HSC 물리에서 모터 효과 힘이 최대가 되거나 0이 되는 경우

곧은 도선에 일정한 전류가 흐르고 있으며, 도선은 균일한 자기장 속에 놓여 있습니다. 전류, 도선의 길이, 자기장 세기는 그대로 유지한 채 도선을 회전시켜 봅시다. 어떤 방향에서는 자기력이 가능한 한 가장 커집니다. 다시 회전시키면 힘이 완전히 사라집니다.

계속 읽기 전에 두 방향을 예측해 보세요. 전류가 자기장을 따라 흐를 때 힘이 가장 클까요, 아니면 자기장을 가로지를 때 가장 클까요?

처음에는 조금 직관에 어긋나게 느껴질 수 있지만, 답은 전류와 자기장이 수직일 때 힘이 최대이고, 서로 평행하거나 반평행일 때 힘이 0이라는 것입니다.

이 한 가지 개념으로 모터 효과에서 각도가 미치는 영향을 설명할 수 있습니다.

01전류가 자기장을 가로지른다고 생각하기

자기력선이 종이를 가로질러 수평으로 뻗어 있다고 상상해 봅시다. 이제 전류가 흐르는 도선을 그 자기장 안에 놓습니다.

전류도 수평으로 흐른다면 자기장을 전혀 가로지르지 않습니다. HSC 모형에서는 도선에 작용하는 모터 효과 힘이 없습니다.

전류가 수직으로 흐를 때까지 도선을 돌려 봅시다. 이제 전류의 방향은 자기장을 완전히 가로지릅니다. 힘은 가능한 최대 크기에 도달합니다.

그 사이의 각도에서는 전류 방향의 일부만이 자기장을 효과적으로 가로지릅니다.

조금 우스운 비유를 하나 들어 보겠습니다. 붐비는 학교 복도를 떠올려 보세요. 다른 모든 사람이 한 방향으로 움직이고 있고, 여러분이 전류를 나타낸다고 해 봅시다. 사람들과 정확히 같은 방향으로 걷거나 정확히 반대 방향으로 걷는다면 흐름을 가로지르는 옆 방향 성분은 생기지 않습니다. 복도를 똑바로 가로질러 걸을 때 흐름을 가로지르는 상호작용이 가장 커집니다.

비유는 여기까지입니다. 자기력은 사람들이 서로 부딪혀서 생기는 힘이 아닙니다. 이 비유에서 유용한 부분은 오직 기하학적 관계입니다. 가로지르는 성분은 중요하지만, 나란한 성분은 중요하지 않습니다.

02방정식은 각도가 얼마나 중요한지 정확히 보여 줍니다

균일한 자기장 속에 있는 곧은 전류가 흐르는 도선에 대해,

\[ F = BIL\sin\theta \]

여기서:

• \(F\)는 도선에 작용하는 자기력이며, 단위는 뉴턴(\(\text{N}\))입니다.
• \(B\)는 자기장 세기이며, 단위는 테슬라(\(\text{T}\))입니다.
• \(I\)는 관습적 전류이며, 단위는 암페어(\(\text{A}\))입니다.
• \(L\)은 자기장 안에 들어 있는 도선의 길이이며, 단위는 미터(\(\text{m}\))입니다.
• \(\theta\)는 관습적 전류의 방향과 자기장 사이의 각도입니다.

이 글에서 중요한 부분은 \(\sin\theta\)입니다.

다른 모든 양이 그대로 유지되어도 도선을 회전시키기만 하면 힘이 달라질 수 있습니다.

중요한 점을 하나 살펴봅시다. \(30^\circ\)와 \(150^\circ\)에서는 힘의 크기가 같습니다.

공식에서 중요한 것은 단순히 각도가 커 보이는지가 아니라, 전류의 방향이 자기장을 얼마나 강하게 가로지르는가입니다.

03왜 \(90^\circ\)에서 힘이 최대일까요?

\(\sin\theta\)가 가질 수 있는 최대값은 1입니다.

이는

\[ \theta = 90^\circ \]

일 때 나타나므로 힘은

\[ F_{\text{최대}} = BIL. \]

이 됩니다.

전류 방향 전체가 자기장에 수직입니다. 자기장을 따라 향하는 성분이 전혀 없습니다.

같은 개념을 나타내는 또 다른 방법은 도선의 수직 성분만 생각하는 것입니다.

\[ L_\perp = L\sin\theta. \]

그러면

\[ F = BI L_\perp. \]

\(90^\circ\)에서는

\[ L_\perp = L, \]

이므로 관련된 도선 길이 전체가 힘에 기여합니다.

이것은 도선이 실제로 더 길어진다는 뜻이 아닙니다. \(L_\perp\)는 기하학적 성분으로, 도선 방향 중 자기장에 수직인 부분이 얼마나 되는지를 나타냅니다.

