평면에서의 거리와 변위: HSC 물리 가이드

피트니스 트래커에는 당신이 420 m를 걸었다고 표시됩니다. 지도에는 출발점에서 불과 110 m 떨어진 곳에서 걸음을 마쳤다고 나옵니다. 어느 측정값이 틀린 것일까요?

둘 다 틀리지 않았습니다. 서로 다른 것을 측정하고 있기 때문입니다. 거리는 이동한 전체 경로를 따집니다. 변위는 출발 위치에서 도착 위치까지의 변화만을 따집니다.

이 차이는 운동이 2차원에서 일어날 때 특히 중요해집니다. 이동 경로에 동서 방향과 남북 방향의 운동이 모두 포함되면, 단순히 숫자를 더하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 벡터가 필요합니다.

01먼저 눈으로 그려 볼 수 있는 경로에서 시작하기

동쪽으로 60 m 걸은 뒤 왼쪽으로 돌아 북쪽으로 80 m 걷는다고 생각해 봅시다.

계산하기 전에 먼저 예측해 보세요. 변위가 140 m일까요?

그럴 수 없습니다. 140 m는 실제로 걸은 경로의 길이를 나타냅니다. 변위는 출발점에서 도착점까지의 직선적인 위치 변화입니다.

이를 통해 첫 번째 중요한 차이를 알 수 있습니다.

스칼라는 크기만 가집니다. 벡터는 크기와 방향을 모두 가집니다.

따라서 140 m는 올바른 거리입니다. 하지만 방향이 주어지지 않았으므로 변위를 나타내기에는 정보가 충분하지 않습니다.

02변위는 두 끝점 사이의 경로를 무시한다

변위를 아주 성급한 친구라고 생각해 보세요. 당신이 이동 경로 전체를 설명하려고 하자 그 친구가 말을 끊으며 이렇게 묻습니다. “알겠는데, 어디에서 출발했고 어디에서 끝났어?”

그 사이에 무슨 일이 있었는지는 변위와 관계가 없습니다.

수식으로 나타내면 변위는

\[ \Delta \vec r = \vec r_f - \vec r_i \]

입니다. 여기서:

• \(\Delta \vec r\)는 변위 벡터입니다.
• \(\vec r_i\)는 처음 위치 벡터입니다.
• \(\vec r_f\)는 최종 위치 벡터입니다.

삼각형 기호 \(\Delta\)는 “변화량”을 뜻합니다.

이 정의를 통해 중요한 결과 하나를 알 수 있습니다. 집에서 출발해 이곳저곳을 돌아다니며 2 km를 이동한 뒤 다시 집으로 돌아왔다면, 거리는 2 km이지만 변위는 0입니다.

변위가 0이라는 것은 움직임이 전혀 없었다는 뜻이 아닙니다.

032차원에서의 운동 더하기

물체가 최종 위치에 도달하기 전에 여러 번 이동한다고 해 봅시다. 각각의 이동은 벡터로 나타낼 수 있습니다.

전체 변위는 벡터의 합입니다.

\[ \Delta \vec r = \vec d_1 + \vec d_2 + \vec d_3 + \cdots \]

여기서 각각의 \(\vec d\)는 이동 과정에서의 한 번의 변위를 나타냅니다.

이 벡터들을 더하는 주요 방법은 두 가지입니다.

• 벡터를 꼬리와 머리가 이어지도록 그린다.
• 모든 벡터를 서로 수직인 성분으로 분해한 뒤 각 성분을 더한다.

그림을 이용하는 방법은 직관을 기르는 데 도움이 됩니다. 성분을 이용하는 방법은 계산에서 더 신뢰할 수 있습니다.

04피타고라스 정리를 항상 바로 사용할 수 없는 이유

흔한 실수 중 하나는 두 변위 벡터를 본 즉시 다음과 같이 쓰는 것입니다.

\[ d = \sqrt{d_1^2+d_2^2} \]

이 식은 제곱하는 두 물리량이 서로 수직인 성분일 때만 성립합니다.

한 변위가 북동쪽 방향이고 다른 변위가 서쪽 방향이라면, 두 벡터가 반드시 서로 수직인 것은 아닙니다. 먼저 기울어진 벡터를 동서 방향과 남북 방향의 성분으로 분해해야 합니다.

이것이 대부분의 2차원 변위 문제에서 핵심이 되는 과정입니다.

05벡터를 성분으로 분해하기

크기가 \(d\)인 변위가 동쪽에서 북쪽으로 \(\theta\)만큼 기울어져 있다고 합시다.

