抛体的水平射程：HSC 物理指南

两个抛体从同一点以相同速率射出。一个以 \(30^\circ\) 发射，另一个以 \(60^\circ\) 发射。哪一个在回到发射高度之前，水平移动得更远？

你可以支持 \(30^\circ\)：它的水平速度较大。你也可以支持 \(60^\circ\)：它在空中停留得更久。在通常的 HSC 抛体模型下，这两种效应恰好完全抵消。它们的水平射程相同。

这种抵消正是理解射程的关键。抛体若要移动得更远，可以是因为向水平方向移动得快、在空中停留得久，或两者兼具。

01射程等于水平速度乘以时间

想像把抛体的运动分成两项工作。

水平方向的运动让它越过地面。铅直方向的运动则决定它会在空中停留多久。在标准抛体运动的假设下，重力会改变铅直速度，但不会改变水平速度。

对于一个以速率 \(u\)、相对水平方向以角度 \(\theta\) 向上发射的抛体，

\[
u_x=u\cos\theta
\]

以及

\[
u_y=u\sin\theta
\]

其中 \(u_x\) 是初始水平速度，而 \(u_y\) 是初始铅直速度。如果你对向量分解仍不太熟悉，请先复习抛体的初速度分量。

如果抛体在空中停留的时间为 \(T\)，它的水平射程 \(R\) 为

\[
R=u_xT=u\cos\theta\,T
\]

这是处理射程问题时最有用的起始方程式。

它说明了一件重要的事：其实并不存在另一种神秘而独立的「射程运动」。射程是把水平运动与由铅直运动所决定的时间结合起来得到的结果。

也要注意射程不是甚么。它不是沿著弯曲轨迹实际移动的距离，而是发射点与落点之间的水平位移。

02为甚么落点高度很重要

假设抛体恰好落回它发射时的同一高度。

取向上为正方向。铅直加速度就是 \(a_y=-g\)，其中地球表面附近 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)。

经过时间 \(T\) 后，铅直位移为

\[
\Delta y=u_yT-\frac12gT^2
\]

若落点与发射点同高，则 \(\Delta y=0\)，所以

\[
0=u\sin\theta\,T-\frac12gT^2
\]

把 \(T\) 提出作公因数：

\[
T\left(u\sin\theta-\frac12gT\right)=0
\]

有两个解。\(T=0\) 描述的是发射的瞬间。之后落地的时间则满足

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}
\]

现在把这个飞行时间代入 \(R=u\cos\theta\,T\)：

\[
R=u\cos\theta\left(\frac{2u\sin\theta}{g}\right)
=\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g}
\]

利用 \(2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta)\)，

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

这就是熟悉的抛体射程公式。

但这是一条附带条件的捷径：抛体必须落回与发射点相同的铅直高度。

射程公式告诉你甚么

在发射点与落点同高，且空气阻力可忽略的情况下：

为甚么互余角会有相同的射程？

当 \(\theta=30^\circ\) 时，

\[
\sin(2\theta)=\sin 60^\circ
\]

而当 \(\theta=60^\circ\) 时，

\[
\sin(2\theta)=\sin 120^\circ
\]

并且 \(\sin60^\circ=\sin120^\circ\)。

从物理角度来看，较低的轨迹具有较大的水平速度，但在空中的时间较短。较高的轨迹具有较小的水平速度，但飞行时间较长。对互余角而言，这两种变化恰好完全平衡。

03\(45^\circ\) 规则有适用条件

这里有一个值得先作预测的问题。一个抛体现在从悬崖顶端射出，最后落在下方地面。\(45^\circ\) 是否仍然能给出最大的可能射程？

不会。

通常的 \(45^\circ\) 结果来自

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

而这条方程式是在令最终铅直位移为零的条件下推导出来的。从悬崖发射时，抛体在重新经过发射高度之后，还有额外的下落距离。

这段额外时间会改变两者之间的取舍。较浅一些的轨迹可以保留更多水平速度，同时仍有充足时间前进，因为抛体还可以从悬崖向下坠落。因此，当落点低于发射点时，在无空气阻力的理想情况下，使射程最大的最佳角度会小于 \(45^\circ\)。

