الحركة الدائرية لشحنة في مجال مغناطيسي: فيزياء HSC

ينطلق بروتون داخل مجال مغناطيسي منتظم بزاوية قائمة على المجال. تكون القوة المغناطيسية جانبية، لا في اتجاه الحركة إلى الأمام ولا إلى الخلف. فما الذي ينبغي أن يحدث بعد ذلك: هل تتزايد سرعة البروتون، أم تتناقص، أم يتحرك في مسار حلزوني مبتعدًا، أم يستقر في مسار دائري؟

الفكرة الأساسية هي أن القوة الجانبية يمكنها تغيير اتجاه السرعة المتجهة دون تغيير مقدارها. وإذا كان المجال المغناطيسي منتظمًا، فإن هذه القوة الجانبية تستمر في تغيير اتجاهها مع الجسيم، وتشير دائمًا نحو المركز المتحرك نفسه. والنتيجة هي حركة دائرية.

وهذا يعطينا مباشرة سؤالين مفيدين: ما حجم الدائرة، وكم يستغرق إكمال دورة واحدة؟

01لماذا يمكن للمجال المغناطيسي أن يُنتج مسارًا دائريًا

ابدأ بجسيم كتلته \(m\)، وشحنته \(q\)، وسرعته \(v\)، ويتحرك عموديًا على مجال مغناطيسي منتظم مقداره \(B\).

بالنسبة إلى شحنة متحركة، يكون مقدار القوة المغناطيسية

\[ F_B = |q|vB \]

عندما تكون السرعة المتجهة عمودية على المجال. وتهم القيمة المطلقة \( |q| \) هنا لأن مقدار القوة موجب. أما إشارة الشحنة فتحدد اتجاه القوة، وسنتناول ذلك بعد قليل.

إذا كنت بحاجة إلى مراجعة كيفية إيجاد هذه القوة وتحديد اتجاهها، فراجع القوة المؤثرة في شحنة متحركة داخل مجال مغناطيسي.

تخيل الآن أنك تقود حول دوّار بسرعة ثابتة. يمكن أن يبقى عداد السرعة ثابتًا رغم أن سرعتك المتجهة تتغير، لأن السرعة المتجهة تتضمن الاتجاه. ولا بد من وجود شيء يسحبك أو يدفعك باستمرار نحو مركز الدائرة.

يتصرف الجسيم المشحون في مجال مغناطيسي بطريقة مشابهة. وهذا التشبيه مفيد لأن القوة المغناطيسية تؤدي دور القوة التي توجه الجسم إلى الداخل. لكنه لا ينطبق تمامًا لأن السيارة تحتاج إلى قوى تلامس من الطريق وتفقد طاقة بسبب الاحتكاك، بينما تؤثر القوة المغناطيسية المثالية مباشرة في الشحنة المتحركة ولا تبذل شغلًا.

في الحركة الدائرية، تكون محصلة القوة المطلوبة نحو الداخل

\[ F_c = \frac{mv^2}{r} \]

حيث \(r\) هو نصف قطر الدائرة.

وهنا توجد نقطة مهمة تتعلق بالمصطلحات. «القوة المركزية» ليست قوة إضافية تظهر إلى جانب القوة المغناطيسية، بل هي الاسم الذي نطلقه على محصلة القوة المتجهة نحو المركز.

في هذه الحالة، تكون القوة المغناطيسية هي القوة المركزية.

02اشتقاق نصف القطر

لأن القوة المغناطيسية توفر القوة المطلوبة نحو الداخل،

\[ F_B = F_c \]

إذن

\[ |q|vB = \frac{mv^2}{r}. \]

وبالنسبة إلى جسيم متحرك، اقسم الطرفين على \(v\):

\[ |q|B = \frac{mv}{r}. \]

وبإعادة الترتيب نحصل على

\[ r = \frac{mv}{|q|B}. \]

من الأفضل فهم هذه المعادلة بدلًا من حفظها فقط.

يزداد نصف القطر إذا كان للجسيم:

• كتلة أكبر \(m\)،
• سرعة أكبر \(v\)، أو
• مجال مغناطيسي أضعف \(B\).