04왜 \(0^\circ\)와 \(180^\circ\)에서 모두 힘이 0일까요?

여기에서 흔한 실수가 나타납니다.

학생은 전류와 자기장이 서로 반대 방향을 가리키므로 \(180^\circ\)에서 매우 큰 힘이 생겨야 한다고 생각할 수 있습니다. 서로 반대라는 말은 마치 충돌이 최대인 것처럼 들립니다.

하지만 자기력은 두 화살표가 얼마나 서로 “반대”인지를 측정하는 방식으로 작용하지 않습니다. 중요한 것은 두 방향의 수직 관계입니다.

\(0^\circ\)에서는

\[ \sin0^\circ=0. \]

\(180^\circ\)에서는

\[ \sin180^\circ=0. \]

따라서 두 경우 모두

\[ F=0 \]

입니다.

\(0^\circ\)에서는 전류가 자기장과 평행하고, \(180^\circ\)에서는 반평행입니다. 어느 경우든 수직 성분은 없습니다.

이는 개별적으로 움직이는 전하에 작용하는 자기력과도 연결됩니다.

\[ F=qvB\sin\theta, \]

여기서 \(q\)는 전하량, \(v\)는 전하의 속도, \(\theta\)는 속도와 자기장 사이의 각도입니다.

HSC 도선 모형에서 모터 효과는 움직이는 전하 운반자와 관련된 자기력이 합쳐진 결과입니다. 자기장을 따라 움직이는 성분은 자기력을 만들지 않지만, 자기장을 가로지르는 운동은 자기력을 만듭니다.

05올바른 각도를 사용해야 합니다

이 부분에서 점수를 잃기 가장 쉬운 방법 중 하나는 그림에 표시된 각도가 실제로 어떤 두 방향 사이의 각도인지 확인하지 않고 그대로 사용하는 것입니다.

\[ F=BIL\sin\theta, \]

에서 \(\theta\)는 반드시 관습적 전류의 방향과 자기장 사이의 각도여야 합니다.

어떤 그림에서 도선과 자기장에 수직인 선 사이의 각도가 \(20^\circ\)라고 주어졌다고 해 봅시다. 그러면 전류와 자기장 사이의 각도는

\[ 90^\circ-20^\circ=70^\circ, \]

이므로 \(\sin20^\circ\)가 아니라 \(\sin70^\circ\)를 사용해야 합니다.

좋은 습관은 먼저 전류 화살표와 자기장 화살표를 확인하는 것입니다. 그런 다음 그 두 방향 사이의 각도를 찾으세요.

결과로 생기는 힘이 어느 방향을 가리키는지도 구해야 한다면 모터 효과 방향 규칙을 사용하세요. 각도는 힘의 크기를 결정하고, 방향 규칙은 힘의 방향을 결정합니다.

06가장 빠른 판단 규칙

전류가 흐르는 곧은 도선에 대해:

• 전류가 자기장에 수직 \(\rightarrow\) 힘이 최대,
• 전류가 자기장에 평행 \(\rightarrow\) 힘이 0,
• 전류가 자기장에 반평행 \(\rightarrow\) 힘이 0,
• 그 사이의 각도 \(\rightarrow\) \(F=BIL\sin\theta\)를 사용합니다.

\(90^\circ\)와 \(0^\circ\)를 서로 관련 없는 사실처럼 외우지 마세요. 그 이유를 기억하세요. 자기장에 수직인 성분만 모터 효과 힘에 기여합니다.

이 원리는 도선이 휘어 있을 때, 여러 도선 구간에 동시에 힘이 작용할 때, 그리고 나중에 전류가 흐르는 코일에 작용하는 토크를 다룰 때에도 유용합니다.

07문제와 풀이

문제 1

길이가 \(0.40\text{ m}\)인 곧은 도선에 \(2.5\text{ A}\)의 전류가 흐르며, 도선은 \(0.60\text{ T}\)의 균일한 자기장 속에 있습니다.

전류는 자기장에 수직입니다.

도선에 작용하는 자기력을 계산하세요.

풀이 1

자기력은 \(0.60\text{ N}\)입니다.

적용되는 방정식은

\[ F=BIL\sin\theta. \]

입니다.

전류가 자기장에 수직이므로,

\[ \theta=90^\circ \]

이고

\[ \sin90^\circ=1. \]

입니다.

따라서,

\[ \begin{aligned} F &=(0.60)(2.5)(0.40)\sin90^\circ\\ &=(0.60)(2.5)(0.40)(1)\\ &=0.60\text{ N}. \end{aligned} \]

이는 주어진 \(B\), \(I\), \(L\) 값에서 가능한 최대 힘이기도 합니다.

