القوة العظمى والمنعدمة لتأثير المحرك في فيزياء HSC
تعرّف على سبب بلوغ قوة تأثير المحرك قيمتها العظمى عند 90° وانعدامها عند 0° أو 180°، مع شرح واضح وأمثلة محلولة وتدريبات متقدمة.
يحمل سلك مستقيم تيارًا ثابتًا عبر مجال مغناطيسي منتظم. تُبقي شدة التيار وطول السلك وشدة المجال دون تغيير، لكنك تدير السلك. في أحد الأوضاع، تكون القوة المغناطيسية أكبر ما يمكن. أدره مرة أخرى، فتختفي القوة تمامًا.
قبل أن تتابع القراءة، توقّع هذين الوضعين. هل ينبغي أن تكون القوة أكبر عندما يسري التيار في اتجاه المجال المغناطيسي، أم عندما يقطع خطوطه عرضيًا؟
قد تبدو الإجابة غير بديهية قليلًا في المرة الأولى: تكون القوة عظمى عندما يكون التيار والمجال المغناطيسي متعامدين، وتكون صفرًا عندما يكونان متوازيين أو متعاكسين في الاتجاه.
هذه الفكرة وحدها تفسّر الجزء المتعلق بالزاوية في تأثير المحرك.
01تصوّر التيار وهو يقطع المجال
تخيّل أن خطوط المجال المغناطيسي تمتد أفقيًا عبر الصفحة. والآن ضع سلكًا يحمل تيارًا داخل هذا المجال.
إذا كان التيار يسري أفقيًا أيضًا، فهو لا يقطع المجال عرضيًا على الإطلاق. في نموذج HSC، لا توجد قوة ناتجة عن تأثير المحرك على السلك.
أدر السلك حتى يسري التيار رأسيًا. عندها يصبح اتجاهه عابرًا للمجال المغناطيسي بالكامل. وتصل القوة إلى أكبر مقدار ممكن لها.
عند زاوية تقع بين هذين الوضعين، يكون جزء فقط من اتجاه تيار السلك عابرًا للمجال فعليًا.
ومن الطرق الطريفة قليلًا لتصوّر ذلك تخيّل ممر مدرسي مزدحم. افترض أن الجميع يتحركون في اتجاه واحد وأنك تمثّل التيار. السير تمامًا مع الحشد، أو تمامًا عكس اتجاهه، لا يعطيك مركبة جانبية تعبر اتجاه الحركة. أما السير مباشرة عبر الممر فيعطي أكبر تفاعل عابر للاتجاه.
ويتوقف التشبيه عند هذا الحد. فالقوى المغناطيسية لا تنتج من اصطدام الناس بعضهم ببعض. الجزء المفيد من التشبيه هو الهندسة فقط: العبور هو المهم؛ أما السير على امتداد المجال فلا يساهم.
02تخبرنا المعادلة بدقة بمدى أهمية الزاوية
بالنسبة إلى موصل مستقيم يحمل تيارًا في مجال مغناطيسي منتظم،
\[ F = BIL\sin\theta \]
حيث:
- \(F\) هي القوة المغناطيسية المؤثرة في الموصل، بوحدة النيوتن (\(\text{N}\))،
- \(B\) هي شدة المجال المغناطيسي، بوحدة التسلا (\(\text{T}\))،
- \(I\) هو التيار الاصطلاحي، بوحدة الأمبير (\(\text{A}\))،
- \(L\) هو طول الموصل الموجود داخل المجال المغناطيسي، بوحدة المتر (\(\text{m}\))، و
- \(\theta\) هي الزاوية بين اتجاه التيار الاصطلاحي والمجال المغناطيسي.
الجزء المهم في هذا الدليل هو \(\sin\theta\).