ويصغر نصف القطر إذا كان مقدار الشحنة \( |q| \) أكبر.

يمكنك أيضًا كتابة البسط على صورة كمية الحركة، لأنه في نموذج HSC غير النسبي \(p=mv\):

\[ r = \frac{p}{|q|B}. \]

إذن يمكن النظر إلى المجال المغناطيسي باعتباره مقياسًا لمدى صعوبة ثني مسار كمية حركة الجسيم.

فالجسيم السريع وذو الكتلة الكبيرة يصعب تغيير مساره. أما الجسيم ذو الشحنة الكبيرة في مجال مغناطيسي قوي فيسهل تغيير اتجاهه بدرجة أكبر بكثير.

03لماذا تبقى سرعة الجسيم ثابتة

من التوقعات الشائعة في البداية أن القوة المغناطيسية لا بد أن تؤدي في النهاية إلى إبطاء الجسيم. فهي، في نهاية الأمر، تجبره باستمرار على الابتعاد عن الاتجاه الذي «يريد» أن يتحرك فيه.

لكن انظر إلى الزاوية بين القوة والحركة اللحظية. فهي تساوي دائمًا \(90^\circ\).

يرتبط الشغل الذي تبذله قوة ثابتة خلال إزاحة صغيرة بالعلاقة

\[ W = Fs\cos\theta. \]

وبالنسبة إلى القوة المغناطيسية،

\[ \theta = 90^\circ \]

لذلك لا تبذل القوة المغناطيسية شغلًا على الجسيم.

وعدم بذل شغل يعني عدم حدوث تغير في الطاقة الحركية. ولذلك، إذا كانت القوة المغناطيسية هي القوة الوحيدة ذات التأثير المهم،

\[ K = \frac{1}{2}mv^2 \]

تبقى ثابتة، وكذلك مقدار السرعة.

لكن السرعة المتجهة تظل تتغير لأن اتجاهها يتغير باستمرار.

وهذا التمييز هو جوهر نموذج الحركة الدائرية: ثبات مقدار السرعة لا يعني ثبات السرعة المتجهة.

04اشتقاق الزمن الدوري

الزمن الدوري \(T\) هو الزمن اللازم لإكمال دورة كاملة واحدة.

في دورة واحدة، يقطع الجسيم مسافة تساوي محيط الدائرة،

\[ 2\pi r. \]

الزمن يساوي المسافة مقسومة على السرعة، لذا

\[ T = \frac{2\pi r}{v}. \]

والآن عوّض

\[ r = \frac{mv}{|q|B}. \]

فنحصل على

\[ T = \frac{2\pi}{v}\left(\frac{mv}{|q|B}\right) = \frac{2\pi m}{|q|B}. \]

إذن،

\[ \boxed{T = \frac{2\pi m}{|q|B}}. \]

لاحظ ما اختفى: \(v\).

ضمن هذا النموذج غير النسبي، لا يعتمد الزمن الدوري على سرعة الجسيم.

قد يبدو ذلك غريبًا في البداية. فإذا تحرك الجسيم بسرعة أكبر، أليس من المفترض أن يكمل دورته في زمن أقصر؟

سيكون ذلك صحيحًا لو بقي حجم المدار ثابتًا. لكنه لا يبقى ثابتًا. فمن

\[ r=\frac{mv}{|q|B}, \]

نجد أن مضاعفة \(v\) تؤدي إلى مضاعفة \(r\). وبالتالي يتضاعف المحيط أيضًا. فيتحرك الجسيم بسرعة مضاعفة حول مسار طوله مضاعف، ولذلك يبقى زمن الدورة الواحدة دون تغيير.

وهذا الاختزال من أكثر النتائج فائدة في هذا الموضوع.

05ما الذي يتحكم في نصف القطر والزمن الدوري؟

بالنسبة إلى الجسيم نفسه ما لم يُذكر خلاف ذلك:

يؤدي عكس إشارة الشحنة أو اتجاه المجال المغناطيسي إلى تغيير اتجاه انحناء المسار. لكنه لا يغير حجم الدائرة.

