抛射体的最终速度：HSC 物理指南

一个抛射体即将撞到地面。在那一瞬间，它以 \(17.3\text{ m s}^{-1}\) 向右运动，同时以 \(9.6\text{ m s}^{-1}\) 向下运动。它的最终速度是多少？

一个很诱人的答案是 \(17.3-9.6=7.7\text{ m s}^{-1}\)。但这两个数值描述的是互相垂直方向上的运动，因此不能直接用普通加减法处理。实际的速度方向是斜向的。

继续阅读之前，先预测一下：最终速率应该小于 \(17.3\text{ m s}^{-1}\)、等于它，还是大于它？

一定会更大。抛射体同时具有水平运动和垂直运动。把这些分量重新合成，是许多 HSC 抛射体题目的最后一步。

01从两个分量合成一个速度

假设我们把向右定为正 \(x\) 方向，把向上定为正 \(y\) 方向。

抛射体的速度便可以用两个分量表示：

• \(v_x\)：水平速度分量，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(v_y\)：垂直速度分量，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)

如果抛射体向右及向下运动，\(v_x\) 为正，而 \(v_y\) 为负。

例如，

\[ v_x=17.3\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y=-9.6\text{ m s}^{-1} \]

并不表示一个速度正在抵消另一个速度。这两个分量描述的是同一个运动。

想像一个长方形。\(v_x\) 是它的水平边，\(v_y\) 是它的垂直边，而实际的速度向量则是对角线。

由于两个分量互相垂直，因此速度向量的大小，也就是速率 \(v\)，可利用毕氏定理求得：

\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \]

向下的 \(v_y\) 所带的负号在平方后会消失。这是合理的：速率是一个大小，因此不可能是负数。

方向则可利用三角函数求得。如果抛射体向右运动，

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right) \]

其中 \(\theta\) 是相对于水平线向上或向下的角度。

绝对值 \(|v_y|\) 给出垂直分量的大小。之后再根据 \(v_y\) 的正负号，判断方向是在水平线上方还是下方。

因此，如果 \(v_y<0\)，可以写成：

水平线下方 \(29^\circ\)。

在判断方向之前，不要把正负号丢掉。

02最终分量从哪里来

重新合成分量通常是最后一步，而不是整个抛射运动计算的全部。

在标准 HSC 抛射体模型中，假设空气阻力可忽略：

\[ a_x=0 \]

因此水平速度保持不变：

\[ v_x=u_x \]

其中 \(u_x\) 是初始水平速度分量。

在垂直方向上，

\[ a_y=-g \]

如果把向上定为正方向，则 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)。

因此，

\[ v_y=u_y-gt \]

其中：

• \(u_y\) 是初始垂直速度分量
• \(t\) 是经过的时间，单位为秒
• \(v_y\) 是经过该段时间后的垂直速度

如果你想复习如何把初始发射速率和角度分解为 \(u_x\) 和 \(u_y\)，可参阅 HSC 物理中的抛射体初速度分量。

以下是一个实用的判断表：

有一个重要细节：「最终速度」并不一定是指「撞到地面时的速度」。它指的是你所分析时间区间终点的速度。

03\(v_y\) 的正负号非常重要

假设你的计算机得出

\[ v_y=-14\text{ m s}^{-1}. \]

其中的 \(14\) 告诉你速度在垂直方向上的分量大小，而负号则告诉你它指向下方。

学生有时会把 \(-14\) 直接代入

\[ \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right) \]

并得到一个负角度。计算机并没有错。例如，\(-35^\circ\) 表示相对于正水平轴向下 \(35^\circ\)。

在 HSC 作答中，通常更清楚的做法是写出角度的大小，再用文字说明方向：

\[ \text{水平线下方 }35^\circ\text{。} \]

画一个简单草图，通常比让计算机替你判断物理方向更稳妥。

04你不一定需要飞行时间

假设一个抛射体落在比发射点低的位置。你可能会认为，在求最终速度之前，一定要先计算飞行时间。

有时确实如此。但如果已知垂直位移，下面这条公式可以直接由初始垂直分量求出最终垂直分量：

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

不过有一个要注意的地方。平方会令 \(v_y\) 的正负号消失。开平方后，你必须根据实际物理情况判断 \(v_y\) 应为正还是负。

如果撞击时抛射体正在下降，就选择负根。

05对称性的捷径–以及它的限制

这里有一个实用的预测方法。

一个抛射体以速率 \(u\)、水平线上方角度 \(\alpha\) 发射。之后它回到完全相同的高度。若没有空气阻力，它的速度会是多少？

水平分量没有改变：

\[ v_x=u\cos\alpha \]

