حركة المقذوف من ارتفاع إطلاق: دليل فيزياء HSC

تُقذف كرة بسرعة \(20\text{ m s}^{-1}\) وبالزاوية نفسها في تجربتين. في التجربة الأولى، تهبط عند الارتفاع نفسه الذي قُذفت منه. وفي التجربة الثانية، تهبط على أرض تقع على مسافة \(15\text{ m}\) أسفل نقطة الإطلاق.

هل تتوقع أن يكون المدى الأفقي متساويًا لأن سرعة الإطلاق لم تتغير؟ توقّع الإجابة قبل متابعة القراءة.

تقطع الكرة الثانية مسافة أفقية أكبر. لم تصبح حركتها الأفقية أسرع، بل أصبح لديها ببساطة وقت أطول للتحرك أفقيًا لأنها يجب أن تسقط مسافة أكبر قبل أن تصل إلى مستوى هبوطها.

والآن اعكس الموقف. افترض أن منصة الهبوط تقع أعلى من نقطة الإطلاق. قد يصل المقذوف إلى ذلك الارتفاع مرتين، مرة أثناء صعوده ومرة أثناء هبوطه. وقد لا يصل إليه إطلاقًا.

فرق الارتفاع هذا هو الجزء من حركة المقذوفات الذي نحتاج إلى التعامل معه بعناية.

01المعادلة تهتم بالإزاحة، لا بـ«الارتفاع»

يكون أبسط نهج عادةً هو وضع نقطة الإطلاق عند \(y=0\).

ثم نصف نقطة الهبوط باستخدام إزاحتها الرأسية،

\[ \Delta y=y_f-y_i \]

حيث \(y_i\) هو الموضع الرأسي الابتدائي و\(y_f\) هو الموضع الرأسي النهائي.

إذا كانت نقطة الإطلاق هي نقطة الأصل لدينا، فإن \(y_i=0\)، ولذلك تكون \(\Delta y\) ببساطة موضع الهبوط بالنسبة إلى نقطة الإطلاق.

إشارة السالب في الصف الأول ليست اختيارية. فهي تسجل أن المقذوف ينتهي أسفل الموضع الذي بدأ منه.

من الأخطاء الشائعة أن ترى عبارة «جرف ارتفاعه \(12\text{ m}\)» ثم تعوّض تلقائيًا بـ \(+12\text{ m}\). العدد \(12\text{ m}\) يمثل مسافة. أما الإزاحة الرأسية فهي \(-12\text{ m}\) إذا اخترنا الاتجاه إلى أعلى موجبًا.

02أبقِ الحركة الأفقية والرأسية منفصلتين

تخيّل حركة المقذوف على أنها مقطعان مصوران يعملان بالتوقيت نفسه.

يعرض أحدهما الحركة الأفقية، ويعرض الآخر الحركة الرأسية. يحدث في كل منهما شيء مختلف، لكن يجب أن يكون الزمن \(t\) نفسه في كليهما.

يشبه الأمر قليلًا شخصين ينفذان جزأين مختلفين من مهمة جماعية لكنهما يشتركان في موعد تسليم واحد. لا يمكن للحركة الأفقية أن تستغرق سرًا \(2.0\text{ s}\) بينما تستغرق الحركة الرأسية \(3.0\text{ s}\). لدينا مقذوف واحد فقط، ولذلك لدينا زمن منقضٍ واحد فقط.

وفق النموذج القياسي لحركة المقذوفات في HSC:

\[ a_x=0 \]

و

\[ a_y=-g \]

حيث \(a_x\) و\(a_y\) هما التسارعان الأفقي والرأسي، و\(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) هو مقدار تسارع الجاذبية بالقرب من سطح الأرض.

يفترض هذا النموذج أن مقاومة الهواء مهملة. أما إذا كانت مقاومة الهواء كبيرة، فلن تعود الحركتان الأفقية والرأسية مستقلتين بهذه الصورة البسيطة، لأن قوة السحب تعتمد على سرعة المقذوف.