06ما الذي يحدد الاتجاه؟

تستخدم معادلات نصف القطر والزمن الدوري \( |q| \)، ولذلك فهي لا تخبرك ما إذا كان المسار ينحني مع عقارب الساعة أم عكسها.

يُحدد الاتجاه من القوة المغناطيسية.

بالنسبة إلى شحنة موجبة، استخدم اتجاه

\[ \vec F_B = q\vec v\times\vec B. \]

أما بالنسبة إلى شحنة سالبة، فاعكس اتجاه القوة الذي كنت ستحصل عليه لشحنة موجبة تتحرك بالطريقة نفسها.

لنفترض أن جسيمًا يتحرك في البداية نحو اليمين بينما يشير المجال المغناطيسي إلى داخل الصفحة. تتعرض الشحنة الموجبة لقوة مغناطيسية إلى أعلى، بينما تتعرض الشحنة السالبة لقوة إلى أسفل.

وتستمر القوة بعد ذلك في تغيير اتجاهها مع حركة الجسيم، مع بقائها عمودية على سرعته المتجهة ومتجهة نحو مركز مساره الدائري.

07الشرط الذي يتجاهله الطلاب كثيرًا: يجب أن تكون \(v\) عمودية على \(B\)

تفترض المعادلة البسيطة

\[ F_B=|q|vB \]

أن الجسيم يتحرك بزاوية \(90^\circ\) بالنسبة إلى المجال المغناطيسي.

وبصورة أعم،

\[ F_B=|q|vB\sin\theta, \]

حيث \(\theta\) هي الزاوية بين السرعة المتجهة والمجال المغناطيسي.

المركبة العمودية على المجال من السرعة المتجهة هي وحدها التي يتغير اتجاهها.

إذا رمزنا إلى هذه المركبة بـ \(v_\perp\)، فإن نصف قطر المسار الدائري هو

\[ r=\frac{mv_\perp}{|q|B}. \]

أما أي مركبة للسرعة موازية للمجال، \(v_\parallel\)، فلا تتأثر بالقوة المغناطيسية. ولذلك يتحرك الجسيم إلى الأمام على امتداد المجال بينما يدور حوله، منتجًا مسارًا حلزونيًا.

توجد حالتان حدّيتان مفيدتان:

• إذا كانت \(\theta=90^\circ\)، فإن السرعة المتجهة كلها تكون عمودية على المجال، فيكون المسار دائرة.
• إذا كانت \(\theta=0^\circ\)، فإن \(\sin\theta=0\)، وبالتالي لا توجد قوة مغناطيسية ويواصل الجسيم الحركة في خط مستقيم.

لذلك فإن العبارة «الجسيم المشحون في مجال مغناطيسي يتحرك في دائرة» ليست دقيقة تمامًا.

الجسيم المشحون الذي يتحرك عموديًا على مجال مغناطيسي منتظم، مع كون القوة المغناطيسية هي التي توفر محصلة القوة، يتحرك في دائرة.

10ثلاثة أخطاء مغرية

التعامل مع القوة المركزية على أنها قوة إضافية

قد يكتب طالب

\[ F_{\text{net}}=F_B+F_c. \]

وهذا يعني احتساب الدور الفيزيائي نفسه مرتين.

«القوة المركزية» تعني محصلة القوة المتجهة إلى الداخل اللازمة للحركة الدائرية. وهنا،

\[ F_B=F_c. \]

افتراض أن الجسيم الأسرع له زمن دوري أقصر

صحيح أن الجسيم الأسرع يقطع المسافة في زمن أقل، لكن مداره يصبح أكبر أيضًا.

وبما أن

\[ r\propto v, \]

فإن زيادة المسافة المدارية تتناسب تمامًا مع زيادة السرعة. ولذلك،

\[ T=\frac{2\pi m}{|q|B} \]

لا تعتمد على \(v\) في النموذج غير النسبي.

افتراض أن المجال المغناطيسي يمنح الجسيم طاقته الحركية

يُغيّر المجال المغناطيسي اتجاه المسار، لكنه لا يزيد الطاقة الحركية للجسيم لأن قوته عمودية على الحركة.

