역사적 SI 암페어와 평행 도선: HSC 물리

“1암페어”가 정확히 무엇을 뜻하는지 정의하라는 말을 들었는데, 전류계는 사용할 수 없다고 상상해 보자. 20세기의 상당 기간 동안 공식적인 답은 놀라울 만큼 물리적이었다. 이상적인 두 도선을 나란히 놓고 전류를 흘린 뒤, 두 도선이 서로에게 가하는 아주 작은 자기력으로 암페어를 정의하는 것이었다.

세부 내용을 보기 전에 먼저 예측해 보자. 두 전류가 같은 방향으로 흐르면 도선은 서로 끌어당길까, 밀어낼까? 우리는 흔히 자기 현상을 서로 밀어내는 것과 연관 짓기 때문에 “밀어낸다”라고 추측하기 쉽다. 하지만 실제 결과는 그 반대다. 같은 방향으로 흐르는 평행 전류는 서로 끌어당기고, 반대 방향으로 흐르는 전류는 서로 밀어낸다.

이 힘은 매우 중요해져서, 1948년부터 개정된 SI가 2019년 5월 20일 발효될 때까지 암페어 정의의 핵심에 자리했다. :chatgpt-content-reference{index=”0″}

01두 전류가 서로에게 힘을 가할 수 있는 이유

먼저 전류 \(I_1\)이 흐르는 길고 곧은 도선 하나를 생각해 보자.

이 전류는 도선 주위에 자기장을 만든다. 도선으로부터 수직 거리 \(r\)인 지점에서 자기장의 세기는

\[ B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} \]

이다.

여기서:

• \(B_1\)은 도선 1이 만드는 자기장으로, 단위는 테슬라(T)이고,
• \(\mu_0\)는 자유 공간의 투자율이며,
• \(I_1\)은 도선 1의 전류로, 단위는 암페어(A)이고,
• \(r\)은 도선 1로부터의 수직 거리로, 단위는 미터(m)이다.

이제 도선 2를 도선 1과 평행하게 놓자.

도선 2는 도선 1이 만든 자기장 안에 놓여 있다. 외부 자기장 속에 있는 전류가 흐르는 도체는 모터 효과에 의한 힘을 받는다.

\[ F=I_2LB\sin\theta \]

여기서 \(I_2\)는 도선 2의 전류, \(L\)은 고려하는 도선의 길이, \(\theta\)는 전류와 자기장 사이의 각도이다.

도선 2의 위치에서는 도선 1이 만드는 원형 자기장이 도선 2와 수직이다. 따라서 \(\theta=90^\circ\)이므로 \(\sin\theta=1\)이다.

도선 1이 만드는 자기장을 대입하면

\[ F =I_2L\left(\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}\right) \]

이고, 따라서

\[ \frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi r} \]

이다.

이 식이 평행 도선 문제의 핵심 관계식이다.

단위 길이당 힘은 어느 한쪽 전류가 증가해도 커진다. 도선 사이의 거리가 증가하면 작아진다.

방향을 판단하는 부분이 아직 헷갈린다면 모터 효과 방향 규칙을 별도로 복습해 볼 만하다. 힘의 크기를 나타내는 식만으로는 힘이 인력인지 척력인지 알 수 없다.

02같은 방향의 전류가 서로 끌어당기는 이유

두 전류가 모두 위쪽을 향한다고 하자.

도선 1에 오른손 감기 법칙을 적용한다. 도선 2의 위치에서 도선 1이 만드는 자기장은 도선과 수직인 특정 방향을 향한다. 도선 2에 모터 효과의 힘 방향 규칙을 적용하면 힘은 도선 1 쪽을 향한다.

이제 두 도선의 역할을 바꿔 보자.

도선 2는 도선 1의 위치에 자체적인 자기장을 만든다. 이 자기장은 도선 1에 도선 2 쪽을 향하는 힘을 가한다.

따라서 두 도선은 서로 끌어당긴다.

한쪽 전류의 방향을 반대로 바꾸면 두 힘의 방향도 모두 반대로 바뀐다. 그러면 두 도선은 서로 밀어낸다.

유용한 판단 규칙은 다음과 같다.

가능하다면 이것을 서로 동떨어진 사실로 외우지 말자. “한 도선이 자기장을 만들고, 다른 도선의 전류가 그 자기장 속에서 힘을 받는다”는 원리에서 자연스럽게 따라오는 결과다.