مراجعة سريعة: تحليل سرعة الإطلاق إلى مركبتين

إذا أُطلق المقذوف بسرعة \(u\) وبزاوية \(\theta\) أعلى الأفقي،

\[ u_x=u\cos\theta \]

و

\[ u_y=u\sin\theta \]

حيث \(u_x\) هي السرعة الأفقية الابتدائية و\(u_y\) هي السرعة الرأسية الابتدائية.

إذا كانت هذه الخطوة لا تزال تتطلب منك جهدًا ذهنيًا كبيرًا، فراجع مركبات السرعة الابتدائية للمقذوف قبل المتابعة. يصبح كل ما هنا أسهل عندما تصبح هذه المركبات مألوفة لديك.

الموضع الأفقي بعد زمن \(t\) هو

\[ \Delta x=u_x t \]

لأن التسارع الأفقي يساوي صفرًا.

أما رأسيًا،

\[ \Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2 \]

لأن التسارع الرأسي يساوي \(-g\).

النقطة المهمة هي أن الهبوط عند مستوى مختلف يغيّر \(\Delta y\). وهذا يغيّر الزمن، ثم يؤدي تغيّر الزمن إلى تغيّر المسافة الأفقية.

03إيجاد زمن الطيران عندما يكون ارتفاع الهبوط مختلفًا

ابدأ من

\[ \Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2 \]

ثم أعد ترتيبها:

\[ \frac{1}{2}gt^2-u_y t+\Delta y=0 \]

هذه معادلة تربيعية في \(t\). وباستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية نحصل على

\[ t=\frac{u_y\pm\sqrt{u_y^2-2g\Delta y}}{g} \]

تفترض هذه الصيغة تحديدًا أن الاتجاه إلى أعلى موجب، وبالتالي \(a_y=-g\). ومن الأكثر أمانًا أن تفهم كيف اشتُقت المعادلة بدلًا من حفظ الإشارات دون فهم.

كما أن المقدار الموجود تحت الجذر التربيعي،

\[ u_y^2-2g\Delta y \]

يخبرنا بشيء مفيد من الناحية الفيزيائية.

الهبوط أسفل نقطة الإطلاق

إذا كانت \(\Delta y<0\)، فإن

\[ -2g\Delta y>0 \]

ومن ثم يكون المقدار تحت الجذر أكبر من \(|u_y|\).

ينتج عن ذلك زمن موجب وآخر سالب عندما تكون لحظة الإطلاق هي \(t=0\). تصف القيمة الموجبة الاصطدام المستقبلي. أما القيمة السالبة فتنتمي إلى الامتداد الرياضي للقطع المكافئ قبل إطلاق المقذوف، ولذلك نرفضها.

إذن، يمنح مستوى الهبوط المنخفض المقذوف زمن طيران إضافيًا.

الهبوط عند المستوى نفسه

إذا كانت \(\Delta y=0\)،

\[ t=\frac{u_y\pm u_y}{g} \]

بالنسبة إلى إطلاق نحو الأعلى.

الحلان هما

\[ t=0 \]

و

\[ t=\frac{2u_y}{g} \]

الأول يمثل لحظة الإطلاق نفسها، والثاني يمثل العودة إلى ارتفاع الإطلاق.

الهبوط أعلى من نقطة الإطلاق

تحتاج هذه الحالة إلى مزيد من التفكير.

افترض أن \(\Delta y>0\). قبل حل أي شيء، اسأل: هل يرتفع المقذوف بما يكفي للوصول إلى ذلك المستوى؟

عند أقصى ارتفاع، تكون السرعة الرأسية صفرًا. باستخدام

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

مع \(v_y=0\) و\(a_y=-g\)،

\[ 0=u_y^2-2g\Delta y_{\max} \]

ومن ثم

\[ \Delta y_{\max}=\frac{u_y^2}{2g} \]

بالنسبة إلى إطلاق نحو الأعلى:

• إذا كانت \(\Delta y\) المطلوبة أكبر من \(\Delta y_{\max}\)، فلن يصل المقذوف إلى ذلك المستوى أبدًا؛
• إذا كانت مساوية لـ \(\Delta y_{\max}\)، فإن المقذوف يلامس ذلك المستوى مرة واحدة عند القمة؛
• إذا كانت أصغر منها، فإن المقذوف يمر عادةً بذلك الارتفاع مرتين: مرة أثناء الصعود ومرة أثناء الهبوط.