这是最容易被过度概括记忆的抛体规则之一。「最大射程出现在 \(45^\circ\)」并不是一条无条件成立的自然定律。

04抛体落在不同高度时的射程

如果落点高于或低于发射点，请回到较稳妥的方法：

1. 分解初速度；
2. 利用铅直运动求飞行时间；
3. 使用 \(R=u_xT\)。

假设落点比发射点低一段铅直距离 \(h\)。那么铅直位移为 \(\Delta y=-h\)，所以

\[
-h=u\sin\theta\,T-\frac12gT^2
\]

解这条方程式求 \(T\)。保留代表实际飞行过程的正值解。

然后计算

\[
R=u\cos\theta\,T
\]

铅直运动决定了抛体可以利用其水平速度移动多久。

若想多练习这部分的方法，可参阅水平及不同高度落点下的抛体飞行时间。

05一个有用的特殊情况：水平发射

水平发射的抛体有 \(\theta=0^\circ\)，所以

\[
u_y=0
\]

一开始这可能让人觉得奇怪。如果没有初始铅直速度，它怎么会落到地面？

重力会立即产生向下的铅直速度。若从高度 \(h\) 发射，

\[
-h=-\frac12gT^2
\]

所以

\[
T=\sqrt{\frac{2h}{g}}
\]

若水平发射速率为 \(u\)，

\[
R=u\sqrt{\frac{2h}{g}}
\]

再次留意这个结构：水平速度乘以在空中的时间。

06常见的射程错误

只要看到「射程」就使用水平地面的公式

公式

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

要求发射高度与落点高度相同。

如果两者高度不同，先从铅直运动求 \(T\)，再使用 \(R=u_xT\)。

把 \(u\) 当成水平速度

除非是完全水平发射，否则

\[
u_x\ne u
\]

正确的水平分量是

\[
u_x=u\cos\theta
\]

一个以很陡角度发射的抛体，总速率可能很大，但水平速度可能小得多。

认为飞行时间越长，射程就一定越大

单靠飞行时间并不能得出这个结论。

非常陡的发射可以让抛体在空中停留很久，但它向水平方向移动得很慢。射程取决于乘积 \(u_xT\)，而不是其中任何一个因素单独决定。

在极限情况 \(\theta=90^\circ\) 下，抛体有相当长的飞行时间，但

\[
u_x=u\cos90^\circ=0
\]

所以它的水平射程为零。

假设 \(45^\circ\) 永远使射程最大

在发射速率固定，而且发射高度与落点高度相同时，\(45^\circ\) 会使理想射程最大。

如果落点较低，最佳角度就会改变。空气阻力也会改变结果，因为此时水平速度不再保持不变。

把二次方程的两个根都当成可能的落地时间

铅直运动方程式可能会得到一个正时间和一个负时间。负根通常属于在选定 \(t=0\) 的瞬间之前，数学抛物线延伸出的部分。

使用任何一个根之前，都要先检查它在物理上代表甚么。

07一套可靠的 HSC 射程方法

当一道射程题看起来很复杂时，不要急著寻找某条特殊公式。使用相同的步骤即可。

首先，画出发射点和落点的草图，并标示它们之间的铅直高度差。

接著分解发射速度：

\[
u_x=u\cos\theta,\qquad u_y=u\sin\theta
\]

利用铅直运动求出相关的飞行时间 \(T\)：

\[
\Delta y=u_yT-\frac12gT^2
\]

最后，使用水平运动：

\[
R=u_xT
\]

只有在你确认发射高度与落点高度相同后，才把以上全部步骤替换成

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

08问题与解答

问题 1

一个抛体从水平地面以 \(24.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率、相对水平方向向上 \(35.0^\circ\) 发射。它落回相同高度。忽略空气阻力。

计算它的水平射程。

解答 1

水平射程约为 \(55.2\text{ m}\)。

因为抛体落回发射高度，所以可以使用水平地面的射程公式：

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

代入 \(u=24.0\text{ m s}^{-1}\)、\(\theta=35.0^\circ\) 和 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)：

\[
R=\frac{(24.0)^2\sin70.0^\circ}{9.8}
=\frac{576(0.940)}{9.8}
=55.2\text{ m}
\]

因此抛体落在距离发射点约 \(55.2\text{ m}\) 处。

一个很容易犯的错误，是在射程公式中使用 \(\sin35^\circ\)。正弦函数内的角度应是 \(2\theta\)，因为这条公式是由水平分量中的 \(\cos\theta\) 与飞行时间中的 \(\sin\theta\) 相乘得到的。