03뉴턴의 제3법칙은 어디에서 나타나는가

다시 다음 식을 보자.

\[ \frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi r} \]

중요한 점이 하나 있다. 어느 전류를 \(I_1\), 어느 전류를 \(I_2\)라고 부르든 상관없다. 곱 \(I_1I_2\)는 동일하다.

따라서 이상적인 두 도선 계에서 도선 2가 도선 1에 가하는 힘의 크기는 도선 1이 도선 2에 가하는 힘의 크기와 같다.

방향은 서로 반대다.

이는 이 상황에서 뉴턴의 제3법칙이 요구하는 바와 정확히 일치한다.

\[ \vec F_{1\leftarrow2}=-\vec F_{2\leftarrow1} \]

여기에는 흔히 빠지는 함정이 있다. 힘이 같다고 해서 가속도까지 같다는 뜻은 아니다.

한 도선의 단위 길이당 질량이 다른 도선의 두 배라면, 두 힘이 같더라도 더 가벼운 도선의 가속도는 두 배가 될 수 있다. 왜냐하면

\[ a=\frac{F}{m} \]

이기 때문이다.

뉴턴의 제3법칙은 힘에 관한 법칙이지, 운동 자체에 관한 법칙이 아니다.

조금 더 고급 수준의 한계도 알아 둘 가치가 있다. 일반적인 전자기계에서는 장 자체가 운동량을 운반할 수 있다. 따라서 이 단순한 두 도선 논리를 모든 시간에 따라 변하는 전자기 상황에 대한 지름길로 사용해서는 안 된다. 그러나 여기서 다루는 정상 상태의 이상적인 평행 전류 문제에서는 역학적 힘이 크기가 같고 방향은 반대이다.

04옛 암페어 정의로 이어진 측정 문제

실험실마다 단위가 무엇을 의미하는지 합의할 수 없다면 그 단위는 별로 유용하지 않다.

과거의 전기 측정은 실용적인 표준물과 합의된 절차에 의존했다. 보다 근본적인 접근은 전류를 힘, 거리, 길이 같은 역학적 양과 연결하는 것이었다.

평행 도선 모형은 바로 그런 연결을 제공했다.

이상적인 배치를 공간적 순서대로 그려 보자.

1. 두 직선 도체가 서로 나란히 놓여 있다.
2. 두 도체의 중심선 사이 거리는 \(1\text{ m}\)이다.
3. 두 도체는 무한히 길다고 가정한다.
4. 두 도체의 원형 단면은 무시할 수 있을 정도로 작다고 가정한다.
5. 두 도체는 진공 속에 있다.
6. 도체에는 크기가 같은 일정한 전류가 유지된다.
7. 자기적 상호작용으로 두 도체 사이에 측정 가능한 힘이 생긴다.

1948년에 채택된 역사적 정의에서는, 이 이상적인 \(1\text{ m}\) 간격에서 1암페어의 전류가 다음과 같은 단위 길이당 힘을 만든다고 규정했다.

\[ 2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1} \]

:chatgpt-content-reference{index=”1″}

이 정의는 모든 실험실이 실제로 무한히 길고 두께가 무한히 작은 두 도선을 어떻게든 마련해야 한다는 뜻이 아니었다. 이러한 조건들은 이상적인 물리 모형을 정의한다.

이 구분은 중요하다.

05크기 추정: 정의에 사용된 힘은 얼마나 작았을까?

도선 사이 힘의 식에 \(I_1=I_2=1\text{ A}\), \(r=1\text{ m}\)를 대입하면

\[ \begin{aligned} \frac{F}{L} &=\frac{(4\pi\times10^{-7})(1)(1)} {2\pi(1)}\\ &=2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1} \end{aligned} \]

이다.

따라서 길이 1미터의 구간이 받는 힘은 겨우

\[ F=2\times10^{-7}\text{ N}. \]

이다.

이 수치의 크기를 감각적으로 이해하기 위해, 지구 표면 근처에서 같은 무게를 갖는 질량이 얼마인지 생각해 보자.

\(F=mg\)를 사용하면

\[ \begin{aligned} m&=\frac{F}{g}\\ &=\frac{2\times10^{-7}}{9.81}\\ &\approx2.0\times10^{-8}\text{ kg} \end{aligned} \]

이다.