هذه الحالة الأخيرة هي التي تسبب المشكلات عند اختيار أحد جذري المعادلة التربيعية بصورة عمياء.

04قد يكون الزمنان الموجبان صحيحين رياضيًا

افترض أن مقذوفًا أُطلق من موضع أسفل منصة مرتفعة.

يرى طالب قيمتين موجبتين لـ \(t\)، فيفترض أن هناك خطأ ما في المعادلة التربيعية.

لكن لا يوجد خطأ.

يمكن للمقذوف أن يمر بالارتفاع نفسه مرتين.

تخيّل أنك ترمي كرة بحيث تمر أمام نافذة في الطابق الثاني. تمر الكرة أمام النافذة مرة أثناء صعودها، ثم تختفي فوقها، ثم تمر أمام النافذة نفسها مرة أخرى أثناء هبوطها. الارتفاع نفسه، لكن في زمنين مختلفين.

تعرف المعادلة متى يكون المقذوف عند ذلك الارتفاع. لكنها لا تعرف أين تبدأ المنصة الفعلية، أو ما عرضها، أو ما إذا كان هناك جسم صلب أصلًا عند ذلك الموضع.

يجب أن تأتي هذه المعلومات الهندسية من السؤال.

05أكثر الأخطاء إغراءً

الصف الخامس دقيق. في معظم مسائل الإطلاق في HSC، تكون \(t=0\) محددة صراحةً كلحظة الإطلاق، ولذلك يكون الزمن السالب خارج الحركة الفيزيائية التي نمذجها. لكن هذه القاعدة تعتمد على موضع بداية الساعة. والسؤال 5 أدناه يختبر هذه الفكرة تحديدًا.

06طريقة موثوقة لمستويات الهبوط غير المتساوية

بالنسبة إلى مقذوف يهبط أعلى أو أسفل مستوى إطلاقه، اعمل بهذا الترتيب:

1. اختر نقطة أصل واتفاقية للإشارة. ويكون اعتبار الاتجاه إلى أعلى موجبًا هو الأسهل عادةً.
2. حلّل سرعة الإطلاق إلى \(u_x\) و\(u_y\).
3. احسب الإزاحة الرأسية الفعلية، \(\Delta y=y_f-y_i\).
4. إذا كان مستوى الهبوط أعلى من نقطة الإطلاق، فتحقق مما إذا كان من الممكن الوصول إلى ذلك الارتفاع.
5. حل المعادلة الرأسية لإيجاد \(t\).
6. فسّر كل جذر باستخدام الموقف الفيزيائي بدلًا من رفض الجذور آليًا.
7. استخدم الزمن المناسب في \(\Delta x=u_x t\).
8. إذا كانت سرعة الاصطدام مطلوبة، فاحسب \(v_y=u_y-gt\) واجمعها مع \(v_x=u_x\) التي لم تتغير.

هذه أيضًا هي الفكرة الأساسية وراء زمن طيران المقذوف عند الهبوط على المستوى نفسه أو على مستويات غير متساوية: اضبط الحركة الرأسية أولًا، لأن الحركة الأفقية تنتظر منك الزمن الصحيح.

07الأسئلة والحلول

السؤال 1

تتدحرج كرة أفقيًا من حافة جرف ارتفاعه \(12.0\text{ m}\) بسرعة \(8.00\text{ m s}^{-1}\). أهمل مقاومة الهواء.

أوجد:

أ. الزمن اللازم للوصول إلى الأرض
ب. المسافة الأفقية المقطوعة.

الحل 1

تبقى الكرة في الهواء لمدة \(1.56\text{ s}\)، وتقطع \(12.5\text{ m}\) أفقيًا.