问题 2

一个抛体从高于水平地面 \(1.80\text{ m}\) 的平台，以 \(16.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率、相对水平方向向上 \(30.0^\circ\) 发射。在距离发射点水平 \(18.0\text{ m}\) 处有一道高 \(3.80\text{ m}\) 的围栏。

忽略空气阻力。

求：

• 抛体是否能越过围栏，以及垂直净空距离是多少；
• 抛体经过围栏时是在上升还是下降；以及
• 抛体落到地面时，距离发射点的水平距离。

解答 2

抛体会以约 \(0.124\text{ m}\) 的净空距离越过围栏；它经过围栏时正在下降；并且会落在距离发射点水平约 \(25.4\text{ m}\) 处。

首先分解发射速度：

\[
u_x=(16.0)\cos30.0^\circ=13.9\text{ m s}^{-1}
\]

\[
u_y=(16.0)\sin30.0^\circ=8.00\text{ m s}^{-1}
\]

在围栏位置，水平位移为 \(18.0\text{ m}\)。因为水平速度保持不变，

\[
t=\frac{x}{u_x}
=\frac{18.0}{13.9}
=1.299\text{ s}
\]

以地面高度为 \(y=0\)。抛体从 \(y_0=1.80\text{ m}\) 开始，所以此时的高度为

\[
y=y_0+u_yt-\frac12gt^2
\]

\[
y=1.80+(8.00)(1.299)-4.90(1.299)^2
=3.924\text{ m}
\]

围栏高度为 \(3.80\text{ m}\)，所以净空距离为

\[
3.924-3.80=0.124\text{ m}
\]

现在检查抛体经过围栏时的铅直速度：

\[
v_y=u_y-gt
\]

\[
v_y=8.00-(9.8)(1.299)
=-4.73\text{ m s}^{-1}
\]

负号表示抛体正向下运动。它是在轨迹的下降阶段越过围栏。

若要求落地时间，令 \(y=0\)：

\[
0=1.80+8.00T-4.90T^2
\]

即

\[
4.90T^2-8.00T-1.80=0
\]

正值解为

\[
T=\frac{8.00+\sqrt{(8.00)^2+4(4.90)(1.80)}}{9.80}
=1.83\text{ s}
\]

因此，

\[
R=u_xT=(13.9)(1.83)=25.4\text{ m}
\]

一条看似方便但容易出错的做法，是立刻使用水平地面的公式。这会得到约 \(22.6\text{ m}\)，但它回答的是另一个问题：它求的是理想轨迹何时回到 \(1.80\text{ m}\) 的发射高度，而不是何时到达地面。

问题 3

一个发射器以 \(25.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率，向一个距离 \(40.0\text{ m}\)、且与发射器完全同高的目标发射抛体。

在发射高度上方 \(15.0\text{ m}\) 处有一个水平天花板，覆盖发射器与目标之间的整个区域。

忽略空气阻力。

找出在没有天花板时，所有介于 \(0^\circ\) 和 \(90^\circ\) 之间、能击中目标的发射角。然后判断在有天花板的情况下，哪些角度在物理上仍可行。

解答 3

如果没有天花板，两个发射角约为 \(19.4^\circ\) 和 \(70.6^\circ\)。有天花板时，只有 \(19.4^\circ\) 的轨迹可行。

因为发射高度与落点高度相同，

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

所以

\[
40.0=\frac{(25.0)^2\sin(2\theta)}{9.8}
\]

因此

\[
\sin(2\theta)=\frac{(40.0)(9.8)}{625}=0.6272
\]

其中一个解为

\[
2\theta=\sin^{-1}(0.6272)=38.84^\circ
\]

所以

\[
\theta=19.42^\circ
\]

但正弦函数在 \(0^\circ\) 到 \(180^\circ\) 之间还有另一个解：

\[
2\theta=180^\circ-38.84^\circ=141.16^\circ
\]

所以

\[
\theta=70.58^\circ
\]

因此，在没有障碍物的空间中，两个角度都有正确的射程。

现在天花板加入了另一项限制。相对于发射点的最大高度为

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}
\]

