المجالات الكهربائية بين الألواح المتوازية: استخدام العلاقة بين الجهد والمسافة

يوجد لوحان معدنيان تفصل بينهما مسافة \(20\ \text{mm}\). أحدهما عند جهد \(+600\ \text{V}\)، والآخر عند \(0\ \text{V}\). ضع إلكترونًا بينهما، فسيتسارع نحو اللوح الموجب.

الآن اجعل الفجوة أكبر بمرتين مع الإبقاء على فرق الجهد نفسه، وهو 600 V. ماذا يحدث للمجال الكهربائي؟

قد تبدو الإجابة الآتية مغرية: «لا شيء – فالجهد ما زال 600 V». لكن شدة المجال تصبح نصف ما كانت عليه. فالتغير نفسه في الجهد الكهربائي أصبح موزعًا الآن على ضعف المسافة.

هذه الفكرة – تغير الجهد لكل وحدة مسافة – هي المفتاح لفهم المجالات الكهربائية بين الألواح المتوازية.

01من فرق الجهد إلى المجال الكهربائي

تخيل لوحين موصلين كبيرين ومسطحين ومتوازيين:

• اللوح الموجب عند جهد كهربائي أعلى،
• اللوح السالب عند جهد كهربائي أقل،
• تفصل بين اللوحين مسافة عمودية \(d\).

في المنطقة الوسطى بين لوحين كبيرين بما يكفي، يكون المجال الكهربائي ثابتًا تقريبًا في كل من المقدار والاتجاه.

قبل استخدام أي معادلة، تخيل الجهد على أنه انحدار.

لنفترض أن الجهد ينخفض بمقدار 600 V عبر مسافة 20 mm. إذا حدث الانخفاض نفسه البالغ 600 V عبر 10 mm فقط، فإن الجهد يتغير بسرعة أكبر مع الموضع. ونقول عندئذ إن المجال الكهربائي أقوى.

يشبه الأمر إلى حد ما منحدرًا. فارتفاع مقداره 2 m موزع على مسافة طويلة يعطي ميلًا لطيفًا. أما الارتفاع نفسه البالغ 2 m إذا حُصر في مسافة قصيرة، فيعطي ميلًا أشد.

هنا:

• يؤدي فرق الجهد \(V\) دور التغير في الارتفاع،
• وتؤدي المسافة الفاصلة بين اللوحين \(d\) دور المسافة الأفقية،
• وتوضح شدة المجال الكهربائي \(E\) مدى سرعة تغير الجهد مع الموضع.

لكن حدود هذا التشبيه تظهر في النهاية. فالجهد الكهربائي ليس ارتفاعًا حقيقيًا، والمجال الكهربائي كمية متجهة وليس منحدرًا ماديًا. ومع ذلك، فإن فكرة «شدة الميل» مفيدة.

بالنسبة إلى مجال كهربائي منتظم بين لوحين متوازيين،

\[ E=\frac{V}{d} \]

حيث:

• \(E\) هي شدة المجال الكهربائي بوحدة فولت لكل متر، \(\text{V m}^{-1}\)، أو بصورة مكافئة نيوتن لكل كولوم، \(\text{N C}^{-1}\)،
• \(V\) هو مقدار فرق الجهد بين اللوحين بوحدة الفولت، \(\text{V}\)،
• \(d\) هي المسافة العمودية الفاصلة بين اللوحين بوحدة المتر، \(\text{m}\).

لاحظ أن \(V\) هنا تعني فرق الجهد، وليس بالضرورة جهد أي من اللوحين منفردًا.

إذا كان أحد اللوحين عند \(+700\ \text{V}\) واللوح المقابل عند \(+200\ \text{V}\)، فإن فرق الجهد بينهما هو

\[ 700-200=500\ \text{V}. \]

ولحساب مقدار المجال، نستخدم \(V=500\ \text{V}\).

02في أي اتجاه يشير المجال؟

تعطي المعادلة \(E=V/d\) مقدار المجال. لكن للمجال الكهربائي اتجاه أيضًا.

بحسب التعريف، يشير المجال الكهربائي في الاتجاه الذي ستتسارع فيه شحنة اختبار موجبة.

ولذلك، فإنه بين لوحين متوازيين يشير:

من اللوح الموجب ذي الجهد الأعلى نحو اللوح السالب ذي الجهد الأقل.