الخطأ المغري هو استخدام \(12.0\text{ m}\) بوصفها إزاحة رأسية موجبة. إذا كان الاتجاه إلى أعلى موجبًا، فإن الأرض تقع أسفل نقطة الإطلاق، ولذلك

\[ \Delta y=-12.0\text{ m} \]

أُطلقت الكرة أفقيًا، ولذلك

\[ u_y=0 \]

استخدم الحركة الرأسية أولًا:

\[ \begin{aligned} \Delta y&=u_y t-\frac12gt^2\\ -12.0&=0-4.90t^2\\ t^2&=\frac{12.0}{4.90}\\ t&=1.56\text{ s} \end{aligned} \]

الزمن الموجب فقط هو المناسب لأن \(t=0\) هي لحظة الإطلاق.

أفقيًا،

\[ \begin{aligned} \Delta x&=u_x t\\ &=(8.00)(1.56)\\ &=12.5\text{ m} \end{aligned} \]

إذن تحدد مسافة السقوط البالغة \(12.0\text{ m}\) المدة التي يبقى فيها المقذوف في الهواء، بينما تحدد السرعة الأفقية البالغة \(8.00\text{ m s}^{-1}\) المسافة التي يقطعها خلال ذلك الزمن.

السؤال 2

أُطلق مقذوف بسرعة \(18.0\text{ m s}^{-1}\)، وبزاوية \(35.0^\circ\) أعلى الأفقي، من حافة تقع على ارتفاع \(8.00\text{ m}\) فوق أرض مستوية.

أوجد:

أ. الزمن حتى الاصطدام
ب. المسافة الأفقية المقطوعة
ج. مقدار سرعة المقذوف واتجاهها مباشرةً قبل الاصطدام.

الحل 2

يصطدم المقذوف بالأرض بعد \(2.71\text{ s}\)، وعلى بعد \(40.0\text{ m}\) أفقيًا من نقطة الإطلاق، بسرعة مقدارها \(21.9\text{ m s}^{-1}\) وبزاوية \(47.7^\circ\) أسفل الأفقي.

الاختصار المغري هو التعامل مع الحركة باعتبارها سقوطًا حرًا لمسافة \(8.00\text{ m}\). لكن هذا يتجاهل حقيقة أن المقذوف يتحرك في البداية إلى أعلى قبل أن يهبط متجاوزًا ارتفاع الإطلاق.

حلّل السرعة الابتدائية أولًا:

\[ \begin{aligned} u_x&=18.0\cos35.0^\circ\\ &=14.74\text{ m s}^{-1} \\[4pt] u_y&=18.0\sin35.0^\circ\\ &=10.32\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

تقع الأرض أسفل نقطة الإطلاق، ولذلك

\[ \Delta y=-8.00\text{ m} \]

استخدم الحركة الرأسية:

\[ \begin{aligned} -8.00&=10.32t-4.90t^2\\ 4.90t^2-10.32t-8.00&=0 \end{aligned} \]

يعطي القانون العام للمعادلة التربيعية قيمة موجبة وأخرى سالبة. يحدث الاصطدام المستقبلي عند

\[ t=2.71\text{ s} \]

ومن ثم تكون الإزاحة الأفقية

\[ \begin{aligned} \Delta x&=u_xt\\ &=(14.74)(2.71)\\ &=40.0\text{ m} \end{aligned} \]

تظل السرعة الأفقية

\[ v_x=14.74\text{ m s}^{-1} \]

أما السرعة الرأسية النهائية فهي

\[ \begin{aligned} v_y&=u_y-gt\\ &=10.32-(9.8)(2.71)\\ &=-16.23\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

تعني الإشارة السالبة أن المقذوف يتحرك إلى أسفل.

مقدار سرعته النهائية هو

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{(14.74)^2+(16.23)^2}\\ &=21.9\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

ولإيجاد الاتجاه،

\[ \tan\phi=\frac{|v_y|}{v_x} \]

إذن

\[ \phi=\tan^{-1}\left(\frac{16.23}{14.74}\right)=47.7^\circ \]

وبالتالي تكون سرعة الاصطدام \(21.9\text{ m s}^{-1}\)، وبزاوية \(47.7^\circ\) أسفل الأفقي.

