평행한 전류가 흐르는 도선 사이의 힘: HSC Physics

두 개의 긴 도선을 나란히 놓고 두 도선 모두에 전류를 흐르게 해 보자. 두 도선은 서로 닿아 있지 않지만, 각각의 도선에는 옆 방향의 힘이 작용할 수 있다. 이제 예측해 보자. 전류가 같은 방향으로 흐르면 두 도선은 서로 끌어당길까, 아니면 밀어낼까?

전하에 적용되는 규칙을 떠올려 “같으면 밀어낸다”라고 추측하기 쉽다. 하지만 여기서는 그 규칙이 맞지 않는다. 같은 방향으로 흐르는 평행 전류는 서로 끌어당긴다. 반대 방향으로 흐르는 평행 전류는 서로 밀어낸다.

HSC Physics에서 중요한 것은 이 규칙을 단순히 외우는 것만이 아니다. 힘이 어디에서 생기는지, 단위 길이당 힘을 어떻게 계산하는지, 그리고 시험에서 규칙이 기억나지 않을 때 힘의 방향을 어떻게 다시 알아낼 수 있는지를 이해해야 한다.

01한 도선이 다른 도선을 밀거나 당기는 자기장을 만든다

먼저 거리 \(d\)만큼 떨어져 있는 두 개의 길고 곧은 평행 도선을 생각해 보자.

도선 1에는 전류 \(I_1\)이 흐른다. 이 전류는 도선 주위에 원형 자기장을 만든다. 도선 2의 위치에서 자기장의 세기는

\[
B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}
\]

이다. 여기서:

• \(B_1\)은 도선 1이 도선 2의 위치에 만드는 자기장으로, 단위는 테슬라(\(\text{T}\))이다.
• \(\mu_0\)는 진공의 투자율로, \(4\pi\times10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}\)이다.
• \(I_1\)은 도선 1의 전류로, 단위는 암페어(\(\text{A}\))이다.
• \(d\)는 두 도선 사이의 수직 거리로, 단위는 미터(\(\text{m}\))이다.

공기 중의 도선을 다루는 HSC 문제에서는 일반적으로 \(\mu_0\)를 사용하는 것이 적절하다.

이제 도선 2는 그 자기장 안에 놓여 있다. 자기장 속에서 전류가 흐르는 도체는 모터 효과에 의한 힘을 받는다.

\[
F=BIL\sin\theta
\]

여기서 \(\theta\)는 전류와 자기장 사이의 각도이다.

여기에는 중요한 함정이 있다. 두 도선은 서로 평행하지만, 도선 2의 위치에서 자기장은 도선 2와 수직이다. 따라서 \(\theta=0^\circ\)가 아니라 \(\theta=90^\circ\)이다.

그러므로 \(\sin90^\circ=1\)이고, 길이 \(L\)인 도선 2에 작용하는 힘은

\[
F=I_2LB_1
\]

이다.

이는 최대 크기의 모터 효과 힘이다. 이 각도에 대한 개념이 확실하지 않다면 계속 진행하기 전에 최대 및 0의 모터 효과 힘을 다시 확인해 보는 것이 좋다.

도선 1이 만드는 자기장을 대입하면

\[
F=I_2L\left(\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}\right)
\]

따라서,

\[
F=\frac{\mu_0 I_1I_2L}{2\pi d}
\]

이고, 이를 \(L\)로 나누면 가장 자주 사용하게 될 형태를 얻는다.

\[
\boxed{\frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d}}
\]

\(F/L\)의 단위는 미터당 뉴턴(\(\text{N m}^{-1}\))이다.

이 식은 도선을 길고 곧은 것으로 볼 수 있고, 도선 사이의 간격이 대체로 일정하며, 끝부분의 효과를 무시할 수 있을 때 적용된다.

02이 식이 알려 주는 것

방향 규칙을 적용하기 전에 먼저 식의 구조를 살펴보자.

\[
\frac{F}{L}\propto\frac{I_1I_2}{d}
\]

따라서:

• 어느 한 전류를 두 배로 하면 단위 길이당 힘도 두 배가 된다.
• 두 전류를 모두 두 배로 하면 단위 길이당 힘은 네 배가 된다.
• 두 도선 사이의 거리를 두 배로 하면 단위 길이당 힘은 절반이 된다.
• \(I_1\)과 \(I_2\)를 서로 바꾸어도 힘의 크기는 변하지 않는다.