흔히 빠지기 쉬운 실수는 “수직”이라는 말 때문에 방향이 나란하지 않으므로 힘이 0이라고 생각하는 것입니다. 자기력에서는 그 반대입니다. 수직인 배열에서 \(\sin\theta\)가 가장 큰 값을 가집니다.

문제 2

길이가 \(0.50\text{ m}\)인 도선에 \(3.2\text{ A}\)의 전류가 흐르며, 도선은 \(0.75\text{ T}\)의 자기장 속에 있습니다. 도선에 작용하는 힘은 \(0.78\text{ N}\)입니다.

전류와 자기장 사이에 가능한 각도를 구하세요.

풀이 2

가능한 각도는 약 \(41^\circ\)와 \(139^\circ\)입니다.

다음 식에서 시작합니다.

\[ F=BIL\sin\theta. \]

정리하면,

\[ \sin\theta=\frac{F}{BIL}. \]

측정값을 대입하면:

\[ \begin{aligned} \sin\theta &=\frac{0.78}{(0.75)(3.2)(0.50)}\\ &=\frac{0.78}{1.20}\\ &=0.65. \end{aligned} \]

따라서,

\[ \theta=\sin^{-1}(0.65)\approx40.5^\circ. \]

그러므로 가능한 한 각도는 약 \(41^\circ\)입니다.

하지만,

\[ \sin\theta=\sin(180^\circ-\theta), \]

이므로 두 번째 해는

\[ 180^\circ-40.5^\circ=139.5^\circ. \]

입니다.

따라서 두 가능한 각도는 약 \(41^\circ\)와 \(139^\circ\)입니다.

흔히 빠지기 쉬운 방법은 계산기에서 나온 역삼각함수 결과 하나만 답으로 제시하는 것입니다. 여기서 놓치기 쉬운 조건은 두 방향 사이의 물리적 각도가 \(0^\circ\)에서 \(180^\circ\)까지 가능하며, 그 범위에서 서로 다른 두 각도가 같은 사인값을 가질 수 있다는 점입니다.

문제 3

일정한 전류가 흐르는 도선을 균일한 자기장에 대해 \(30^\circ\)의 각도에서 \(150^\circ\)의 각도로 회전시킵니다.

한 학생이 다음과 같이 말합니다. “각도가 \(120^\circ\) 증가했으므로 자기력은 훨씬 커져야 한다.”

\(B\), \(I\), \(L\)이 일정하게 유지된다고 할 때:

1. 회전 전후의 힘의 크기를 비교하고,
2. 학생의 추론이 왜 잘못되었는지 설명하세요.

풀이 3

힘의 크기는 변하지 않습니다.

처음에는,

\[ F_1=BIL\sin30^\circ. \]

입니다.

\[ \sin30^\circ=0.5, \]

이므로,

\[ F_1=0.5BIL. \]

회전 후에는,

\[ F_2=BIL\sin150^\circ. \]

입니다.

하지만,

\[ \sin150^\circ=0.5, \]

이므로,

\[ F_2=0.5BIL. \]

따라서,

\[ F_1=F_2. \]

학생의 추론이 잘못된 이유는 자기력이 각도의 수치적 크기에 비례하지 않기 때문입니다. 자기력은 각도의 사인값에 비례합니다.

두 방향 모두 자기장에 대한 수직 성분의 크기가 같습니다.

흔히 떠올리기 쉬운 생각은 “각도가 더 크면” 힘도 더 커져야 한다는 것입니다. 하지만 이는 \(0^\circ\)에서 \(90^\circ\)까지만 성립합니다. \(90^\circ\)를 지나면 \(\sin\theta\)는 다시 감소하며, \(180^\circ\)에서 힘이 0에 도달합니다.

문제 4

도선에 전류 \(I\)가 A점에서 C점으로 흐르며, 균일한 자기장 \(B\)는 수평으로 오른쪽을 향합니다.

같은 두 점을 연결하는 두 가지 도선 형태가 있습니다.

• 경로 1은 A에서 C까지 이어지는 곧은 대각선 도선입니다. 수평 변위는 \(0.30\text{ m}\), 수직 변위는 \(0.40\text{ m}\)입니다.
• 경로 2는 \(0.30\text{ m}\)의 수평 구간에 이어 \(0.40\text{ m}\)의 수직 구간으로 이루어져 있습니다.

두 경우 모두 같은 전류가 A에서 C로 흐릅니다.

한 학생은 경로 2의 두 구간이 자기장과 서로 다른 각도를 이루므로 경로 2에 작용하는 전체 자기력도 달라야 한다고 주장합니다.

두 경로에서 전체 자기력의 크기가 서로 다른지 판단하세요. 답을 \(B\)와 \(I\)로 나타내세요.

풀이 4

두 경로 모두 전체 자기력의 크기는 동일하며, \(0.40BI\)입니다.