وهذا يؤدي إلى خطأ شائع عند التعامل مع الإلكترونات.

للإلكترون شحنة سالبة، ولذلك تكون القوة الكهربائية المؤثرة فيه في اتجاه معاكس لاتجاه المجال الكهربائي.

القوة المؤثرة في أي شحنة هي

\[ F=qE, \]

حيث \(F\) هي القوة الكهربائية بوحدة النيوتن، و\(q\) هي الشحنة بوحدة الكولوم، و\(E\) هي شدة المجال الكهربائي بوحدة نيوتن لكل كولوم.

بالنسبة إلى الشحنة الموجبة، تكون القوة والمجال في الاتجاه نفسه. أما بالنسبة إلى الشحنة السالبة، فتكونان في اتجاهين متعاكسين.

لذلك، يتسارع الإلكترون الموجود بين اللوحين نحو اللوح الموجب، رغم أن المجال الكهربائي يشير نحو اللوح السالب.

03لماذا تعمل العلاقة \(E=V/d\)؟

يخبرنا فرق الجهد الكهربائي بمقدار تغير طاقة الوضع الكهربائية لكل وحدة شحنة.

بالنسبة إلى شحنة \(q\)،

\[ V=\frac{\Delta U}{q}, \]

حيث \(\Delta U\) هو التغير في طاقة الوضع الكهربائية.

والآن لنفترض أن شحنة تتحرك مسافة \(d\) مباشرةً على امتداد مجال كهربائي منتظم. مقدار القوة الكهربائية هو

\[ F=qE. \]

ولذلك فإن مقدار الشغل المبذول على امتداد المسافة \(d\) هو

\[ W=Fd=qEd. \]

ولأن الجهد يمثل الطاقة المنتقلة لكل وحدة شحنة،

\[ V=\frac{W}{q}. \]

وبالتعويض عن \(W=qEd\)،

\[ V=\frac{qEd}{q}=Ed. \]

إذن،

\[ E=\frac{V}{d}. \]

تُختصر الشحنة \(q\). وهذه نقطة مهمة: المجال الكهربائي بين اللوحين خاصية للترتيب الكهربائي نفسه، وليس للشحنة الاختبارية التي تصادف أن تضعها فيه.

إذا وُضع بروتون وإلكترون عند النقطة نفسها، فإنهما يتعرضان للمجال الكهربائي نفسه. لكن القوتين المؤثرتين فيهما تتجهان في اتجاهين متعاكسين لأن شحنتيهما متعاكستا الإشارة.

04العلاقة الأكثر دقة

توجد حدود مهمة مخفية داخل المعادلة البسيطة.

العلاقة الدقيقة بين المجال الكهربائي والجهد هي أن المجال الكهربائي يصف كيفية تغير الجهد مع الموضع. وفي بعد واحد،

\[ E_x=-\frac{\Delta V}{\Delta x} \]

لمنطقة يكون فيها المجال ثابتًا.

تخبرنا الإشارة السالبة بأن المجال الكهربائي يشير نحو تناقص الجهد الكهربائي.

أما إذا كنا نحسب المقادير فقط بين لوحين متوازيين مثاليين، فتصبح العلاقة

\[ E=\frac{V}{d}. \]

إذن فالعلاقة \(E=V/d\) ليست صيغة عامة تعني أن كل مجال كهربائي يساوي «جهدًا ما مقسومًا على مسافة ما». بل تُستخدم مباشرة عندما يكون المجال منتظمًا على امتداد المسافة التي ندرسها.

ويصبح هذا التمييز مهمًا بالقرب من حواف الألواح الحقيقية.

05ماذا يتغير عندما يتغير \(V\) أو \(d\)؟

تعطينا المعادلة

\[ E=\frac{V}{d} \]

عدة تنبؤات مفيدة.

الحالة الأخيرة جديرة بالملاحظة. فالجهد الأكبر لا يعني تلقائيًا مجالًا كهربائيًا أقوى.

فعلى سبيل المثال،

\[ \frac{200\ \text{V}}{2.0\ \text{mm}} \]

و

\[ \frac{1000\ \text{V}}{10\ \text{mm}} \]

ينتجان شدة المجال المثالية نفسها:

\[ E=1.0\times10^5\ \text{V m}^{-1}. \]

ما يهم هو مقدار تغير الجهد لكل وحدة مسافة.

