المجالات الكهربائية مقابل المجالات المغناطيسية: شرح فيزياء HSC

ضع بروتونًا ساكنًا داخل كلٍّ من مجال كهربائي ومجال مغناطيسي. أيّ المجالين يؤثر فيه بقوة؟

المجال الكهربائي يفعل ذلك. أما المجال المغناطيسي فلا يؤثر في البروتون الساكن.

والآن أطلق البروتون عبر المنطقة نفسها. عندها يمكن للمجال المغناطيسي أن يؤثر بقوة أيضًا. وهنا تنبؤ أكثر أهمية: إذا أدت هذه القوة المغناطيسية إلى انحراف البروتون بزاوية كبيرة، فهل يكون المجال المغناطيسي قد نقل إليه طاقة؟

لا. يمكن للمجال المغناطيسي أن يغيّر اتجاه جسيم مشحون بدرجة كبيرة مع بقاء سرعته، وبالتالي طاقته الحركية، دون تغيير. وهذا الفرق بين تغيير الحركة وتغيير الطاقة هو المفتاح للتمييز بين المجالين الكهربائي والمغناطيسي في فيزياء HSC.

01النموذج الذهني الأول: الدفع مقابل التوجيه

يمكن للمجال الكهربائي أن يدفع شحنة سواء كانت الشحنة متحركة أم ساكنة.

أما المجال المغناطيسي فيتطلب أن تكون الشحنة متحركة. وحتى عندئذٍ، فإنه لا يدفعها إلى الأمام أو الخلف على امتداد حركة الجسيم. فقوته تكون جانبية.

ومن المفيد أن تتصور الأمر مبدئيًا على النحو الآتي:

• يمكن للمجال الكهربائي أن يعمل مثل مُسرِّع، لأن قوته قد تكون لها مركبة في اتجاه الحركة؛
• يعمل المجال المغناطيسي بصورة أقرب إلى التوجيه، لأن قوته تكون عمودية على الحركة.

هذا النموذج مفيد، لكنه غير مكتمل. فالمجال الكهربائي يمكنه أيضًا توجيه الجسيم إذا لم تكن قوته موازية للسرعة، كما أن المجال المغناطيسي لا يؤثر في كل شحنة متحركة: فالشحنة التي تتحرك موازية تمامًا للمجال المغناطيسي لا تتعرض لأي قوة مغناطيسية.

ولتشبيه التوجيه حدود أيضًا. فتوجيه سيارة حقيقية يتضمن قوى من الإطارات والطريق. أما بالنسبة إلى جسيم مشحون مثالي في نموذج HSC، فإن القوة المغناطيسية تكون عمودية بدقة على سرعته اللحظية، ولهذا لا تبذل شغلًا.

02القوة الكهربائية: لا يلزم أن تكون الشحنة متحركة

بالنسبة إلى شحنة \(q\) في مجال كهربائي \(\mathbf E\)،

\[ \mathbf F_E=q\mathbf E \]

حيث:

• \(\mathbf F_E\) هي القوة الكهربائية بالنيوتن، N،
• \(q\) هي الشحنة بالكولوم، C، و
• \(\mathbf E\) هي شدة المجال الكهربائي بوحدة نيوتن لكل كولوم، N C\(^{-1}\)، وهي مكافئة لفولت لكل متر، V m\(^{-1}\).

بالنسبة إلى المقادير،

\[ F_E=|q|E \]

تتعرض الشحنة الموجبة لقوة في اتجاه المجال الكهربائي. أما الشحنة السالبة فتتعرض لقوة في الاتجاه المعاكس.

لاحظ ما هو غير موجود في المعادلة: السرعة. لا يلزم أن تكون الشحنة متحركة.

فالبروتون الساكن في مجال كهربائي متجه إلى اليمين يتعرض فورًا لقوة نحو اليمين. أما الإلكترون الساكن في المجال نفسه فيتعرض فورًا لقوة نحو اليسار.

