從發射高度出發的拋體運動：HSC 物理指南

一顆球以 \(20\text{ m s}^{-1}\) 的速率、相同的角度進行兩次發射。第一次，它落在與發射點相同的高度。第二次，它落在比發射點低 \(15\text{ m}\) 的地面上。

因為發射速度沒有改變，你會預期兩次的水平射程相同嗎？繼續閱讀前，先作出你的預測。

第二顆球會飛得更遠。它的水平運動並沒有變快。它只是有更多時間作水平運動，因為在到達著地高度之前，它必須下落得更遠。

現在把情況反過來。假設著地平台高於發射點。拋體可能會兩次到達該高度：一次在上升時，一次在下降時。也有可能完全到不了該高度。

在拋體運動中，我們需要特別小心處理的正是這個高度差。

01方程關心的是位移，而不是「高度」

最簡潔的方法通常是把發射點設為 \(y=0\)。

然後用垂直位移來描述著地點：

\[ \Delta y=y_f-y_i \]

其中 \(y_i\) 是初始垂直位置，而 \(y_f\) 是最終垂直位置。

如果把發射點設為原點，則 \(y_i=0\)，所以 \(\Delta y\) 就是著地點相對於發射點的位置。

第一列中的負號不是可有可無的。它表示拋體最後位於起點下方。

一個常見錯誤是看到「\(12\text{ m}\) 高的懸崖」就自動代入 \(+12\text{ m}\)。\(12\text{ m}\) 這個數值表示距離。如果選擇向上為正方向，那麼垂直位移就是 \(-12\text{ m}\)。

02把水平與垂直運動分開處理

可以把拋體運動想像成兩段使用相同時間戳記的影片。

一段影片顯示水平運動，另一段顯示垂直運動。兩者的運動方式不同，但它們必須對應到同一個時間 \(t\)。

這有點像兩個人各自完成小組作業的不同部分，但共用同一個截止期限。水平運動不可能悄悄用了 \(2.0\text{ s}\)，而垂直運動卻用了 \(3.0\text{ s}\)。只有一個拋體，所以也只有一個經過時間。

在標準的 HSC 拋體模型中：

\[ a_x=0 \]

以及

\[ a_y=-g \]

其中 \(a_x\) 和 \(a_y\) 分別是水平與垂直加速度，而 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) 是地球表面附近重力加速度的大小。

這個模型假設空氣阻力可以忽略。如果空氣阻力顯著，水平與垂直運動就不再能如此整齊地彼此獨立，因為阻力取決於拋體的速度。

複習：分解發射速度

如果拋體以速率 \(u\)、與水平方向成 \(\theta\) 角向上發射，

\[ u_x=u\cos\theta \]

以及

\[ u_y=u\sin\theta \]

其中 \(u_x\) 是初始水平速度，而 \(u_y\) 是初始垂直速度。

如果這一步仍然需要花太多心力，可以先複習拋體初速度的分量，再繼續往下。當這些分量的處理變得熟練後，後面的內容都會容易很多。

經過時間 \(t\) 後的水平位置為

\[ \Delta x=u_x t \]

因為水平加速度為零。

在垂直方向，

\[ \Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2 \]

因為垂直加速度是 \(-g\)。

重點是，著地高度不同會改變 \(\Delta y\)。這會改變飛行時間，而飛行時間改變後，又會改變水平距離。

03著地高度不同時，如何求飛行時間

從

\[ \Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2 \]

開始，重新整理：

\[ \frac{1}{2}gt^2-u_y t+\Delta y=0 \]

這是一個以 \(t\) 為未知數的二次方程。使用二次公式可得

\[ t=\frac{u_y\pm\sqrt{u_y^2-2g\Delta y}}{g} \]

這個特定形式假設向上為正方向，因此 \(a_y=-g\)。與其盲目背誦正負號，更安全的做法是理解這個方程是如何推導出來的。

根號內的式子

\[ u_y^2-2g\Delta y \]

也能告訴我們一些有實際物理意義的資訊。

著地點低於發射點

如果 \(\Delta y<0\)，那麼

\[ -2g\Delta y>0 \]