إذا تغير مقدار السرعة، فلا بد من وجود تفاعل آخر، مثل مجال كهربائي.

11أسئلة وحلول

السؤال 1

يتحرك إلكترون نحو اليمين بسرعة \(4.00\times10^6\text{ m s}^{-1}\) خلال مجال مغناطيسي منتظم شدته \(0.250\text{ T}\) وموجه إلى داخل الصفحة.

احسب نصف قطر مساره الدائري، وحدد ما إذا كان ينحني في البداية إلى أعلى أم إلى أسفل.

استخدم \(m_e=9.11\times10^{-31}\text{ kg}\) و\(e=1.60\times10^{-19}\text{ C}\).

الحل 1

يتبع الإلكترون مسارًا نصف قطره \(9.11\times10^{-5}\text{ m}\)، وينحني في البداية إلى أسفل.

لإيجاد نصف القطر، استخدم مقدار شحنة الإلكترون:

\[ \begin{aligned} r &=\frac{mv}{|q|B}\\ &=\frac{(9.11\times10^{-31})(4.00\times10^6)} {(1.60\times10^{-19})(0.250)}\\ &=9.11\times10^{-5}\text{ m}. \end{aligned} \]

بالنسبة إلى شحنة موجبة تتحرك نحو اليمين مع توجيه \(B\) إلى داخل الصفحة، ستكون القوة المغناطيسية متجهة إلى أعلى. ولأن شحنة الإلكترون سالبة، فإن قوته تكون في الاتجاه المعاكس: إلى أسفل.

الخطأ المغري هو إدخال شحنة الإلكترون السالبة مباشرة في معادلة نصف القطر والحصول على «نصف قطر سالب». نصف القطر مقدار. وإشارة الشحنة تتحكم في اتجاه الانحناء، لا في حجم المدار.

السؤال 2

يتحرك جسيم مشحون عموديًا على مجال مغناطيسي منتظم شدته \(0.300\text{ T}\). ويقطع بالضبط نصف مسار دائري نصف قطره \(0.0800\text{ m}\) خلال \(3.30\times10^{-7}\text{ s}\).

حدد:

• سرعة الجسيم، و
• نسبة كتلته إلى مقدار شحنته \(m/|q|\).

الحل 2

سرعة الجسيم هي \(7.62\times10^5\text{ m s}^{-1}\)، ونسبة كتلته إلى شحنته هي \(3.15\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}\).

في نصف دائرة، لا تكون المسافة المقطوعة \(2\pi r\)، بل

\[ s=\pi r. \]

لذلك،

\[ \begin{aligned} v &=\frac{\pi r}{t}\\ &=\frac{\pi(0.0800)} {3.30\times10^{-7}}\\ &=7.62\times10^5\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

الزمن المعطى يساوي نصف الزمن الدوري، لذا

\[ T=2(3.30\times10^{-7}) =6.60\times10^{-7}\text{ s}. \]

وباستخدام

\[ T=\frac{2\pi m}{|q|B}, \]

أعد الترتيب:

\[ \frac{m}{|q|} =\frac{TB}{2\pi}. \]

ثم

\[ \begin{aligned} \frac{m}{|q|} &=\frac{(6.60\times10^{-7})(0.300)} {2\pi}\\ &=3.15\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}. \end{aligned} \]

من الطرق المغرية استخدام زمن نصف الدائرة مباشرة باعتباره \(T\). وهذا سيجعل القيمة المحسوبة لـ\(m/|q|\) تساوي نصف القيمة الصحيحة. فالشكل الهندسي للمسار يحدد الجزء الذي انقضى فعليًا من الزمن الدوري الكامل.

السؤال 3

يدخل بروتون وجسيم ألفا المجال المغناطيسي المنتظم نفسه عموديًا على خطوط المجال. ولهما الطاقة الحركية نفسها.

في هذا السؤال، اعتبر أن

\[ m_\alpha=4m_p \]

وأن

\[ q_\alpha=2q_p. \]

قارن بين:

• نصفي قطر مداريهما، و
• زمنيهما الدوريين.