03القوة المغناطيسية: السرعة مهمة

بالنسبة إلى شحنة متحركة في مجال مغناطيسي،

\[ \mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B \]

وفي حسابات HSC، يُكتب مقدارها عادةً على الصورة

\[ F_B=|q|vB\sin\theta \]

حيث:

• \(F_B\) هي القوة المغناطيسية بالنيوتن، N،
• \(v\) هي سرعة الجسيم بالمتر لكل ثانية، m s\(^{-1}\)،
• \(B\) هي شدة المجال المغناطيسي بالتسلا، T، و
• \(\theta\) هي الزاوية بين متجه السرعة والمجال المغناطيسي.

ومن ذلك نحصل مباشرة على ثلاث حالات مفيدة.

بالنسبة إلى شحنة موجبة، استخدم قاعدة اليد اليمنى لتحديد اتجاه \(\mathbf v\times\mathbf B\). واعكس هذا الاتجاه بالنسبة إلى شحنة سالبة.

والحقيقة الهندسية المهمة هي أنه كلما كانت القوة المغناطيسية غير صفرية، فإنها تكون عمودية على سرعة الجسيم.

وهذا هو السبب في أن المجال المغناطيسي يمكنه إحداث تسارع من دون زيادة مقدار السرعة. فالتسارع يعني تغير متجه السرعة. وتغيير الاتجاه يُعد تغيرًا.

04ماذا لو وُجد المجالان معًا؟

تُجمع القوتان الكهربائية والمغناطيسية ببساطة كمتجهين:

\[ \mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B) \]

وهذه هي قوة لورنتز.

لا تقارن تلقائيًا بين \(E\) و\(B\) كقيم عددية مباشرة. فلكل منهما وحدات مختلفة. قارن بين القوتين الفعليتين:

\[ F_E=|q|E \]

وبالنسبة إلى حركة عمودية،

\[ F_B=|q|vB \]

وبما أن العامل نفسه \(|q|\) يظهر في كل تعبير، تظهر حالة خاصة شائعة عندما تكون القوتان في اتجاهين متعاكسين ومتساويتين في المقدار:

\[ |q|E=|q|vB \]

ومن ثم

\[ v=\frac{E}{B} \]

يمكن لجسيم يتحرك بهذه السرعة أن يمر في خط مستقيم عبر مجالين كهربائي ومغناطيسي متعامدين من دون انحراف.

ولا يعني ذلك أن أيًا من المجالين لا يؤثر. فقد تتعادل قوتان غير صفريتين.

05القوة والطاقة ليسا السؤال نفسه

هنا تقع أخطاء كثيرة حتى في الإجابات الجيدة في جوانب أخرى.

تخبرك القوة بكيفية تغير الزخم. أما الشغل فيخبرك بما إذا كانت الطاقة تُنقل.

يمكن للمجال الكهربائي أن يبذل شغلًا على شحنة. أما المجال المغناطيسي بمفرده فلا يمكنه ذلك.

المجالات الكهربائية يمكن أن تغيّر الطاقة الحركية

طاقة الوضع الكهربائية لشحنة هي

\[ U=qV \]

حيث \(V\) هو الجهد الكهربائي بالفولت.

إذا انتقلت شحنة من جهد ابتدائي \(V_i\) إلى جهد نهائي \(V_f\)،

\[ \Delta U=q(V_f-V_i) \]

فإن الشغل الذي يبذله المجال الكهربائي يساوي سالب التغير في طاقة الوضع الكهربائية:

\[ W_E=-\Delta U=q(V_i-V_f) \]

إذا لم تنقل أي قوة أخرى طاقة،

\[ \Delta K=W_E \]

ومن ثم

\[ \Delta K=q(V_i-V_f) \]

وغالبًا ما يكون ذلك أكثر فائدة من محاولة تتبع كل جزء من المسار.

بالنسبة إلى مجال كهربائي منتظم، يمكن كتابة الفكرة نفسها على الصورة

\[ W_E=qEs\cos\phi \]

حيث \(s\) هي الإزاحة و\(\phi\) هي الزاوية بين المجال الكهربائي والإزاحة.

إذن فالمجال الكهربائي لا ينقل الطاقة دائمًا. فإذا تحركت شحنة عموديًا تمامًا على \(\mathbf E\)، فإن \(\cos90^\circ=0\)، ولا يبذل المجال الكهربائي شغلًا أثناء تلك الإزاحة.

المجالات المغناطيسية لا تبذل شغلًا

يعتمد الشغل على مركبة القوة في اتجاه الإزاحة.