所以根號項會大於 \(|u_y|\)。

當 \(t=0\) 定義為發射瞬間時，這會產生一個正時間和一個負時間。正值描述未來的撞擊時刻；負值則屬於拋物線在拋體實際發射之前的數學延伸，因此我們把它捨去。

所以，較低的著地高度會讓拋體獲得額外的飛行時間。

著地點與發射點同高

如果 \(\Delta y=0\)，

\[ t=\frac{u_y\pm u_y}{g} \]

對向上發射而言。

兩個解為

\[ t=0 \]

以及

\[ t=\frac{2u_y}{g} \]

第一個是發射本身。第二個是拋體回到發射高度的時刻。

著地點高於發射點

這種情況需要多想一步。

假設 \(\Delta y>0\)。在開始計算之前，先問：拋體升得夠高，能到達那個高度嗎？

在最高點，垂直速度為零。使用

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

並令 \(v_y=0\)、\(a_y=-g\)，

\[ 0=u_y^2-2g\Delta y_{\max} \]

所以

\[ \Delta y_{\max}=\frac{u_y^2}{2g} \]

對向上發射而言：

• 如果所需的 \(\Delta y\) 大於 \(\Delta y_{\max}\)，拋體永遠到不了該高度；
• 如果它等於 \(\Delta y_{\max}\)，拋體只會在最高點碰到該高度一次；
• 如果它小於 \(\Delta y_{\max}\)，拋體通常會兩次通過該高度：一次上升，一次下降。

最後這種情況正是盲目選擇其中一個二次方程根會造成問題的地方。

範例：從 \(20\text{ m}\) 高的懸崖發射

一個拋體從 \(20.0\text{ m}\) 高的懸崖頂，以 \(15.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率、相對水平方向向上 \(30.0^\circ\) 發射。忽略空氣阻力。求它到達地面前的飛行時間與水平移動距離。

步驟 1：分解初速度。

\[ \begin{aligned} u_x&=15.0\cos30.0^\circ\\ &=13.0\text{ m s}^{-1} \\[4pt] u_y&=15.0\sin30.0^\circ\\ &=7.50\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

步驟 2：為垂直位移指定正確的正負號。

把發射點設為 \(y=0\)。地面在它下方 \(20.0\text{ m}\)，因此

\[ \Delta y=-20.0\text{ m} \]

而不是 \(+20.0\text{ m}\)。

步驟 3：利用垂直運動方程求時間。

\[ \begin{aligned} \Delta y&=u_y t-\frac12gt^2\\ -20.0&=7.50t-4.90t^2\\ 4.90t^2-7.50t-20.0&=0 \end{aligned} \]

使用二次公式，

\[ t=\frac{7.50\pm\sqrt{(-7.50)^2-4(4.90)(-20.0)}}{9.80} \]

可得近似值

\[ t=2.93\text{ s} \]

或

\[ t=-1.40\text{ s} \]

負值要捨去，因為計時是從拋體發射的瞬間開始。

步驟 4：把有效的時間代入水平運動。

\[ \begin{aligned} \Delta x&=u_x t\\ &=(13.0)(2.93)\\ &=38.0\text{ m} \end{aligned} \]

因此，拋體在空中約停留 \(2.93\text{ s}\)，並水平移動 \(38.0\text{ m}\)。

重要的概念不是算術本身。較低的地面增加了飛行時間，而額外的飛行時間又增加了射程。

04兩個正時間都可能在數學上正確

假設一個拋體從高架平台下方發射。

學生看到 \(t\) 有兩個正答案，就以為二次方程哪裡出錯了。

其實沒有。

拋體可以兩次通過同一高度。

想像你把球拋過二樓的窗戶。球在上升時先通過窗戶一次，接著升到窗戶上方，再在下降時通過同一扇窗戶一次。高度相同，時間不同。

方程只知道拋體何時位於該高度。它不知道實際平台從哪裡開始、有多寬，或那裡是否真的有實體物件。

這些幾何條件必須從題目中取得。

範例：兩次到達高架平台的高度

一個拋體以 \(20.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率、相對水平方向向上 \(50.0^\circ\) 發射。求它位於發射點上方 \(6.00\text{ m}\) 時的水平位置。一個小平台位於該高度、靠近 \(x=34.3\text{ m}\)。拋體到達平台時，是正在上升還是下降？