06أين ينجح نموذج المجال المنتظم؟

الألواح الحقيقية محدودة الأبعاد. فهي ليست صفائح لا نهائية العرض.

في منتصف لوحين متوازيين كبيرين ومتقاربين، تكون خطوط المجال شبه مستقيمة ومتوازية ومتساوية التباعد. ولهذا ينجح تقريب المجال على أنه منتظم في تلك المنطقة.

يكون هذا التقريب أدق عندما:

• يكون اللوحان متوازيين،
• تكون أبعاد كل لوح أكبر بكثير من المسافة الفاصلة بينهما،
• تكون النقطة التي نهتم بها بعيدة جيدًا عن الحواف،
• لا تشوه الأجسام المشحونة أو الموصلات القريبة المجال بدرجة ملحوظة.

في هذه الظروف،

\[ E\approx\frac{V}{d}. \]

ولإشارة التقريب أهمية عند الحديث عن أجهزة حقيقية.

07أين يفشل النموذج؟

بالقرب من الحافة، تنتشر خطوط المجال إلى الخارج بدلًا من أن تبقى مستقيمة ومتوازية تمامًا. وتُسمى هذه الظاهرة تشتت المجال عند الحواف.

بالقرب من الحواف:

• يتغير اتجاه المجال مع الموضع،
• يمكن أن يتغير مقدار المجال مع الموضع،
• لا تعطي \(E=V/d\) المجال المحلي الدقيق بعد الآن.

يمكن أن تظل المعادلة مفيدة في وصف المقياس المميز أو المتوسط للمجال، لكن لا ينبغي التعامل معها على أنها تعطي المجال الدقيق عند كل نقطة.

إليك التمييز الأساسي:

معرفة فرق الجهد عبر مسافة معلومة لا تثبت، في حد ذاتها، أن المجال الكهربائي منتظم.

فهندسة النظام وتوزيع الشحنة المحيطة مهمان أيضًا.

هل تؤدي زيادة مساحة الألواح إلى زيادة \(E\)؟

لنفترض أن الجهد والمسافة الفاصلة ثابتان، لكن عرض كل لوح أصبح أكبر.

قد يتوقع طالب مجالًا أكبر لأن هناك «معدنًا مشحونًا أكثر».

لكن بالنسبة إلى مجال مثالي بين لوحين متوازيين يُحافظ فيه على فرق جهد ثابت،

\[ E=\frac{V}{d} \]

لا تتضمن العلاقة مساحة اللوح.

تؤدي زيادة حجم الألواح أساسًا إلى جعل تقريب المجال المنتظم في المنطقة الوسطى صالحًا على مساحة أكبر. ولا تزيد تلقائيًا المجال المثالي في الوسط عندما يظل كل من \(V\) و\(d\) ثابتًا.

وهذا أحد الأسباب التي تمنعك من التعامل مع المعادلات بوصفها مجرد قوائم من المتغيرات وافتراض أن كل تغير فيزيائي يجب أن يظهر في مكان ما في الصيغة. فبعض التغيرات تؤثر في مدى صلاحية النموذج بدلًا من أن تؤثر في القيمة العددية التي يتنبأ بها النموذج.

08الجهد ليس الشيء نفسه الذي يمثله المجال الكهربائي

من التصورات الخاطئة المغرية أيضًا الاعتقاد بأن النقطة ذات الجهد المرتفع لا بد أن يكون عندها مجال كهربائي قوي.

ليس بالضرورة.

يعتمد المجال الكهربائي على مدى سرعة تغير الجهد مع الموضع.

تخيل لوحًا موصلًا كاملًا عند \(1000\ \text{V}\). يمكن أن تكون كل نقطة على ذلك الموصل عند الجهد نفسه، ولذلك لا يحدث تغير في الجهد أثناء تحركك على سطحه. يكون المجال الكهربائي المماسي هناك صفرًا رغم أن الجهد نفسه يساوي \(1000\ \text{V}\).

ما يهم هو تدرج الجهد، لا مجرد كون القيمة العددية للجهد كبيرة.

يشبه ذلك الارتفاع عن سطح البحر. فإذا كنت واقفًا على هضبة مرتفعة لكنها مستوية تمامًا، فأنت على ارتفاع كبير عن سطح البحر، لكنك لا تقف على منحدر شديد.

ومرة أخرى، للتشبيه حدود، لكنه يوضح بصورة جيدة الفرق بين الجهد وتدرج الجهد.