وتكون القوة المغناطيسية دائمًا عمودية على السرعة اللحظية، وبالتالي عمودية على الإزاحة اللحظية للجسيم.

لذلك،

\[ W_B=0 \]

يمكن للمجال المغناطيسي أن يغيّر اتجاه زخم الجسيم، لكنه لا يغيّر مقدار زخمه في نموذج HSC غير النسبي.

وبعبارة مكافئة، يمكنه تغيير الاتجاه من دون تغيير الطاقة الحركية.

وهذا هو السبب نفسه الذي يجعل الحركة الدائرية المنتظمة تتضمن تسارعًا مستمرًا مع بقاء مقدار السرعة ثابتًا.

ومن الحجج المغرية أن تقول: «توجد قوة مغناطيسية، إذن يتسارع الجسيم، وبالتالي لا بد أن تزداد سرعته».

العبارتان الأوليان صحيحتان. أما الأخيرة فليست كذلك. فقد يغيّر التسارع الاتجاه بدلًا من مقدار السرعة.

وفي معالجة HSC، نهمل أيضًا تأثيرات مثل الإشعاع الصادر عن الشحنات المتسارعة والتصادمات مع المادة.

اختبار مفيد للطاقة

عندما يوجد المجالان الكهربائي والمغناطيسي معًا، اطرح سؤالين منفصلين:

1. ما القوة المحصلة، وبالتالي كيف يتغير المسار؟
2. ما الشغل المبذول، وبالتالي كيف تتغير الطاقة الحركية؟

يدخل المجال المغناطيسي في الحساب الأول. لكنه لا يسهم مباشرةً في الثاني.

بالنسبة إلى المجالات الكهربائية الساكنة،

\[ \Delta K=q(V_i-V_f) \]

بغض النظر عن مدى تعقيد المسار الذي يصنعه المجال المغناطيسي بين هاتين النقطتين.

وستصبح هذه الحقيقة مهمة لاحقًا.

06مقارنة مختصرة

قاعدة مفيدة لاتخاذ القرار في الامتحان بسيطة: إذا كان السؤال عن المسار، فضع كلا المجالين في الاعتبار. وإذا كان عن الطاقة الحركية، فابحث عن الشغل الكهربائي أو التغير في الجهد الكهربائي. لا تنسب انتقال الطاقة إلى القوة المغناطيسية.

07الأسئلة والحلول

السؤال 1

يوجد بروتون وإلكترون في البداية ساكنين داخل منطقة تحتوي على مجال كهربائي منتظم شدته \(4.0\times10^3\) N C\(^{-1}\) ومتجه شرقًا، ومجال مغناطيسي منتظم شدته \(0.20\) T ومتجه شمالًا.

لكل جسيم:

(a) حدِّد مقدار واتجاه القوة الكهربائية الابتدائية،

(b) حدِّد قوته المغناطيسية الابتدائية، و

(c) حدِّد أي المجالين يمكنه تغيير طاقته الحركية بعد إطلاقه.

استخدم \(e=1.60\times10^{-19}\) C.

الحل 1

يتعرض البروتون في البداية لقوة كهربائية مقدارها \(6.4\times10^{-16}\) N نحو الشرق، بينما يتعرض الإلكترون للقوة نفسها في المقدار نحو الغرب. ويتعرض كلاهما في البداية لقوة مغناطيسية تساوي صفرًا، ولا يستطيع سوى المجال الكهربائي تغيير طاقتهما الحركية مباشرةً.

لكل من الجسيمين،

\[ F_E=|q|E =(1.60\times10^{-19})(4.0\times10^3) =6.4\times10^{-16}\text{ N} \]

البروتون موجب، لذا تكون قوته في اتجاه \(\mathbf E\): شرقًا.

أما الإلكترون فسالب، لذا تكون قوته في الاتجاه المعاكس لـ\(\mathbf E\): غربًا.

بالنسبة إلى القوة المغناطيسية،

\[ F_B=|q|vB\sin\theta \]

في البداية \(v=0\)، لذا

\[ F_B=0 \]

لكلا الجسيمين.

ومن الأخطاء المغرية استخدام \(F_B=qvB\) مع قيمة المجال المغناطيسي مع نسيان أن الجسيمين ساكنان. فقد يوجد مجال مغناطيسي من دون أن يؤثر بأي قوة في شحنة نقطية ساكنة.