이는 약 \(20\)마이크로그램의 질량이다.

따라서 옛 정의는 1암페어를 역학적으로 측정 가능한 효과와 연결했지만, 그 효과는 극도로 작았다.

06\(\mu_0\)와의 영리한 연결

이제 놓치기 쉬운 부분이 나온다.

옛 정의는 암페어만 정의한 것이 아니다. \(\mu_0\)의 값도 정확한 값으로 만들었다.

다음 식을 보자.

\[ \frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi r}. \]

정의를 적용하는 상황에서는

\[ I_1=I_2=1\text{ A}, \qquad r=1\text{ m}, \qquad \frac FL=2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1}. \]

이다.

\(\mu_0\)에 대해 정리하면

\[ \begin{aligned} \mu_0 &=\frac{2\pi r(F/L)}{I_1I_2}\\ &=2\pi(1)(2\times10^{-7})\\ &=4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}. \end{aligned} \]

이전 정의에서는 암페어의 정의 자체가 그렇게 되도록 구성되어 있었기 때문에 이 값은 정확한 값이었다.

이는 단순히 \(\mu_0\)를 측정했더니 \(4\pi\times10^{-7}\)에 가까운 값이 나왔다는 것과는 매우 다르다.

07하지만 누구도 무한히 긴 도선을 가지고 있지 않다

이상적인 배치에는 명백한 문제가 있다. 무한히 긴 도선은 실험실 안에 편하게 들어가지 않는다.

말 그대로 두께를 무시할 수 있는 도선도 마찬가지다.

실제 도체에는 유한한 길이, 지지대, 연결부, 주변 장비가 있다. 이러한 요소 때문에 자기력은 완벽한 이상 모형의 값에서 조금 벗어난다.

따라서 실제 힘 측정에서는 정의의 문구를 문자 그대로 재현하는 대신 전류 저울과 세심하게 설계된 도체 배치를 사용했다. 전류 저울에서는 도체나 코일 사이의 자기력을 저울 위의 알려진 역학적 힘과 비교할 수 있다. 그러려면 실제 장치를 이상적인 전자기 관계와 연결할 수 있을 만큼 기하학적 구조를 정확히 이해해야 한다. 예를 들어 NIST는 코일 사이의 자기력과 추에 의한 역학적 힘을 비교한 켈빈 저울을 설명한다. :chatgpt-content-reference{index=”2″}

여기에는 유용한 역사적 교훈이 있다. 어떤 단위의 정의와 그 정의를 실제로 구현하는 방법은 반드시 같은 대상일 필요가 없다.

정의는 그 단위가 무엇을 의미하는지 말해 준다. 계측학은 그 단위를 어떻게 정확하게 구현할지를 다룬다.

08암페어의 정의가 2019년에 바뀐 이유

힘을 이용한 정의에는 강력한 물리적 발상이 담겨 있었지만, 그 이상적인 기하학적 조건을 직접 구현하기는 까다로웠다.

또한 현대 계측학에서는 양자물리학에 기반한 전기 표준을 사용할 수 있게 되었다. 그래서 개정된 SI에서는 어떤 양을 정확한 값으로 취할지를 바꾸었다.

2019년 5월 20일부터 암페어는 기본 전하 \(e\)를 정확히 다음 값으로 고정함으로써 정의된다.

\[ e=1.602\,176\,634\times10^{-19}\text{ C}. \]

\(1\text{ C}=1\text{ A\,s}\)이므로, 이는 전류를 단위 시간당 이동한 전하량과 직접 연결한다. :chatgpt-content-reference{index=”3″}

변화율 형태로 쓰면

\[ I=\frac{\Delta q}{\Delta t}. \]

따라서 \(1\text{ A}\)의 전류는 초당 약

\[ \frac{1}{1.602\,176\,634\times10^{-19}} \approx6.2415\times10^{18} \]

개의 기본 전하가 이동하는 전하 흐름률에 해당한다.

이것을 “전자가 금속 도선 속에서 초당 \(6.24\times10^{18}\)미터의 속도로 이동해야 한다”는 식으로 해석해서는 안 된다. 그런 의미와는 전혀 다르다. 이것은 선택한 어떤 면을 1초 동안 통과하는 전하의 개수를 나타내는 것이지, 개별 전자의 속도를 나타내는 것이 아니다.