마지막 점은 중요하다. 두 전류의 크기가 서로 달라도, 대응하는 길이의 구간에서 각 도선이 다른 도선에 가하는 힘의 크기는 같다. 두 힘의 방향은 서로 반대이며, 이는 뉴턴의 제3법칙과 일치한다.

다음과 같은 유용한 단축식도 얻을 수 있다.

\[
\frac{\mu_0}{2\pi}
=
\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}
=
2.0\times10^{-7}
\]

따라서 공기 중에서는

\[
\frac{F}{L}
=
2.0\times10^{-7}\frac{I_1I_2}{d}
\]

로 쓸 수 있다. 이때 전류의 단위는 암페어이고 \(d\)의 단위는 미터이다.

03같은 방향의 전류가 서로 끌어당기는 이유

두 개의 수직 도선이 나란히 놓여 있고, 두 도선의 전류가 모두 위쪽으로 흐른다고 하자.

왼쪽 도선에 오른손 감기 법칙을 적용한다. 오른손 엄지를 전류가 흐르는 위쪽으로 향하게 하면, 구부린 손가락이 원형 자기장의 방향을 나타낸다. 오른쪽 도선의 위치에서 이 자기장은 종이 안쪽을 향한다.

이제 오른쪽 도선에 모터 효과의 방향 규칙을 적용한다. 전류는 위쪽이고 자기장은 종이 안쪽이므로, 힘은 왼쪽 도선을 향한다.

다른 도선에도 같은 과정을 적용하면 힘은 오른쪽 도선을 향한다.

따라서 두 도선은 서로 끌어당긴다.

한쪽 전류의 방향을 반대로 바꾸면 모터 효과에 의한 힘의 방향도 반대로 바뀐다. 각 도선은 서로에게서 멀어지는 방향으로 밀리므로, 반대 방향의 전류는 서로 밀어낸다.

간단히 정리하면:

이 규칙이 기억나지 않는다면 추측하지 말자. 한 도선이 만드는 자기장과 다른 도선에 작용하는 힘을 이용해 답을 다시 만들어 낼 수 있다. 방향을 구하는 방법은 HSC Physics를 위한 모터 효과 방향 규칙 설명에서 더 자세히 다룬다.

04전체 힘보다 단위 길이당 힘이 더 유용한 경우가 많다

왜 식은 자연스럽게 \(F/L\)의 형태로 나타날까?

길이가 \(10\ \text{cm}\)인 도선 구간과 \(1.0\ \text{m}\)인 도선 구간을 비교한다고 생각해 보자. 두 구간을 따라 자기장이 거의 일정하다면, 길이가 1미터인 구간은 자기장 속에 놓인 전류가 흐르는 도체의 길이가 10배이므로 전체 힘도 10배가 된다.

하지만 미터당 힘은 그대로 유지된다.

따라서 \(F/L\)은 단위 길이당 질량처럼 다른 물리량도 “미터당”으로 주어질 때 특히 유용하다.

05가장 흔한 오개념: “평행하니까 힘은 0이다”

학생들은 흔히

\[
F=BIL\sin\theta
\]

를 기억하고 “두 도선이 평행하니까 \(\theta=0^\circ\)이고, 따라서 힘은 0이다”라고 생각한다.

문제는 \(\theta\)가 두 도선 사이의 각도가 아니라는 점이다.

\(\theta\)는 힘을 받는 도선의 전류 방향과 그 도선 위치의 자기장 사이의 각도이다.

평행한 직선 도선의 경우 한 도선이 만드는 자기장은 그 도선 주위를 원형으로 둘러싼다. 이웃한 도선의 위치에서 이 자기장은 전류와 수직이다.

따라서,

\[
\theta=90^\circ
\]

이고, 실제로 주어진 자기장 세기에서 모터 효과에 의한 힘은 최대가 된다.

또 다른 흔한 실수는 \(F=BIL\)에 두 도선이 만드는 자기장을 모두 사용하는 것이다. 도선 1 때문에 도선 2에 작용하는 힘을 구하려면 도선 2의 위치에서 도선 1이 만든 자기장을 사용해야 한다. 이 단순한 모터 효과 계산에서 도선 자신의 자기장을 넣어 도선이 스스로를 옆으로 미는 것으로 계산하지 않는다.