이 하나의 기울어진 벡터를 서로 수직인 두 벡터로 바꿔 나타낼 수 있습니다.

\[ d_x = d\cos\theta \]

\[ d_y = d\sin\theta \]

여기서:

• \(d_x\)는 수평 성분입니다.
• \(d_y\)는 수직 성분입니다.
• \(d\)는 원래 변위의 크기입니다.
• \(\theta\)는 양의 수평 방향을 기준으로 측정한 각입니다.

왜 수평 성분에는 코사인을, 수직 성분에는 사인을 사용할까요?

벡터가 이루는 직각삼각형에서 수평 성분은 \(\theta\)에 대한 인접변이고, 수직 성분은 \(\theta\)에 대한 대변이기 때문입니다.

따라서:

\[ \cos\theta=\frac{\text{인접변}}{\text{빗변}} \]

그리고

\[ \sin\theta=\frac{\text{대변}}{\text{빗변}} \]

입니다.

벡터가 실제로 두 개의 움직임으로 나뉜 것은 아닙니다. 성분은 같은 움직임을 수학적으로 나타내는 방법입니다.

06계산하기 전에 양의 방향을 정하기

변위에는 방향이 있으므로 부호가 중요합니다.

일반적으로 다음과 같이 정할 수 있습니다.

• 동쪽: 양의 \(x\)
• 서쪽: 음의 \(x\)
• 북쪽: 양의 \(y\)
• 남쪽: 음의 \(y\)

반대 방향을 양의 방향으로 정하더라도 일관되게 적용하기만 하면 올바른 물리적 결과를 얻을 수 있습니다.

예를 들어 서쪽으로 25 m의 변위는

\[ d_x=-25\text{ m} \]

이고, 북쪽으로 12 m의 변위는

\[ d_y=+12\text{ m} \]

입니다.

음의 부호는 거리가 음수라는 뜻이 아닙니다. 선택한 축을 따라 어느 방향인지 나타내는 것입니다.

07합성 벡터를 구하기 전에 성분부터 더하기

모든 변위를 성분으로 분해했다면, 모든 수평 성분끼리 더하고 모든 수직 성분끼리 더합니다.

\[ \Delta x = d_{1x}+d_{2x}+\cdots \]

\[ \Delta y = d_{1y}+d_{2y}+\cdots \]

여기서 \(\Delta x\)는 알짜 수평 변위이고 \(\Delta y\)는 알짜 수직 변위입니다.

그다음 전체 변위의 크기를 계산합니다.

\[ d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \]

그리고 삼각함수를 사용해 방향을 구합니다.

원래의 변위 벡터들이 서로 수직이 아니더라도 \(\Delta x\)와 \(\Delta y\)는 서로 수직이므로 이 방법을 사용할 수 있습니다.

08합성 벡터의 방향은 상식적으로 확인해야 한다

계산기에서 \(30^\circ\)와 같은 각도가 나올 수 있지만, 각도만으로는 벡터가 어느 사분면에 있는지 알 수 없습니다.

예를 들어 다음과 같이 계산했다고 합시다.

\[ \Delta x=-20\text{ m}, \qquad \Delta y=15\text{ m} \]

변위는 서쪽과 북쪽을 향하므로 북서쪽 사분면에 있어야 합니다.

다음을 계산하면

\[ \tan^{-1}\left(\frac{15}{20}\right)=36.9^\circ \]

완전한 방향은 서쪽에서 북쪽으로 \(36.9^\circ\)입니다.

방향을 나타내기 전에 항상 성분의 부호를 확인하세요.

계산기에서 나온 결과만으로 벡터가 어느 방향을 가리키는지 판단할 수는 없습니다.

09거리와 변위는 서로 다른 규칙을 따른다

학생들은 종종 거리도 성분 계산의 한 종류인 것처럼 다루려고 합니다.

하지만 그렇지 않습니다.

여러 개의 직선 구간으로 이루어진 이동에서:

\[ \text{거리}=d_1+d_2+d_3+\cdots \]

이며, 각각의 \(d\)는 한 구간의 양의 길이입니다.

변위에서는 방향이 중요합니다.

\[ \Delta \vec r=\vec d_1+\vec d_2+\vec d_3+\cdots \]

이를 통해 다음과 같은 유용한 관계를 얻을 수 있습니다.

\[ \text{변위의 크기}\leq \text{이동한 거리} \]

두 물리량이 같은 경우는 물체가 방향을 바꾸거나 되돌아가지 않고 출발점에서 도착점까지 곧바로 이동할 때뿐입니다.

계산한 변위의 크기가 이동한 거리보다 크게 나온다면 계산 과정에 문제가 있는 것입니다.