对 \(19.42^\circ\) 的轨迹，

\[
H=\frac{(25.0)^2\sin^2(19.42^\circ)}{2(9.8)}
=3.53\text{ m}
\]

这远低于 \(15.0\text{ m}\) 的天花板。

对 \(70.58^\circ\) 的轨迹，

\[
H=\frac{(25.0)^2\sin^2(70.58^\circ)}{2(9.8)}
=28.4\text{ m}
\]

这条轨迹在到达其自然最高点之前就会与天花板相交，因此在物理上不可行。

一个很容易令人停下来的答案，是找到两个角度后就结束，因为互余的发射角具有相同射程。这句话对没有障碍物的水平地面运动，在数学上是正确的。然而，天花板加入了第二项物理限制，而只有较低的轨迹符合这项限制。

问题 4

一个抛体从水平地面发射，之后在距离 \(50.0\text{ m}\) 处落回相同高度。

飞行期间，它经过两个都比发射高度高 \(8.00\text{ m}\) 的点。这两点在水平方向相距 \(30.0\text{ m}\)。

忽略空气阻力。

求：

• 两个高度为 \(8.00\text{ m}\) 的点，各自相对于发射点的水平位置；
• 发射角；
• 初始发射速率；以及
• 在两个高度为 \(8.00\text{ m}\) 的点之间移动所需的时间。

解答 4

抛体在 \(x=10.0\text{ m}\) 和 \(x=40.0\text{ m}\) 时都位于 \(8.00\text{ m}\) 高度；发射角为 \(45.0^\circ\)；初始发射速率约为 \(22.1\text{ m s}^{-1}\)；而两点之间所需的时间约为 \(1.92\text{ s}\)。

第一项限制来自对称性。

当发射高度与落点高度相同，且没有空气阻力时，轨迹是一条以最高点为对称中心的抛物线。因为总射程是 \(50.0\text{ m}\)，所以最高点位于水平距离的一半：

\[
x_{\text{最高点}}=25.0\text{ m}
\]

这两点高度相同，而且相距 \(30.0\text{ m}\)，因此它们必定位于最高点两侧相同的水平距离处。

若它们的位置为 \(x_1\) 和 \(x_2\)，

\[
x_2-x_1=30.0
\]

以及

\[
\frac{x_1+x_2}{2}=25.0
\]

因此，

\[
x_1=10.0\text{ m},\qquad x_2=40.0\text{ m}
\]

现在使用轨迹方程式

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}
\]

对于同高发射与落地、射程为 \(R\) 的抛体，

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

因此可把轨迹方程式写成

\[
y=x\tan\theta\left(1-\frac{x}{R}\right)
\]

当 \(x=10.0\text{ m}\)、\(y=8.00\text{ m}\)，且 \(R=50.0\text{ m}\)：

\[
8.00=(10.0)\tan\theta\left(1-\frac{10.0}{50.0}\right)
\]

\[
8.00=(10.0)\tan\theta(0.800)
\]

\[
8.00=8.00\tan\theta
\]

所以

\[
\tan\theta=1
\]

因此

\[
\theta=45.0^\circ
\]

现在使用射程方程式：

\[
50.0=\frac{u^2\sin90.0^\circ}{9.8}
\]

由于 \(\sin90^\circ=1\)，

\[
u^2=(50.0)(9.8)=490
\]

\[
u=\sqrt{490}=22.1\text{ m s}^{-1}
\]

水平速度为

\[
u_x=u\cos45.0^\circ
=(22.1)(0.707)
=15.7\text{ m s}^{-1}
\]

两个等高点的水平间距为 \(30.0\text{ m}\)，所以

\[
\Delta t=\frac{\Delta x}{u_x}
=\frac{30.0}{15.7}
=1.92\text{ s}
\]

一个很容易采取的方法，是一开始就用数条联立运动方程式去寻找 \(u\) 和 \(\theta\)。这样最终也能解出答案，但会错过题目中最强的一项资讯：在发射点与落点同高的抛体轨迹上，两个相同高度的位置必定对称分布在最高点两侧。先利用这项限制，问题就会大幅简化。