الحل 3

للبروتون وجسيم ألفا نصف القطر المداري نفسه، بينما يساوي الزمن الدوري لجسيم ألفا ضعف الزمن الدوري للبروتون.

الجزء المفاجئ هو نصف القطر. فمن المغري الاستدلال من

\[ r=\frac{mv}{qB} \]

والقول إن الكتلة الأكبر لجسيم ألفا لا بد أن تنتج دائرة أكبر. لكن الجسيمين لا يتحركان بالسرعة نفسها.

عند طاقة حركية ثابتة \(K\)،

\[ K=\frac12mv^2. \]

لذلك،

\[ v=\sqrt{\frac{2K}{m}}. \]

عوّض ذلك في معادلة نصف القطر:

\[ \begin{aligned} r &=\frac{m}{|q|B}\sqrt{\frac{2K}{m}}\\ &=\frac{\sqrt{2mK}}{|q|B}. \end{aligned} \]

بالنسبة إلى جسيم ألفا مقارنة بالبروتون،

\[ \frac{r_\alpha}{r_p} = \frac{\sqrt{m_\alpha}/q_\alpha} {\sqrt{m_p}/q_p}. \]

وباستخدام \(m_\alpha=4m_p\) و\(q_\alpha=2q_p\)،

\[ \frac{r_\alpha}{r_p} = \frac{\sqrt4}{2} =1. \]

إذن نصفا القطر متساويان.

وبالنسبة إلى الزمن الدوري،

\[ T=\frac{2\pi m}{|q|B}, \]

لذلك

\[ \frac{T_\alpha}{T_p} = \frac{m_\alpha/q_\alpha} {m_p/q_p} = \frac{4}{2} =2. \]

إذن يستغرق جسيم ألفا ضعف الزمن لإكمال دائرة بالحجم نفسه.

القيد الأساسي هنا هو تساوي الطاقة الحركية، لا تساوي السرعة. فالكتلة الأكبر لجسيم ألفا تعني أنه يتحرك بسرعة أقل، وهذا الانخفاض في السرعة يعوّض تمامًا تأثير عاملي الكتلة والشحنة في نصف القطر.

السؤال 4

يبدأ جسيم موجب مجهول من السكون ويُسرَّع عبر فرق جهد مقداره \(30.0\text{ kV}\). ثم يدخل مجالًا مغناطيسيًا منتظمًا شدته \(0.200\text{ T}\) بزاوية قائمة.

مساره الدائري نصف قطره \(0.150\text{ m}\)، وزمنه الدوري المقاس \(4.71\times10^{-7}\text{ s}\).

يقول أحد الطلاب:

«نحن نعرف جهد التسريع، والمجال المغناطيسي، ونصف القطر، والزمن الدوري، لذلك توجد معلومات كافية لحساب كتلة الجسيم وشحنته كلًّا على حدة.»

اختبر ادعاء الطالب. أوجد سرعة الجسيم و\(m/q\)، وتحقق مما إذا كان جهد التسريع متسقًا مع القياسات المغناطيسية، وحدد ما إذا كان يمكن بالفعل إيجاد \(m\) و\(q\) كلًّا على حدة.

الحل 4

سرعة الجسيم تساوي تقريبًا \(2.00\times10^6\text{ m s}^{-1}\)، ونسبة كتلته إلى شحنته هي \(1.50\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}\)، كما أن جهد التسريع \(30.0\text{ kV}\) متسق مع هذه القياسات. ومع ذلك، لا يزال من غير الممكن تحديد الكتلة والشحنة كلًّا على حدة من المعلومات المعطاة.

أولًا، اجمع علاقتي نصف القطر والزمن الدوري.