09الأسئلة والحلول

السؤال 1

يفصل بين لوحين متوازيين \(3.0\ \text{mm}\). اللوح الأيسر عند \(+12\ \text{V}\)، واللوح الأيمن عند \(0\ \text{V}\).

احسب شدة المجال الكهربائي بين اللوحين، وحدد اتجاهه.

الحل 1

شدة المجال هي \(4.0\times10^3\ \text{V m}^{-1}\)، واتجاهه من اللوح الأيسر نحو اللوح الأيمن.

المجال منتظم تقريبًا، لذلك

\[ E=\frac{V}{d}. \]

حوّل المسافة الفاصلة:

\[ d=3.0\ \text{mm}=3.0\times10^{-3}\ \text{m}. \]

فرق الجهد هو \(12\ \text{V}\)، ومن ثم

\[ \begin{aligned} E&=\frac{12}{3.0\times10^{-3}}\\ &=4.0\times10^3\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

يشير المجال الكهربائي من الجهد الأعلى إلى الجهد الأقل، ولذلك يتجه من اللوح الأيسر ذي الجهد \(+12\ \text{V}\) نحو اللوح الأيمن ذي الجهد \(0\ \text{V}\).

من الأخطاء الشائعة إعطاء القيمة \(4000\) فقط دون وحدة أو اتجاه. المجال الكهربائي كمية متجهة، ولذلك فكلاهما مهم.

السؤال 2

يوجد لوحان أفقيان كبيران تفصل بينهما \(20\ \text{mm}\)، ويُحافظ بينهما على فرق جهد مقداره \(800\ \text{V}\). يبدأ إلكترون من السكون في منتصف المسافة بينهما.

افترض أن المجال منتظم وأهمل تأثير الجاذبية.

كتلة الإلكترون هي \(9.11\times10^{-31}\ \text{kg}\)، ومقدار شحنته \(1.60\times10^{-19}\ \text{C}\).

احسب:

a. شدة المجال الكهربائي،

b. مقدار تسارع الإلكترون،

c. الزمن الذي يستغرقه الإلكترون للوصول إلى اللوح الموجب.

الحل 2

المجال الكهربائي هو \(4.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\)، ومقدار تسارع الإلكترون يساوي تقريبًا \(7.0\times10^{15}\ \text{m s}^{-2}\)، ويصل إلى اللوح الموجب بعد نحو \(1.7\times10^{-9}\ \text{s}\).

أولًا، حوّل المسافة الفاصلة بين اللوحين:

\[ d=20\ \text{mm}=2.0\times10^{-2}\ \text{m}. \]

بالنسبة إلى الجزء a،

\[ \begin{aligned} E&=\frac{V}{d}\\ &=\frac{800}{2.0\times10^{-2}}\\ &=4.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

بالنسبة إلى الجزء b، يكون مقدار القوة الكهربائية

\[ \begin{aligned} F&=qE\\ &=(1.60\times10^{-19})(4.0\times10^4)\\ &=6.4\times10^{-15}\ \text{N}. \end{aligned} \]

ثم، باستخدام \(F=ma\)،

\[ \begin{aligned} a&=\frac{F}{m}\\ &=\frac{6.4\times10^{-15}}{9.11\times10^{-31}}\\ &\approx7.0\times10^{15}\ \text{m s}^{-2}. \end{aligned} \]

يوجد الإلكترون في منتصف المسافة بين اللوحين، ولذلك يقطع

\[ s=10\ \text{mm}=1.0\times10^{-2}\ \text{m}. \]

ويبدأ من السكون. بالنسبة إلى تسارع ثابت،

\[ s=ut+\frac12at^2. \]

وبما أن \(u=0\)،

\[ t=\sqrt{\frac{2s}{a}}. \]

إذن،

\[ \begin{aligned} t &=\sqrt{\frac{2(1.0\times10^{-2})}{7.0\times10^{15}}}\\ &\approx1.7\times10^{-9}\ \text{s}. \end{aligned} \]

الخطأ المغري هو جعل الإلكترون يتسارع في اتجاه المجال الكهربائي. لكن شحنته سالبة، ولذلك تكون قوته وتسارعه في الاتجاه المعاكس للمجال، أي نحو اللوح الموجب.