بعد أن يبدأ الجسيمان في الحركة، قد تظهر قوى مغناطيسية تبعًا لاتجاهات سرعتيهما. ويمكن لهذه القوى المغناطيسية تغيير مساريهما، لكنها تظل لا تبذل شغلًا. والمجال الكهربائي هو الذي يسبب التغير في الطاقة الحركية.

السؤال 2

يدخل إلكترون منطقة وهو يتحرك أفقيًا نحو اليمين بسرعة \(3.0\times10^6\) m s\(^{-1}\).

المجال الكهربائي شدته \(1.0\times10^5\) N C\(^{-1}\) ومتجه إلى أعلى، والمجال المغناطيسي شدته \(5.0\times10^{-2}\) T ومتجه إلى داخل الصفحة.

استخدم \(|q_e|=1.60\times10^{-19}\) C.

(a) أوجد مقدار واتجاه القوة الكهربائية الابتدائية.

(b) أوجد مقدار واتجاه القوة المغناطيسية الابتدائية.

(c) أوجد القوة المحصلة الابتدائية.

(d) في اللحظة الدقيقة التي يدخل فيها الإلكترون المنطقة، هل مقدار سرعته يزداد أم ينقص أم يظل دون تغير لحظيًا؟ اشرح ما يحدث بعد ذلك مباشرةً.

الحل 2

تتجه كلتا القوتين الابتدائيتين إلى أسفل، فتنتج قوة محصلة مقدارها \(4.0\times10^{-14}\) N نحو الأسفل. وعلى الرغم من أن القوة المحصلة غير صفرية، فإن مقدار سرعة الإلكترون يظل دون تغير لحظيًا في اللحظة الدقيقة للدخول لأن القوة عمودية على سرعته الابتدائية؛ وبعد ذلك مباشرةً يبدأ المجال الكهربائي في زيادة طاقته الحركية.

بالنسبة إلى القوة الكهربائية،

\[ F_E=|q|E =(1.60\times10^{-19})(1.0\times10^5) =1.60\times10^{-14}\text{ N} \]

يتجه المجال الكهربائي إلى أعلى، لكن الإلكترون سالب، لذا تتجه قوته الكهربائية إلى أسفل.

بالنسبة إلى القوة المغناطيسية،

\[ F_B=|q|vB \]

لأن السرعة عمودية على المجال المغناطيسي.

لذلك،

\[ F_B=(1.60\times10^{-19})(3.0\times10^6)(5.0\times10^{-2}) =2.40\times10^{-14}\text{ N} \]

بالنسبة إلى شحنة موجبة تتحرك نحو اليمين خلال مجال مغناطيسي متجه إلى داخل الصفحة، يكون اتجاه \(\mathbf v\times\mathbf B\) إلى أعلى. أما الإلكترون فسالب، لذا تتجه قوته المغناطيسية إلى أسفل.

إذن تتجمع القوتان:

\[ F_{\text{net}} =1.60\times10^{-14}+2.40\times10^{-14} =4.00\times10^{-14}\text{ N نحو الأسفل} \]

من المغري استنتاج أن وجود قوة محصلة غير صفرية يعني بالضرورة أن مقدار السرعة يزداد فورًا. وهذا ليس صحيحًا بالضرورة.

في لحظة الدخول، تتجه سرعة الإلكترون نحو اليمين بينما تتجه القوة المحصلة إلى أسفل. وبذلك تكون القوة عمودية على السرعة، فيكون المعدل اللحظي لبذل الشغل صفرًا.

لذلك يبدأ الإلكترون بتغيير اتجاهه.

وبعد لحظة، تكون قد نشأت له مركبة سرعة نحو الأسفل. وعندئذٍ تصبح للقوة الكهربائية المتجهة إلى أسفل مركبة في اتجاه حركته، فتؤدي شغلًا موجبًا. وتبدأ طاقته الحركية في الازدياد.

أما القوة المغناطيسية فتظل عمودية على السرعة اللحظية ولا تسهم بأي شغل.