步驟 1：分解初速度。

\[ \begin{aligned} u_x&=20.0\cos50.0^\circ\\ &=12.86\text{ m s}^{-1} \\[4pt] u_y&=20.0\sin50.0^\circ\\ &=15.32\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

步驟 2：檢查拋體能否到達 \(6.00\text{ m}\) 的高度。

它能上升的最大高度為

\[ \begin{aligned} \Delta y_{\max} &=\frac{u_y^2}{2g}\\ &=\frac{(15.32)^2}{2(9.8)}\\ &=11.98\text{ m} \end{aligned} \]

所以 \(6.00\text{ m}\) 肯定可以到達。

步驟 3：求出所有滿足 \(\Delta y=+6.00\text{ m}\) 的時間。

\[ 6.00=15.32t-4.90t^2 \]

所以

\[ 4.90t^2-15.32t+6.00=0 \]

以及

\[ t=\frac{15.32\pm\sqrt{(15.32)^2-4(4.90)(6.00)}}{9.80} \]

得到

\[ t_1=0.459\text{ s} \]

和

\[ t_2=2.67\text{ s} \]

兩者都是正值。兩者都代表真實發生的事件。

步驟 4：求每個時間所對應的水平位置。

\[ \begin{aligned} x_1&=(12.86)(0.459)=5.90\text{ m}\\ x_2&=(12.86)(2.67)=34.3\text{ m} \end{aligned} \]

拋體第一次通過 \(6.00\text{ m}\) 高度時，位於 \(x=5.90\text{ m}\)，並正在上升。它在 \(x=34.3\text{ m}\) 時再次到達同一高度，此時正在下降。

平台靠近第二個位置，因此相關的時間是 \(2.67\text{ s}\)。

這是一個重要區別：解垂直運動方程只能告訴你軌跡在哪些位置穿過某個高度。實際的幾何配置才會告訴你哪一次穿越對應到碰撞或著地。

05最容易犯的錯誤

第五列比較微妙。在大多數 HSC 發射題中，\(t=0\) 都明確定義為發射瞬間，因此負時間位於所建模的實際運動之外。但這個規則取決於計時從哪裡開始。下面的第 5 題正是要深入考察這一點。

06處理不同著地高度的可靠方法

對於著地點高於或低於發射高度的拋體，可以按照以下順序處理：

1. 選擇原點與正負方向。通常以向上為正最容易。
2. 把發射速度分解為 \(u_x\) 和 \(u_y\)。
3. 計算實際垂直位移 \(\Delta y=y_f-y_i\)。
4. 如果著地高度高於發射點，先檢查是否能到達該高度。
5. 解垂直運動方程，求 \(t\)。
6. 根據實際物理情況解釋每一個根，而不是機械式地捨去。
7. 把適當的時間代入 \(\Delta x=u_x t\)。
8. 如果需要撞擊速度，計算 \(v_y=u_y-gt\)，再與保持不變的 \(v_x=u_x\) 合併。

這也是水平與不同高度著地時的拋體飛行時間背後的核心概念：先把垂直運動處理正確，因為水平運動必須等到你得到正確的時間。

07題目與解答

第 1 題

一顆球以 \(8.00\text{ m s}^{-1}\) 的速度，水平滾出一個 \(12.0\text{ m}\) 高懸崖的邊緣。忽略空氣阻力。

求：

a. 到達地面所需的時間
b. 水平移動距離。

解答 1

球在空中停留 \(1.56\text{ s}\)，並水平移動 \(12.5\text{ m}\)。

最容易犯的錯誤是把 \(12.0\text{ m}\) 當成正的垂直位移。若向上為正，地面位於發射點下方，因此

\[ \Delta y=-12.0\text{ m} \]

