拋射體的最終速度：HSC 物理指南

一個拋射體即將撞到地面。在那一瞬間，它以 \(17.3\text{ m s}^{-1}\) 向右運動，同時以 \(9.6\text{ m s}^{-1}\) 向下運動。它的最終速度是多少？

一個很誘人的答案是 \(17.3-9.6=7.7\text{ m s}^{-1}\)。但這兩個數值描述的是互相垂直方向上的運動，因此不能直接用普通加減法處理。實際的速度方向是斜向的。

繼續閱讀之前，先預測一下：最終速率應該小於 \(17.3\text{ m s}^{-1}\)、等於它，還是大於它？

一定會更大。拋射體同時具有水平運動和垂直運動。把這些分量重新合成，是許多 HSC 拋射體題目的最後一步。

01從兩個分量合成一個速度

假設我們把向右定為正 \(x\) 方向，把向上定為正 \(y\) 方向。

拋射體的速度便可以用兩個分量表示：

• \(v_x\)：水平速度分量，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(v_y\)：垂直速度分量，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)

如果拋射體向右及向下運動，\(v_x\) 為正，而 \(v_y\) 為負。

例如，

\[ v_x=17.3\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y=-9.6\text{ m s}^{-1} \]

並不表示一個速度正在抵消另一個速度。這兩個分量描述的是同一個運動。

想像一個長方形。\(v_x\) 是它的水平邊，\(v_y\) 是它的垂直邊，而實際的速度向量則是對角線。

由於兩個分量互相垂直，因此速度向量的大小，也就是速率 \(v\)，可利用畢氏定理求得：

\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \]

向下的 \(v_y\) 所帶的負號在平方後會消失。這是合理的：速率是一個大小，因此不可能是負數。

方向則可利用三角函數求得。如果拋射體向右運動，

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right) \]

其中 \(\theta\) 是相對於水平線向上或向下的角度。

絕對值 \(|v_y|\) 給出垂直分量的大小。之後再根據 \(v_y\) 的正負號，判斷方向是在水平線上方還是下方。

因此，如果 \(v_y<0\)，可以寫成：

水平線下方 \(29^\circ\)。

在判斷方向之前，不要把正負號丟掉。

02最終分量從哪裡來

重新合成分量通常是最後一步，而不是整個拋射運動計算的全部。

在標準 HSC 拋射體模型中，假設空氣阻力可忽略：

\[ a_x=0 \]

因此水平速度保持不變：

\[ v_x=u_x \]

其中 \(u_x\) 是初始水平速度分量。

在垂直方向上，

\[ a_y=-g \]

如果把向上定為正方向，則 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)。

因此，

\[ v_y=u_y-gt \]

其中：

• \(u_y\) 是初始垂直速度分量
• \(t\) 是經過的時間，單位為秒
• \(v_y\) 是經過該段時間後的垂直速度

如果你想複習如何把初始發射速率和角度分解為 \(u_x\) 和 \(u_y\)，可參閱 HSC 物理中的拋射體初速度分量。

以下是一個實用的判斷表：

有一個重要細節：「最終速度」並不一定是指「撞到地面時的速度」。它指的是你所分析時間區間終點的速度。

03\(v_y\) 的正負號非常重要

假設你的計算機得出

\[ v_y=-14\text{ m s}^{-1}. \]

其中的 \(14\) 告訴你速度在垂直方向上的分量大小，而負號則告訴你它指向下方。

學生有時會把 \(-14\) 直接代入

\[ \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right) \]

並得到一個負角度。計算機並沒有錯。例如，\(-35^\circ\) 表示相對於正水平軸向下 \(35^\circ\)。

在 HSC 作答中，通常更清楚的做法是寫出角度的大小，再用文字說明方向：

\[ \text{水平線下方 }35^\circ\text{。} \]

畫一個簡單草圖，通常比讓計算機替你判斷物理方向更穩妥。

04你不一定需要飛行時間

假設一個拋射體落在比發射點低的位置。你可能會認為，在求最終速度之前，一定要先計算飛行時間。

有時確實如此。但如果已知垂直位移，下面這條公式可以直接由初始垂直分量求出最終垂直分量：

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

不過有一個要注意的地方。平方會令 \(v_y\) 的正負號消失。開平方後，你必須根據實際物理情況判斷 \(v_y\) 應為正還是負。

如果撞擊時拋射體正在下降，就選擇負根。

05對稱性的捷徑–以及它的限制

這裡有一個實用的預測方法。

一個拋射體以速率 \(u\)、水平線上方角度 \(\alpha\) 發射。之後它回到完全相同的高度。若沒有空氣阻力，它的速度會是多少？

水平分量沒有改變：

\[ v_x=u\cos\alpha \]

