能傳遞沒有優先方向。
所以，
\[ \boxed{Q_{\text{net}}=0}. \]
這個陷阱在於把描述熱狀態的溫度，與還取決於物質多少及物質種類的總內能混為一談。
問題 5
一個電加熱器把物體 A 保持在恰好 \(50^\circ\text{C}\)。測得物體 B 也是 \(50^\circ\text{C}\)，但 B 正持續向一個寒冷的房間失去能量。
一名學生聲稱：「A 和 B 的溫度相同，所以整個裝置一定處於熱平衡。」
評估這項說法。
解答 5
就整個裝置而言，這項說法並不成立。某一瞬間溫度計讀數相同，並不能保證整個系統處於熱平衡。
在所描述的時刻，物體 A 和 B 的溫度相同，因此 A 和 B 之間單純由兩者之間的溫度差所造成的淨熱能傳遞為零。
然而，較大的整體裝置還包括其他能量傳遞。物體 A 從電加熱器獲得能量，而物體 B 則向周圍環境失去能量。因此，這個系統並非處於不再改變的平衡狀態。
若整個裝置真正處於熱平衡，在所考慮的系統內便不能存在由溫度差所驅動的淨熱能流動。
這名學生推理中的隱藏假設，是認為單有相同溫度便已足夠，而沒有檢查系統邊界，也沒有考慮是否正發生外部能量傳遞。
問題 6
兩個隔熱物體 X 和 Y 被放在一起熱接觸。X 的初始溫度為 \(60^\circ\text{C}\)，Y 的初始溫度為 \(20^\circ\text{C}\)。
一段時間後，測得兩者的溫度都是 \(35^\circ\text{C}\)。
一名學生認為，這些測量結果一定不可能，因為 \(35^\circ\text{C}\) 並不是 \(20^\circ\text{C}\) 和 \(60^\circ\text{C}\) 的中點。
在不知道任何一個物體的質量或比熱容的情況下，判斷這名學生的結論是否合理。然後判斷哪一個物體必須具有較大的熱容量 \(mc\)。
解答 6
這名學生的結論並不合理，而且物體 Y 必須具有較大的熱容量。
只有在兩個物體的熱容量相同時，最終平衡溫度才需要等於兩個初始溫度的簡單平均值。
物體 X 從 \(60^\circ\text{C}\) 降溫至 \(35^\circ\text{C}\)，所以
\[ \Delta T_X=25^\circ\text{C}. \]
物體 Y 從 \(20^\circ\text{C}\) 升溫至 \(35^\circ\text{C}\)，所以
\[ \Delta T_Y=15^\circ\text{C}. \]
因為系統是隔熱的，
\[ Q_{\text{X 失去}}=Q_{\text{Y 獲得}}. \]
因此，
\[ (m_Xc_X)(25)=(m_Yc_Y)(15). \]
整理後，
\[ \frac{m_Yc_Y}{m_Xc_X} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}. \]
所以，
\[ \boxed{m_Yc_Y=\frac{5}{3}m_Xc_X}. \]
物體 Y 具有較大的熱容量。兩者交換相同數量的能量時，Y 的溫度變化較小。
這就是為甚麼平衡溫度最終會更接近 Y 的初始溫度 \(20^\circ\text{C}\)，而不是 X 的初始溫度 \(60^\circ\text{C}\)。
接下來很有用的一步，是把這個平衡模型與 \(Q=mc\Delta T\) 已不足以描述的情況連結起來。如果一種物質達到熔點或沸點，即使其溫度保持不變，能量仍然可以繼續傳遞。這會直接引出 潛熱與相變：HSC 物理解說。