当它在下降途中回到相同高度时，垂直分量的大小与起初相同，但符号相反：

\[ v_y=-u\sin\alpha \]

因此，最终速率为

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(u\cos\alpha)^2+(-u\sin\alpha)^2}\\ &=\sqrt{u^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}\\ &=u \end{aligned} \]

而方向为水平线下方 \(\alpha\)。

因此，一个以 \(25\text{ m s}^{-1}\)、水平线上方 \(37^\circ\) 发射的抛射体，回到相同高度时的速率仍为 \(25\text{ m s}^{-1}\)，方向则为水平线下方 \(37^\circ\)。

一个常见错误是认为最终速度就是初速度的负值。

并不是。

如果

\[ \vec u=(u_x,u_y), \]

那么在下降途中回到相同高度时，

\[ \vec v=(u_x,-u_y). \]

只有垂直分量反向。水平分量仍然指向相同方向。

如果最终高度与初始高度不同、空气阻力不可忽略，或有其他力令抛射体产生水平加速度，这个捷径也不适用。

06一套可靠的最终速度解题流程

当 HSC 题目要求你求最终速度时，可以依照以下顺序：

1. 选定正方向。
2. 求 \(v_x\)，并保留它的正负号。
3. 求 \(v_y\)，并保留它的正负号。
4. 画出两个分量的草图。
5. 使用 \(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\) 计算速率。
6. 使用三角函数计算参考角。
7. 清楚写出方向，例如「水平线下方」。

在你了解正负号在物理上代表甚么之前，不要先计算角度。

07题目与解答

题目 1

一个抛射体的最终速度分量为

\[ v_x=12.0\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y=-5.0\text{ m s}^{-1}. \]

求它的最终速率和方向。

解答 1

最终速度为 \(13.0\text{ m s}^{-1}\)，方向为水平线下方 \(22.6^\circ\)。

速率是两个互相垂直分量合成后的大小：

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{(12.0)^2+(-5.0)^2}\\ &=\sqrt{169}\\ &=13.0\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

至于方向，

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right)\\ &=\tan^{-1}\left(\frac{5.0}{12.0}\right)\\ &=22.6^\circ. \end{aligned} \]

由于 \(v_y\) 为负，抛射体正向下运动。因此，它的方向为水平线下方 \(22.6^\circ\)。

一个很容易犯的错误是计算 \(12.0-5.0=7.0\text{ m s}^{-1}\)。这样做等于把互相垂直的分量当作沿同一直线作用。

题目 2

一个抛射体在 \(2.50\text{ s}\) 内水平移动 \(40.0\text{ m}\)。在同一段时间内，它的最终位置比发射点低 \(5.00\text{ m}\)。

忽略空气阻力，并取 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)。

求：

• 它的初始垂直速度分量，
• 它的最终速度分量，以及
• 它的最终速率和方向。

解答 2

初始垂直分量为向上的 \(10.25\text{ m s}^{-1}\)，而最终速度约为 \(21.4\text{ m s}^{-1}\)，方向为水平线下方 \(41.7^\circ\)。

先求水平速度。在水平加速度为零的情况下，

\[ \begin{aligned} v_x&=\frac{\Delta x}{t}\\ &=\frac{40.0}{2.50}\\ &=16.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

现在使用垂直位移公式：

\[ \Delta y=u_yt+\frac12a_yt^2. \]

这里，

\[ \Delta y=-5.00\text{ m},\qquad a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}. \]

代入后，

\[ \begin{aligned} -5.00&=u_y(2.50)+\frac12(-9.8)(2.50)^2\\ -5.00&=2.50u_y-30.625\\ 25.625&=2.50u_y\\ u_y&=10.25\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

最终垂直分量为

\[ \begin{aligned} v_y&=u_y+a_yt\\ &=10.25+(-9.8)(2.50)\\ &=-14.25\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

因此，最终分量为

\[ v_x=16.0\text{ m s}^{-1},\qquad v_y=-14.25\text{ m s}^{-1}. \]

现在把它们重新合成：

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(16.0)^2+(-14.25)^2}\\ &=21.4\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

方向为

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{14.25}{16.0}\right)\\ &=41.7^\circ. \end{aligned} \]

由于 \(v_y<0\)，方向为水平线下方 \(41.7^\circ\)。

一个很诱人的做法是使用平均垂直速度，

\[ \frac{-5.00}{2.50}=-2.00\text{ m s}^{-1}, \]