현대의 정의는 \(\mu_0\)가 아니라 \(e\)를 고정한다. 그 결과 이제 \(\mu_0\)는 원칙적으로 실험을 통해 결정해야 하는 양이며, 더 이상 \(4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}\)라는 정확히 정의된 값을 갖지 않는다. 수치적 차이는 일반적인 HSC 계산에 필요한 정밀도보다 훨씬 작으므로, 이 수준에서는 \(4\pi\times10^{-7}\)을 사용하는 것이 여전히 매우 좋은 근사이다. :chatgpt-content-reference{index=”4″}

2019년 5월 20일에 전기 장치에 극적인 변화가 일어난 것은 아니다. 정의의 표현이 바뀌었다고 해서 실험실의 전류가 갑자기 뛰어오른 것도 아니다. 개정된 SI는 근본적인 정의를 바꾸면서도 기존 측정값의 연속성이 유지되도록 설계되었다.

09HSC 학생들이 이 역사에서 얻어야 할 점

역사적 암페어 정의는 도선 사이 힘의 식을 왜 배우는지에 대한 이유를 제공한다. 이 식은 단순히 공식집에 적혀 있던 식이 아니다. 한때 SI 기본 단위 중 하나를 정의하는 데 사용되었다.

또한 HSC에서 흔히 따로 배우는 여러 개념을 서로 연결해 준다.

• 전류는 자기장을 만든다.
• 그 자기장 속의 다른 전류는 힘을 받는다.
• 이상적인 두 도선 계에서는 상호작용으로 크기가 같고 방향이 반대인 힘이 생긴다.
• 힘의 크기는 \(I_1I_2/r\)에 따라 달라진다.
• 측정 가능한 역학적 힘을 이용해 전기적 양을 추론할 수 있다.
• 과학적 정의가 바뀌면 기초 물리는 그대로인 채 어떤 상수를 정확한 값으로 취하는지가 달라질 수 있다.

이 관계식 자체의 계산을 더 연습하려면 전류가 흐르는 평행 도선 사이의 힘을 참고하자.

10문제와 풀이

문제 1

길고 평행한 두 도선이 \(0.15\text{ m}\) 떨어져 있으며, 같은 방향으로 각각 \(4.0\text{ A}\)와 \(6.0\text{ A}\)의 전류가 흐른다.

어느 한 도선의 \(0.80\text{ m}\) 구간에 작용하는 힘을 계산하고 그 방향을 말하라.

풀이 1

각 \(0.80\text{ m}\) 구간이 받는 힘은 \(2.56\times10^{-5}\text{ N}\)이며, 다른 도선을 향한다.

다음 식을 사용한다.

\[ F=\frac{\mu_0I_1I_2L}{2\pi r}. \]

값을 대입하면

\[ \begin{aligned} F &=\frac{(4\pi\times10^{-7})(4.0)(6.0)(0.80)} {2\pi(0.15)}\\ &=2.56\times10^{-5}\text{ N}. \end{aligned} \]

전류가 같은 방향으로 흐르므로 두 도선 사이에는 인력이 작용한다.

흔히 하는 실수는 힘의 크기를 올바르게 구한 뒤 힘이 “자기장 방향을 따라” 작용한다고 생각하는 것이다. 그렇지 않다. 힘의 방향은 자기장의 방향만으로 정해지는 것이 아니라 전류의 방향과 자기장 사이의 상호작용으로 정해진다.

문제 2

평행한 두 도선이 \(0.080\text{ m}\) 떨어져 있다. 도선 A에는 \(10\text{ A}\)의 전류가 흐르고, 도선 B에는 크기를 알 수 없는 전류가 반대 방향으로 흐른다.

단위 길이당 힘은 \(5.0\times10^{-4}\text{ N m}^{-1}\)이다.

1. 도선 B의 전류를 구하라.
2. 도선 A의 단위 길이당 질량은 \(1.0\times10^{-2}\text{ kg m}^{-1}\)이고, 도선 B의 단위 길이당 질량은 \(2.0\times10^{-2}\text{ kg m}^{-1}\)이다. 두 도선을 옆 방향으로 자유롭게 움직이게 하고 다른 힘은 무시할 때, 각 도선의 초기 가속도를 구하라.
3. 뉴턴의 제3법칙을 위반하지 않으면서도 두 가속도가 다른 이유를 설명하라.