06문제와 풀이

문제 1

두 개의 긴 평행 도선이 \(6.0\ \text{cm}\) 떨어져 있다. 두 도선에는 같은 방향으로 각각 \(4.0\ \text{A}\)와 \(7.5\ \text{A}\)의 전류가 흐른다.

a. 두 도선 사이의 단위 길이당 힘을 계산하여라.

b. \(1.20\ \text{m}\) 구간에 작용하는 힘을 구하여라.

c. 힘이 인력인지 척력인지 서술하여라.

풀이 1

단위 길이당 힘은 \(1.0\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1}\)이고, 따라서 \(1.20\ \text{m}\) 구간에 작용하는 힘은 \(1.2\times10^{-4}\ \text{N}\)이며, 두 도선은 서로 끌어당긴다.

먼저 간격을 변환한다.

\[
d=6.0\ \text{cm}=0.060\ \text{m}
\]

그다음,

\[
\begin{aligned}
\frac{F}{L}
&=(2.0\times10^{-7})
\frac{I_1I_2}{d}\\
&=(2.0\times10^{-7})
\frac{(4.0)(7.5)}{0.060}\\
&=1.0\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1}
\end{aligned}
\]

이다.

\(L=1.20\ \text{m}\)일 때,

\[
\begin{aligned}
F
&=\left(\frac{F}{L}\right)L\\
&=(1.0\times10^{-4})(1.20)\\
&=1.2\times10^{-4}\ \text{N}
\end{aligned}
\]

이다.

전류가 같은 방향으로 흐르므로 힘은 인력이다.

흔한 실수는 \(6.0\ \text{cm}\)를 센티미터 단위 그대로 식에 넣는 것이다. 힘의 식에서는 미터를 사용해야 한다.

문제 2

두 개의 긴 평행 도선 A와 B가 \(3.0\ \text{cm}\) 떨어져 있다. A는 B의 왼쪽에 있다.

도선 A에는 \(12\ \text{A}\)의 전류가 흐르고, 도선 B에는 반대 방향으로 \(4.0\ \text{A}\)의 전류가 흐른다. 단위 길이당 질량은 A가 \(0.020\ \text{kg m}^{-1}\), B가 \(0.010\ \text{kg m}^{-1}\)이다.

a. 각 도선에 작용하는 단위 길이당 자기력을 계산하여라.

b. 각 도선에 작용하는 힘의 방향을 서술하여라.

c. 두 도선을 정지 상태에서 놓아 옆 방향으로 움직일 수 있게 한다면, 각각의 초기 횡방향 가속도를 계산하여라.

풀이 2

각 도선에는 \(3.2\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1}\)의 자기력이 작용하지만, 도선 B는 단위 길이당 질량이 절반이므로 처음에 두 배의 가속도로 움직인다.

단위 길이당 자기력은

\[
\begin{aligned}
\frac{F}{L}
&=(2.0\times10^{-7})
\frac{(12)(4.0)}{0.030}\\
&=3.2\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1}
\end{aligned}
\]

이다.

전류는 반대 방향이므로 두 도선은 서로 밀어낸다. A가 왼쪽에 있으므로 A는 왼쪽으로 밀리고 B는 오른쪽으로 밀린다.

A의 1미터 구간에 대해서는

\[
F=3.2\times10^{-4}\ \text{N}
\]

이고 질량은 \(0.020\ \text{kg}\)이다. 따라서,

\[
\begin{aligned}
a_A
&=\frac{F}{m}\\
&=\frac{3.2\times10^{-4}}{0.020}\\
&=1.6\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2}
\end{aligned}
\]

이다.

B의 1미터 구간에 대해서는

\[
\begin{aligned}
a_B
&=\frac{3.2\times10^{-4}}{0.010}\\
&=3.2\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2}
\end{aligned}
\]

이다.

따라서 A는 처음에 왼쪽으로

\[
\boxed{1.6\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2}}
\]

의 가속도를 가지며, B는 오른쪽으로

\[
\boxed{3.2\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2}}
\]

의 가속도를 가진다.

\(12\ \text{A}\)가 흐르는 도선이 \(4.0\ \text{A}\)가 흐르는 도선보다 더 큰 힘을 받아야 한다고 생각하기 쉽다. 하지만 그렇지 않다. 상호 작용하는 힘의 식에는 \(I_1I_2\)의 곱이 들어 있으므로 두 도선에 작용하는 힘의 크기는 같다. 가속도가 다른 이유는 자기력의 크기가 달라서가 아니라 질량이 다르기 때문이다.