يمكن أن تبقى جميع الكميات الأخرى ثابتة بينما تتغير القوة لمجرد تدوير السلك.
| الزاوية \(\theta\) | \(\sin\theta\) | القوة |
|---|---|---|
| \(0^\circ\) | 0 | صفر |
| \(30^\circ\) | 0.5 | نصف القيمة العظمى |
| \(90^\circ\) | 1 | عظمى |
| \(150^\circ\) | 0.5 | نصف القيمة العظمى |
| \(180^\circ\) | 0 | صفر |
لاحظ أمرًا مهمًا: تعطي الزاويتان \(30^\circ\) و\(150^\circ\) المقدار نفسه للقوة.
تهتم المعادلة بمدى قوة قطع اتجاه التيار للمجال المغناطيسي عرضيًا، وليس فقط بما إذا كانت الزاوية تبدو كبيرة.
03لماذا تكون القوة عظمى عند \(90^\circ\)؟
أكبر قيمة ممكنة لـ \(\sin\theta\) هي 1.
ويحدث ذلك عندما
\[ \theta = 90^\circ \]
فتصبح القوة
\[ F_{\text{max}} = BIL. \]
يكون اتجاه التيار كله متعامدًا مع المجال المغناطيسي. ولا توجد مركبة تشير على امتداد المجال.
وطريقة أخرى لكتابة الفكرة نفسها هي التفكير فقط في الجزء المتعامد من الموصل:
\[ L_\perp = L\sin\theta. \]
وعندئذٍ
\[ F = BI L_\perp. \]
عند \(90^\circ\)،
\[ L_\perp = L, \]
لذلك يساهم الطول ذي الصلة بأكمله في القوة.
هذا لا يعني أن السلك يصبح أطول فعليًا. إن \(L_\perp\) مركبة هندسية: فهي تخبرنا بمقدار اتجاه السلك الذي يقع عموديًا على المجال.
مثال محلول: القوة على سلك عند \(30^\circ\)
يحمل سلك طوله \(0.25\text{ m}\) تيارًا شدته \(3.0\text{ A}\) عبر مجال مغناطيسي منتظم شدته \(0.40\text{ T}\). يصنع التيار زاوية مقدارها \(30^\circ\) مع المجال المغناطيسي. احسب القوة المغناطيسية المؤثرة في السلك وقارنها بأكبر قوة ممكنة.
الخطوة 1
\[ F = BIL\sin\theta \]
الخطوة 2
\[ \begin{aligned} F &= (0.40)(3.0)(0.25)\sin30^\circ \\ &= (0.40)(3.0)(0.25)(0.5) \\ &= 0.15\text{ N} \end{aligned} \]
إذن القوة المغناطيسية هي \(0.15\text{ N}\).
الخطوة 3
\[ \begin{aligned} F_{\text{max}} &= BIL \\ &= (0.40)(3.0)(0.25) \\ &= 0.30\text{ N} \end{aligned} \]
القوة عند \(30^\circ\) تساوي تمامًا نصف القوة العظمى لأن \(\sin30^\circ=0.5\).
والمعنى الفيزيائي أهم من الحساب: عند \(30^\circ\)، يمتلك التيار نصف المركبة العمودية فقط التي كان سيمتلكها عند \(90^\circ\).
04لماذا تكون القوة صفرًا عند كل من \(0^\circ\) و\(180^\circ\)؟
هنا يظهر خطأ شائع.
قد يعتقد أحد الطلاب أن \(180^\circ\) ينبغي أن تعطي قوة هائلة لأن التيار والمجال المغناطيسي يشيران في اتجاهين متعاكسين. وقد يبدو التعارض في الاتجاه وكأنه يجب أن ينتج أكبر تأثير.
لكن القوة المغناطيسية لا تعمل بقياس مقدار «اختلاف» سهمين في الاتجاه. بل تعتمد على العلاقة العمودية بينهما.
عند \(0^\circ\)،
\[ \sin0^\circ=0. \]
وعند \(180^\circ\)،
\[ \sin180^\circ=0. \]
لذلك،
\[ F=0 \]
في الحالتين.