السؤال 3

أُطلق مقذوف من \(y=0\) بسرعة \(16.0\text{ m s}^{-1}\)، وبزاوية \(55.0^\circ\) أعلى الأفقي.

يوجد سطح منصة أفقي رفيع عند \(y=+5.00\text{ m}\)، ويمتد من \(x=19.0\text{ m}\) إلى \(x=22.0\text{ m}\). أهمل سماكة المنصة وأي واجهة رأسية أمامية لها.

هل يهبط المقذوف على المنصة؟ إذا كان كذلك، فاذكر موضع هبوطه وما إذا كان يتحرك إلى أعلى أم إلى أسفل.

الحل 3

نعم. يهبط المقذوف على المنصة عند \(x=20.3\text{ m}\)، بعد نحو \(2.21\text{ s}\) من الإطلاق، بينما يتحرك إلى أسفل.

الطريقة المغرية هي إيجاد أول زمن موجب يصل فيه المقذوف إلى \(5.00\text{ m}\) ثم التوقف عند ذلك. لكن القيد الذي يغيّر الإجابة هو الموضع الأفقي للمنصة.

حلّل السرعة:

\[ \begin{aligned} u_x&=16.0\cos55.0^\circ\\ &=9.18\text{ m s}^{-1} \\[4pt] u_y&=16.0\sin55.0^\circ\\ &=13.11\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

عند ارتفاع المنصة،

\[ \Delta y=+5.00\text{ m} \]

إذن

\[ 5.00=13.11t-4.90t^2 \]

أو

\[ 4.90t^2-13.11t+5.00=0 \]

وبالحل نحصل على

\[ t_1=0.461\text{ s} \]

و

\[ t_2=2.21\text{ s} \]

يمثل كلا الزمنين عبورًا ممكنًا فيزيائيًا لمستوى \(5.00\text{ m}\).

تحقق الآن من موضع كل عبور.

بالنسبة إلى العبور الأول،

\[ \begin{aligned} x_1&=u_xt_1\\ &=(9.18)(0.461)\\ &=4.23\text{ m} \end{aligned} \]

لا توجد منصة هناك.

أما بالنسبة إلى العبور الثاني،

\[ \begin{aligned} x_2&=(9.18)(2.21)\\ &=20.3\text{ m} \end{aligned} \]

يقع هذا داخل مجال المنصة من \(19.0\text{ m}\) إلى \(22.0\text{ m}\).

للتحقق من اتجاه الحركة،

\[ \begin{aligned} v_y&=u_y-gt\\ &=13.11-(9.8)(2.21)\\ &=-8.59\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

ومن ثم يكون المقذوف متحركًا إلى أسفل.

لم يكن الجذر الموجب الأول «خاطئًا». فقد وصف حدثًا حقيقيًا، لكنه وقع في الموضع الأفقي الخطأ. والهندسة هي التي تختار العبور الثاني بوصفه موضع الهبوط.

السؤال 4

يوجد هدف على بعد \(30.0\text{ m}\) أفقيًا من نقطة الإطلاق وعلى مسافة \(5.00\text{ m}\) أسفلها. يجب إطلاق مقذوف بسرعة مقدارها بالضبط \(20.0\text{ m s}^{-1}\).

أوجد كل زاوية إطلاق بين \(0^\circ\) و\(90^\circ\) تؤدي إلى إصابة الهدف.

ثم أوجد زمن الطيران وسرعة الاصطدام لكل مسار.

يجادل طالب بأن المسار الأكثر انحدارًا لا بد أن يصطدم بسرعة أكبر لأن الجاذبية تؤثر عليه مدة أطول. قيّم هذا الادعاء.