문제 3

세 개의 긴 평행 도선 A, B, C가 같은 평면에 놓여 있다.

A는 B의 왼쪽으로 \(3.0\ \text{cm}\) 떨어져 있다. C는 B의 오른쪽으로 \(5.0\ \text{cm}\) 떨어져 있다.

A에는 위쪽으로 \(8.0\ \text{A}\)의 전류가 흐르고, B에는 아래쪽으로 \(6.0\ \text{A}\)의 전류가 흐른다.

B에 작용하는 알짜 자기력이 0이 되도록 하는 C의 전류의 크기와 방향을 구하여라.

풀이 3

도선 C에는 위쪽으로 약 \(13\ \text{A}\)의 전류가 흘러야 한다.

먼저 필요한 방향을 결정하자.

A와 B의 전류는 반대 방향이므로 두 도선은 서로 밀어낸다. A가 B의 왼쪽에 있으므로 A는 B를 오른쪽으로 민다.

B에 작용하는 알짜힘이 0이 되려면 C는 B를 왼쪽으로 밀어야 한다.

C는 B의 오른쪽에 있다. B를 C에서 멀어지는 방향으로 밀려면 B와 C가 서로 밀어내야 하므로 두 도선의 전류는 반대 방향이어야 한다.

B의 전류는 아래쪽이므로 C의 전류는 위쪽이어야 한다.

이제 힘의 크기를 같게 둔다.

A 때문에 B에 작용하는 단위 길이당 힘은

\[
\left(\frac{F}{L}\right)_{AB}
=
\frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi d_{AB}}
\]

이다.

C 때문에 B에 작용하는 단위 길이당 힘은

\[
\left(\frac{F}{L}\right)_{CB}
=
\frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi d_{CB}}
\]

이다.

알짜힘이 0이 되려면

\[
\frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi d_{AB}}
=
\frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi d_{CB}}
\]

이어야 한다.

공통 인자를 약분하면

\[
\frac{I_A}{d_{AB}}
=
\frac{I_C}{d_{CB}}
\]

이다.

따라서,

\[
\begin{aligned}
I_C
&=I_A\frac{d_{CB}}{d_{AB}}\\
&=(8.0)\frac{0.050}{0.030}\\
&=13.3\ \text{A}
\end{aligned}
\]

이므로,

\[
\boxed{I_C\approx13\ \text{A}\ \text{(위쪽 방향)}}
\]

이다.

C의 전류가 B와 같은 아래쪽이어야 한다고 생각하기 쉽다. 하지만 전류 방향이 같으면 B와 C는 서로 끌어당겨 B를 오른쪽으로 당기게 되며, 이는 A가 만드는 힘과 같은 방향이다. 따라서 힘의 크기를 같게 두기 전에 먼저 방향을 결정해야 한다.

문제 4

서로 동일한 두 개의 수평 도선이 평행하게 놓여 있으며 같은 크기의 전류가 흐른다. 각 도선의 길이는 \(1.20\ \text{m}\)이고 질량은 \(1.8\ \text{g}\)이다.

각 도선의 양 끝은 길이 \(0.20\ \text{m}\)의 가벼운 절연 실에 매달려 있다. 전류가 흐르지 않을 때 두 도선 위에 있는 서로 대응하는 매다는 지점 사이의 거리는 \(0.060\ \text{m}\)이다.

반대 방향의 전류를 흐르게 하면 두 도선은 대칭적으로 서로 밀어낸다. 각 매다는 실은 수직선으로부터 \(6.0^\circ\) 기울어진 상태에서 정지한다.

도선은 계속 수평이고 서로 평행하다고 가정한다.

각 도선의 전류를 계산하여라. \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)를 사용한다.

풀이 4

각 도선의 전류는 약 \(28\ \text{A}\)이다.

핵심은 도선이 움직인 뒤의 새로운 간격을 사용해 자기력을 계산해야 한다는 점이다. 지지점 사이의 원래 간격인 \(0.060\ \text{m}\)를 사용해서는 안 된다.

각 도선은 수평 방향 바깥쪽으로

\[
x=(0.20)\sin6.0^\circ
\]

만큼 움직이므로 최종적인 도선 사이의 간격은

\[
\begin{aligned}
d
&=0.060+2(0.20)\sin6.0^\circ\\
&=0.1018\ \text{m}
\end{aligned}
\]

이다.

이제 도선 하나 전체의 힘의 평형을 생각해 보자.