풀이 2

도선 B에는 \(20\text{ A}\)의 전류가 흐른다. 도선 A의 초기 가속도는 \(5.0\times10^{-2}\text{ m s}^{-2}\), 도선 B의 초기 가속도는 \(2.5\times10^{-2}\text{ m s}^{-2}\)이며, 두 가속도의 방향은 서로 반대이다.

전류를 구하려면

\[ \frac FL=\frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi r}. \]

따라서

\[ \begin{aligned} I_B &=\frac{2\pi r(F/L)}{\mu_0I_A}\\ &=\frac{2\pi(0.080)(5.0\times10^{-4})} {(4\pi\times10^{-7})(10)}\\ &=20\text{ A}. \end{aligned} \]

전류의 방향이 반대이므로 두 도선은 서로 밀어낸다.

도선 A의 길이 1미터를 생각하자. 힘은 \(5.0\times10^{-4}\text{ N}\)이고 질량은 \(1.0\times10^{-2}\text{ kg}\)이다.

\[ \begin{aligned} a_A &=\frac{F}{m}\\ &=\frac{5.0\times10^{-4}} {1.0\times10^{-2}}\\ &=5.0\times10^{-2}\text{ m s}^{-2}. \end{aligned} \]

도선 B의 길이 1미터에 대해서는

\[ \begin{aligned} a_B &=\frac{5.0\times10^{-4}} {2.0\times10^{-2}}\\ &=2.5\times10^{-2}\text{ m s}^{-2}. \end{aligned} \]

가속도가 다르므로 힘도 서로 다를 것이라고 결론 내리고 싶을 수 있다. 하지만 이는 뉴턴의 제2법칙과 제3법칙을 혼동한 것이다.

뉴턴의 제3법칙은 상호작용하는 힘의 크기가 같고 방향은 반대라고 말한다. 뉴턴의 제2법칙은 그 결과로 생기는 가속도가 질량에도 의존한다고 말한다. 도선 B는 단위 길이당 질량이 두 배이므로 가속도는 절반이다.

문제 3

길고 평행한 세 도선 A, B, C가 하나의 수평 직선 위에 놓여 있다.

도선 B는 A의 오른쪽 \(0.10\text{ m}\) 지점에 있다. 도선 C는 B에서 다시 오른쪽으로 \(0.20\text{ m}\) 떨어져 있다.

A와 B에는 각각 \(4.0\text{ A}\)와 \(3.0\text{ A}\)의 전류가 같은 방향으로 흐른다.

1. B에 작용하는 알짜 자기력이 0이 되도록 하는 C의 전류 크기와 방향을 구하라.
2. 그런 다음 A와 C는 그대로 둔 채 B의 전류 방향만 반대로 바꾸면, B에 작용하는 알짜힘은 여전히 0인가? 전체 계산을 반복하지 말고 설명하라.

풀이 3

도선 C에는 A와 B와 같은 방향으로 \(8.0\text{ A}\)의 전류가 흘러야 한다. B의 전류만 반대로 바꾸어도 B에 작용하는 알짜힘은 여전히 0이지만, 각각의 힘 방향은 모두 반대로 바뀐다.

A 때문에 B가 받는 단위 길이당 힘은

\[ \frac{F_{BA}}L =\frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi r_{AB}}. \]

A와 B의 전류가 같은 방향이므로 A는 B를 왼쪽으로 끌어당긴다.

알짜힘이 0이 되려면 C가 B를 같은 크기의 힘으로 오른쪽으로 끌어당겨야 한다. 따라서 C에는 B와 같은 방향의 전류가 흘러야 한다.

힘의 크기를 같게 놓으면

\[ \frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi r_{AB}} = \frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi r_{BC}}. \]

공통 인자를 약분하면

\[ \frac{I_A}{r_{AB}} = \frac{I_C}{r_{BC}}. \]

따라서

\[ \begin{aligned} I_C &=I_A\frac{r_{BC}}{r_{AB}}\\ &=(4.0)\frac{0.20}{0.10}\\ &=8.0\text{ A}. \end{aligned} \]

이제 \(I_B\)만 반대로 바꾸자.