الحل 4

توجد زاويتا إطلاق، تقريبيًا \(12.3^\circ\) و\(68.2^\circ\). وزمنا الطيران هما \(1.54\text{ s}\) و\(4.04\text{ s}\)، على الترتيب، لكن كلا المقذوفين يصطدم بالهدف بالسرعة نفسها، وهي \(22.3\text{ m s}^{-1}\).

حجة الطالب مغرية لأن المقذوف في المسار الأكثر انحدارًا يبقى في الهواء مدة أطول بكثير. لكن القيد الذي يغفله هو أن المقذوف يقضي أيضًا جزءًا من ذلك الزمن الإضافي متحركًا إلى أعلى وفاقدًا للسرعة. ومن دون مقاومة هواء، يبدأ المقذوفان بالسرعة نفسها وينتهيان على مسافة \(5.00\text{ m}\) أسفل مستوى الإطلاق نفسه.

لتكن زاوية الإطلاق \(\theta\).

أفقيًا،

\[ 30.0=(20.0\cos\theta)t \]

إذن

\[ t=\frac{30.0}{20.0\cos\theta} \]

ورأسيًا،

\[ -5.00=(20.0\sin\theta)t-4.90t^2 \]

عوّض عن \(t\):

\[ -5.00 = 30.0\tan\theta - 11.025\sec^2\theta \]

وباستخدام

\[ \sec^2\theta=1+\tan^2\theta \]

وتعريف

\[ T=\tan\theta \]

نحصل على

\[ -5.00=30.0T-11.025(1+T^2) \]

إذن

\[ 11.025T^2-30.0T+6.025=0 \]

يعطي القانون العام للمعادلة التربيعية

\[ T=0.2184 \]

أو

\[ T=2.503 \]

ولذلك،

\[ \theta_1=\tan^{-1}(0.2184)=12.3^\circ \]

و

\[ \theta_2=\tan^{-1}(2.503)=68.2^\circ \]

بالنسبة إلى المسار الأقل ارتفاعًا،

\[ \begin{aligned} t_1 &=\frac{30.0}{20.0\cos12.3^\circ}\\ &=1.54\text{ s} \end{aligned} \]

وبالنسبة إلى المسار الأعلى،

\[ \begin{aligned} t_2 &=\frac{30.0}{20.0\cos68.2^\circ}\\ &=4.04\text{ s} \end{aligned} \]

إذن يختلف زمنا الطيران اختلافًا كبيرًا.

والآن قارن سرعتي الاصطدام من دون إجراء حسابين طويلين للمركبات.

رأسيًا،

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

ولأي من المسارين،

\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2} \]

و

\[ \Delta y=-5.00\text{ m} \]

إذن

\[ v_y^2=u_y^2+98.0 \]

وتحقق السرعة النهائية الكلية

\[ v^2=v_x^2+v_y^2 \]

ومن ثم،

\[ \begin{aligned} v^2 &=u_x^2+u_y^2+98.0\\ &=u^2+98.0\\ &=(20.0)^2+98.0\\ &=498 \end{aligned} \]

إذن

\[ v=22.3\text{ m s}^{-1} \]

لكلا المسارين.

يختلف اتجاه الاصطدام، لكن مقدار سرعة الاصطدام متساوٍ. في نموذج المقذوف المثالي، لا يؤدي زمن الطيران الإضافي للمسار المرتفع، في حد ذاته، إلى سرعة نهائية أكبر.

السؤال 5

أُطلق مقذوف من أرض مستوية. وبعد ذلك، أثناء صعوده عبر مستشعر يقع على ارتفاع \(5.00\text{ m}\) فوق الأرض، قِيست مركبتا سرعته فكانتا

\[ v_x=12.0\text{ m s}^{-1} \]

و

\[ v_y=+8.00\text{ m s}^{-1} \]

يضبط المستشعر ساعته بحيث تكون \(t=0\) عند تلك اللحظة، ويضبط موضعه بحيث يكون \(x=0,\ y=0\).

أهمل مقاومة الهواء.