السؤال 3

يتحرك أيون موجب أحادي الشحنة نحو اليمين خلال مجالين متعامدين. المجال الكهربائي شدته \(2.4\times10^4\) N C\(^{-1}\) ومتجه إلى أعلى، والمجال المغناطيسي شدته \(1.2\times10^{-2}\) T ومتجه إلى خارج الصفحة.

(a) أوجد السرعة التي يمر عندها الأيون من دون انحراف.

يدخل الأيون فعليًا بسرعة \(2.5\times10^6\) m s\(^{-1}\).

(b) اذكر اتجاه انحرافه الابتدائي.

لاحقًا، يصبح الأيون على مسافة \(5.0\) mm أسفل خطه الأفقي الابتدائي.

(c) احسب التغير في طاقته الحركية بين لحظة الدخول وهذه النقطة.

(d) اشرح لماذا لا يلزم معرفة المسار المنحني الذي ينتجه المجال المغناطيسي لحساب هذا التغير في الطاقة.

استخدم \(e=1.60\times10^{-19}\) C.

الحل 3

السرعة التي لا يحدث عندها انحراف هي \(2.0\times10^6\) m s\(^{-1}\). وعند \(2.5\times10^6\) m s\(^{-1}\) ينحرف الأيون في البداية إلى أسفل، وبعد وصوله إلى نقطة أخفض بمقدار \(5.0\) mm تكون طاقته الحركية قد انخفضت بمقدار \(120\) eV، أو \(1.92\times10^{-17}\) J.

للحركة من دون انحراف،

\[ qE=qvB \]

ومن ثم

\[ v=\frac{E}{B} =\frac{2.4\times10^4}{1.2\times10^{-2}} =2.0\times10^6\text{ m s}^{-1} \]

الأيون الفعلي يتحرك بسرعة أكبر من ذلك.

عند \(2.5\times10^6\) m s\(^{-1}\)،

\[ vB=(2.5\times10^6)(1.2\times10^{-2}) =3.0\times10^4\text{ N C}^{-1} \]

وهذه قيمة أكبر من شدة المجال الكهربائي البالغة \(2.4\times10^4\) N C\(^{-1}\)، لذا يكون مقدار القوة المغناطيسية أكبر في البداية.

بالنسبة إلى شحنة موجبة تتحرك نحو اليمين بينما يتجه \(\mathbf B\) إلى خارج الصفحة، تتجه القوة المغناطيسية إلى أسفل. أما القوة الكهربائية فتتجه إلى أعلى. لذلك تكون القوة المحصلة في البداية إلى أسفل.

بالنسبة إلى تغير الطاقة، فإن التحرك \(5.0\) mm إلى أسفل يعني الحركة في الاتجاه المعاكس للمجال الكهربائي المتجه إلى أعلى. لذلك يرتفع الجهد الكهربائي بمقدار

\[ \Delta V=Ed =(2.4\times10^4)(5.0\times10^{-3}) =120\text{ V} \]

بالنسبة إلى أيون موجب،

\[ \Delta K=q(V_i-V_f)=-q\Delta V \]

لذلك

\[ \Delta K=-(1.60\times10^{-19})(120) =-1.92\times10^{-17}\text{ J} \]

وبصورة مكافئة،

\[ \Delta K=-120\text{ eV} \]

ومن الأخطاء المغرية استخدام حقيقة أن القوة المغناطيسية كانت أكبر في البداية ونسب انخفاض الطاقة إلى المجال المغناطيسي.

يحدد المجال المغناطيسي جزءًا كبيرًا من شكل المسار، لكنه يبذل شغلًا مقداره صفر. أما تغير الطاقة الحركية فيحدده فرق الجهد الكهربائي بين نقطتي البداية والنهاية.

وبالنسبة إلى مجال كهربائي ساكن، لا يهم المسار التفصيلي بين هاتين النقطتين عند حساب الشغل الكهربائي.

السؤال 4

يُستخدم الأيون الموجب أحادي الشحنة نفسه في تجربتين. افترض حركة غير نسبية ودخولًا عموديًا إلى كل مجال مغناطيسي.

في التجربة A، يبدأ الأيون من السكون، ويكتسب \(800\) eV من الطاقة الحركية أثناء مروره عبر فرق جهد مُسرِّع، ثم يدخل مجالًا مغناطيسيًا شدته \(0.20\) T. ويكون نصف قطر مساره الدائري \(r\).