يكون التيار موازيًا للمجال عند \(0^\circ\)، ومعاكسًا له في الاتجاه عند \(180^\circ\). وفي كلتا الحالتين لا توجد مركبة عمودية.
ويرتبط هذا أيضًا بالقوة المغناطيسية المؤثرة في شحنة متحركة منفردة:
\[ F=qvB\sin\theta, \]
حيث \(q\) هي الشحنة، و\(v\) سرعتها، و\(\theta\) هي الزاوية بين سرعتها والمجال المغناطيسي.
في نموذج الموصل في HSC، يكون تأثير المحرك هو النتيجة المجمعة للقوى المغناطيسية المرتبطة بحوامل الشحنة المتحركة. فالحركة على امتداد المجال لا تعطي قوة مغناطيسية من تلك المركبة، بينما تعطيها الحركة عبر المجال.
05يجب أن تكون الزاوية هي الزاوية الصحيحة
من أسهل الطرق لخسارة الدرجات هنا استخدام زاوية موضحة في الرسم دون التحقق مما تقع بينه تلك الزاوية بالفعل.
في
\[ F=BIL\sin\theta, \]
يجب أن تكون \(\theta\) هي الزاوية بين اتجاه التيار الاصطلاحي والمجال المغناطيسي.
افترض أن رسمًا يعطي الزاوية بين السلك وخط عمودي على المجال المغناطيسي على أنها \(20^\circ\). عندئذٍ تكون الزاوية بين التيار والمجال
\[ 90^\circ-20^\circ=70^\circ, \]
ولذلك يجب أن تستخدم \(\sin70^\circ\)، وليس \(\sin20^\circ\).
ومن العادات الجيدة أن تحدد أولًا سهم التيار وسهم المجال المغناطيسي. ثم أوجد الزاوية بين هذين الاتجاهين.
إذا كنت تحتاج أيضًا إلى تحديد اتجاه القوة الناتجة، فاستخدم قواعد اتجاه تأثير المحرك. تحدد الزاوية مقدار القوة؛ أما قاعدة الاتجاه فتحدد اتجاهها.
مثال محلول: استنتاج زاوية السلك من القوة
يحمل موصل طوله \(0.20\text{ m}\) تيارًا شدته \(4.0\text{ A}\) في مجال مغناطيسي شدته \(0.80\text{ T}\). مقدار القوة المغناطيسية هو \(0.52\text{ N}\). أوجد الزوايا الممكنة بين التيار والمجال المغناطيسي.
الخطوة 1
\[ F=BIL\sin\theta \]
الخطوة 2
\[ \sin\theta=\frac{F}{BIL} \]
الخطوة 3
\[ \begin{aligned} \sin\theta &=\frac{0.52}{(0.80)(4.0)(0.20)}\\ &=\frac{0.52}{0.64}\\ &=0.8125 \end{aligned} \]
الخطوة 4
\[ \theta=\sin^{-1}(0.8125)\approx54^\circ. \]
لكن \(54^\circ\) ليست الزاوية الممكنة الوحيدة بين \(0^\circ\) و\(180^\circ\).
لأن
\[ \sin54^\circ=\sin126^\circ, \]
فإن الزاوية الممكنة الثانية تساوي تقريبًا
\[ 180^\circ-54^\circ=126^\circ. \]
إذن قد يصنع التيار زاوية مقدارها تقريبًا \(54^\circ\) أو \(126^\circ\) مع المجال المغناطيسي.
تعطي الزاويتان مقدار القوة نفسه لأن لهما المركبة العمودية نفسها. وسنحتاج إلى رسم أو معلومات عن اتجاه السلك لتحديد أي الزاويتين تنطبق فعليًا.
06أسرع قاعدة لاتخاذ القرار
بالنسبة إلى سلك مستقيم يحمل تيارًا:
- التيار عمودي على المجال المغناطيسي \(\rightarrow\) قوة عظمى،
- التيار موازٍ للمجال المغناطيسي \(\rightarrow\) قوة صفرية،
- التيار معاكس للمجال المغناطيسي في الاتجاه \(\rightarrow\) قوة صفرية،
- أي زاوية بين ذلك \(\rightarrow\) استخدم \(F=BIL\sin\theta\).