실의 장력이 만드는 전체 위쪽 성분은 도선의 무게와 평형을 이루고, 전체 수평 성분은 자기력과 평형을 이룬다. 따라서,

\[
\tan\theta=\frac{F_{\text{mag}}}{mg}
\]

이므로,

\[
F_{\text{mag}}=mg\tan\theta
\]

이다.

\[
m=1.8\times10^{-3}\ \text{kg}
\]

를 사용하면

\[
\begin{aligned}
F_{\text{mag}}
&=(1.8\times10^{-3})(9.8)\tan6.0^\circ\\
&=1.85\times10^{-3}\ \text{N}
\end{aligned}
\]

이다.

따라서 단위 길이당 힘은

\[
\begin{aligned}
\frac{F}{L}
&=\frac{1.85\times10^{-3}}{1.20}\\
&=1.54\times10^{-3}\ \text{N m}^{-1}
\end{aligned}
\]

이다.

두 도선에는 크기가 같은 전류 \(I\)가 흐르므로,

\[
\frac{F}{L}
=
\frac{\mu_0I^2}{2\pi d}
=
(2.0\times10^{-7})\frac{I^2}{d}
\]

이다.

값을 대입하면

\[
1.54\times10^{-3}
=
(2.0\times10^{-7})
\frac{I^2}{0.1018}
\]

이다.

따라서,

\[
\begin{aligned}
I^2
&=
\frac{(1.54\times10^{-3})(0.1018)}
{2.0\times10^{-7}}\\
&\approx7.84\times10^2
\end{aligned}
\]

이고,

\[
I\approx28.0\ \text{A}
\]

이다.

따라서,

\[
\boxed{I\approx28\ \text{A}}
\]

이다.

관찰된 움직임이 척력이므로 전류는 서로 반대 방향이어야 한다.

여기에는 두 가지 흔한 지름길식 실수가 있다. 첫 번째는 도선이 움직인 뒤에도 \(0.060\ \text{m}\)를 도선 사이의 간격으로 사용하는 것이다. 이렇게 하면 자기장을 실제보다 크게 계산하게 된다. 두 번째는 \(F/L\)을 도선 전체의 무게 \(mg\)와 직접 비교하는 것이다. 하나는 미터당 힘이고 다른 하나는 전체 힘이므로, 도선의 길이를 고려하지 않고 두 값을 같게 둘 수 없다.

문제 5

고정된 두 개의 긴 평행 도선 A와 C가 \(0.50\ \text{m}\) 떨어져 있다. 두 도선 모두 위쪽으로 전류가 흐른다.

도선 A에는 \(3.0\ \text{A}\), 도선 C에는 \(12\ \text{A}\)의 전류가 흐른다.

세 번째 긴 평행 도선 B가 두 도선 사이의 어느 위치에 놓여 있으며 \(5.0\ \text{A}\)의 전류가 흐른다.

a. B의 전류가 위쪽으로 흐를 때 B에 작용하는 알짜 자기력이 0이 되는 A와 C 사이의 위치를 구하여라.

b. 이 힘이 0인 위치는 작은 옆 방향 변위에 대해 안정한가, 불안정한가? 설명하여라.

c. 이제 A와 C의 전류는 그대로 둔 채 B의 전류 방향을 반대로 바꾼다. 힘이 0인 위치가 이동하는가?

d. B의 전류를 반대로 바꾼 경우 평형은 안정한가, 불안정한가?

e. B의 전류 크기를 두 배로 하면 힘이 0인 위치가 변하는가?

풀이 5

도선 B는 A로부터 \(0.10\ \text{m}\) 떨어진 위치에서 알짜힘이 0이 된다. B의 전류가 위쪽일 때 평형은 불안정하며, B의 전류 방향을 반대로 바꾸어도 평형 위치는 같지만 평형은 안정해진다. \(I_B\)를 두 배로 해도 평형 위치는 변하지 않는다.

A에서 B까지의 거리를 \(x\)라고 하자. 그러면 B에서 C까지의 거리는

\[
0.50-x
\]

이다.

B의 전류가 위쪽으로 흐를 때 B의 전류는 두 바깥 도선의 전류와 모두 평행하다. A는 B를 왼쪽으로 끌어당기고, C는 B를 오른쪽으로 끌어당긴다.