السؤال 3

للمكثف A لوحان متوازيان تفصل بينهما \(4.0\ \text{mm}\)، وفرق الجهد بينهما \(240\ \text{V}\).

وللمكثف B لوحان تفصل بينهما \(15\ \text{mm}\)، وفرق الجهد بينهما \(750\ \text{V}\).

يوضع بروتون في المنطقة الوسطى من كل مكثف.

a. أي المكثفين ينتج قوة كهربائية أكبر على البروتون؟

b. يقول أحد الطلاب: «لا بد أن يكون B لأن 750 V أكبر بكثير من 240 V». اشرح بدقة الخطأ في هذا الاستدلال.

c. إذا جُعل عرض لوحي المكثف A أكبر بثلاث مرات مع بقاء الجهد والمسافة الفاصلة ثابتين، فماذا يحدث للمجال المثالي في الوسط؟

الحل 3

ينتج المكثف A قوة أكبر. ويفشل استدلال الطالب لأن المجال الكهربائي يعتمد على فرق الجهد لكل وحدة مسافة فاصلة، لا على فرق الجهد وحده، كما أن زيادة عرض لوحي A لا تغير مجاله المثالي في الوسط عندما يظل كل من \(V\) و\(d\) ثابتًا.

بالنسبة إلى المكثف A،

\[ \begin{aligned} E_A&=\frac{240}{4.0\times10^{-3}}\\ &=6.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

وبالنسبة إلى المكثف B،

\[ \begin{aligned} E_B&=\frac{750}{15\times10^{-3}}\\ &=5.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

إذن،

\[ E_A>E_B. \]

وبما أن البروتون نفسه موضوع في كل مجال وأن

\[ F=qE, \]

فإن المجال الكهربائي الأكبر ينتج قوة أكبر. لذلك،

\[ F_A>F_B. \]

الطريقة المغرية هي مقارنة \(750\ \text{V}\) مباشرةً مع \(240\ \text{V}\). لكن الجهد ليس شدة المجال. فالمكثف B يوزع فرق جهده الأكبر على فجوة أكبر بكثير.

بالنسبة إلى الجزء c،

\[ E_A=\frac{V}{d} \]

لا تتغير لأن \(V\) و\(d\) لا يتغيران.

يمكن للألواح الأعرض أن تحسن تقريب المجال المنتظم عن طريق إبعاد تأثيرات الحواف عن المنطقة الوسطى. تؤثر مساحة اللوح في هندسة التقريب، لكنها لا تظهر في العلاقة \(E=V/d\) لمجال مثالي يُحافظ فيه على \(V\) و\(d\) ثابتين.

السؤال 4

يدخل بروتون أفقيًا في منتصف المسافة بين لوحين متوازيين بسرعة \(3.0\times10^6\ \text{m s}^{-1}\). طول اللوحين \(40\ \text{mm}\)، والمسافة الفاصلة بينهما \(12\ \text{mm}\)، وفرق الجهد بينهما \(600\ \text{V}\).

افترض أن المجال منتظم داخل منطقة اللوحين، وأنه يصبح صفرًا مباشرة بعد مغادرة البروتون لها. أهمل تأثير الجاذبية.

يُبنى جهاز ثانٍ بلوحين طولهما ضعف طول اللوحين الأولين، والمسافة الفاصلة بينهما ضعف المسافة الأولى. كما يُضاعف الجهد. يدخل البروتون الجهاز الثاني بالسرعة الأفقية نفسها.

من دون إجراء حسابات أكثر مما يلزم، قارن:

a. شدتي المجال الكهربائي،

b. التسارع الرأسي للبروتون،

c. الزمن الذي يقضيه كل بروتون بين اللوحين،

d. السرعة الرأسية لكل بروتون عند مغادرته اللوحين،

e. الإزاحة الرأسية التي يكتسبها كل بروتون أثناء وجوده بين اللوحين.

الحل 4

للجهازين المجال الكهربائي نفسه والتسارع الرأسي نفسه، لكن البروتون يقضي ضعف الزمن في المجال الثاني، ويغادر بسرعة رأسية مضاعفة، ويكتسب إزاحة رأسية أكبر بأربع مرات أثناء وجوده بين اللوحين.

بالنسبة إلى الجهاز الأول،

\[ E_1=\frac{V}{d}. \]

أما في الجهاز الثاني، فيتضاعف كل من \(V\) و\(d\):

\[ E_2=\frac{2V}{2d}=\frac{V}{d}=E_1. \]

إذن المجالان متساويان.