并把它当作最终垂直速度。这是不正确的，因为重力会持续改变 \(v_y\)。该时间区间内的平均垂直速度并不等于最终垂直速度。

题目 3

在 \(A\) 点，一个抛射体以 \(18.0\text{ m s}^{-1}\)、水平线上方 \(25^\circ\) 的方向运动。

之后它到达 \(B\) 点，而 \(B\) 点比 \(A\) 点低 \(3.00\text{ m}\)。在 \(B\) 点，抛射体正在下降。

忽略空气阻力。

求：

• 抛射体在 \(B\) 点的速度，以及
• 从 \(A\) 点运动至 \(B\) 点所需的时间。

解答 3

在 \(B\) 点，抛射体的运动速率约为 \(19.6\text{ m s}^{-1}\)，方向为水平线下方 \(33.5^\circ\)，而从 \(A\) 点到 \(B\) 点的运动时间为 \(1.88\text{ s}\)。

先把 \(A\) 点的速度分解：

\[ \begin{aligned} v_{Ax}&=(18.0)\cos25^\circ\\ &=16.3\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]

以及

\[ \begin{aligned} v_{Ay}&=(18.0)\sin25^\circ\\ &=7.61\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

水平分量保持不变，因此

\[ v_{Bx}=16.3\text{ m s}^{-1}. \]

对于垂直分量，使用

\[ v_{By}^2=v_{Ay}^2+2a_y\Delta y. \]

这里，

\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2},\qquad \Delta y=-3.00\text{ m}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} v_{By}^2 &=(7.61)^2+2(-9.8)(-3.00)\\ &\approx116.7. \end{aligned} \]

所以，

\[ v_{By}=\pm10.8\text{ m s}^{-1}. \]

题目指出抛射体在 \(B\) 点正在下降，因此符合物理情况的根为

\[ v_{By}=-10.8\text{ m s}^{-1}. \]

现在求速率：

\[ \begin{aligned} v_B&=\sqrt{(16.3)^2+(-10.8)^2}\\ &=19.6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

它的方向为

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{10.8}{16.3}\right)\\ &=33.5^\circ. \end{aligned} \]

因此，速度为 \(19.6\text{ m s}^{-1}\)，方向为水平线下方 \(33.5^\circ\)。

要找出时间，使用

\[ v_{By}=v_{Ay}+a_yt. \]

所以，

\[ \begin{aligned} -10.8&=7.61-9.8t\\ t&=\frac{-10.8-7.61}{-9.8}\\ &=1.88\text{ s}. \end{aligned} \]

这题的陷阱在于开平方。\(v_{By}^2\) 的方程会产生两个数学上可能的答案。正是「到达 \(B\) 点时正在下降」这项资讯，让我们能选出负值。

题目 4

一个抛射体从 \(O\) 点发射。之后在比 \(O\) 点高 \(8.00\text{ m}\) 的 \(P\) 点，它正以 \(20.0\text{ m s}^{-1}\)、水平线下方 \(30^\circ\) 的方向运动。

假设它遵循没有空气阻力的标准抛射运动。

求：

• 抛射体的发射速率，
• 它相对于水平线的发射仰角，以及
• 从发射至到达 \(P\) 点所需的时间。

解答 4

抛射体以约 \(23.6\text{ m s}^{-1}\)、水平线上方 \(42.8^\circ\) 的方向发射，并在 \(2.66\text{ s}\) 后到达 \(P\) 点。

这题不寻常之处在于，我们要利用后来的速度反推较早的速度。

在 \(P\) 点，

\[ \begin{aligned} v_x&=(20.0)\cos30^\circ\\ &=17.3\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]

而由于抛射体正在下降，

\[ \begin{aligned} v_y&=-(20.0)\sin30^\circ\\ &=-10.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

整个飞行过程中的水平速度不变，所以初始水平分量也是

\[ u_x=17.3\text{ m s}^{-1}. \]

现在利用

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

在垂直方向上反推。

从 \(O\) 点到 \(P\) 点，

\[ \Delta y=+8.00\text{ m} \]

而

\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} (-10.0)^2 &=u_y^2+2(-9.8)(8.00)\\ 100&=u_y^2-156.8\\ u_y^2&=256.8. \end{aligned} \]

由此得到

\[ u_y=\pm16.0\text{ m s}^{-1}. \]

必须选择正根：

\[ u_y=+16.0\text{ m s}^{-1}. \]

为甚么可以排除 \(-16.0\text{ m s}^{-1}\)？

如果抛射体一开始便向下运动，而且垂直加速度也向下，它之后就不可能到达比发射位置高 \(8.00\text{ m}\) 的地方。负根符合平方后的方程，但不符合实际的物理轨迹。