102차원 이동 문제를 푸는 신뢰할 수 있는 방법

대부분의 HSC 유형 변위 문제에서는 다음 순서를 사용하세요.

1. 양의 \(x\)와 \(y\) 방향을 정합니다.
2. 모든 기울어진 변위를 \(x\)와 \(y\) 성분으로 분해합니다.
3. 각 성분에 올바른 부호를 붙입니다.
4. 모든 \(x\) 성분을 더합니다.
5. 모든 \(y\) 성분을 더합니다.
6. 알짜 성분에 피타고라스 정리를 적용합니다.
7. 삼각함수를 사용해 방향을 구합니다.
8. 부호를 확인해 올바른 사분면을 찾습니다.
9. 거리도 구해야 한다면 실제 이동 경로의 각 구간 길이를 따로 더합니다.

중요한 것은 6단계입니다. 피타고라스 정리는 서로 수직인 두 알짜 성분을 만든 뒤 마지막에 사용해야 합니다.

11문제와 해설

문제 1

자전거를 탄 사람이 동쪽으로 90 m 이동한 뒤 북쪽으로 120 m 이동합니다.

이동한 전체 거리와 출발점으로부터의 변위를 계산하세요.

해설 1

자전거를 탄 사람이 이동한 거리는 210 m이고, 변위는 동쪽에서 북쪽으로 \(53.1^\circ\) 방향으로 150 m입니다.

거리는 전체 경로의 길이입니다.

\[ \text{거리}=90+120=210\text{ m} \]

동쪽과 북쪽 방향의 변위는 서로 수직이므로 변위의 크기는

\[ d=\sqrt{(90)^2+(120)^2} =\sqrt{22500} =150\text{ m} \]

입니다.

방향은,

\[ \tan\theta=\frac{120}{90} \]

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{120}{90}\right) =53.1^\circ \]

입니다.

따라서 직선적인 위치 변화는 동쪽에서 북쪽으로 \(53.1^\circ\) 방향으로 150 m입니다. 90 m와 120 m를 더해 210 m를 얻으면 그것은 변위가 아니라 거리입니다.

문제 2

측량용 드론이 동쪽에서 북쪽으로 \(40^\circ\) 방향으로 150 m 이동합니다. 그다음 정남쪽으로 90 m 이동합니다.

출발점으로부터 최종 변위의 크기와 방향을 구하세요.

해설 2

드론의 최종 변위는 약 동쪽에서 북쪽으로 \(33^\circ\) 방향으로 115 m입니다.

먼저 150 m 변위를 성분으로 분해합니다.

\[ d_x=150\cos40^\circ=114.9\text{ m} \]

\[ d_y=150\sin40^\circ=96.4\text{ m} \]

두 번째 이동은 남쪽으로 90 m이므로 수직 성분은 \(-90\text{ m}\)입니다.

따라서,

\[ \Delta x=114.9\text{ m} \]

\[ \Delta y=96.4-90=6.4\text{ m} \]

입니다.

크기는

\[ d=\sqrt{(114.9)^2+(6.4)^2} \approx115.1\text{ m} \]

입니다.

방향은,

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{6.4}{114.9}\right) \approx3.2^\circ \]

입니다.

따라서 변위는 약 동쪽에서 북쪽으로 \(3.2^\circ\) 방향으로 115 m입니다.

여기서 중요한 함정은 두 번째 90 m의 이동을 150 m라는 크기에서 바로 빼야 한다고 생각하는 것입니다. 두 벡터가 같은 직선 위에 있지 않으므로 그렇게 할 수 없습니다. 서로 대응하는 성분끼리만 직접 더하거나 뺄 수 있습니다.

문제 3

한 학생이 동쪽으로 70 m, 북쪽으로 40 m, 서쪽으로 70 m, 남쪽으로 10 m 걷습니다.

한 반 친구는 동쪽과 서쪽 이동이 서로 상쇄되므로 변위가 0이라고 주장합니다.

이동한 거리와 실제 변위를 구하세요. 반 친구의 추론에서 무엇이 잘못되었는지도 설명하세요.

해설 3

학생이 이동한 거리는 190 m이고, 변위는 북쪽으로 30 m입니다.

전체 거리는

\[ \text{거리}=70+40+70+10=190\text{ m} \]

입니다.

변위는 성분을 더해 구합니다.

수평 방향으로,

\[ \Delta x=70-70=0\text{ m} \]

입니다.

수직 방향으로,

\[ \Delta y=40-10=30\text{ m} \]

입니다.

따라서,

\[ d=\sqrt{0^2+30^2}=30\text{ m} \]

입니다.

