簡單直流馬達的組件與運作原理｜HSC 物理

將電池連接到一個放置在兩塊磁鐵之間的線圈，便會發生一件有趣的事：線圈開始轉動。但載流導線處於磁場中，並不代表它就能自動持續旋轉。事實上，如果移除馬達中的一個小零件–分裂環換向器（split-ring commutator）–線圈通常會先轉動、逐漸減速，然後受到反方向的力矩作用而往回轉。

繼續閱讀前，先預測簡單直流馬達中，究竟是哪個部分產生使線圈轉動的力矩：線圈、磁鐵、換向器，還是電刷？最準確的答案是：轉動效應來自線圈中的電流與磁鐵產生的磁場之間的相互作用。換向器和電刷則有不同的工作：它們讓這種轉動效應能持續推動線圈朝同一旋轉方向轉動。

01基本問題：只有力還不夠

想像一條直導線載著電流，並穿過磁場。如果電流方向不與磁場平行，導線就會受到磁力。

對於一段直導線，

\[ F = BIL\sin\theta \]

其中：

• \(F\) 是磁力，單位為牛頓（N）
• \(B\) 是磁場強度，單位為特斯拉（T）
• \(I\) 是電流，單位為安培（A）
• \(L\) 是位於磁場內的導線長度，單位為公尺（m）
• \(\theta\) 是電流方向與磁場方向之間的夾角

馬達需要的不只是一個力。它需要適當配置的力，使這些力能產生轉動效應，也就是力矩（torque）。

這就是為甚麼導線要繞成線圈。

02線圈的作用

想像一個矩形線圈放置在磁鐵的北極與南極之間。磁力線穿過兩磁極之間的空隙，方向由北極指向南極。

電流從線圈的一端流入，沿著線圈迴路流動，再從另一個接點流出。在線圈相對的兩側，電流方向相反。

這一點很重要，因為當電流方向反轉時，磁力方向也會反轉。

因此，線圈的一側受到向上的力，而另一側受到向下的力。這兩個力大小相等、方向相反，但作用於不同的位置。

它們形成一個力偶（couple）。

力偶會產生力矩，因此線圈開始旋轉。

對理想的矩形線圈，最大力矩可表示為

\[ \tau_{\text{max}} = nBIA \]

其中：

• \(\tau_{\text{max}}\) 是最大力矩，單位為牛頓公尺（N m）
• \(n\) 是線圈的匝數
• \(B\) 是磁場強度，單位為 T
• \(I\) 是電流，單位為 A
• \(A\) 是每一匝線圈的面積，單位為 \(\text{m}^2\)

更一般地，

\[ \tau = nBIA\sin\theta \]

其中，\(\theta\) 是磁場方向與線圈平面法線之間的夾角。

這個角度的定義很容易混淆。如果線圈平面與磁場平行，其法線便與磁場成 \(90^\circ\)，因此力矩最大。如果線圈平面與磁場垂直，其法線便與磁場平行，因此力矩為零。

03為甚麼線圈無法自行持續旋轉？

假設電流方向始終不變。

起初，線圈的一側受到向上的力，另一側受到向下的力，因此開始旋轉。轉過半圈後，原本位於兩側的導線已移動到馬達的相反位置。

如果這些導線中的電流仍沿原來的方向流動，會發生甚麼事？

此時，磁力產生的力矩會指向相反的旋轉方向。

換句話說，馬達開始與自己「對抗」。

可以想像兩個人推動遊樂場的旋轉圓盤。如果他們一直站在固定位置，而圓盤的把手從他們面前轉過，他們最終便會把把手推回原來的方向。要讓圓盤持續朝同一方向旋轉，他們就必須在適當時刻改變施力方向。