當它在下降途中回到相同高度時，垂直分量的大小與起初相同，但符號相反：

\[ v_y=-u\sin\alpha \]

因此，最終速率為

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(u\cos\alpha)^2+(-u\sin\alpha)^2}\\ &=\sqrt{u^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}\\ &=u \end{aligned} \]

而方向為水平線下方 \(\alpha\)。

因此，一個以 \(25\text{ m s}^{-1}\)、水平線上方 \(37^\circ\) 發射的拋射體，回到相同高度時的速率仍為 \(25\text{ m s}^{-1}\)，方向則為水平線下方 \(37^\circ\)。

一個常見錯誤是認為最終速度就是初速度的負值。

並不是。

如果

\[ \vec u=(u_x,u_y), \]

那麼在下降途中回到相同高度時，

\[ \vec v=(u_x,-u_y). \]

只有垂直分量反向。水平分量仍然指向相同方向。

如果最終高度與初始高度不同、空氣阻力不可忽略，或有其他力令拋射體產生水平加速度，這個捷徑也不適用。

06一套可靠的最終速度解題流程

當 HSC 題目要求你求最終速度時，可以依照以下順序：

1. 選定正方向。
2. 求 \(v_x\)，並保留它的正負號。
3. 求 \(v_y\)，並保留它的正負號。
4. 畫出兩個分量的草圖。
5. 使用 \(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\) 計算速率。
6. 使用三角函數計算參考角。
7. 清楚寫出方向，例如「水平線下方」。

在你了解正負號在物理上代表甚麼之前，不要先計算角度。

07題目與解答

題目 1

一個拋射體的最終速度分量為

\[ v_x=12.0\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y=-5.0\text{ m s}^{-1}. \]

求它的最終速率和方向。

解答 1

最終速度為 \(13.0\text{ m s}^{-1}\)，方向為水平線下方 \(22.6^\circ\)。

速率是兩個互相垂直分量合成後的大小：

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{(12.0)^2+(-5.0)^2}\\ &=\sqrt{169}\\ &=13.0\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

至於方向，

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right)\\ &=\tan^{-1}\left(\frac{5.0}{12.0}\right)\\ &=22.6^\circ. \end{aligned} \]

由於 \(v_y\) 為負，拋射體正向下運動。因此，它的方向為水平線下方 \(22.6^\circ\)。

一個很容易犯的錯誤是計算 \(12.0-5.0=7.0\text{ m s}^{-1}\)。這樣做等於把互相垂直的分量當作沿同一直線作用。

題目 2

一個拋射體在 \(2.50\text{ s}\) 內水平移動 \(40.0\text{ m}\)。在同一段時間內，它的最終位置比發射點低 \(5.00\text{ m}\)。

忽略空氣阻力，並取 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)。

求：

• 它的初始垂直速度分量，
• 它的最終速度分量，以及
• 它的最終速率和方向。

解答 2

初始垂直分量為向上的 \(10.25\text{ m s}^{-1}\)，而最終速度約為 \(21.4\text{ m s}^{-1}\)，方向為水平線下方 \(41.7^\circ\)。

先求水平速度。在水平加速度為零的情況下，

\[ \begin{aligned} v_x&=\frac{\Delta x}{t}\\ &=\frac{40.0}{2.50}\\ &=16.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

現在使用垂直位移公式：

\[ \Delta y=u_yt+\frac12a_yt^2. \]

這裡，

\[ \Delta y=-5.00\text{ m},\qquad a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}. \]

代入後，

\[ \begin{aligned} -5.00&=u_y(2.50)+\frac12(-9.8)(2.50)^2\\ -5.00&=2.50u_y-30.625\\ 25.625&=2.50u_y\\ u_y&=10.25\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

最終垂直分量為

\[ \begin{aligned} v_y&=u_y+a_yt\\ &=10.25+(-9.8)(2.50)\\ &=-14.25\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

因此，最終分量為

\[ v_x=16.0\text{ m s}^{-1},\qquad v_y=-14.25\text{ m s}^{-1}. \]

現在把它們重新合成：

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(16.0)^2+(-14.25)^2}\\ &=21.4\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

方向為

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{14.25}{16.0}\right)\\ &=41.7^\circ. \end{aligned} \]

由於 \(v_y<0\)，方向為水平線下方 \(41.7^\circ\)。

一個很誘人的做法是使用平均垂直速度，

\[ \frac{-5.00}{2.50}=-2.00\text{ m s}^{-1}, \]