问题 5

一个发射器位于高 \(20.0\text{ m}\) 的悬崖边缘。它以固定速率 \(20.0\text{ m s}^{-1}\) 发射抛体，但可以改变发射角。

抛体落在比发射器低 \(20.0\text{ m}\) 的水平地面上。忽略空气阻力。

求能产生最大水平射程的发射角，并计算该最大射程。然后与 \(45.0^\circ\) 的发射作比较。

解答 5

最大射程出现在约 \(35.4^\circ\)，而不是 \(45^\circ\)，最大水平射程约为 \(57.4\text{ m}\)。以 \(45.0^\circ\) 发射时，抛体约可移动 \(55.5\text{ m}\)。

关键限制在于抛体落在低于发射点的位置，因此不能使用水平地面的公式来求最佳角度。

从轨迹方程式开始

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}
\]

在落点处，

\[
y=-h,\qquad x=R
\]

其中 \(h=20.0\text{ m}\)。另外，

\[
\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta
\]

令

\[
q=\tan\theta
\]

并定义

\[
A=\frac{g}{2u^2}
\]

那么落地条件变为

\[
-h=Rq-AR^2(1+q^2)
\]

整理后可得到关于 \(q\) 的二次方程：

\[
AR^2q^2-Rq+(AR^2-h)=0
\]

如果某个射程 \(R\) 在物理上可能实现，这个二次方程就必须至少有一个 \(q\) 的实数值，因此也至少有一个实数发射角。

最大的可能 \(R\) 恰好出现在「可能」与「不可能」射程的分界上。在这个边界上，二次方程只有一个重根，所以其判别式为零：

\[
R^2-4(AR^2)(AR^2-h)=0
\]

除以 \(R^2\) 并化简可得

\[
R_{\max}=\frac{u}{g}\sqrt{u^2+2gh}
\]

代入 \(u=20.0\text{ m s}^{-1}\)、\(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) 和 \(h=20.0\text{ m}\)：

\[
R_{\max}
=\frac{20.0}{9.8}
\sqrt{(20.0)^2+2(9.8)(20.0)}
\]

\[
R_{\max}
=\frac{20.0}{9.8}\sqrt{792}
=57.4\text{ m}
\]

在重根的位置，

\[
q=\frac{1}{2AR_{\max}}
\]

可化简为

\[
\tan\theta_{\text{最佳}}
=\frac{u}{\sqrt{u^2+2gh}}
\]

因此，

\[
\tan\theta_{\text{最佳}}
=\frac{20.0}{\sqrt{792}}
=0.7107
\]

所以

\[
\theta_{\text{最佳}}=35.4^\circ
\]

现在把它与 \(45.0^\circ\) 发射比较。

在 \(45.0^\circ\) 时，

\[
u_x=u_y=(20.0)\frac{1}{\sqrt2}=14.1\text{ m s}^{-1}
\]

铅直方向的落地条件为

\[
-20.0=(14.1)T-4.90T^2
\]

正值根为

\[
T=3.93\text{ s}
\]

所以

\[
R=(14.1)(3.93)=55.5\text{ m}
\]

因此，\(35.4^\circ\) 的发射比 \(45.0^\circ\) 的发射多移动约

\[
57.4-55.5=1.9\text{ m}
\]

一个很容易想到的论点是：\(\sin(2\theta)\) 在 \(45^\circ\) 时最大，所以 \(45^\circ\) 必定永远能使射程最大。问题就藏在所使用的方程式中。\(R=u^2\sin(2\theta)/g\) 本身已经假设落点与发射点同高。这里的抛体还有额外 \(20.0\text{ m}\) 的下落距离，因此飞行时间与发射角之间遵循的是不同的关系。

这段额外的下落时间意味著抛体可以牺牲一部分向上的初速度，把更多速度保留在水平方向，同时仍能在空中停留足够久，因而移动得更远。

09理解射程之后可以进一步求甚么

真正值得带到下一步的，不只是一条公式，而是这个结构：

\[
\text{水平射程}=\text{水平速度}\times\text{飞行时间}
\]

发射角会同时改变这两个部分：增加角度通常会减少水平速度，但可以增加在空中的时间。落点高度还可能再次改变这两者之间的平衡。

这就是为甚么不应把射程、最大高度和飞行时间视为彼此独立的抛体运动主题。它们都是相同水平与铅直分量所产生的不同结果。下一个有用的步骤，是在抛体发射角改变时，直接比较这些相互竞争的效应。