أوجد:

أ. كل زمن، بالنسبة إلى ساعة المستشعر، يكون فيه المقذوف عند مستوى الأرض
ب. الموضع الأفقي لكل عبور لمستوى الأرض بالنسبة إلى المستشعر
ج. المدى الأفقي الكلي للمقذوف من الإطلاق إلى الهبوط.

يحصل طالب على زمن سالب فيرفضه فورًا. هل هذا الاستدلال صحيح هنا؟

الحل 5

يحدث عبورا مستوى الأرض عند \(t=-0.482\text{ s}\) و\(t=2.12\text{ s}\). ولا يجوز رفض الزمن السالب: فهو يمثل لحظة الإطلاق الحقيقية، التي حدثت قبل أن يختار المستشعر \(t=0\). ويبلغ المدى الأفقي الكلي من الأرض إلى الأرض \(31.2\text{ m}\).

هذه هي النقطة المحورية المهمة: الزمن السالب لا يعني «غير فيزيائي». بل يعني «قبل الحدث الذي سُمّي \(t=0\)». في مسائل الإطلاق المعتادة يكون هذان الشيئان واحدًا غالبًا، لأن الساعة تبدأ عند لحظة الإطلاق. أما هنا فقد جرى الفصل بينهما عمدًا.

بالنسبة إلى المستشعر، تقع الأرض عند

\[ \Delta y=-5.00\text{ m} \]

وعند \(t=0\)، تكون السرعة الرأسية للمقذوف

\[ u_y=+8.00\text{ m s}^{-1} \]

بالنسبة إلى هذا الإحداثي الزمني الجديد.

استخدم معادلة الحركة الرأسية:

\[ \begin{aligned} -5.00&=8.00t-4.90t^2\\ 4.90t^2-8.00t-5.00&=0 \end{aligned} \]

يعطي القانون العام للمعادلة التربيعية

\[ t=\frac{8.00\pm\sqrt{(-8.00)^2-4(4.90)(-5.00)}}{9.80} \]

إذن

\[ t=-0.482\text{ s} \]

و

\[ t=2.12\text{ s} \]

يصف كلا الجذرين حدثًا حقيقيًا في الحركة المعطاة.

السرعة الأفقية ثابتة عند

\[ v_x=12.0\text{ m s}^{-1} \]

لعدم وجود تسارع أفقي.

ومن ثم يكون عبور مستوى الأرض الأسبق عند

\[ \begin{aligned} x_{\text{launch}} &=(12.0)(-0.482)\\ &=-5.79\text{ m} \end{aligned} \]

بالنسبة إلى المستشعر.

أما العبور اللاحق فعند

\[ \begin{aligned} x_{\text{landing}} &=(12.0)(2.12)\\ &=25.4\text{ m} \end{aligned} \]

المدى الأفقي الكلي هو الفرق بين هذين الموضعين:

\[ \begin{aligned} R &=25.4-(-5.79)\\ &=31.2\text{ m} \end{aligned} \]

كانت القاعدة المغرية هي «تخلّص من الزمن السالب». أما القاعدة الصحيحة فهي أدق: تخلّص من الأزمنة التي تقع خارج الفترة الفيزيائية التي يجري نمذجتها.

ولأن المستشعر أعاد ضبط الساعة في منتصف الرحلة، فإن لحظة الإطلاق نفسها لها طابع زمني سالب بصورة صحيحة.

08ما الذي يتيح لك هذا فعله بعد ذلك

بمجرد أن تتمكن من التعامل مع \(\Delta y\) بصورة صحيحة وتفسير جذور المعادلة التربيعية فيزيائيًا، فإن المقذوفات التي تُطلق من الجروف والحفر والشرفات والمنصات المرتفعة لا تعود أنواعًا منفصلة من المسائل. إنها النموذج نفسه مع إحداثيات نهائية مختلفة.

الخطوة المفيدة التالية هي ربط زمن الطيران هذا بالمدى واتجاه الاصطدام والسرعة النهائية. تكون الرياضيات عادةً مباشرة بعد اتخاذ القرار الأصعب: تحديد الإزاحة الرأسية الصحيحة والزمن الصحيح.