不過，這個類比也有局限：人可以有意識地決定如何施力，而馬達則利用電接點自動完成這種改變。

這就是分裂環換向器的工作。

04分裂環換向器的作用

分裂環換向器由兩個導電半環組成，並固定在旋轉軸上。線圈的兩端分別連接到其中一個半環。

兩個半環之間以絕緣材料隔開，彼此不導電。

當線圈每轉過半圈時，每個換向器半環都會從接觸其中一個電刷，轉為接觸另一個電刷。這使線圈兩端所連接的電源正、負極互換。

因此，流經線圈的電流每半圈便會反轉一次。

聽起來，這似乎應該令馬達反向旋轉，但事實並非如此。

關鍵在於，線圈本身也已經實際轉過半圈。

兩個變化同時發生：

1. 線圈兩側的有效導線互換位置；以及
2. 線圈中的電流方向反轉。

由於電流恰好在線圈兩側交換位置時反轉，磁力便能持續產生相同旋轉方向的力矩。

這就是簡單直流馬達最核心的原理。

一個容易產生的迷思

有學生可能會這樣推論：

如果反轉電流會使磁力反向，那麼馬達應該每半圈就反向旋轉一次。

如果導線一直停留在同一位置，這個推論便是正確的。

但導線的位置並沒有保持不變。轉過半圈後，線圈的每一側都已移動到磁場中的相反位置。換向器反轉電流，正是為了補償這種位置變化。

每一段特定導線所受到的力確實會反向，但整個旋轉線圈受到的力矩仍會維持原來的旋轉方向。

05電刷的作用

電源不會旋轉，但線圈和換向器會旋轉。

那麼，電流要如何從靜止的電路傳入旋轉中的零件？

這就是電刷（brushes）的工作。

電刷是固定不動的導電接點，會壓在旋轉中的換向器表面。在許多實際馬達中，電刷由碳基材料製成。不過，在 HSC 物理課程中，重點只在於它們能提供滑動式電接觸。

電刷的作用包括：

• 將外部直流電源連接到換向器；
• 讓電流能夠流入及流出旋轉中的線圈；以及
• 在換向器旋轉時維持電接觸。

電刷本身不會反轉電流。它們的位置保持不變。

旋轉中的分裂環換向器具有特定的幾何結構，使每個半環在每轉過半圈後都會接觸另一個電刷，從而反轉線圈中的電流。

這個分別必須清楚掌握：

06磁鐵的作用

磁鐵提供線圈所處的磁場。

在學校使用的模型中，磁鐵通常以標有 N 和 S 的永久磁鐵表示。兩磁極之間的磁場一般近似視為均勻磁場，方向由北極指向南極。

如果沒有外部磁場，載流線圈便不會受到 \(F=BIL\sin\theta\) 所描述的馬達效應磁力。

在其他變數保持不變的情況下，增加 \(B\) 會增加線圈受到的磁力，因而提高可產生的力矩。

簡化的學校示意圖可能令人以為，北極以某種方式「拉動」一段導線，而南極則「推動」另一段導線。但這並不是理解馬達的有效模型。磁場分布在兩磁極之間的區域，而磁力取決於磁場與構成電流的移動電荷之間的相互作用。

07追蹤一次完整旋轉

理解這四個零件最簡單的方法，就是追蹤馬達完成一整個旋轉週期的過程。

位置 1：線圈受到較大的力矩

直流電源驅動電流經過一個電刷，流入其中一個換向器半環，再沿線圈流動，經過另一個換向器半環，最後透過第二個電刷流回電源。

線圈相對兩側的電流方向相反。

磁場在這兩側產生方向相反的力，形成力矩。

線圈因此產生角加速度。

位置 2：線圈接近零力矩位置

隨著線圈旋轉，以下公式中的角度 \(\theta\) 會改變：

\[ \tau=nBIA\sin\theta \]

力矩逐漸減小。當線圈的法線與磁場平行或反平行時，力矩最終降至零。

線圈通常不會在這一刻立即停止，因為它已經具有角速度，並具有轉動慣性。

位置 3：發生換向

在接近這個位置時，分裂環與電刷的接觸關係發生改變。

電源與線圈兩端之間的連接對調。

線圈中的電流因此反轉。

位置 4：力矩再次增大，並維持相同旋轉方向

越過零力矩位置後，線圈已轉到另一側。

由於電流已經反轉，此時磁力產生的力矩會繼續推動原有的旋轉，而不是阻礙它。

這個過程每半圈便重複一次。

在理想化的 HSC 馬達模型中，我們通常將電流反轉視為瞬間完成。實際馬達的接觸行為更複雜，其設計必須確保換向過程能可靠運作。

08如果移除其中一個零件，會發生甚麼事？

思考零件失效時會發生甚麼事，通常比死記定義更有助於理解。

移除磁鐵

線圈所在位置不再有可用的外部磁場。

由 \(F=BIL\sin\theta\) 可知，如果 \(B=0\)，磁力便為零。馬達不會產生電磁力矩。

使線圈斷路

電路變成開路，因此電流無法流動。

如果 \(I=0\)，磁力和力矩都為零。

移除電刷

靜止的電源不再能與旋轉中的換向器保持連續的電連接。

因此，無法維持流經旋轉線圈的電流。

以兩個完整的導電環取代分裂環

此時，線圈的每一端在整個旋轉過程中，都會一直連接到同一個電源端子。

電流不再每半圈反轉一次。

因此，當線圈越過中性位置後，磁力矩的旋轉方向便會改變。這種裝置不會像這裡研究的簡單直流馬達一樣持續旋轉。

完整的導電環則與另一種機器有關：交流發電機。學習交流發電機、正弦感應電動勢與滑環時，這項對比尤其有用。

09記住四個零件的更好方法

不要把四個定義分開死記。試著沿著能量轉換和力的作用過程來理解。

磁鐵提供磁場。

電源驅動電流，經由電刷和換向器流入線圈。

載流線圈與磁場相互作用，受到磁力。

這些磁力產生力矩。

換向器在每次旋轉的適當階段反轉電流，使力矩能持續沿同一旋轉方向作用。

這就是整個馬達的因果關係：

\[ \text{電能輸入} \rightarrow \text{磁場中的電流} \rightarrow \text{磁力} \rightarrow \text{力矩} \rightarrow \text{旋轉} \]