並把它當作最終垂直速度。這是不正確的，因為重力會持續改變 \(v_y\)。該時間區間內的平均垂直速度並不等於最終垂直速度。

題目 3

在 \(A\) 點，一個拋射體以 \(18.0\text{ m s}^{-1}\)、水平線上方 \(25^\circ\) 的方向運動。

之後它到達 \(B\) 點，而 \(B\) 點比 \(A\) 點低 \(3.00\text{ m}\)。在 \(B\) 點，拋射體正在下降。

忽略空氣阻力。

求：

• 拋射體在 \(B\) 點的速度，以及
• 從 \(A\) 點運動至 \(B\) 點所需的時間。

解答 3

在 \(B\) 點，拋射體的運動速率約為 \(19.6\text{ m s}^{-1}\)，方向為水平線下方 \(33.5^\circ\)，而從 \(A\) 點到 \(B\) 點的運動時間為 \(1.88\text{ s}\)。

先把 \(A\) 點的速度分解：

\[ \begin{aligned} v_{Ax}&=(18.0)\cos25^\circ\\ &=16.3\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]

以及

\[ \begin{aligned} v_{Ay}&=(18.0)\sin25^\circ\\ &=7.61\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

水平分量保持不變，因此

\[ v_{Bx}=16.3\text{ m s}^{-1}. \]

對於垂直分量，使用

\[ v_{By}^2=v_{Ay}^2+2a_y\Delta y. \]

這裡，

\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2},\qquad \Delta y=-3.00\text{ m}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} v_{By}^2 &=(7.61)^2+2(-9.8)(-3.00)\\ &\approx116.7. \end{aligned} \]

所以，

\[ v_{By}=\pm10.8\text{ m s}^{-1}. \]

題目指出拋射體在 \(B\) 點正在下降，因此符合物理情況的根為

\[ v_{By}=-10.8\text{ m s}^{-1}. \]

現在求速率：

\[ \begin{aligned} v_B&=\sqrt{(16.3)^2+(-10.8)^2}\\ &=19.6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

它的方向為

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{10.8}{16.3}\right)\\ &=33.5^\circ. \end{aligned} \]

因此，速度為 \(19.6\text{ m s}^{-1}\)，方向為水平線下方 \(33.5^\circ\)。

要找出時間，使用

\[ v_{By}=v_{Ay}+a_yt. \]

所以，

\[ \begin{aligned} -10.8&=7.61-9.8t\\ t&=\frac{-10.8-7.61}{-9.8}\\ &=1.88\text{ s}. \end{aligned} \]

這題的陷阱在於開平方。\(v_{By}^2\) 的方程會產生兩個數學上可能的答案。正是「到達 \(B\) 點時正在下降」這項資訊，讓我們能選出負值。

題目 4

一個拋射體從 \(O\) 點發射。之後在比 \(O\) 點高 \(8.00\text{ m}\) 的 \(P\) 點，它正以 \(20.0\text{ m s}^{-1}\)、水平線下方 \(30^\circ\) 的方向運動。

假設它遵循沒有空氣阻力的標準拋射運動。

求：

• 拋射體的發射速率，
• 它相對於水平線的發射仰角，以及
• 從發射至到達 \(P\) 點所需的時間。

解答 4

拋射體以約 \(23.6\text{ m s}^{-1}\)、水平線上方 \(42.8^\circ\) 的方向發射，並在 \(2.66\text{ s}\) 後到達 \(P\) 點。

這題不尋常之處在於，我們要利用後來的速度反推較早的速度。

在 \(P\) 點，

\[ \begin{aligned} v_x&=(20.0)\cos30^\circ\\ &=17.3\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]

而由於拋射體正在下降，

\[ \begin{aligned} v_y&=-(20.0)\sin30^\circ\\ &=-10.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

整個飛行過程中的水平速度不變，所以初始水平分量也是

\[ u_x=17.3\text{ m s}^{-1}. \]

現在利用

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

在垂直方向上反推。

從 \(O\) 點到 \(P\) 點，

\[ \Delta y=+8.00\text{ m} \]

而

\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} (-10.0)^2 &=u_y^2+2(-9.8)(8.00)\\ 100&=u_y^2-156.8\\ u_y^2&=256.8. \end{aligned} \]

由此得到

\[ u_y=\pm16.0\text{ m s}^{-1}. \]

必須選擇正根：

\[ u_y=+16.0\text{ m s}^{-1}. \]

為甚麼可以排除 \(-16.0\text{ m s}^{-1}\)？

如果拋射體一開始便向下運動，而且垂直加速度也向下，它之後就不可能到達比發射位置高 \(8.00\text{ m}\) 的地方。負根符合平方後的方程，但不符合實際的物理軌跡。