球是水平發射的，所以

\[ u_y=0 \]

先處理垂直運動：

\[ \begin{aligned} \Delta y&=u_y t-\frac12gt^2\\ -12.0&=0-4.90t^2\\ t^2&=\frac{12.0}{4.90}\\ t&=1.56\text{ s} \end{aligned} \]

只有正時間有關，因為 \(t=0\) 是發射瞬間。

在水平方向，

\[ \begin{aligned} \Delta x&=u_x t\\ &=(8.00)(1.56)\\ &=12.5\text{ m} \end{aligned} \]

所以，\(12.0\text{ m}\) 的落差決定拋體在空中停留多久，而 \(8.00\text{ m s}^{-1}\) 的水平速度則決定它在這段時間內移動多遠。

第 2 題

一個拋體從高於水平地面 \(8.00\text{ m}\) 的邊緣，以 \(18.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率、相對水平方向向上 \(35.0^\circ\) 發射。

求：

a. 到撞擊為止的時間
b. 水平移動距離
c. 撞擊前一刻速度的大小與方向。

解答 2

拋體在 \(2.71\text{ s}\) 後撞擊地面，著地點距發射點水平 \(40.0\text{ m}\)，撞擊速率為 \(21.9\text{ m s}^{-1}\)，方向是水平方向下方 \(47.7^\circ\)。

一個很容易採用的捷徑，是把這個運動視為 \(8.00\text{ m}\) 的自由落體。這會忽略拋體最初先向上運動，然後才下降並通過發射高度這個事實。

先分解初速度：

\[ \begin{aligned} u_x&=18.0\cos35.0^\circ\\ &=14.74\text{ m s}^{-1} \\[4pt] u_y&=18.0\sin35.0^\circ\\ &=10.32\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

地面位於發射點下方，所以

\[ \Delta y=-8.00\text{ m} \]

使用垂直運動：

\[ \begin{aligned} -8.00&=10.32t-4.90t^2\\ 4.90t^2-10.32t-8.00&=0 \end{aligned} \]

二次公式會給出一個正值與一個負值。未來的撞擊發生在

\[ t=2.71\text{ s} \]

因此水平位移為

\[ \begin{aligned} \Delta x&=u_xt\\ &=(14.74)(2.71)\\ &=40.0\text{ m} \end{aligned} \]

水平速度維持為

\[ v_x=14.74\text{ m s}^{-1} \]

最終垂直速度為

\[ \begin{aligned} v_y&=u_y-gt\\ &=10.32-(9.8)(2.71)\\ &=-16.23\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

負號表示拋體正在向下運動。

其最終速率為

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{(14.74)^2+(16.23)^2}\\ &=21.9\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

求方向時，

\[ \tan\phi=\frac{|v_y|}{v_x} \]

所以

\[ \phi=\tan^{-1}\left(\frac{16.23}{14.74}\right)=47.7^\circ \]

因此，撞擊速度為 \(21.9\text{ m s}^{-1}\)，方向是水平方向下方 \(47.7^\circ\)。

第 3 題

一個拋體從 \(y=0\) 以 \(16.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率、相對水平方向向上 \(55.0^\circ\) 發射。

一個薄的水平平台表面位於 \(y=+5.00\text{ m}\)，並從 \(x=19.0\text{ m}\) 延伸至 \(x=22.0\text{ m}\)。忽略平台厚度以及任何垂直前緣。

拋體會落在平台上嗎？如果會，請指出著地位置，以及當時是向上還是向下運動。

解答 3

會。拋體會在 \(x=20.3\text{ m}\) 處落在平台上，大約是發射後 \(2.21\text{ s}\)，而且當時正在向下運動。

最容易走的錯誤路線，是找到拋體第一次到達 \(5.00\text{ m}\) 高度的正時間後就停止。真正改變答案的限制條件，是平台的水平位置。

分解速度：

\[ \begin{aligned} u_x&=16.0\cos55.0^\circ\\ &=9.18\text{ m s}^{-1} \\[4pt] u_y&=16.0\sin55.0^\circ\\ &=13.11\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