لا تحفظ \(90^\circ\) و\(0^\circ\) كحقيقتين منفصلتين. تذكّر السبب: فقط المركبة العمودية على المجال المغناطيسي تساهم في قوة تأثير المحرك.
يظل هذا المبدأ مفيدًا عندما يكون الموصل منحنيًا، وعندما تتعرض عدة أجزاء من الموصل لقوى في الوقت نفسه، وعندما تدرس لاحقًا عزم الدوران المؤثر في ملف يحمل تيارًا.
07الأسئلة والحلول
السؤال 1
يحمل موصل مستقيم طوله \(0.40\text{ m}\) تيارًا شدته \(2.5\text{ A}\) عبر مجال مغناطيسي منتظم شدته \(0.60\text{ T}\).
التيار عمودي على المجال المغناطيسي.
احسب القوة المغناطيسية المؤثرة في الموصل.
الحل 1
القوة المغناطيسية هي \(0.60\text{ N}\).
المعادلة التي تحكم المسألة هي
\[ F=BIL\sin\theta. \]
بما أن التيار عمودي على المجال،
\[ \theta=90^\circ \]
و
\[ \sin90^\circ=1. \]
لذلك،
\[ \begin{aligned} F &=(0.60)(2.5)(0.40)\sin90^\circ\\ &=(0.60)(2.5)(0.40)(1)\\ &=0.60\text{ N}. \end{aligned} \]
وهذه أيضًا أكبر قوة ممكنة لهذه القيم من \(B\) و\(I\) و\(L\).
ومن الأخطاء المغرية الاعتقاد بأن «التعامد» يعني أن القوة تساوي صفرًا لأن الاتجاهين لا يصطفان معًا. والعكس هو الصحيح بالنسبة إلى القوة المغناطيسية: فالوضع المتعامد ينتج أكبر قيمة لـ \(\sin\theta\).
السؤال 2
يحمل سلك طوله \(0.50\text{ m}\) تيارًا شدته \(3.2\text{ A}\) عبر مجال مغناطيسي شدته \(0.75\text{ T}\). القوة المؤثرة في السلك هي \(0.78\text{ N}\).
حدّد الزوايا الممكنة بين التيار والمجال المغناطيسي.
الحل 2
الزاويتان الممكنتان تساويان تقريبًا \(41^\circ\) و\(139^\circ\).
ابدأ بـ
\[ F=BIL\sin\theta. \]
بإعادة الترتيب،
\[ \sin\theta=\frac{F}{BIL}. \]
عوّض بالقياسات:
\[ \begin{aligned} \sin\theta &=\frac{0.78}{(0.75)(3.2)(0.50)}\\ &=\frac{0.78}{1.20}\\ &=0.65. \end{aligned} \]
لذلك،
\[ \theta=\sin^{-1}(0.65)\approx40.5^\circ. \]
إذن إحدى الزوايا الممكنة تساوي تقريبًا \(41^\circ\).
لكن،
\[ \sin\theta=\sin(180^\circ-\theta), \]
لذلك يكون الحل الثاني
\[ 180^\circ-40.5^\circ=139.5^\circ. \]
ومن ثم فإن الزاويتين الممكنتين تساويان تقريبًا \(41^\circ\) و\(139^\circ\).
الطريق المغري هو كتابة ناتج دالة الجيب العكسية من الآلة الحاسبة فقط. لكن القيد الذي يتم تجاهله هو أن الزاوية الفيزيائية بين اتجاهين يمكن أن تتراوح من \(0^\circ\) إلى \(180^\circ\)، ويمكن لزاويتين ضمن هذا المدى أن تمتلكا قيمة الجيب نفسها.