알짜힘이 0이 되려면 두 힘의 크기가 같아야 한다.

\[
\frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi x}
=
\frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi(0.50-x)}
\]

\(I_B\)를 포함한 공통 인자를 약분하면

\[
\frac{I_A}{x}
=
\frac{I_C}{0.50-x}
\]

이다.

전류 값을 대입하면

\[
\frac{3.0}{x}
=
\frac{12}{0.50-x}
\]

이다.

교차 곱하면

\[
\begin{aligned}
3.0(0.50-x)&=12x\\
1.50-3.0x&=12x\\
1.50&=15x\\
x&=0.10\ \text{m}
\end{aligned}
\]

이다.

따라서 B는

\[
\boxed{\text{A로부터 }0.10\ \text{m}}
\]

떨어진 곳에 있어야 하며, 따라서 C로부터는 \(0.40\ \text{m}\) 떨어져 있다.

B가 더 약한 \(3.0\ \text{A}\) 도선에 훨씬 가까이 있다는 것이 처음에는 이상하게 보일 수 있다. 하지만 정확히 그렇게 되어야 한다. 더 약한 전류가 더 강한 \(12\ \text{A}\) 전류가 만드는 힘과 같은 크기의 자기력을 만들려면 거리가 더 짧아야 하기 때문이다.

이제 알짜힘이 0이라는 사실만 확인하지 말고 안정성을 검사해 보자.

B가 오른쪽으로 약간 움직였다고 하자. C까지의 거리가 줄어들므로 C의 인력은 더 강해진다. 동시에 A까지의 거리는 늘어나므로 A의 인력은 더 약해진다.

따라서 결과적인 알짜힘은 오른쪽, 즉 변위와 같은 방향으로 작용한다.

그러므로 원래의 평형은

\[
\boxed{\text{불안정}}
\]

하다.

이는 언덕 꼭대기에 정확히 균형을 잡고 놓인 공과 같다. 한 정확한 위치에서 힘이 0이라는 사실만으로 작은 교란이 다시 원래 상태로 되돌려진다는 뜻은 아니다.

이제 B의 전류 방향을 반대로 바꾸자.

B는 A와 C 모두에 대해 반평행이므로 두 상호작용은 모두 척력으로 바뀐다. 힘의 크기에는 여전히

\[
I_AI_B
\quad\text{및}\quad
I_CI_B
\]

가 포함되며, 전류 방향을 반대로 하면 두 힘의 방향이 함께 바뀐다. 힘의 크기가 같아지는 조건은 변하지 않는다.

따라서 힘이 0인 위치는 여전히

\[
\boxed{\text{A로부터 }0.10\ \text{m}}
\]

이다.

하지만 안정성은 달라진다.

B를 C 쪽인 오른쪽으로 약간 움직여 보자. 가까워진 C로부터의 척력이 강해져 B를 왼쪽으로 민다. A는 더 멀어졌으므로 A로부터의 척력은 약해진다.

따라서 알짜힘은 왼쪽, 즉 평형 위치로 되돌아가는 방향으로 작용한다.

그러므로 B의 전류를 반대로 한 경우 평형은

\[
\boxed{\text{안정}}
\]

하다.

마지막으로 \(I_B\)를 두 배로 하면 서로 반대 방향으로 작용하는 두 자기력이 모두 같은 비율로 증가한다. 다음 식에서

\[
\frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi x}
=
\frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi(0.50-x)}
\]

\(I_B\)는 완전히 약분된다.

따라서 \(I_B\)를 두 배로 해도 평형 위치는 변하지 않는다.

이 문제의 함정은 “알짜힘이 0″이라는 것을 자동으로 “안정”이라고 생각하는 것이다. 안정성을 판단하려면 한 가지 질문을 더 해야 한다. 물체를 조금 이동시켰을 때 새롭게 생기는 알짜힘이 물체를 다시 평형 위치로 밀어 되돌리는가, 아니면 평형 위치에서 더 멀어지게 하는가?

이 구분은 여러 자기력이 동시에 작용하는 모든 상황에서 유용하다. 각각의 \(F/L\)을 계산하고, 방향을 정한 뒤, 힘을 벡터로 더할 수 있게 되면 평행 도선 문제는 훨씬 더 넓은 개념으로 이어진다. 자기장은 단순히 힘을 만들어 내는 데 그치지 않는다. 위치에 따라 그 힘이 어떻게 변하는지가 어떤 배열이 스스로 평형을 유지하는지, 아니면 평형에서 벗어나 무너지는지를 결정할 수 있다.