بما أن

\[ T=\frac{2\pi r}{v}, \]

فإن السرعة هي

\[ \begin{aligned} v &=\frac{2\pi r}{T}\\ &=\frac{2\pi(0.150)} {4.71\times10^{-7}}\\ &=2.00\times10^6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

بعد ذلك، استخدم معادلة الزمن الدوري:

\[ T=\frac{2\pi m}{qB}. \]

ولأن الجسيم موجب، فإن \(q=|q|\). وبإعادة الترتيب،

\[ \frac{m}{q} =\frac{TB}{2\pi}. \]

إذن

\[ \begin{aligned} \frac{m}{q} &=\frac{(4.71\times10^{-7})(0.200)} {2\pi}\\ &=1.50\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}. \end{aligned} \]

والآن تحقق من جهد التسريع.

بدءًا من السكون،

\[ qV=\frac12mv^2. \]

اقسم على \(q\):

\[ V=\frac12\left(\frac{m}{q}\right)v^2. \]

بالتعويض من القياسات المغناطيسية،

\[ \begin{aligned} V &=\frac12(1.50\times10^{-8})(2.00\times10^6)^2\\ &=3.00\times10^4\text{ V}\\ &=30.0\text{ kV}. \end{aligned} \]

إذن القياسات متوافقة.

الحجة المغرية لدى الطالب هي أنه يبدو أن لدينا عدة معادلات لعدة مجاهيل. لكن المشكلة أن هذه المعادلات لا تعطي معلومات مستقلة عن \(m\) و\(q\).

فالزمن الدوري المغناطيسي يحدد النسبة

\[ \frac{m}{q}, \]

لا \(m\) أو \(q\) كلًّا على حدة. كما أن معادلة جهد التسريع تختزل أيضًا إلى شرط يعتمد على النسبة نفسها:

\[ \frac{m}{q}=\frac{2V}{v^2}. \]

فإذا ضُوعفت كل من \(m\) و\(q\)، على سبيل المثال، فستظل جميع هذه القياسات دون تغيير.

نحتاج إلى قياس مستقل إضافي أو افتراض يتعلق بحالة الشحنة لتحديد الكتلة والشحنة الفعليتين كلًّا على حدة.

السؤال 5

يتحرك أيون موجب في مجال مغناطيسي منتظم \(B\). وتوجد فجوة تسريع ضيقة على امتداد أحد أقطار مداره. وفي كل مرة يعبر فيها الأيون الفجوة، يزيد مجال كهربائي طاقته الحركية بالمقدار نفسه \(\Delta K\). وخارج الفجوة، لا يؤثر سوى المجال المغناطيسي المنتظم.

مباشرة بعد عبور معين، تكون الطاقة الحركية للأيون \(K_0\).

افترض أن الحركة تظل غير نسبية.

حدد:

1. الزمن بين عبورين متتاليين للفجوة،
2. نصف القطر بعد \(n\) زيادات إضافية في الطاقة،
3. ما إذا كان الفرق بين أنصاف الأقطار المدارية المتتالية يبقى ثابتًا أم يزداد أم يتناقص، و
4. لماذا يمكن لمجال كهربائي متناوب ذي تردد ثابت واحد أن يواصل تسريع الأيون رغم أن كل مسار نصف دائري يصبح أكبر.

الحل 5

يعبر الأيون الفجوة كل \(\pi m/(qB)\)، ويكون نصف قطره بعد \(n\) زيادات إضافية في الطاقة

\[ r_n=\frac{\sqrt{2m(K_0+n\Delta K)}}{qB}, \]

ويقل التباعد بين أنصاف الأقطار المتتالية، ويمكن لمجال متناوب ثابت التردد أن يظل متزامنًا لأن زيادة طول المسار تقابلها بالضبط زيادة في السرعة.

ابدأ بزمن دورة مغناطيسية كاملة:

\[ T=\frac{2\pi m}{qB}. \]

تقع الفجوة على قطر، ولذلك يصل إليها الأيون بعد كل نصف دائرة. ومن ثم،

\[ t_{\text{gap}} =\frac{T}{2} =\frac{\pi m}{qB}. \]

لا يحتوي هذا الزمن على \(v\) ولا على الطاقة الحركية.

والآن انظر إلى حجم المدار.