في التجربة B، يدخل الأيون منطقة تسريع بطاقة حركية ابتدائية مجهولة \(K_0\). ثم يضيف المجال الكهربائي \(400\) eV إلى طاقته الحركية. ويدخل مجالًا مغناطيسيًا شدته \(0.10\) T، ويكون نصف القطر المقاس مرة أخرى \(r\).

هل يمكن لأي قيمة ممكنة فيزيائيًا لـ\(K_0\) أن تجعل هذه المشاهدات متسقة؟ برر إجابتك.

الحل 4

لا. ستتطلب المشاهدات أن تكون \(K_0=-200\) eV، وهذا مستحيل لأن الطاقة الحركية لا يمكن أن تكون سالبة. لذلك لا بد أن يكون واحد على الأقل من الافتراضات أو القياسات المذكورة غير صحيح.

بالنسبة إلى حركة عمودية على مجال مغناطيسي منتظم،

\[ r=\frac{mv}{|q|B} \]

أو باستخدام الزخم \(p=mv\)،

\[ p=|q|Br \]

يُستخدم الأيون نفسه في التجربتين، ونصف القطر المقاس هو نفسه.

لذلك،

\[ \frac{p_B}{p_A} =\frac{B_B}{B_A} =\frac{0.10}{0.20} =\frac12 \]

بالنسبة إلى الجسيم غير النسبي نفسه،

\[ K=\frac{p^2}{2m} \]

لذا فإن خفض الزخم إلى النصف يجعل الطاقة الحركية ربع قيمتها:

\[ K_B=\frac14K_A \]

في التجربة A،

\[ K_A=800\text{ eV} \]

لذا فإن قياس نصف القطر المغناطيسي يعني

\[ K_B=\frac14(800)=200\text{ eV} \]

لكن في التجربة B،

\[ K_B=K_0+400\text{ eV} \]

لذلك،

\[ K_0+400=200 \]

مما يعطي

\[ K_0=-200\text{ eV} \]

وهذه النتيجة ليست خاصية غريبة لكنها مقبولة للجسيمات المشحونة. بل هي تناقض.

ومن الأخطاء الشائعة الاستمرار في معالجة المعادلات بعد الحصول على \(-200\) eV ثم الإبلاغ عنها بوصفها الإجابة. فلا بد أيضًا من تحقق القيد الفيزيائي \(K\geq0\).

وبما أن المجال الكهربائي وحده يضيف \(400\) eV في التجربة B، فلا بد أن يمتلك الأيون ما لا يقل عن \(400\) eV عندما يصل إلى المجال المغناطيسي. ولا يمكنه في الوقت نفسه أن يمتلك \(200\) eV التي يتطلبها نصف القطر المغناطيسي المذكور.

ومن الافتراضات التي قد تكون خاطئة: قيم شدة المجال المعلنة، أو نصف القطر المقاس، أو الدخول العمودي، أو هوية الجسيم، أو مقدار الزيادة المذكورة في الطاقة.

السؤال 5

يدخل أيون موجب أحادي الشحنة جهازًا عند النقطة A، حيث الجهد الكهربائي \(100\) V. وطاقته الحركية الابتدائية \(500\) eV.

يحتوي الجهاز على مجال كهربائي ساكن ومجال مغناطيسي قابل للضبط. وهناك شقان للخروج:

• يقع الشق C على سطح تساوي الجهد \(100\) V؛
• يقع الشق D على سطح تساوي الجهد \(40\) V.

لا توجد تصادمات أو عمليات أخرى لنقل الطاقة.

عند إعداد معين للمجال المغناطيسي، يسلك الأيون مسارًا منحنيًا طويلًا من A إلى C.

وعند تغيير المجال المغناطيسي وحده، يسلك الأيون نفسه مسارًا منحنيًا مختلفًا من A إلى D.

(a) أوجد الطاقة الحركية النهائية عند C.

(b) أوجد الطاقة الحركية النهائية عند D.

(c) يقول أحد الطلاب: «لم يتغير سوى المجال المغناطيسي، ولذلك فإن الطاقة الحركية الإضافية عند D تثبت أن المجال المغناطيسي بذل شغلًا». ويقول طالب آخر: «المجال المغناطيسي لا يبذل شغلًا، ولذلك فإن تغييره لا يمكن أبدًا أن يغير الطاقة الحركية النهائية لجسيم».