السؤال 3
يُدار سلك يحمل تيارًا ثابتًا من زاوية \(30^\circ\) إلى زاوية \(150^\circ\) بالنسبة إلى مجال مغناطيسي منتظم.
يقول أحد الطلاب: «ازدادت الزاوية بمقدار \(120^\circ\)، لذلك لا بد أن تصبح القوة المغناطيسية أكبر بكثير».
على افتراض أن \(B\) و\(I\) و\(L\) تبقى ثابتة:
- قارن مقداري القوة قبل الدوران وبعده، و
- فسّر سبب خطأ استدلال الطالب.
الحل 3
لا يتغير مقدار القوة.
في البداية،
\[ F_1=BIL\sin30^\circ. \]
وبما أن
\[ \sin30^\circ=0.5, \]
فإن
\[ F_1=0.5BIL. \]
بعد الدوران،
\[ F_2=BIL\sin150^\circ. \]
لكن
\[ \sin150^\circ=0.5, \]
لذلك
\[ F_2=0.5BIL. \]
ومن ثم،
\[ F_1=F_2. \]
يفشل استدلال الطالب لأن القوة المغناطيسية لا تتناسب طرديًا مع القيمة العددية للزاوية. بل تتناسب مع جيب الزاوية.
كلا الوضعين لهما المقدار نفسه من المركبة العمودية بالنسبة إلى المجال المغناطيسي.
الفكرة المغرية هي أن «الزاوية الأكبر» يجب أن تعني قوة أكبر. وهذا صحيح فقط من \(0^\circ\) حتى \(90^\circ\). بعد \(90^\circ\)، تبدأ \(\sin\theta\) في التناقص مرة أخرى حتى تصل القوة إلى الصفر عند \(180^\circ\).
السؤال 4
يحمل سلك تيارًا \(I\) من النقطة A إلى النقطة C عبر مجال مغناطيسي منتظم \(B\) يتجه أفقيًا نحو اليمين.
يربط شكلان محتملان للسلك بين النقطتين نفسيهما.
- المسار 1 هو سلك قطري مستقيم من A إلى C. إزاحته الأفقية \(0.30\text{ m}\)، وإزاحته الرأسية \(0.40\text{ m}\).
- يتكون المسار 2 من جزء أفقي طوله \(0.30\text{ m}\)، يتبعه جزء رأسي طوله \(0.40\text{ m}\).
يسري التيار نفسه من A إلى C في الحالتين.
يجادل أحد الطلاب بأن المسار 2 لا بد أن يتعرض لقوة مغناطيسية كلية مختلفة لأن جزأيه يصنعان زاويتين مختلفتين مع المجال.
حدّد ما إذا كان مقدار القوة المغناطيسية الكلية مختلفًا بين المسارين. عبّر عن إجابتك بدلالة \(B\) و\(I\).
الحل 4
يتعرض كلا المسارين للمقدار نفسه من القوة المغناطيسية الكلية، وهو \(0.40BI\).
بالنسبة إلى المسار 2، اعتبر الجزأين كلًا على حدة.
الجزء الأفقي موازٍ للمجال المغناطيسي، لذلك
\[ F_{\text{horizontal}} =BI(0.30)\sin0^\circ =0. \]
الجزء الرأسي عمودي على المجال، لذلك
\[ \begin{aligned} F_{\text{vertical}} &=BI(0.40)\sin90^\circ\\ &=0.40BI. \end{aligned} \]
لذلك، مقدار القوة الكلية على المسار 2 هو
\[ F_2=0.40BI. \]
والآن انظر إلى المسار 1.
طوله هو
\[ L=\sqrt{(0.30)^2+(0.40)^2}=0.50\text{ m}. \]
إذا كانت زاويته مع المجال المغناطيسي الأفقي هي \(\theta\)، فإن
\[ \sin\theta=\frac{0.40}{0.50}=0.80. \]
لذلك
\[ \begin{aligned} F_1 &=BIL\sin\theta\\ &=BI(0.50)(0.80)\\ &=0.40BI. \end{aligned} \]
إذن،
\[ F_1=F_2=0.40BI. \]
الطريق المغري هو التركيز على الطول الكلي للسلك أو على حقيقة أن أحد المسارين يحتوي على زاويتين مختلفتين. لكن القيد المهم هو الإزاحة العمودية.