각 상호작용의 크기에는 여전히 같은 전류 크기의 곱이 들어가므로 두 힘의 크기는 변하지 않는다. 그러나 이제 B의 전류는 A와 C 모두와 반대 방향이므로, 두 인력은 모두 척력으로 바뀐다.

이제 A는 B를 오른쪽으로 밀고, C는 B를 왼쪽으로 민다. 두 힘의 크기는 여전히 같다.

여기서의 함정은 B의 방향을 반대로 바꾸면 반드시 평형이 깨진다고 생각하는 것이다. 실제로는 B에 작용하는 두 힘이 모두 반대로 바뀌므로 벡터합은 여전히 0이다.

문제 4

정확히 \(1.000000000\text{ m}\) 떨어진 두 개의 매우 긴 평행 도체를 사용하는 현대 실험을 상상해 보자. 각각의 전류는 현행 SI 정의를 이용해 독립적으로 \(1.000000000\text{ A}\)로 구현되었다.

모든 실험적 보정을 적용한 뒤 측정된 단위 길이당 힘이 가상으로

\[ 2.000000004\times10^{-7}\text{ N m}^{-1}. \]

라고 하자.

1. 이 측정값을 이용해 \(\mu_0\)를 추론하라.
2. 이를 \(4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}\)와 비교하라.
3. 현행 SI에서 이런 실험의 해석이 과거의 힘 기반 암페어 정의 아래에서의 해석과 근본적으로 다른 이유를 설명하라.

풀이 4

이 가상의 결과로부터

\[ \mu_0=4.000000008\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}, \]

를 얻으며, 이는 \(4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}\)보다 분율로 \(2\times10^{-9}\)만큼 크다.

평행 도선 관계식을 정리하면

\[ \mu_0 = \frac{2\pi r(F/L)}{I_1I_2}. \]

주어진 값을 대입하면

\[ \begin{aligned} \mu_0 &= \frac{2\pi(1.000000000) (2.000000004\times10^{-7})} {(1.000000000)(1.000000000)}\\ &=4.000000008\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}. \end{aligned} \]

이를 익숙한 값과 비교하면

\[ 4.000000008\pi\times10^{-7} = \left(4\pi\times10^{-7}\right) (1.000000002). \]

따라서 분율 차이는

\[ 2\times10^{-9}. \]

이다.

현행 SI에서는 기본 전하 \(e\)가 정확한 값으로 고정되어 있다. 따라서 암페어는 평행 도선 사이의 힘 법칙과 독립적으로 구현할 수 있으며, 정밀한 힘 실험은 \(\mu_0\)의 측정으로 해석할 수 있다.

과거의 정의에서는 논리의 방향이 반대였다. 힘의 관계식 자체가 암페어를 확립하는 데 사용되었고, \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}\)는 그 정의에서 정확하게 따라왔다.

따라서 2019년 이전의 SI 체계에서는 불일치가 나타나더라도 “\(\mu_0\)의 값이 약간 다르게 측정되었다”는 뜻이 되지 않았다. 대신 전류 구현의 불완전함, 기하학적 조건의 불완전함, 측정 오차, 또는 아직 해결되지 않은 실험상의 문제를 가리키는 것이었다.

여기서 쉽게 빠지는 함정은 익숙한 수치의 상수가 언제나 같은 논리적 지위를 가져왔다고 생각하는 것이다. 그렇지 않다. 전자기학의 물리 자체는 그대로지만, 정의는 어떤 양을 정확한 값으로 취하고 어떤 양을 실험적으로 결정할 수 있는지를 정한다.

문제 5

이상적인 역사적 배치를 생각해 보자. 무한히 길고 두께를 무시할 수 있는 두 도선이 진공에서 \(1\text{ m}\) 떨어져 있고, 측정된 단위 길이당 힘은 정확히

\[ 2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1}. \]

이다.

한 학생이 다음과 같이 주장한다.

“뉴턴의 제3법칙에 따르면 두 힘은 같으므로 두 전류도 같아야 한다. 따라서 각 전류는 반드시 \(1\text{ A}\)이다.”

아래의 각 상황에서 이 주장을 분석하라.