電刷和換向器並不是這條因果鏈中可有可無的裝飾。正是它們讓旋轉中的電路能持續連接電源，並不斷產生有用的力矩。

10問題與解答

問題 1

一個簡單直流馬達包含一個位於兩塊永久磁鐵之間的矩形線圈。

解釋以下各部分的作用：

a. 磁鐵
b. 線圈
c. 電刷
d. 分裂環換向器

解答 1

磁鐵提供磁場；線圈承載電流，並受到產生力矩的磁力；電刷將靜止的電源連接到旋轉中的換向器；分裂環換向器則每半圈反轉一次線圈中的電流。

載流導線受到的磁力可由以下公式描述：

\[ F=BIL\sin\theta \]

因此，產生馬達效應需要同時具備磁場和電流。

線圈相對兩側的有效導線中，電流方向相反，因此受到方向相反的力。由於這些力作用於不同位置，它們形成力偶並產生力矩。

常見的錯誤是說換向器「令馬達旋轉」。更準確地說，線圈與磁場之間的相互作用產生力矩。換向器則在適當時刻反轉電流，讓力矩能持續沿相同旋轉方向作用。

問題 2

一個簡單直流馬達中的 60 匝線圈，面積為 \(2.5\times10^{-3}\text{ m}^2\)。線圈在磁場強度為 \(0.35\text{ T}\) 的磁場中，通過 \(1.6\text{ A}\) 的電流。

a. 計算最大力矩。

b. 在其他所有物理量保持不變的情況下，將電流加倍。計算新的最大力矩。

c. 解釋為甚麼電流加倍，不代表馬達的穩定轉速必然恰好變成原來的兩倍。

解答 2

最大力矩為 \(0.084\text{ N m}\)。當電流加倍後，最大力矩增加至 \(0.168\text{ N m}\)，但這不代表穩定轉速也會加倍。

對於最大力矩，

\[ \tau_{\text{max}}=nBIA \]

對於 a 部分，

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{max}} &=(60)(0.35)(1.6)(2.5\times10^{-3})\\ &=8.4\times10^{-2}\text{ N m} \end{aligned} \]

因此，

\[ \tau_{\text{max}}=0.084\text{ N m} \]

對於 b 部分，新的電流為

\[ I=3.2\text{ A} \]

所以

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{max}} &=(60)(0.35)(3.2)(2.5\times10^{-3})\\ &=0.168\text{ N m} \end{aligned} \]

由於在特定線圈方向下，力矩與 \(I\) 成正比，因此電流加倍會使磁力矩加倍。

一個看似合理的結論是：力矩加倍，轉速就一定加倍。然而，力矩直接對應的是角加速度，而不是角速度。隨著馬達轉速增加，其他效應也會變得重要，包括機械阻力，以及稱為反電動勢（back emf）的感應電壓。這些因素會影響電流及最終的穩定運轉速度。

關於這種感應電壓的作用，tutorgum 的直流馬達中的反電動勢指南有更深入的說明。

問題 3

一名學生說：

「分裂環換向器不可能讓直流馬達持續朝同一方向旋轉，因為它每半圈就會反轉電流。反轉電流會使磁力反向，所以馬達一定會反向旋轉。」

準確解釋為甚麼這個結論是錯誤的。

解答 3

這個結論是錯誤的，因為轉過半圈後，線圈的位置和電流方向都發生了改變；這兩個反轉同時發生，使力矩能維持相同的旋轉方向。

對於一段特定的導線，如果磁場保持不變，反轉電流確實會使其受到的磁力反向。因此，這名學生到這一步的說法是正確的。

他忽略的是空間位置的變化。

轉過半圈後，原本位於左側的線圈導線已移到右側，而原本位於右側的導線則移到左側。如果電流沒有反轉，所產生的力便會形成與原來旋轉方向相反的力矩。

分裂環換向器恰好在線圈經過這種方向變化時反轉電流。每一段實際導線受到的磁力雖然反向，但該段導線此時已位於相反的位置。

結果，這一對力仍然會產生沿原來旋轉方向作用的力矩。

一個容易犯的錯誤，是只追蹤電流方向。對於旋轉問題，單知道力的方向並不足夠。還必須考慮力相對於轉軸作用在甚麼位置。

問題 4

從轉軸的一端觀察，一個簡單直流馬達正沿順時針方向旋轉。一名技術人員意外地將分裂環換向器固定，使其兩個半環無法再與電刷交換接觸位置。電源仍然保持連接，而線圈最初正以高速旋轉。