وبما أن

\[ F=qE \]

و

\[ a=\frac{F}{m}=\frac{qE}{m}, \]

فإن البروتون نفسه يتعرض للتسارع الرأسي نفسه في الجهازين.

والآن انظر إلى الزمن الذي يقضيه بين اللوحين. القوة الكهربائية رأسية، ولذلك، وفق النموذج المفترض، لا تغير السرعة الأفقية للبروتون. طول اللوحين في الجهاز الثاني يساوي ضعف الطول في الأول، ولذلك

\[ t_2=2t_1. \]

وتُعطى سرعة الخروج الرأسية من

\[ v_y=u_y+a_yt. \]

يدخل البروتون أفقيًا، ولذلك \(u_y=0\). ومن ثم،

\[ v_y=a_yt. \]

ولأن التسارع لم يتغير لكن الزمن تضاعف،

\[ v_{y,2}=2v_{y,1}. \]

وأخيرًا، الإزاحة الرأسية داخل المجال هي

\[ y=u_yt+\frac12a_yt^2. \]

ومرة أخرى \(u_y=0\)، لذلك

\[ y=\frac12a_yt^2. \]

ومن ثم فإن مضاعفة الزمن تعطي

\[ y_2=\frac12a_y(2t_1)^2=4y_1. \]

التنبؤ المغري هو أن «مضاعفة كل شيء يجب أن تُبقي كل شيء كما هو»، لأن \(E=V/d\) تظل ثابتة. لكن ذلك يثبت المجال، ومن ثم التسارع، فقط. أما طول اللوحين فيحدد المدة التي يعمل خلالها التسارع. فالتسارع الثابت إذا استمر ضعف الزمن يؤدي إلى ضعف التغير في السرعة وأربعة أمثال الإزاحة.

وهذه عادة مهمة في بناء النماذج: الحفاظ على كمية واحدة ثابتة لا يعني الحفاظ على كل نتيجة تعتمد عليها.

السؤال 5

يوجد لوحان كبيران يفصل بينهما \(30\ \text{mm}\)، وفرق الجهد الكلي بينهما \(600\ \text{V}\).

يحسب الطالب A فورًا

\[ E=\frac{600}{0.030}=2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1} \]

ويدعي أن هذه لا بد أن تكون قيمة المجال الكهربائي عند كل نقطة بين اللوحين.

بعد ذلك، يُستخدم مسبار على امتداد خط مستقيم من اللوح ذي الجهد الأعلى إلى اللوح ذي الجهد الأقل. وفي ثلاث مناطق متتالية طول كل منها \(10\ \text{mm}\)، تكون انخفاضات الجهد المقاسة:

• المنطقة الأولى: \(120\ \text{V}\)،
• المنطقة الثانية: \(180\ \text{V}\)،
• المنطقة الثالثة: \(300\ \text{V}\).

افترض أن الجهد يتغير خطيًا داخل كل واحدة من هذه المناطق الثلاث.

a. أوجد مقدار المجال الكهربائي في كل منطقة.

b. اشرح لماذا يظل حساب الطالب A يعطي \(2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\)، رغم أن أيًا من المناطق الثلاث لا يمتلك شدة المجال هذه.

c. ينتقل بروتون من اللوح ذي الجهد الأعلى إلى اللوح ذي الجهد الأقل. قارن الشغل الكهربائي الكلي المبذول عليه بالشغل الذي كان سيُبذل في مجال منتظم فعليًا شدته \(2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\) عبر المسافة نفسها البالغة \(30\ \text{mm}\).

d. ماذا يكشف هذا المثال عن القيد الحقيقي للعلاقة \(E=V/d\)؟

الحل 5

مقادير المجالات الثلاثة هي \(1.2\times10^4\)، و\(1.8\times10^4\)، و\(3.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\). لقد حسب الطالب A متوسط تدرج الجهد عبر الفجوة كلها، لا المجال المحلي في كل منطقة. وعلى الرغم من اختلاف المجالات المحلية، يحصل البروتون على الشغل الكهربائي الكلي نفسه الذي كان سيحصل عليه في مجال منتظم له فرق الجهد الكلي نفسه.