بعد \(n\) عمليات عبور إضافية يضيف كل منها \(\Delta K\)،

\[ K_n=K_0+n\Delta K. \]

وباستخدام

\[ K_n=\frac12mv_n^2, \]

تكون السرعة

\[ v_n=\sqrt{\frac{2K_n}{m}}. \]

ويكون نصف القطر المغناطيسي

\[ r_n=\frac{mv_n}{qB}. \]

بالتعويض،

\[ \begin{aligned} r_n &=\frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2(K_0+n\Delta K)}{m}}\\ &=\frac{\sqrt{2m(K_0+n\Delta K)}}{qB}. \end{aligned} \]

لذلك،

\[ r_n\propto\sqrt{K_0+n\Delta K}. \]

يزداد نصف القطر بعد كل عملية تسريع، لكن الزيادات المتساوية في الطاقة الحركية لا تنتج زيادات متساوية في نصف القطر.

الفرق بين نصفي قطر متتاليين هو

\[ r_{n+1}-r_n = \frac{\sqrt{2m}}{qB} \left[ \sqrt{K_0+(n+1)\Delta K} - \sqrt{K_0+n\Delta K} \right]. \]

كلما ازدادت \(n\)، أصبح الفرق بين الجذرين التربيعيين أصغر. ولذلك تصبح أنصاف الأقطار المدارية أقرب إلى بعضها تدريجيًا.

المصيدة المفاهيمية الرئيسية هي النظر فقط إلى نصف القطر المتزايد. فنصف الدائرة الأكبر له طول مسار أكبر، ولذلك قد يكون من المغري استنتاج أن الأيون يجب أن يصل إلى الفجوة متأخرًا في كل مرة.

لكن سرعته قد ازدادت أيضًا.

بالنسبة إلى نصف دائرة،

\[ t=\frac{\pi r}{v}. \]

وبالتعويض عن

\[ r=\frac{mv}{qB} \]

نحصل على

\[ t = \frac{\pi}{v}\frac{mv}{qB} = \frac{\pi m}{qB}. \]

تُختزل السرعة تمامًا.

لذلك، رغم أن الأيون يتحرك عبر أنصاف دوائر أكبر فأكبر، فإنه يعود إلى الفجوة بعد الزمن نفسه في كل مرور.

يجب أن يعكس المجال الكهربائي اتجاهه بين مرات العبور بحيث يدفع الأيون الموجب إلى الأمام بدلًا من إبطائه. وبما أن العبور يحدث كل \(T/2\)، فإن مجالًا متناوبًا ذا زمن دوري كامل

\[ T=\frac{2\pi m}{qB} \]

يمكنه أن يظل متزامنًا. ولذلك يكون تردده

\[ f=\frac{1}{T} =\frac{qB}{2\pi m}. \]

وهذه هي الفكرة الأساسية وراء السيكلوترون.

تعتمد نتيجة ثبات الزمن الدوري على الافتراضات المستخدمة في اشتقاقها. وعند سرعات تصبح فيها التأثيرات النسبية مهمة، لا تبقى العلاقة غير النسبية البسيطة دقيقة تمامًا.

12ما الذي تتيحه لك هذه النتيجة بعد ذلك

المعادلتان

\[ r=\frac{mv_\perp}{|q|B} \]

و

\[ T=\frac{2\pi m}{|q|B} \]

تعطيانك معلومات مختلفة عن الجسيم المشحون.

يحتوي نصف القطر على معلومات عن كمية حركته العمودية على المجال. أما الزمن الدوري فيحتوي على معلومات عن نسبة كتلته إلى شحنته. وتتيحان معًا الاستدلال عكسيًا انطلاقًا من مسار مرصود بدلًا من الاكتفاء بالتنبؤ به.

والمقارنة المفيدة التالية تكون مع المجالات الكهربائية. فالمجالات الكهربائية يمكنها تغيير الطاقة الحركية للجسيم، بينما تستطيع المجالات المغناطيسية ثني اتجاه سرعته المتجهة دون تغيير مقدار سرعته. وبمجرد الفصل بين هذين الدورين، تصبح الأجهزة التي تجمع بين المجالات الكهربائية والمغناطيسية أسهل بكثير في التحليل.