假設摩擦力很小，但不為零。

描述接下來幾個半圈中線圈會如何運動。不要只回答「馬達會停止」。請解釋力矩和運動的變化。

解答 4

線圈不再持續受到沿同一旋轉方向作用的力矩。越過中性位置後，電磁力矩會反向，因此線圈的運動一般會逐漸減速、反向，並傾向於圍繞某個穩定方向振盪，直到摩擦力耗散其機械能。

當電流方向保持固定時，線圈受到的磁力與線圈的方向有關。

假設線圈最初具有順時針方向的角速度。在到達零力矩方向之前，電磁力矩仍可能沿順時針方向作用，使旋轉加快或維持其運動。

接著，線圈會經過以下條件成立的方向：

\[ \tau=nBIA\sin\theta=0 \]

由於線圈已經具有角速度，因此可以憑慣性越過這個位置。

當線圈越過這個方向後，相同方向的固定電流會產生反方向、即逆時針方向的力矩。這個力矩會減小線圈的順時針角速度。

如果線圈具有足夠的轉動動能，它會繼續轉過下一個速度降至零的位置，然後才反向。之後線圈會沿逆時針方向旋轉，但磁力矩會隨角度改變，並可能再次產生使線圈回到穩定方向的恢復作用。

因此，線圈的行為會更像一個轉動振盪器，而不是正常運作的馬達。在摩擦和電能損耗的影響下，振盪會逐漸衰減。

一個容易出現的答案是「沒有換向器就沒有力矩」。這並不正確。只要電流仍在流動，磁力矩就仍可能存在。真正失去的是自動反轉電流的機制，而這個機制原本能讓力矩持續推動線圈朝同一旋轉方向轉動。

問題 5

考慮一個摩擦力可忽略的理想簡單直流馬達。它的矩形線圈最初完全靜止，並恰好處於磁力矩為零的方向。直流電源已透過電刷和分裂環換向器正確連接。

一名學生認為：

「換向器能保證持續旋轉，所以馬達一定會開始轉動。」

另一名學生則認為：

「初始力矩為零，所以馬達永遠不可能開始轉動。」

只根據簡單馬達模型，判斷實際上可以得出甚麼結論。然後解釋，如果在連接電源之前，先讓線圈偏離原來方向一個極小角度，答案會如何改變。

解答 5

如果理想線圈最初恰好位於零力矩方向，而且角速度完全為零，簡單模型並不預測它會自發開始旋轉。然而，如果線圈偏離該方向一個極小角度，就會出現非零力矩，使線圈能夠開始旋轉。

控制力矩的公式為

\[ \tau=nBIA\sin\theta \]

在零力矩方向，\(\theta=0^\circ\) 或 \(180^\circ\)，因此

\[ \sin\theta=0 \]

所以

\[ \tau=0 \]

當力矩為零時，線圈在該瞬間的角加速度為零。如果線圈也完全靜止，而且沒有任何外界擾動，理想模型中就不存在能夠決定起始旋轉方向並使線圈開始旋轉的機制。

這說明了「換向器使馬達旋轉」這種說法的局限。當線圈與磁場的幾何關係使力矩為零時，換向器並不會憑空產生力矩。它的作用是在已經旋轉的線圈經過適當位置時，切換電路連接。

現在，讓線圈偏離原來方向一個極小角度。此時 \(\sin\theta\neq0\)，因此會出現一個微小的磁力矩。

這個力矩會產生角加速度。線圈開始運動後，便能在到達下一個零力矩位置之前累積角速度。轉動慣性可使線圈越過該位置，而換向器隨後便能反轉電流，使力矩再次沿相同旋轉方向增大。

這裡的細微但重要之處在於：零力矩位置並不等於線圈必然停止的位置。正在運動的線圈具有角動量，因此能越過零力矩位置。但如果理想線圈完全靜止，而且恰好放置在該位置，就沒有原有的運動能帶它越過。

實際馬達不會依賴如此容易受到初始位置影響的單線圈設計。透過配置多個線圈和換向器片段，可以讓馬達在旋轉週期中更大範圍的角度下都能產生有用的力矩。這讓我們從簡單的四零件模型，自然地進一步理解實際馬達的設計。而下一個重要的物理概念，則是理解為甚麼旋轉中的馬達也會部分地表現得像發電機，並產生反電動勢。