عرض كل منطقة هو

\[ 10\ \text{mm}=1.0\times10^{-2}\ \text{m}. \]

بالنسبة إلى المنطقة الأولى،

\[ \begin{aligned} E_1&=\frac{120}{1.0\times10^{-2}}\\ &=1.2\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

وبالنسبة إلى المنطقة الثانية،

\[ \begin{aligned} E_2&=\frac{180}{1.0\times10^{-2}}\\ &=1.8\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

وبالنسبة إلى المنطقة الثالثة،

\[ \begin{aligned} E_3&=\frac{300}{1.0\times10^{-2}}\\ &=3.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

إذن يصبح المجال أقوى مع انتقال البروتون عبر الفجوة.

استخدم الطالب A مقدار الانخفاض الكلي في الجهد مقسومًا على المسافة الكلية:

\[ \frac{600}{0.030}=2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \]

هذه القيمة هي متوسط انخفاض الجهد لكل متر عبر المسافة الكاملة البالغة \(30\ \text{mm}\).

يمكننا التحقق من ذلك باستخدام المناطق الثلاث. لكل منطقة العرض نفسه، ولذلك فإن متوسط مقدار المجال هو

\[ \begin{aligned} E_{\text{المتوسط}} &=\frac{E_1+E_2+E_3}{3}\\ &=\frac{1.2+1.8+3.0}{3}\times10^4\\ &=2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

إذن لم يكن الحساب عديم المعنى عدديًا. كان الخطأ هو تفسير مجال متوسط على أنه المجال المحلي عند كل نقطة.

بالنسبة إلى الجزء c، يعتمد الشغل الكلي الذي يبذله المجال الكهربائي على بروتون ينتقل خلال انخفاض في الجهد مقداره \(V\) على شحنة البروتون وفرق الجهد الكلي:

\[ W=qV. \]

وباستخدام

\[ q=1.60\times10^{-19}\ \text{C} \]

و

\[ V=600\ \text{V}, \]

\[ \begin{aligned} W &=(1.60\times10^{-19})(600)\\ &=9.6\times10^{-17}\ \text{J}. \end{aligned} \]

أما المجال المنتظم فعلًا الذي شدته \(2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\) عبر \(0.030\ \text{m}\)، فسيكون له

\[ V=Ed=(2.0\times10^4)(0.030)=600\ \text{V}. \]

ولذلك سيبذل الشغل الكلي نفسه تمامًا:

\[ W=9.6\times10^{-17}\ \text{J}. \]

وهذه هي النقطة المحورية في المسألة. يمكن للبروتون أن يكتسب المقدار الكلي نفسه من الطاقة الحركية، رغم أن تاريخ تسارعه مختلف.

في المجال غير المنتظم، تصبح القوة الكهربائية المؤثرة في البروتون أكبر أثناء عبوره المناطق الثلاث لأن

\[ F=qE. \]

أما في المجال المنتظم، فتبقى القوة ثابتة. ومع ذلك، يتضمن المساران الانخفاض الكلي نفسه في الجهد، وهو 600 V.

الحجة المغرية هي: «نفس \(V\) ونفس \(d\)، إذن المجال نفسه في كل مكان». لكن ما ينتج عن ذلك فعليًا هو فقط أن التغير الكلي في الجهد لكل مسافة كلية يساوي \(V/d\). ولكي نساوي هذه القيمة بالمجال الكهربائي المحلي عند كل نقطة، نحتاج إلى الافتراض الفيزيائي الإضافي بأن المجال منتظم.

وهذا هو القيد الحقيقي للعلاقة

\[ E=\frac{V}{d}. \]

إنها علاقة قوية لأن هندسة الألواح المتوازية المثالية تجعل المجال شبه منتظم في المنطقة الوسطى. لكنها ليست تعريف المجال الكهربائي لكل ترتيب ممكن.

بعد أن يتضح هذا التمييز، تكون الخطوة المفيدة التالية هي ربط المجالات الكهربائية بحركة الجسيمات المشحونة وطاقتها. يخبرك المجال بالقوة من خلال \(F=qE\)، بينما يخبرك فرق الجهد بانتقال الطاقة من خلال \(W=qV\). هذان الوصفان مرتبطان ارتباطًا وثيقًا، لكنهما يجيبان عن سؤالين مختلفين: أحدهما يخبرك بما يحدث لحركة الجسيم عند موضع معين، والآخر يخبرك بمقدار تغير الطاقة على امتداد رحلة.