在平台高度，

\[ \Delta y=+5.00\text{ m} \]

所以

\[ 5.00=13.11t-4.90t^2 \]

或

\[ 4.90t^2-13.11t+5.00=0 \]

解得

\[ t_1=0.461\text{ s} \]

以及

\[ t_2=2.21\text{ s} \]

兩個時間都代表拋體實際可能通過 \(5.00\text{ m}\) 高度的時刻。

現在檢查它們發生的位置。

第一次通過時，

\[ \begin{aligned} x_1&=u_xt_1\\ &=(9.18)(0.461)\\ &=4.23\text{ m} \end{aligned} \]

那裡沒有平台。

第二次通過時，

\[ \begin{aligned} x_2&=(9.18)(2.21)\\ &=20.3\text{ m} \end{aligned} \]

這位於平台從 \(19.0\text{ m}\) 到 \(22.0\text{ m}\) 的範圍內。

若要檢查運動方向，

\[ \begin{aligned} v_y&=u_y-gt\\ &=13.11-(9.8)(2.21)\\ &=-8.59\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

因此拋體正在向下運動。

第一個正根並不是「錯誤」的。它描述了一個真實發生、但位於錯誤水平位置的事件。幾何條件會選出第二次通過作為著地時刻。

第 4 題

一個目標位於發射點水平 \(30.0\text{ m}\) 處，並比發射點低 \(5.00\text{ m}\)。拋體必須以恰好 \(20.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率發射。

求出所有介於 \(0^\circ\) 和 \(90^\circ\) 之間、能擊中目標的發射角。

然後求每一條軌跡的飛行時間與撞擊速率。

一名學生認為，較陡的軌跡一定會以更大的速率撞擊，因為重力對它作用的時間更久。評估這個說法。

解答 4

有兩個發射角，約為 \(12.3^\circ\) 和 \(68.2^\circ\)。對應的飛行時間分別為 \(1.54\text{ s}\) 和 \(4.04\text{ s}\)，但兩者擊中目標時的速率相同，都是 \(22.3\text{ m s}^{-1}\)。

學生的說法看起來很合理，因為較陡的拋體確實在空中停留得久得多。遺漏的條件是：它也把一部分額外時間花在向上運動並減速。在沒有空氣阻力的情況下，兩個拋體以相同速率出發，並且最後都位於同一發射高度下方 \(5.00\text{ m}\)。

令發射角為 \(\theta\)。

在水平方向，

\[ 30.0=(20.0\cos\theta)t \]

所以

\[ t=\frac{30.0}{20.0\cos\theta} \]

在垂直方向，

\[ -5.00=(20.0\sin\theta)t-4.90t^2 \]

代入 \(t\) 的表示式：

\[ -5.00 = 30.0\tan\theta - 11.025\sec^2\theta \]

使用

\[ \sec^2\theta=1+\tan^2\theta \]

並定義

\[ T=\tan\theta \]

可得

\[ -5.00=30.0T-11.025(1+T^2) \]

所以

\[ 11.025T^2-30.0T+6.025=0 \]

二次公式給出

\[ T=0.2184 \]

或

\[ T=2.503 \]

因此，

\[ \theta_1=\tan^{-1}(0.2184)=12.3^\circ \]

以及

\[ \theta_2=\tan^{-1}(2.503)=68.2^\circ \]

對較低的軌跡，

\[ \begin{aligned} t_1 &=\frac{30.0}{20.0\cos12.3^\circ}\\ &=1.54\text{ s} \end{aligned} \]

對較高的軌跡，

\[ \begin{aligned} t_2 &=\frac{30.0}{20.0\cos68.2^\circ}\\ &=4.04\text{ s} \end{aligned} \]

兩者的飛行時間差異很大。

現在不用分別進行兩套冗長的分量計算，就能比較撞擊速率。

在垂直方向，

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

對任一條軌跡而言，

\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2} \]

而且

\[ \Delta y=-5.00\text{ m} \]