1. 두 도선에 서로 독립적인 전류원이 연결되어 있다.
2. 두 도선이 직렬로 연결되어 있어 같은 정상 전류가 둘 다를 통과해야 한다.
3. 뉴턴의 제3법칙이 실제로 이 추론에 무엇을 제공하고 무엇을 제공하지 않는지 설명하라.
4. 현행 SI에서 직렬 전류가 이미 독립적으로 정확히 \(1\text{ A}\)라고 알려져 있다고 하자. 그러면 도선 사이 힘의 측정으로 무엇을 알 수 있는가?

풀이 5

전류원이 서로 독립적이라면 이 측정만으로 각 전류가 \(1\text{ A}\)라는 것을 증명할 수 없다. 정해지는 것은 두 전류의 곱뿐이다. 두 도선이 직렬로 연결되어 있다면 추가 조건 \(I_1=I_2\)를 이용해 역사적 결과로부터 공통 전류가 \(1\text{ A}\)라고 결정할 수 있다. 뉴턴의 제3법칙은 상호작용하는 힘의 크기가 같고 방향이 반대임을 확립할 뿐, 전류가 서로 같다는 것을 뜻하지 않는다. 현행 SI에서는 독립적으로 알려진 \(1\text{ A}\)의 직렬 전류를 이용하면 힘 실험을 \(\mu_0\)의 측정으로 바꿀 수 있다.

다음 식에서 시작하자.

\[ \frac FL=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi r}. \]

과거의 정확한 값

\[ \mu_0=4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}, \]

과 \(r=1\text{ m}\), 그리고

\[ \frac FL=2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1}, \]

를 사용하면

\[ \begin{aligned} 2\times10^{-7} &= \frac{(4\pi\times10^{-7})I_1I_2} {2\pi}\\ &=2\times10^{-7}I_1I_2. \end{aligned} \]

따라서

\[ I_1I_2=1\text{ A}^2. \]

이다.

하지만 이것이

\[ I_1=I_2=1\text{ A}. \]

를 요구하는 것은 아니다.

예를 들어

\[ I_1=0.50\text{ A}, \qquad I_2=2.0\text{ A} \]

도 같은 곱을 만들기 때문에 힘의 크기도 같다.

이것이 핵심 함정이다. 상호작용하는 힘이 같다고 해서 그 상호작용을 만들어 내는 물리량 자체도 반드시 같아야 하는 것은 아니다.

뉴턴의 제3법칙에 따르면

\[ |\vec F_{1\leftarrow2}| = |\vec F_{2\leftarrow1}| \]

이며, 이는 두 전류의 크기가 같은지와 관계없이 성립한다. 이러한 대칭성은 \(I_1I_2\)라는 곱에서도 직접 나타난다.

이제 직렬 연결 조건을 추가하자.

두 직렬 도체를 통과하는 정상 전류에 대해서는

\[ I_1=I_2=I. \]

이다.

그러면 힘의 식으로부터

\[ I^2=1\text{ A}^2. \]

을 얻는다.

전류의 크기를 취하면

\[ I=1\text{ A}. \]

이다.

이제서야 공통 전류가 1암페어라고 결론 내릴 수 있다. 결정적인 추가 정보는 뉴턴의 제3법칙이 아니었다. 두 직렬 도체를 같은 전류가 통과한다는 회로 조건이었다.

현행 SI에서는 다시 논리의 방향을 뒤집는다. 전하 기반 정의를 통해 \(I=1\text{ A}\)가 이미 독립적으로 확립되어 있다면

\[ \mu_0=\frac{2\pi r(F/L)}{I^2}. \]

이다.

이제 평행 도선 장치는 1암페어가 무엇을 뜻하는지 알려 주기 위해 필요하지 않다. 대신 이미 알고 있는 전류와 측정한 힘을 이용해 \(\mu_0\)에 관한 정보를 얻을 수 있다.

이러한 역전이 바로 핵심적인 역사적 연결이다. SI가 바뀌었다고 해서 힘의 법칙이 더 이상 참이 아니게 된 것은 아니다. 바뀐 것은 식의 어느 쪽이 기준 역할을 하고 어느 쪽이 실험적으로 결정해야 할 양이 되었는가이다.

다음으로 유용한 단계는 똑같은 모터 효과 개념을 한 직선 도선에서 서로 다른 각도를 이루는 도체로 확장하는 것이다. 이 경우에는 \(\sin\theta\) 항이 더 이상 조용히 \(1\)로 사라지지 않으며, 모터 효과 힘이 최대가 되거나 0이 되는 조건이 중요해진다.