경로 2의 경우 각 구간을 따로 생각합니다.

수평 구간은 자기장과 평행하므로,

\[ F_{\text{수평}} =BI(0.30)\sin0^\circ =0. \]

수직 구간은 자기장에 수직이므로,

\[ \begin{aligned} F_{\text{수직}} &=BI(0.40)\sin90^\circ\\ &=0.40BI. \end{aligned} \]

따라서 경로 2에 작용하는 전체 힘의 크기는

\[ F_2=0.40BI. \]

입니다.

이제 경로 1을 생각해 봅시다.

그 길이는

\[ L=\sqrt{(0.30)^2+(0.40)^2}=0.50\text{ m}. \]

입니다.

수평 방향의 자기장에 대한 각도를 \(\theta\)라고 하면,

\[ \sin\theta=\frac{0.40}{0.50}=0.80. \]

따라서,

\[ \begin{aligned} F_1 &=BIL\sin\theta\\ &=BI(0.50)(0.80)\\ &=0.40BI. \end{aligned} \]

그러므로,

\[ F_1=F_2=0.40BI. \]

입니다.

흔히 빠지기 쉬운 방법은 전체 도선 길이나 한 경로에 서로 다른 두 각도가 포함되어 있다는 점에만 집중하는 것입니다. 중요한 조건은 수직 변위입니다.

경로 1에서는 \(0.50\text{ m}\) 길이 중 수직 성분만 힘에 기여하며, 그 성분은 \(0.40\text{ m}\)입니다. 경로 2에서는 \(0.30\text{ m}\)의 평행 구간은 힘에 기여하지 않고, \(0.40\text{ m}\)의 수직 구간 전체가 기여합니다.

이는 같은 규칙을 더 깊게 적용한 것입니다. 자기력은 자기장에 수직인 도선의 성분에 따라 결정됩니다.

문제 5

정사각형 전류 고리가 균일한 자기장 안에 완전히 놓여 있습니다. 자기장은 고리의 평면 안에 있으며, 서로 마주 보는 한 쌍의 변과 평행합니다.

한 학생이 다음과 같이 추론합니다.

“자기장과 평행한 두 변에는 힘이 0이다. 나머지 두 변은 자기장에 수직이므로 각각 최대 힘을 받는다. 이 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이므로 전체 힘은 0이다. 따라서 자기장은 고리의 운동을 전혀 바꿀 수 없다.”

학생의 결론을 평가하세요. 고리는 자유롭게 회전할 수 있다고 가정합니다.

풀이 5

고리에 작용하는 알짜힘은 0이지만, 학생의 최종 결론은 틀렸습니다. 자기장은 여전히 0이 아닌 토크를 만들어 고리를 회전시킬 수 있습니다.

먼저 자기장과 평행한 두 변을 생각해 봅시다. 각 변에 대해,

\[ \theta=0^\circ \]

또는 \(180^\circ\)이므로,

\[ F=BIL\sin\theta=0. \]

입니다.

이제 나머지 두 변을 생각해 봅시다. 이들은 자기장에 수직이므로,

\[ F=BIL \]

의 힘이 각 변에 작용하며, 이는 해당 변에서 가능한 최대 힘입니다.

서로 마주 보는 이 두 변에서는 전류가 반대 방향으로 흐르기 때문에 자기력도 서로 반대 방향을 가리킵니다. 힘의 크기는 같으므로 벡터 합은 0입니다.

따라서,

\[ F_{\text{알짜}}=0. \]

입니다.

여기까지는 학생의 주장이 맞습니다.

하지만 결정적으로 중요한 점은 크기가 같고 방향이 반대인 두 힘이 고리의 서로 다른 위치에 작용한다는 것입니다. 이 두 힘은 힘의 쌍을 이룹니다. 고리의 질량중심을 병진 운동시키는 대신 회전시키는 효과를 만듭니다.

따라서 알짜힘이 0이라고 해서 기계적 효과가 0이라는 뜻은 아닙니다.

흔히 빠지기 쉬운 결론은 크기가 같고 방향이 반대인 모든 힘이 마치 같은 점에 작용하는 것처럼 취급하는 것입니다. 여기서 빠진 조건은 두 힘 사이의 거리입니다. 힘들은 병진 운동에 대해서는 서로 상쇄되면서도 여전히 토크를 만들어 낼 수 있습니다.

바로 이 때문에 모터 효과 힘의 각도에 따른 거동은 자연스럽게 다음 개념으로 이어집니다. 즉, 전류가 흐르는 코일에 작용하는 토크입니다. 모터는 코일 전체를 방 한쪽으로 밀어내는 알짜힘이 필요하지 않습니다. 회전을 만들어 내도록 적절한 위치에 작용하는 자기력이 필요합니다.