现在重新合成初始分量：

\[ \begin{aligned} u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\ &=\sqrt{(17.3)^2+(16.0)^2}\\ &=23.6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

发射角为

\[ \begin{aligned} \alpha&=\tan^{-1}\left(\frac{16.0}{17.3}\right)\\ &=42.8^\circ. \end{aligned} \]

最后，

\[ v_y=u_y+a_yt, \]

所以

\[ \begin{aligned} -10.0&=16.0-9.8t\\ t&=\frac{-10.0-16.0}{-9.8}\\ &=2.66\text{ s}. \end{aligned} \]

一个很诱人的错误是看到后来的速度向下，就认为抛射体一定也是向下发射。抛射运动的垂直分量可以反向：向上的运动先减慢至零，之后再变成向下运动。

题目 5

一个经校准的发射感测器记录到，一个抛射体以 \(26.0\text{ m s}^{-1}\)、水平线上方 \(35^\circ\) 的方向离开平台。

在飞行结束时，高速摄影可靠地显示它的速度方向为水平线下方 \(50^\circ\)。另一个独立的速率显示器则显示 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)。

假设抛射体遵循理想的 HSC 模型：空气阻力可忽略，重力加速度为向下的 \(9.8\text{ m s}^{-2}\)。

这三项测量结果可以全部正确吗？

如果不可以：

• 指出其中的不一致之处，
• 求出理想抛射体模型所要求的最终速率，
• 求出最终垂直速度分量，以及
• 求出最终位置相对于发射点的垂直位移。

解答 5

不可以。在理想抛射体模型下，这三项测量结果不可能全部正确。发射资料和最终方向要求最终速率约为 \(33.1\text{ m s}^{-1}\)，而不是 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)，而且最终位置约在发射点下方 \(21.5\text{ m}\)。

最关键的限制条件，也是最容易被忽略的一项，就是水平速度必须保持不变。

根据发射资料，

\[ \begin{aligned} u_x&=(26.0)\cos35^\circ\\ &=21.3\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

因此，在整个飞行过程中，

\[ v_x=21.3\text{ m s}^{-1}. \]

现在检验所报告的最终速率 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)、方向为水平线下方 \(50^\circ\)。

它的水平分量会是

\[ \begin{aligned} v_x&=(30.0)\cos50^\circ\\ &=19.3\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

但理想抛射体模型要求 \(v_x=21.3\text{ m s}^{-1}\)。

因此，这些测量结果彼此不一致。

由于题目明确指出发射读数经过校准，而最终方向的测量可靠，所以有错的必须是最终速率的测量。

设符合物理模型的最终速率为 \(v_f\)。则

\[ v_f\cos50^\circ=21.3. \]

因此，

\[ \begin{aligned} v_f&=\frac{21.3}{\cos50^\circ}\\ &=33.1\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

它的垂直分量向下：

\[ \begin{aligned} v_y&=-v_f\sin50^\circ\\ &=-(33.1)\sin50^\circ\\ &=-25.4\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

现在求初始垂直分量：

\[ \begin{aligned} u_y&=(26.0)\sin35^\circ\\ &=14.9\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

使用

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y. \]

代入后，

\[ \begin{aligned} (-25.4)^2 &=(14.9)^2+2(-9.8)\Delta y\\ 644.2&=222.4-19.6\Delta y. \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} 421.8&=-19.6\Delta y\\ \Delta y&=-21.5\text{ m}. \end{aligned} \]

所以最终位置约在发射点下方 \(21.5\text{ m}\)。

一个很诱人的做法是接受所报告的 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)，然后立即把它的垂直分量代入运动学方程。这样确实会得到一个数值答案，但这个答案是建立在一组已经违反抛射体模型的资料之上。

更深入的检查应该先进行：在重新合成分量或套用其他方程之前，先问水平分量是否一致。看似合理的速率和角度，并不一定与其余运动资料相容。

08接下来你可以做到甚么

一旦你能熟练地在 \(v_x\)、\(v_y\)、速率和方向之间转换，抛射体题目就会变得容易整理得多。

这些分量告诉你重力改变了甚么，以及没有改变甚么。把它们重新合成，则告诉你抛射体在某一瞬间实际上如何运动。

同一个概念也能让我们精确比较发射速度、最高点的速度和撞击速度。在最高点，\(v_y=0\)，但 \(v_x\) 仍然存在。在与发射点同高度著地时，\(v_y\) 的符号已经反转。在较低的位置著地时，它向下的大小则会更大。

因此，真正有用的习惯不只是记住

\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}. \]

而是在把两个分量重新合成为一个最终速度向量之前，先学会把它们解读成一段有物理意义的运动过程。