現在重新合成初始分量：

\[ \begin{aligned} u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\ &=\sqrt{(17.3)^2+(16.0)^2}\\ &=23.6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

發射角為

\[ \begin{aligned} \alpha&=\tan^{-1}\left(\frac{16.0}{17.3}\right)\\ &=42.8^\circ. \end{aligned} \]

最後，

\[ v_y=u_y+a_yt, \]

所以

\[ \begin{aligned} -10.0&=16.0-9.8t\\ t&=\frac{-10.0-16.0}{-9.8}\\ &=2.66\text{ s}. \end{aligned} \]

一個很誘人的錯誤是看到後來的速度向下，就認為拋射體一定也是向下發射。拋射運動的垂直分量可以反向：向上的運動先減慢至零，之後再變成向下運動。

題目 5

一個經校準的發射感測器記錄到，一個拋射體以 \(26.0\text{ m s}^{-1}\)、水平線上方 \(35^\circ\) 的方向離開平台。

在飛行結束時，高速攝影可靠地顯示它的速度方向為水平線下方 \(50^\circ\)。另一個獨立的速率顯示器則顯示 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)。

假設拋射體遵循理想的 HSC 模型：空氣阻力可忽略，重力加速度為向下的 \(9.8\text{ m s}^{-2}\)。

這三項測量結果可以全部正確嗎？

如果不可以：

• 指出其中的不一致之處，
• 求出理想拋射體模型所要求的最終速率，
• 求出最終垂直速度分量，以及
• 求出最終位置相對於發射點的垂直位移。

解答 5

不可以。在理想拋射體模型下，這三項測量結果不可能全部正確。發射資料和最終方向要求最終速率約為 \(33.1\text{ m s}^{-1}\)，而不是 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)，而且最終位置約在發射點下方 \(21.5\text{ m}\)。

最關鍵的限制條件，也是最容易被忽略的一項，就是水平速度必須保持不變。

根據發射資料，

\[ \begin{aligned} u_x&=(26.0)\cos35^\circ\\ &=21.3\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

因此，在整個飛行過程中，

\[ v_x=21.3\text{ m s}^{-1}. \]

現在檢驗所報告的最終速率 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)、方向為水平線下方 \(50^\circ\)。

它的水平分量會是

\[ \begin{aligned} v_x&=(30.0)\cos50^\circ\\ &=19.3\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

但理想拋射體模型要求 \(v_x=21.3\text{ m s}^{-1}\)。

因此，這些測量結果彼此不一致。

由於題目明確指出發射讀數經過校準，而最終方向的測量可靠，所以有錯的必須是最終速率的測量。

設符合物理模型的最終速率為 \(v_f\)。則

\[ v_f\cos50^\circ=21.3. \]

因此，

\[ \begin{aligned} v_f&=\frac{21.3}{\cos50^\circ}\\ &=33.1\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

它的垂直分量向下：

\[ \begin{aligned} v_y&=-v_f\sin50^\circ\\ &=-(33.1)\sin50^\circ\\ &=-25.4\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

現在求初始垂直分量：

\[ \begin{aligned} u_y&=(26.0)\sin35^\circ\\ &=14.9\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

使用

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y. \]

代入後，

\[ \begin{aligned} (-25.4)^2 &=(14.9)^2+2(-9.8)\Delta y\\ 644.2&=222.4-19.6\Delta y. \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} 421.8&=-19.6\Delta y\\ \Delta y&=-21.5\text{ m}. \end{aligned} \]

所以最終位置約在發射點下方 \(21.5\text{ m}\)。

一個很誘人的做法是接受所報告的 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)，然後立即把它的垂直分量代入運動學方程。這樣確實會得到一個數值答案，但這個答案是建立在一組已經違反拋射體模型的資料之上。

更深入的檢查應該先進行：在重新合成分量或套用其他方程之前，先問水平分量是否一致。看似合理的速率和角度，並不一定與其餘運動資料相容。

08接下來你可以做到甚麼

一旦你能熟練地在 \(v_x\)、\(v_y\)、速率和方向之間轉換，拋射體題目就會變得容易整理得多。

這些分量告訴你重力改變了甚麼，以及沒有改變甚麼。把它們重新合成，則告訴你拋射體在某一瞬間實際上如何運動。

同一個概念也能讓我們精確比較發射速度、最高點的速度和撞擊速度。在最高點，\(v_y=0\)，但 \(v_x\) 仍然存在。在與發射點同高度著地時，\(v_y\) 的符號已經反轉。在較低的位置著地時，它向下的大小則會更大。

因此，真正有用的習慣不只是記住

\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}. \]

而是在把兩個分量重新合成為一個最終速度向量之前，先學會把它們解讀成一段有物理意義的運動過程。