اشرح لماذا العبارتان خاطئتان.

(d) افترض أن المجال المغناطيسي عُدّل مرة أخرى بحيث يصبح المسار إلى C أطول بمرتين لكنه يظل يبدأ عند A وينتهي عند C. حدِّد الطاقة الحركية النهائية.

الحل 5

يغادر الأيون عند C بطاقة \(500\) eV وعند D بطاقة \(560\) eV. لذلك يمكن لتغيير المجال المغناطيسي أن يغير الطاقة الحركية النهائية لجسيم في جهاز يحتوي على المجالين معًا، لكن بصورة غير مباشرة فقط، من خلال تغيير الجهد الكهربائي الذي يصل إليه الجسيم؛ أما القوة المغناطيسية نفسها فتظل تبذل شغلًا مقداره صفر.

بالنسبة إلى الحركة من A إلى C،

\[ \Delta K=q(V_A-V_C) \]

كلتا النقطتين عند \(100\) V، لذلك

\[ \Delta K=e(100-100)=0 \]

ومن ثم،

\[ K_C=500\text{ eV} \]

بالنسبة إلى الحركة من A إلى D،

\[ \Delta K=e(100-40) =60\text{ eV} \]

لذلك

\[ K_D=500+60 =560\text{ eV} \]

لاحظ الطالب الأول ارتباطًا حقيقيًا، لكنه أعطى آلية خاطئة. فقد أدى تغيير المجال المغناطيسي إلى تغيير المسار، مما جعل الأيون يغادر عبر شق ذي جهد كهربائي مختلف. وجاءت الزيادة في الطاقة البالغة \(60\) eV من الشغل الذي بذله المجال الكهربائي.

أما القوة المغناطيسية نفسها فظلت عمودية على السرعة اللحظية للجسيم ولم تبذل شغلًا.

أما الطالب الثاني فيرتكب الخطأ المعاكس. فقولنا «المجال المغناطيسي لا يبذل شغلًا» لا يعني أن تغيير المجال المغناطيسي لا يمكنه أبدًا أن يغير الطاقة النهائية المرصودة في جهاز يحتوي على مجالات أخرى.

فمن خلال إعادة توجيه الجسيم، يمكن للمجال المغناطيسي أن يحدد الموقع الذي يصل إليه الجسيم. وإذا كانت نقاط النهاية الممكنة عند جهود كهربائية مختلفة، فيمكن للمجال الكهربائي أن يبذل مقادير مختلفة من الشغل.

وهذا يعطينا التمييز المفيد الآتي:

• عند ثبات جهدي البداية والنهاية، لا يؤدي تغيير المسار المغناطيسي إلى تغيير الشغل الكهربائي؛
• إذا أدى تغيير المجال المغناطيسي إلى تغيير جهد نقطة النهاية، فيمكن أن تتغير الطاقة الحركية النهائية رغم أن المجال المغناطيسي لا يزال لا ينقل طاقة مباشرةً.

وأخيرًا، فإن جعل المسار من A إلى C أطول بمرتين لا يغير شيئًا في نتيجة الطاقة. فما زال جهد البداية والنهاية \(100\) V:

\[ \Delta K=e(100-100)=0 \]

لذلك يظل الأيون يغادر بطاقة

\[ K_C=500\text{ eV} \]

قد يغير المسار الأطول زمن الرحلة وتفاصيل المسار، لكن الشغل الكهروستاتيكي يعتمد على فرق الجهد، لا على المسافة المقطوعة.

بمجرد الفصل بين القوة والطاقة، يصبح تنظيم حركة الجسيمات المشحونة أسهل بكثير. يمكن للمجال الكهربائي المنتظم أن يغير كلًا من مقدار السرعة والاتجاه، وهو ما يقود إلى مسارات الجسيمات المشحونة في المجالات الكهربائية. أما المجال المغناطيسي المنتظم المؤثر عموديًا على السرعة فيُبقي مقدار السرعة ثابتًا بينما يغير اتجاه الجسيم باستمرار، وهو ما يقود مباشرةً إلى الحركة الدائرية لشحنة في مجال مغناطيسي.