في المسار 1، لا تساهم إلا المركبة العمودية من طوله البالغ \(0.50\text{ m}\)، وهذه المركبة تساوي \(0.40\text{ m}\). وفي المسار 2، لا يساهم الجزء الموازي البالغ طوله \(0.30\text{ m}\) بأي قوة، بينما يساهم الجزء الرأسي البالغ طوله \(0.40\text{ m}\) بكامله.
وهذه نسخة أعمق من القاعدة نفسها: تعتمد القوة المغناطيسية على مركبة الموصل العمودية على المجال.
السؤال 5
يوضع ملف مربع يحمل تيارًا بالكامل داخل مجال مغناطيسي منتظم. يقع المجال المغناطيسي في مستوى الملف ويوازي زوجًا من ضلعين متقابلين.
يستدل أحد الطلاب كما يلي:
«الضلعان الموازيان للمجال تؤثر في كل منهما قوة تساوي صفرًا. أما الضلعان الآخران فهما عموديان على المجال، لذلك تؤثر في كل منهما قوة عظمى. هاتان القوتان متساويتان ومتعاكستان، ولذلك تكون القوة الكلية صفرًا. إذن لا يمكن للمجال المغناطيسي أن يغيّر حركة الملف على الإطلاق».
قيّم استنتاج الطالب. افترض أن الملف حر في الدوران.
الحل 5
القوة المحصلة على الملف تساوي صفرًا، لكن الاستنتاج النهائي للطالب غير صحيح: لا يزال المجال المغناطيسي قادرًا على إنتاج عزم دوران غير صفري وجعل الملف يدور.
انظر أولًا إلى الضلعين الموازيين للمجال. بالنسبة إلى كل منهما،
\[ \theta=0^\circ \]
أو \(180^\circ\)، ولذلك
\[ F=BIL\sin\theta=0. \]
والآن انظر إلى الضلعين الآخرين. فهما عموديان على المجال المغناطيسي، لذلك
\[ F=BIL \]
على كل ضلع، وهي أكبر قوة ممكنة لذلك الضلع.
ولأن التيار يسري في اتجاهين متعاكسين على هذين الضلعين المتقابلين، فإن قوتيهما المغناطيسيتين تتجهان في اتجاهين متعاكسين. ومقداراهما متساويان، ولذلك يكون مجموعهما المتجهي صفرًا.
إذن،
\[ F_{\text{net}}=0. \]
حتى هذه النقطة، حجة الطالب صحيحة.
لكن المسألة الأساسية هي أن القوتين المتساويتين والمتعاكستين تؤثران في موضعين مختلفين على الملف. وهما تكوّنان ازدواجًا. وبدلًا من إحداث حركة انتقالية لمركز كتلة الملف، فإنهما تنتجان تأثيرًا دورانيًا.
لذلك فإن انعدام القوة المحصلة لا يعني انعدام التأثير الميكانيكي.
الاستنتاج المغري يعامل جميع القوى المتساوية والمتعاكسة كما لو كانت تؤثر عند النقطة نفسها. والقيد المفقود هو المسافة الفاصلة بين موضعي تأثيرهما. يمكن للقوى أن تتعادل من ناحية الحركة الانتقالية مع استمرارها في إنتاج عزم دوران.
ولهذا تحديدًا يقود السلوك الزاوي لقوى تأثير المحرك بصورة طبيعية إلى الفكرة التالية: عزم الدوران على ملف يحمل تيارًا. لا يحتاج المحرك إلى قوة محصلة تدفع الملف كله عبر الغرفة. بل يحتاج إلى قوى مغناطيسية موضوعة بصورة مناسبة بحيث تنتج دورانًا.