반 친구의 말은 일부만 맞습니다. 동서 방향 성분은 서로 상쇄되지만, 남북 방향 성분은 상쇄되지 않습니다. 학생은 출발점에서 북쪽으로 30 m 떨어진 곳에서 이동을 마칩니다.

한 차원에서 변위가 0이라고 해서 전체 변위가 0인 것은 아닙니다.

문제 4

두 변위 벡터의 크기는 각각 50 m입니다. 두 벡터 사이의 각은 \(60^\circ\)입니다.

한 학생은 \(50+50=100\)이므로 합성 변위가 반드시 100 m라고 주장합니다.

두 벡터가 서로 수직이라고 가정하지 말고 합성 변위의 크기를 구하세요.

해설 4

합성 변위의 크기는 100 m가 아니라 약 86.6 m입니다.

첫 번째 50 m 변위가 양의 \(x\)축 방향을 향하도록 정합니다. 이 벡터의 성분은

\[ d_{1x}=50\text{ m}, \qquad d_{1y}=0 \]

입니다.

두 번째 벡터는 첫 번째 벡터에서 위쪽으로 \(60^\circ\)를 이루므로,

\[ d_{2x}=50\cos60^\circ=25\text{ m} \]

\[ d_{2y}=50\sin60^\circ=43.3\text{ m} \]

입니다.

따라서 알짜 성분은

\[ \Delta x=50+25=75\text{ m} \]

\[ \Delta y=43.3\text{ m} \]

입니다.

이제 알짜 성분은 서로 수직이므로 피타고라스 정리를 사용할 수 있습니다.

\[ d=\sqrt{(75)^2+(43.3)^2} \]

\[ d\approx86.6\text{ m} \]

학생이 구한 100 m라는 결과가 맞으려면 두 변위가 정확히 같은 방향을 가리켜야 합니다.

또한 \(\sqrt{50^2+50^2}\)를 계산하는 것도 틀립니다. 원래 두 벡터 사이의 각은 \(90^\circ\)가 아니라 \(60^\circ\)이기 때문입니다.

문제 5

로봇이 먼저 동쪽에서 북쪽으로 \(30^\circ\) 방향으로 100 m 이동합니다. 그다음 정서쪽으로 이동합니다.

두 번의 이동이 끝난 뒤 로봇은 출발점의 정북쪽에 있습니다.

서쪽으로 이동한 거리와 로봇의 최종 변위를 구하세요.

해설 5

로봇은 서쪽으로 86.6 m 이동해야 하며, 최종 변위는 북쪽으로 50.0 m입니다.

첫 번째 변위를 성분으로 분해합니다.

\[ d_x=100\cos30^\circ=86.6\text{ m} \]

\[ d_y=100\sin30^\circ=50.0\text{ m} \]

로봇이 출발점의 정북쪽에서 이동을 마치려면 알짜 수평 변위가 0이어야 합니다.

따라서 서쪽으로의 이동은 동쪽으로 86.6 m인 성분을 상쇄해야 합니다.

\[ 86.6-d_{\text{west}}=0 \]

따라서

\[ d_{\text{west}}=86.6\text{ m} \]

입니다.

서쪽으로의 이동에는 수직 성분이 없으므로 북쪽으로 50.0 m인 성분은 변하지 않고 그대로 남습니다.

따라서,

\[ \Delta x=0 \]

\[ \Delta y=50.0\text{ m} \]

이고, 최종 변위는 북쪽으로 50.0 m입니다.

여기에 숨어 있는 핵심은 “정북쪽”이라는 표현이 단순히 각도를 설명하는 말만은 아니라는 점입니다. 이것은 하나의 수학적 조건을 부여합니다. 즉, 최종 수평 성분이 0이어야 합니다.

12다음 단계로 이어지는 개념

변위를 성분으로 분해하는 것은 단순히 이동 경로 문제를 풀기 위한 요령이 아닙니다. 같은 구조는 HSC Physics 전반에 걸쳐 등장합니다.

속도도 수평 성분과 수직 성분으로 분해할 수 있습니다. 가속도와 힘도 마찬가지입니다. 포물선 운동을 다루기 쉬운 이유는 수평 운동과 수직 운동을 각각 따로 분석한 뒤 다시 결합할 수 있기 때문입니다.

기억해야 할 습관은 간단합니다. 벡터 문제가 복잡해 보일 때는 선택한 축을 따라 어느 부분이 놓이는지 생각하세요. 먼저 그 성분들을 더하세요. 각 방향을 따로 이해한 뒤에야 합성 벡터를 다시 구성하세요.