所以

\[ v_y^2=u_y^2+98.0 \]

最終總速率滿足

\[ v^2=v_x^2+v_y^2 \]

因此，

\[ \begin{aligned} v^2 &=u_x^2+u_y^2+98.0\\ &=u^2+98.0\\ &=(20.0)^2+98.0\\ &=498 \end{aligned} \]

所以

\[ v=22.3\text{ m s}^{-1} \]

兩條軌跡皆是如此。

撞擊方向不同，但撞擊速率相同。在理想拋體模型中，高軌跡額外的飛行時間本身並不會造成更大的最終速率。

第 5 題

一個拋體從水平地面發射。稍後，當它在上升途中穿過一個高於地面 \(5.00\text{ m}\) 的感測器時，測得其速度分量為

\[ v_x=12.0\text{ m s}^{-1} \]

以及

\[ v_y=+8.00\text{ m s}^{-1} \]

感測器在該瞬間把時鐘設為 \(t=0\)，並把自己的位置設為 \(x=0,\ y=0\)。

忽略空氣阻力。

求：

a. 相對於感測器時鐘，拋體位於地面高度的每一個時刻
b. 相對於感測器，每次穿過地面高度時的水平位置
c. 拋體從發射到著地的總水平射程。

一名學生得到一個負時間，便立即把它捨去。這裡這樣推理正確嗎？

解答 5

拋體穿過地面高度的時刻為 \(t=-0.482\text{ s}\) 和 \(t=2.12\text{ s}\)。負時間不能捨去：它代表真正的發射時刻，而發射發生在感測器把 \(t=0\) 設定下來之前。從地面發射到重新落回地面的總射程為 \(31.2\text{ m}\)。

這裡的關鍵是：負時間並不代表「不符合物理」。它表示「發生在被標記為 \(t=0\) 的事件之前」。在一般發射題中，兩者通常是一回事，因為時鐘從發射時開始。但本題刻意讓它們不同。

相對於感測器，地面位於

\[ \Delta y=-5.00\text{ m} \]

在 \(t=0\) 時，對這個新的時間座標而言，拋體的垂直速度是

\[ u_y=+8.00\text{ m s}^{-1} \]

使用垂直運動方程：

\[ \begin{aligned} -5.00&=8.00t-4.90t^2\\ 4.90t^2-8.00t-5.00&=0 \end{aligned} \]

二次公式給出

\[ t=\frac{8.00\pm\sqrt{(-8.00)^2-4(4.90)(-5.00)}}{9.80} \]

所以

\[ t=-0.482\text{ s} \]

以及

\[ t=2.12\text{ s} \]

兩個根都描述了題目所述運動中實際發生的事件。

水平速度恆定為

\[ v_x=12.0\text{ m s}^{-1} \]

因為沒有水平加速度。

因此，較早的地面交點相對於感測器的位置為

\[ \begin{aligned} x_{\text{launch}} &=(12.0)(-0.482)\\ &=-5.79\text{ m} \end{aligned} \]

較晚的交點位於

\[ \begin{aligned} x_{\text{landing}} &=(12.0)(2.12)\\ &=25.4\text{ m} \end{aligned} \]

總水平射程就是這兩個位置之差：

\[ \begin{aligned} R &=25.4-(-5.79)\\ &=31.2\text{ m} \end{aligned} \]

容易套用的規則是「捨去負時間」。更精確的正確規則應該是：捨去位於所建模實際物理時間區間之外的時間。

因為感測器在飛行途中重新設定了時鐘，所以發射本身完全可以合理地具有負的時間戳記。

08接下來你能做到什麼

一旦你能正確處理 \(\Delta y\)，並從物理意義上解釋二次方程的根，從懸崖、坑洞、陽台和高架平台發射的拋體，就不再是彼此分離的不同題型。它們其實都是同一個模型，只是最終座標不同。

下一個有用的步驟，是把這個飛行時間與射程、撞擊方向和最終速率連結起來。在最困難的判斷完成之後，數學通常都很直接：先找出正確的垂直位移，再找出正確的時間。